课后分层练(二十) 函数的表示法-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(二十)]　函数的表示法 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知f(3x－1)＝9x2，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)＝9x2 B．f(x)＝(x＋1)2 C．f(2)＝36 D．f(－2)＝－1 解析：选B.因为f(3x－1)＝9x2＝(3x－1)2＋2(3x－1)＋1，所以f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，则f(2)＝9，f(－2)＝1. 2．已知函数y＝f(x)，用列表法表示如下： x －2 －1 0 1 2 y 1 0 －2 2 －1 则f(－2)＋f[f(－2)]＝(　　) A．－4 B．0 C．2 D．3 解析：选D.由表格可得：f(－2)＝1， 所以f[f(－2)]＝f(1)＝2， 所以f(－2)＋f[f(－2)]＝3. 3．若函数f()＝，则函数f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝1＋x(x≠0，x≠－1) B．f(x)＝(x≠0，x≠－1) C．f(x)＝(x≠0，x≠－1) D．f(x)＝x(x≠0，x≠－1) 解析：选B.设t＝，则x＝， ∵函数f()＝， ∴f(t)＝，t≠0，t≠－1， ∴f(x)＝(x≠0，x≠－1). 4．在函数y＝|x|(x∈[－2，2])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数的图象与x轴、直线x＝－2及x＝t围成的图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图象可表示为(　　) 解析：选B.当－2≤t<0时，S＝2－，其图象是开口向下的抛物线，顶点坐标是(0，2)； 当0<t≤2时，S＝2＋，其图象是开口向上的抛物线，顶点坐标是(0，2).所以B满足要求． 5．已知函数f(x)与g(x)的部分对应值如表所示，则方程f(g(x))＝x＋1的解集是(　　 ) x 1 2 3 g(x) 1 3 2 f(x) 2 3 1 A.{1} B．{1，2} C．{2} D．{1，2，3} 解析：选A.∵f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝1，f(g(1))＝2，f(g(2))＝1，f(g(3))＝3 ， ∴只有f(g(1))＝2满足f(g(x))＝x＋1， 因此方程f(g(x))＝x＋1的解集是{1}． 6．若f(x)＝4x－3，g(2x－1)＝f(x)，则g(3)＝(　　) A．2 B．3 C．5 D．17 解析：选C.由f(x)＝4x－3，g(2x－1)＝f(x)， 令2x－1＝3，解得x＝2， 所以g(3)＝f(2)＝2×4－3＝5. 7．(2025·福建莆田期中)若函数f(x)满足f(x)＋2f()＝2x＋1，则f(2)＝(　　) A．－ B． C． D． 解析：选A.因为函数f(x)满足f(x)＋2f()＝2x＋1　①， 所以f()＋2f(x)＝＋1　②， 联立①② 解得f(x)＝－＋， ∴f(2)＝－＋＝－. 8．(多选)下列命题中，正确的有(　　) A．函数y＝·与函数y＝表示同一函数 B．已知函数f(2x＋1)＝4x－6，若f(a)＝10，则a＝9 C．若函数f(－1)＝x－3，则f(x)＝x2－x－2(x≥－1) D．若函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数f(2x)的定义域为[0，4] 解析：选BC.f(x)＝·的定义域是＝{x|x≥1}，g(x)＝的定义域是{x|x2－1≥0}＝{x|x≥1，或x≤－1}，两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误； 函数f(2x＋1)＝4x－6，若f(a)＝10，则所以故B正确； 若函数f(－1)＝x－3＝(－1)2－(－1)－2，则f(x)＝x2－x－2(x≥－1)，故C正确； 若函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数f(2x)中，0≤2x≤2，所以0≤x≤1，即函数f(2x)的定义域为[0，1]，故D错误． 9．根据下列条件，求函数的解析式： (1)已知f(＋1)＝x＋2； (2)若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1； (3)已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1). 解：(1)方法一(换元法)：设t＝＋1，t≥1，则x＝(t－1)2(t≥1). 代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. ∴f(x)＝x2－1(x≥1). 方法二(配凑法)：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1， ∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1). (2)用－x换x得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，与原式2f(x)－f(－x)＝3x＋1联立消去f(－x)得f(x)＝x＋1. (3)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y＝(－y)2＋(－y)＋1，所以f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1. 10．画出二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小； (2)求函数f(x)的值域． 解：f(x)＝－(x－1)2＋4的图象如图所示： (1)f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0. 所以f(1)>f(0)>f(3). (2)由图象可知二次函数f(x)的最大值为f(1)＝4， 则函数f(x)的值域为(－∞，4]. 【综合运用】 11．函数y＝的大致图象是(　　) 解析：选A.y＝的定义域为{x|x≠－1}，排除C、D；当x＝0时，y＝0，排除B. 12．(2025·广西北海期末)若函数f(x＋)＝x2＋，且f(m)＝4，则实数m的值为(　　) A． B．或－ C．－ D．3 解析：选B.令x＋＝t(t≥2或t≤－2)，x2＋＝(x＋)2－2＝t2－2，∴f(t)＝t2－2，f(m)＝m2－2＝4，∴m＝±. 13．设函数f(x)＝(a，b为非零常数)满足： (1)f(2)＝1；(2)f(x)＝x有唯一解，求函数y＝f(x)的解析式和f(f(－3))的值及f(x)的值域． 解：因为f(2)＝＝1. ∴2a＋b＝2，① 又因为f(x)＝x有唯一解， 即＝x有唯一解， 所以ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根， 则Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1.② 代入①式，得a＝. 所以f(x)＝＝. 所以f(－3)＝＝6. 因此f[f(－3)]＝f(6)＝＝. 又f(x)＝＝＝2－，由≠0，知f(x)≠2. 故函数f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠2}． 【创新探索】 14．为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据《中华人民共和国村民委员会组织法》，某乡镇准备在各村推选村民代表．规定各村每15户推选1人，当全村户数除以15所得的余数大于10时再增加1人．那么，各村可推选的人数y与该村户数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　) A．y＝[] B．y＝[] C．y＝[] D．y＝[] 解：选B.根据规定15户推选一名代表，当全村户数除以15的余数大于10时再增加一名代表，即余数分别为11，12，13，14时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加4， 因此利用取整函数可表示为y＝[]. 15．已知二次函数f(x)满足：f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝3. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若g()＝f(x)(x≥－1)，求函数g(x)的解析式． 解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 因为f(0)＝3，所以c＝3， 因为f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝ax2＋2ax＋a＋bx＋b＋c， 所以f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b＝2x， 即解得 所以f(x)＝x2－x＋3. (2)依题意可得g()＝x2－x＋3(x≥－1)， 令t＝，则t≥0， 所以x＝t2－1， 所以g(t)＝(t2－1)2－(t2－1)＋3＝t4－3t2＋5， 所以g(x)＝x4－3x2＋5，x∈[0，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $