精品解析：云南省昭通市镇雄县罗坎中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

镇雄县罗坎高中2025年秋期高一年级数学期中考试题 一、单选题（40分） 1. 已知集合，则0与集合A的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系即可求解. 【详解】因为集合，故，故A正确，B错误； 又因为元素与集合是属于关系，故C，D错误. 故选：A. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题完成. 【详解】命题“”的否定是“”． 故选：D. 3. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质求解即可. 【详解】由，得，又，得， 所以的取值范围是 故选：C. 4. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将所求式变形后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，则可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值是 故选：B. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】明确分段函数的解析式，结合函数的单调性和特殊点的函数值，利用排除法排除错误选项即可. 【详解】由函数， 当时，根据函数与函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，故排除BC； 当时，  ，故排除A，则D正确. 故选：D 6. 某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2（利润与投资量单位：万元）；该公司已有20万元资金，并全部投入A，B两种产品中，则公司获得的最大利润为（ ） A. 万元 B. 万元 C. 6万元 D. 5万元 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件，求出两种产品的利润与的关系，再利用配方法求总利润的最大值. 【详解】依题意可设，， 由图1，代入，得，  由图2，代入，得，， 故， ; 设B产品投入x万元，则A产品投入万元，设企业利润为y万元， 可得， ， 当，即时， . 因此当A产品投入16万元，B产品投入4万元时，该企业获得最大利润为万元． 故选：B 7. 已知函数是定义在R上的奇函数，且为偶函数.若,则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，即可求得函数的周期，利用函数的周期性，即可求得函数值． 【详解】解：是偶函数，是奇函数, . . . 的周期为4. 是R上的奇函数, . 故选：A. 8. 已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题化为在上的值域是在上的值域的子集，讨论去绝对值求在上的值域，讨论、、结合一次函数性质求在值域，即可确定参数范围. 【详解】要使对任意的，总存在，使得成立， 即在上值域是在上值域的子集， 当时，， 函数在上单调递减，取值范围为， 当时，，取值集合为， 当时，， 函数在上单调递增，取值范围为， 所以在的值域， 对于函数，，， 若，函数的值域为，不合题意， 当时，函数在上单调递增，值域为； 因为，所以，解得， 当时，函数在上单调递减，值域为， 因为，所以，解得， 综上，实数m的取值范围是，  故选：B. 二、多选题（18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A举反例即可判断；对B利用作差法即可判断；对CD根据不等式性质即可判断. 【详解】对于A，当，时，，故A错误; 对于B，因为，所以，， 则，所以，故B正确; 对于C，因为，则，，所以，故C正确; 对于D，由，故，同除以ab得，故D正确. 故选：BCD 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的充要条件 C. 命题“若，则x，y中至少有一个大于2”为真命题 D. 集合中的元素个数为8 【答案】CD 【解析】 【分析】根据充要条件推理易判断AB；利用反证法思想可推断C正确；通过列举法计算表示集合即可判断D. 【详解】对于A，当，时，满足，但，必要性不成立，故A错误； 对于B，的解集为，因是的真子集， 则“”是“”的充分不必要条件，故B错误； 对于C，假设x，y都不大于2，则，这与题设矛盾，所以要满足， x，y中至少有1个大于2，故C正确； 对于D，因为，，则8的因数有，，，， 所以当时，，；当时，，； 当时，，；当时，，； 当时，，；当时，，； 当时，，；当时，，. 所以，共有8个元素，故D正确. 故选：CD. 11. 定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论中正确的有（ ） A. B. 是增函数 C. 是奇函数 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】令，可得，令，可得与的关系，判断函数的奇偶性，可判断C的真假；再利用函数单调性的定义，判断函数在上的单调性；再利用赋值法，结合函数的奇偶性和单调性，可判断AD的真假. 【详解】令得， 令，可得，，得是奇函数，C正确； 设  ，， 因为  ， ，，所以， 所以，故是增函数，B正确; 由，A正确; 由，D错误. 故选：ABC 三、单空题（18分） 12. 函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性列不等式，由此求得的范围. 【详解】函数的开口向上，对称轴为， 由于在上具有单调性， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 13. 二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图象的特征求得，再代入化简整理并解不等式即可. 【详解】解：由二次函数图象可知， 二次函数的图象与轴的交点为和，开口向下，与轴的交点为， 所以，，解得， 所以化简整理得：，解得或， 所以不等式的解集为 故答案为： 14. 用表示非空集合A中的元素的个数，定义，若，，若，则a的所有可能取值构成集合M，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】由新定义可知，或，根据集合的元素个数，讨论方程解的情况，即可求解． 【详解】因为， 又方程有两个不同的实数根，所以， 若，则或. 当时，方程只有实数根0， 所以且，得； 当时，方程有3个实数根， 时，方程有2个不等的实数根，分别为和， 0不是方程的实数根， 若是方程的实数根，则， 若，的实数根分别为0，和， 即，满足条件， 若，的实数根分别为0，和， 即，满足条件， 若不是方程的实数根， 所以方程有2个相等的实数根，即，得， 当时，，满足条件， 当时，，满足条件， 所以， 故答案为：5 四、解答题（60分） 15. 求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂的运算法则求值. （2）根据对数的运算法则求值. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式 . 16. 已知集合，集合 （1）若，求和. （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1），或 （2）. 【解析】 【分析】（1）直接解出集合，再根据集合交并补即可得到答案； （2）根据交集结果得，分和讨论即可. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以，所以 ①若，则， ， 因为或，所以或 【小问2详解】 若，则， ①当时，，解得， ②当时，，解得， 综上，实数a的取值范围为. 17. 已知函数，． （1）判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论； （2）判断函数的奇偶性，并求解关于a的不等式． 【答案】（1）函数在上单调递增，证明：任取，且， 则， 因为，且， 所以，，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增； （2）函数为奇函数；不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）任取，且，通过计算的正负来确定单调性； （2）通过判断的关系得奇偶性；再由奇偶性和单调性解关于a的不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，定义域关于原点对称， ，所以函数为奇函数， 由可得， 所以，解得：. 故不等式的解集为. 18. 已知，， （1）若，求的最大值; （2）若，求的最小值; （3）若，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）平方应用基本不等式计算求解； （2）先化简，再应用已知应用基本不等式计算求解； （3）先化简，再应用已知换元，再应用基本不等式计算求解； 【小问1详解】 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为； 【小问2详解】 ，，，又， ， 当且仅当时取等号，结合，解得，或，等号成立. 所以的最小值是4； 【小问3详解】 ， ， ， 的最大值为 当且仅当取等号, 所以的最大值为. 19. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点. （1）求函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点、，求的取值范围； （3）若函数有两个不相等的不动点、，且，设，判断并证明与的大小关系. 【答案】（1） 和 （2） （3），证明如下： 依题意，有两个不相等的实数根、， 所以，， ， 其中，而， 故，所以当时， 【解析】 【分析】（1）根据所给定义得到方程，解得即可； （2）依题意可得有两个不相等的实数根、，根据求出的范围，再由韦达定理得到，换元，结合二次函数的性质计算可得； （3）依题意有两个不相等的实数根、，列出韦达定理，即可作差得到，即可判断. 【小问1详解】 由题意知，即，则， 解得，， 所以不动点为和 【小问2详解】 依题意，有两个不相等的实数根、， 即方程有两个不相等的实数根、， 所以，解得或， 且，， 所以 ， 因为令，则或， 函数，对称轴为， 当时，y随的增大而减小，若，则； 当时，y随的增大而增大，若，则， 故，所以的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇雄县罗坎高中2025年秋期高一年级数学期中考试题 一、单选题（40分） 1. 已知集合，则0与集合A的关系为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2（利润与投资量单位：万元）；该公司已有20万元资金，并全部投入A，B两种产品中，则公司获得的最大利润为（ ） A. 万元 B. 万元 C. 6万元 D. 5万元 7. 已知函数是定义在R上的奇函数，且为偶函数.若,则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 0 8. 已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的充要条件 C. 命题“若，则x，y中至少有一个大于2”为真命题 D. 集合中的元素个数为8 11. 定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论中正确的有（ ） A. B. 是增函数 C. 是奇函数 D. 三、单空题（18分） 12. 函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是______． 13. 二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______． 14. 用表示非空集合A中的元素的个数，定义，若，，若，则a的所有可能取值构成集合M，则__________. 四、解答题（60分） 15. 求下列各式的值： （1）； （2）． 16. 已知集合，集合 （1）若，求和. （2）若，求实数a的取值范围. 17. 已知函数，． （1）判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论； （2）判断函数的奇偶性，并求解关于a的不等式． 18. 已知，， （1）若，求的最大值; （2）若，求的最小值; （3）若，求的最大值. 19. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点. （1）求函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点、，求的取值范围； （3）若函数有两个不相等的不动点、，且，设，判断并证明与的大小关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $