课后分层练(二) 集合间的基本关系-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(二)]　集合间的基本关系 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则(　　 ) A．A＝B B．A∩B＝∅ C．AB D．BA 解析：选D.∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴A≠B，A∩B＝{2，3}≠∅.又1∈A且1∉B，∴A不是B的子集． 2．已知集合 B＝{2，3，4，5}，C＝{－2，－1，4，5}，非空集合 A 满足A⊆B，A⊆C，则符合条件的集合 A 的个数为(　　 ) A．3 B．4 C．7 D．8 解析：选A.由题意知集合B＝{2，3，4，5}，C＝{－2，－1，4，5}，因为非空集合A满足A⊆B，A⊆C，所以集合A 可以为{4}或{5}或{4，5}，所以符合条件的集合A的个数为3. 3．已知集合M＝{y|y＝，x∈Z}，N＝{y|y＝x－1，x∈Z}，则集合M，N的关系是(　　 ) A．M＝N B．M⊆N C．M⊇N D．M∩N＝∅ 解析：选A.因为集合M＝{y|y＝，x∈Z}，集合N＝{y|y＝x－1，x∈Z}＝{y|y＝＝，x∈Z}，所以M＝N. 4．(2025·广东广州模拟)满足{x|x2＋2x－3＝0}⊆A{－3，－1，0，1，3}的集合A的个数为(　　 ) A．3 B．7 C．8 D．15 解析：选B.由x2＋2x－3＝0，整理可得(x＋3)＝0，解得x＝－3或x＝1，则⊆A{－3，－1，0，1，3}，设B＝，所以∁AB，可得23－1＝7. 5．设集合M＝{5，x2}，N＝{5x，5}．若M＝N，则实数x的值组成的集合为(　　 ) A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1} 解析：选C.由M＝N及集合M，N中的元素得x2＝5x，解得x＝0或x＝5.经检验，x＝0和x＝5时均能满足集合中元素的互异性，所以x＝0或x＝5.因此实数x的值组成的集合为{0，5}． 6．(多选)(学科融合)图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，则(　　 ) A．A为小说 B．B为文学作品 C．C为散文 D．D为叙事散文 解析：选AB. 由Venn图，得AB，CDB，A与D之间无包含关系，A与C之间无包含关系，由“文学作品“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得 A 为“小说”，B 为“文学作品”，C为“叙事散文”，D为“散文”． 7．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|＝1}，则A，B的关系是________． 解析：因为B＝{(x，y)|＝1}＝{(x，y)|y＝x，且y≠0}，所以BA. 答案：BA 8．若由a，，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合相等，则a2 025＋b2 025的值为________． 解析：由已知可得a≠0， 因为两集合相等，所以或 所以或 经检验，a＝－1，b＝0满足条件， 所以a2 025＋b2 025＝－1. 答案：－1 9．(人教A必修一P8练习T1改编)集合{a，b，c}的所有子集有________，它的真子集有________________． 答案：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}　∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c} 10．判断下列集合间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{x∈N|x2＝1}； (2)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}； (3)A＝{x|x－3>2}，B＝{x|2x－5≥0}； (4)A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}． 解：(1)用列举法表示集合B＝{1}，故BA. (2)因为Q中n∈Z，所以n－1∈Z，Q与P都表示偶数集，所以P＝Q. (3)因为A＝{x|x－3>2}＝{x|x>5}， B＝{x|2x－5≥0}＝{x|x≥}， 所以利用数轴判断A，B的关系． 如图所示，AB. (4)因为A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，所以A＝B. 【综合运用】 11．(人教A 必修一 P9习题1.2T5(2)改编)若集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x>a}，满足A⊆B，则实数a的取值范围是(　　 ) A．{a|a≥2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≤2} 解析：选B.在数轴上表示出集合A，B(图略)，因为A⊆B，所以a≤1. 12．(多选)集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则a的取值可以是(　　 ) A．1 B． C．－1 D．－ 解析：选AD.由集合有两个子集可知，该集合是单元素集，当a＝1时，满足题意．当a≠1时，由Δ＝9＋8(a－1)＝0，可得a＝－. 13．(2025·天津模拟)已知集合A＝{x|ax2＋6x＋3＝0}，B＝. (1)若A⊆∅，求实数a的取值集合； (2)若A的子集有两个，求实数a的取值集合； (3)若1∈A且B⊆A，求实数b的取值集合． 解：(1)因为A⊆∅，所以A＝∅， 当a＝0时，则A＝，与题意矛盾， 当a≠0时，则Δ＝36－12a<0，解得a>3， 综上所述，实数a的取值集合为. (2)因为A的子集有两个，所以集合A中只有一个元素， 当a＝0时，则A＝，符合题意， 当a≠0时，则Δ＝36－12a＝0，解得a＝3， 综上所述，实数a的取值集合为. (3)因为1∈A， 所以a＋6＋3＝0，解得a＝－9， 所以A＝{x|－9x2＋6x＋3＝0}＝{－，1}， 当b＝0时，B＝∅⊆A， 当b≠0时，B＝， 因为B⊆A，所以－＝－或－＝1，解得b＝3或b＝－1， 综上所述，实数b的取值集合为. 【创新探索】 14．已知集合A＝{x|－1≤x≤a，a>－1且a∈R}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}．是否存在实数a，使得C⊆B？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：假设存在这样的实数a. 对于集合B，因为y＝2x－1，且x∈A，即－1≤x≤a， 所以－3≤y≤2a－1. 对于集合C，因为z＝x2，且x∈A， 所以当－1<a≤0时，a2≤z≤1；当0<a≤1时，0≤z≤1；当a>1时，0≤z≤a2. 当－1<a≤0时，要使C⊆B，则2a－1≥1，即a≥1，矛盾． 当0<a≤1时，要使C⊆B，则有2a－1≥1，即a＝1. 当a>1时，要使C⊆B，则有a2≤2a－1，即(a－1)2≤0，无解． 综上所述，存在a＝1，使得C⊆B. 学科网（北京）股份有限公司 $