课后分层练(二十二) 函数的单调性-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(二十二)]　函数的单调性 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为(　　) A．[－1，3] B．[－1，2]和[4，5] C．[－1，2] D．[－3，－1]和[2，4] 解析：选B.函数的图象在[－1，2]和[4，5]上呈上升趋势． 2．(2025·天津期中)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　) A．f(x)＝－2x＋3 B．f(x)＝2x－1 C．f(x)＝ D．f(x)＝－x2 解析：选B.A选项，f(x)＝－2x＋3在R上单调递减，A错误； B选项，f(x)＝2x－1在R上单调递增，满足要求，B正确； C选项，f(x)＝在区间(0，＋∞)上单调递减，C错误； D选项，f(x)＝－x2在区间(0，＋∞)上单调递减，D错误． 3．(2025·山东菏泽期中)已知函数f(x)＝x2＋4x＋c，则(　　) A．f(1)<c<f(－2) B．c<f(－2)<f(1) C．c>f(1)>f(－2) D．f(1)>c>f(－2) 解析：选D.因为二次函数f(x)＝x2＋4x＋c图象的对称轴为直线x＝－2，且开口向上，所以函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递增，所以f(－2)<f(0)<f(1)，又f(0)＝c，所以f(1)>c>f(－2). 4．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(－，＋∞) B．(－∞，－] C．(3，＋∞) D．(－∞，－3] 解析：选B.∵函数y＝x2＋(2a－1)x＋1的图象开口向上，直线x＝为函数图象的对称轴， 又函数在区间(－∞，2]上是减函数，故2≤，解得a≤－. 5．(多选)(2025·福建平潭期中)下列函数中，满足对任意x1，x2∈(1，＋∞)，<0的是(　　) A．f(x)＝－2(x－1)2－2 B．f(x)＝3x＋5 C．f(x)＝1＋ D．f(x)＝|x－4| 解析：选AC.若对任意x1，x2∈(1，＋∞)，<0，则由单调性定义可知，函数f(x)在区间(1，＋∞)上为减函数． 对于A，f(x)＝－2(x－1)2－2，其图象开口向下，对称轴为直线x＝1，故f(x)在区间(1，＋∞)上为减函数，满足题意； 对于B，f(x)＝3x＋5为一次函数，且k＝3>0，故f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，不满足题意； 对于C，f(x)＝1＋在区间(0，＋∞)上是减函数，故函数满足在区间(1，＋∞)上为减函数，满足题意； 对于D，f(x)＝|x－4|＝显然函数在区间(1，4)上单调递减，在区间(4，＋∞)上单调递增，故不满足题意． 6．(数学文化)我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．函数f(x)＝|x|＋的图象大致是(　　) 解析：选B.当0<x<1时，f(x)＝x＋，此时f(x)在(0，1)上单调递减， 当x>1时，f(x)＝x＋，此时f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 且x>0时，当且仅当x＝1时，f(x)＝[f(x)]min＝2， 由此可知C，D选项中图象错误； 当x<0时，f(x)＝－x＋，此时f(x)在(－∞，0)上单调递减， 故选项A中图象不合题意，又f(－1)＝0，故B中图象符合题意． 7．(2025·福建南安月考)函数f(x)＝的单调递减区间是(　　) A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．[1，3] D．[－1，1] 解析：选C.设y＝，t＝－x2＋2x＋3≥0，得－1≤x≤3.y＝在[0，＋∞)上单调递增，t＝－x2＋2x＋3在[－1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，根据复合函数单调性判断法则“同增异减”可知，f(x)的单调递减区间为[1，3]. 8．定义在(－2，2)上的函数f(x)是增函数，且满足f(1－a)<f(a)，则实数a的取值范围是__________. 解析：由题设知实数a应满足解得<a<2. 答案：(，2) 9．已知函数f(x)＝x2－－3(x>0)，判断函数的单调性，并证明． 解：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．证明如下： 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2， 即x1>x2>0， f(x1)－f(x2)＝(x－－3)－(x－－3)＝(x－x)＋(－) ＝(x1－x2)(x1＋x2)＋＝(x1－x2)(x1＋x2＋). 因为x1>x2>0，则x1－x2>0，x1＋x2＋>0， 则f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)＝x2－－3在区间(0，＋∞)上单调递增． 10．求下列函数的单调区间，并指出该函数的单调性． (1)f(x)＝－； (2)f(x)＝ (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3. 解：(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是单调递增的． (2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在区间(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． (3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝ 根据解析式可作出函数的图象如图所示， 由图象可知函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，[1，＋∞). f(x)在区间(－∞，－1]，[0，1)上单调递增，在区间(－1，0)，[1，＋∞)上单调递减． 【综合运用】 11．已知函数f(x)在R上是增函数，则下列说法正确的是(　　) A．y＝－f(x)在R上是减函数 B．y＝在R上是减函数 C．y＝[f(x)]2在R上是增函数 D．y＝af(x)(a为实数)在R上是增函数 解析：选A.∵函数f(x)在R上是增函数，∴y＝－f(x)在R上是减函数，故选项A正确； 函数f(x)在R上是增函数，但y＝在R上不一定是减函数， 如f(x)＝x在R上是增函数，但y＝＝在R上不是减函数，故排除选项B； 函数f(x)在R上是增函数，但y＝[f(x)]2在R上不一定是增函数， 如f(x)＝x在R上是增函数，但y＝[f(x)]2＝x2在R上不是增函数，故排除选项C； 函数f(x)在R上是增函数，但y＝af(x)(a为实数)在R上不一定是增函数， 如f(x)＝x在R上是增函数，但y＝－2f(x)＝－2x在R上不是增函数，故排除选项D. 12．(多选)(2025·安徽亳州检测)已知函数f(x)在R上是减函数，且a＋b>0，则下列说法正确的是(　　) A．f(a)＋f(b)>0 B．f(a)－f(－b)>0 C．f(－a)－f(b)>0 D．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b) 解析：选CD.由a＋b>0，则a>－b，b>－a，因为函数f(x)在R上是减函数，所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，则f(－a)－f(b)>0，f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b). 13．已知f(x)＝为增函数，则a的取值范围是______． 解析：因为f(x)＝为增函数， 故解得3≤a<4. 答案：[3，4) 14．已知函数f(x)＝(a∈R，a≠0). (1)用单调性的定义讨论f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性； (2)已知f(2)＝2，解不等式f(x2－2x＋4)≥. 解：(1)任取1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝， 由1<x1<x2，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0， 所以当a>0时，f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增． (2)因为f(2)＝2，所以a＝1， 由(1)可知f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减， 因为f(x2－2x＋4)≥＝f(7)，且x2－2x＋4＝(x－1)2＋3>1， 所以x2－2x＋4≤7，即x2－2x－3≤0， 解得－1≤x≤3， 所以原不等式的解集为[－1，3]. 【创新探索】 15．(多选)(2025·湖北襄阳月考)若函数f(x)满足∀x1，x2∈(1，＋∞)，当x1≠x2时，不等式>1恒成立，则称f(x)在(1，＋∞)上为“平方差增函数”．下列函数f(x)中，在(1，＋∞)上是“平方差增函数”的是(　　) A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝x2＋x＋ C．f(x)＝2x2－2x＋1 D．f(x)＝x2－2x＋1 解析：选BC.若函数f(x)满足∀x1，x2∈(1，＋∞)，当x1≠x2时，不等式>1恒成立，则－1＝>0，令g(x)＝f(x)－x2，则>0，所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数．对于A，f(x)＝4x－1，则g(x)＝f(x)－x2＝－x2＋4x－1，其图象的对称轴是直线x＝2，故g(x)在(1，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，故A错误；对于B，f(x)＝x2＋x＋，则g(x)＝f(x)－x2＝x＋，故g(x)在(1，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，f(x)＝2x2－2x＋1，故g(x)＝f(x)－x2＝x2－2x＋1，其图象的对称轴是直线x＝1，故g(x)在(1，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，f(x)＝x2－2x＋1，则g(x)＝f(x)－x2＝－2x＋1，故g(x)在(1，＋∞)上单调递减，故D错误． 学科网（北京）股份有限公司 $