精品解析：河南省信阳市部分学校2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷

2025—2026学年度上学期期中学业质量监测 九年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若方程是一元二次方程，则m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 小轩参加学校的交响乐社团活动，在社团交流角看到如下四个音乐符号，其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象与y轴的交点情况为（ ） A. 交于y轴正半轴 B. 交于原点处 C. 交于y轴负半轴 D. 无法确定 4. 如图，四边形内接于，为直径．若，则下列各角中最大的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 6. 如图，是的直径，．若，则的度数为（ ） A. 140° B. 70° C. 65° D. 55° 7. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得新抛物线的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则（ ） A. B. 2024 C. D. 2026 9. 如图，在中，，D为的中点，连接，E是线段上的一点，连接．在平面内将线段绕点E逆时针旋转70°，得到线段，连接，则的度数为（ ） A. 50° B. 40° C. 35° D. 30° 10. 已知点在二次函数的图象上，若方程的一个根为，另一个根为负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 抛物线如图所示．若a的值为整数，则a的值为________． 12. 如图，等腰直角与等腰直角关于点B中心对称，P为的中点，Q为点P的对称点．若，则P，Q两点间的距离为________． 13. 如图，在直角坐标系中，以原点O为旋转中心，将线段顺时针旋转得到线段，点A的对应点为．若点A的坐标为，则点的坐标为__________． 14. 如图，这是二次函数在之间的图象，则函数值的最大值与最小值的差为______． 15. 如图，为的弦，过点B作，交于点C，点D在上，过点D作，垂足为E．若，P为弦上的一动点，当时，的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 已知一元二次方程． （1）求该方程的根． （2）若该方程较小的根为一元二次方程的一个根，求m的值． 17. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）若和关于点中心对称，则点的坐标为________． （2）作关于点的中心对称图形． （3）在（2）的条件下，若为边上的一点，为点的对称点，直接写出点的坐标． 18. 抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）求的长． 19. 如图，的顶点都在上，D是上的一点，为的直径． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的中点E．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，交于点F．若，求的度数． 20. “尊老敬长”是刻在我们骨子里的传统，某地文旅商店在售卖一款冰箱贴时，对60岁以上老人购买冰箱贴给予每个两元的优惠，对其他人则按原价销售．某旅行团在此商店每人购买了一个冰箱贴，共花费了90元，售货员发现该旅行团人数和每个冰箱贴的原价恰好相同，该旅行团中有5名60岁以下成员，其余成员均在60岁以上． （1）求冰箱贴的原价． （2）一段时间后新品上市，这批冰箱贴需清仓处理，商店经历两次降价，降价百分率相同，降价后，60岁以上老人购买冰箱贴仍给予每个降价两元的优惠．若一名60岁以上老人购买一个冰箱贴付款6.1元，求降价的百分率． 21. 某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为点O，在通车前技术人员要做安全检查，以及安装人员还需安装照明灯，负责人小李记录如下工作表格： 记录简介 通车前工程记录 工程记录1 工程安全检查方式：如图1，技术人员在点O处将手电光束（）绕点O旋转一定角度后停止（旋转至处停止），旋转过程中光线边沿的夹角不变（即的大小不变），检查过程中未发现安全问题． 工程记录2 安装照明灯数据记录：如图2，隧道口的水平宽为，离地面的高度，连接，拱顶最高处C离地面的高度为，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度均为． 补充记录 …… 根据表格内容，完成下列问题． （1）如图1，若，则________． （2）如图2，求的长． （3）直接写出的长． 22. 如图，直线与抛物线交于，两点，为的中点，直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线交于，两点． （1）求抛物线与轴的交点之间的距离． （2）若，求点的横坐标． （3）若，，，直接写出的值． 23. 如图，的顶点都在上，为的直径，点M在上，点N在上，为等边三角形，延长，交于点P，连接． （1）求的度数． （2）当时，求证：． （3）在（2）的条件下，若，Q为的高上的一点，且，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期期中学业质量监测 九年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若方程是一元二次方程，则m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的最高次项次数必须为2，因此令方程中最高次项指数等于2，求解m即可． 【详解】解：方程  是一元二次方程， ∴ 最高次项  的指数为2， 即 ， ∴ ， 故选：B． 2. 小轩参加学校的交响乐社团活动，在社团交流角看到如下四个音乐符号，其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意； D、图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意， 故选：C． 3. 二次函数的图象与y轴的交点情况为（ ） A. 交于y轴正半轴 B. 交于原点处 C. 交于y轴负半轴 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与y轴交点．令，计算y值，根据y值的正负判断交点位置即可． 【详解】解：当时，， ∴二次函数的图象交于y轴正半轴． 故选：A 4. 如图，四边形内接于，为直径．若，则下列各角中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质．先根据为直径，得出，再根据圆内接四边形的性质和，得出，从而得出答案． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴在、、、中最大的角是． 故选：C． 5. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．通过计算一元二次方程根的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：方程 中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 6. 如图，是的直径，．若，则的度数为（ ） A. 140° B. 70° C. 65° D. 55° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等的性质是解答本题的关键．由在同圆中等弧所对的圆心角相等得从而求得答案． 【详解】解：是的直径，， ， ， 故选：B． 7. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得新抛物线的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线的平移变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规则是解题关键． 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，依次应用平移规则即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得新抛物线的函数解析式是，即． 故选：D 8. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则（ ） A. B. 2024 C. D. 2026 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 直接利用两根之和与两根之积计算代数式的值即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选A． 9. 如图，在中，，D为的中点，连接，E是线段上的一点，连接．在平面内将线段绕点E逆时针旋转70°，得到线段，连接，则的度数为（ ） A. 50° B. 40° C. 35° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一的性质，旋转的性质，三角形外角的性质， 连接，并延长至G，根据等腰三角形的性质和旋转的性质可得，即可得，再根据三角形外角的性质得，接下来根据可得答案． 【详解】解：如图所示，连接，并延长至G， ∵为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴． 根据旋转的性质，得， ∴， ∴． ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴， 则． 故选：C． 10. 已知点在二次函数的图象上，若方程的一个根为，另一个根为负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与点的坐标的关系，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是通过确定二次函数的大概图象． 利用方程的一个根为，另一个根为负数，可得二次函数的对称轴位于直线的左侧，再利用，可得二次函数图象开口向下，对比和即可得到的取值范围． 【详解】解：方程的一个根为，另一个根为负数， 的对称轴位于直线的左侧， 在二次函数的图象上， 二次函数图象开口向下， 则时，随的增大而减小， 当时，， 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 抛物线如图所示．若a的值为整数，则a的值为________． 【答案】2或3或4 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象．根据二次函数的图象解答即可． 【详解】解：观察图象得：， ∵a的值为整数， ∴a的值为2，3，4． 故答案为：2或3或4 12. 如图，等腰直角与等腰直角关于点B中心对称，P为的中点，Q为点P的对称点．若，则P，Q两点间的距离为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了中心对称、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，根据对称性可知一定过点，由及等腰直角三角形的性质解题即可． 【详解】解：由题意知，点和点关于点对称，连接，则一定过点， 且， ∵和是等腰直角三角形，为的中点， ∴， 由对称性知， ∴． 故答案为：4 ． 13. 如图，在直角坐标系中，以原点O为旋转中心，将线段顺时针旋转得到线段，点A的对应点为．若点A的坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 过点A作轴于点B，过点作轴于点C，由旋转得，，，可得，则，．由已知条件可得，，则，，可得点的坐标． 【详解】解：过点A作轴于点B，过点作轴于点C， ∴， ∴． 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵点A的坐标为， ∴，， ∴，， ∵点在第四象限内， ∴点的坐标为． 故答案为：． 14. 如图，这是二次函数在之间的图象，则函数值的最大值与最小值的差为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由解析式可得二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，图象上的点离对称轴的距离越远函数值越大，据此求出函数值的最大值与最小值即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，图象上的点离对称轴的距离越远函数值越大， ∵， ∴当，函数值取最小值为；当时，函数值取最大值为， ∴函数值的最大值与最小值的差为， 故答案为：． 15. 如图，为的弦，过点B作，交于点C，点D在上，过点D作，垂足为E．若，P为弦上的一动点，当时，的长为________． 【答案】2或6 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理、矩形判定与性质及勾股定理，连接，过点O作于点F，作于点G，延长，与的延长线交于点H，则，得出四边形为矩形，设，则，根据列方程求出，再分两种情况：当点P在点F左侧时或当点P在点F右侧时，分别求出结论即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点F，作于点G，延长，与的延长线交于点H，则． ∴四边形为矩形， ， ， ∴， ∵． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． 设，则， ∴． 在和中，， ∴，即， ∴， ∴． 分两种情况： 当点P在点F左侧时，则点P与点E重合， ∴． ∴， ∴； 同理，当点P在点F右侧时，， ∴． 综上所述，的长为2或6． 故答案为：2或6． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 已知一元二次方程． （1）求该方程的根． （2）若该方程较小的根为一元二次方程的一个根，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程的解，求参数的值，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）因式分解法解方程即可； （2）将（1）中的较小的根代入方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 解得； 【小问2详解】 由（1）可知，是一元二次方程的一个根， ∴， 解得． 17. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）若和关于点中心对称，则点的坐标为________． （2）作关于点的中心对称图形． （3）在（2）的条件下，若为边上的一点，为点的对称点，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） 如图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，画图形的中心对称图形，两个图形成中心对称确定对称中心坐标，求关于原点对称的点的坐标等知识点； 根据对应点连线的交点即为对称中心坐标可求； 分别找到各点的对应点，顺次连接即为所求图形； 根据关于中心对称的两点坐标互为相反数可求的坐标． 【小问1详解】 解：分别连接、两点和、两点相交于点,观察图形可知坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知和关于点O中心对称， 为点的对称点， 因为对称点坐标互为相反数， 所以． 18. 抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和平面直角坐标系中两点间距离的计算，代入已知点求函数系数、利用勾股定理计算线段长度是解题的关键． （1）将已知点其代入抛物线解析式，解方程求出未知系数，即可确定解析式； （2）先通过求出点坐标，再通过解一元二次方程求出点坐标，最后利用勾股定理（是直角三角形）即可计算的长度． 【小问1详解】 解：将点代入， 得，解得， ∴抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 将代入，得， ∴点， ∴， 令，得，解得，， ∴点， ∴， ∴． 19. 如图，的顶点都在上，D是上的一点，为的直径． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的中点E．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，交于点F．若，求的度数． 【答案】（1） 如图，点E即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-作线段的垂直平分线、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）作出的中垂线即可； （2）根据圆周角定理计算即可． 【小问1详解】 解：作法：分别以点、点为圆心，大于的长度为半径画弧交于点，连接，交于点； 【小问2详解】 解：如图2，∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 20. “尊老敬长”是刻在我们骨子里的传统，某地文旅商店在售卖一款冰箱贴时，对60岁以上老人购买冰箱贴给予每个两元的优惠，对其他人则按原价销售．某旅行团在此商店每人购买了一个冰箱贴，共花费了90元，售货员发现该旅行团人数和每个冰箱贴的原价恰好相同，该旅行团中有5名60岁以下成员，其余成员均在60岁以上． （1）求冰箱贴的原价． （2）一段时间后新品上市，这批冰箱贴需清仓处理，商店经历两次降价，降价百分率相同，降价后，60岁以上老人购买冰箱贴仍给予每个降价两元的优惠．若一名60岁以上老人购买一个冰箱贴付款6.1元，求降价的百分率． 【答案】（1）冰箱贴的原价为10元 （2）降价的百分率为10% 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）设冰箱贴的原价为x元，根据题意列出方程，解出方程并舍去不符合题意的解即可； （2）设降价的百分率为m，根据题意列出方程，解出方程并舍去不符合题意的解即可． 【小问1详解】 解：设冰箱贴的原价为x元， 由题意，得，整理，得， 解得（舍去）， 答：冰箱贴的原价为10元． 【小问2详解】 解：设降价的百分率为m， 由题意，得，整理，得， 解得（舍去）， 答：降价的百分率为10%． 21. 某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为点O，在通车前技术人员要做安全检查，以及安装人员还需安装照明灯，负责人小李记录如下工作表格： 记录简介 通车前工程记录 工程记录1 工程安全检查方式：如图1，技术人员在点O处将手电光束（）绕点O旋转一定角度后停止（旋转至处停止），旋转过程中光线边沿的夹角不变（即的大小不变），检查过程中未发现安全问题． 工程记录2 安装照明灯数据记录：如图2，隧道口的水平宽为，离地面的高度，连接，拱顶最高处C离地面的高度为，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度均为． 补充记录 …… 根据表格内容，完成下列问题． （1）如图1，若，则________． （2）如图2，求的长． （3）直接写出的长． 【答案】（1） （2）的长是 （3）的长为 【解析】 【分析】本题考查了根据旋转的性质求解，利用垂径定理求值，用勾股定理解三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据旋转的性质直接得出； （2）先用表示出，再根据垂径定理、利用勾股定理得到关于的方程求解； （3）先求得，再根据垂径定理、利用勾股定理求得，从而可求得． 【小问1详解】 解：∵如图1，技术人员在点O处将手电光束（）绕点O旋转一定角度后停止（旋转至处停止），旋转过程中光线边沿的夹角不变（即的大小不变），， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图， 设， ∵拱顶最高处C离地面的高度为， ∴， ∵离地面的高度， ∴， ∴， ∵隧道口的水平宽为， ∴， 又， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：连接， ∵且M，N离地面的高度均为， ∴， ∴， 又， ∴， ∴(负值舍去)， ∴． 22. 如图，直线与抛物线交于，两点，为的中点，直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线交于，两点． （1）求抛物线与轴的交点之间的距离． （2）若，求点的横坐标． （3）若，，，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质，二次函数图象与轴的交点问题，二次函数与一次函数的结合，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）令，构建方程求解即可得解． （2）设，，根据中点的性质表示出点的坐标，联立抛物线和直线的解析式，由根与系数的关系可得的值，从而得解． （3）将、、分别代入对应的解析式中，联立解析式解方程分别求得点、、、的坐标，进而表示出、的长，从而得解． 【小问1详解】 解：对于抛物线， 令，即， 方程两边同时除以得，， 即，解得，， 抛物线与轴的交点之间的距离为． 【小问2详解】 解：若，则抛物线， 设，， 为的中点， ， 联立，得， 整理得， 由根与系数的关系可得，， 点的横坐标为． 【小问3详解】 解：若，， 联立，得， 整理得，即， 解得或， ，， ， 联立，得， 整理得，即， 解得或， ，， ， ． 23. 如图，的顶点都在上，为的直径，点M在上，点N在上，为等边三角形，延长，交于点P，连接． （1）求的度数． （2）当时，求证：． （3）在（2）的条件下，若，Q为的高上的一点，且，直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过点A作于点G， 设，由为等边三角形， 根据勾股定理，得． 在中，， ∴ ∵， ∴ ∴， 在中，， ∴． ∵为等边三角形。 ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角， 对于（1），根据等边三角形的性质得，再根据直径所对的圆周角是直角得即可得然后根据三角形外角的性质可得答案；对于（2），先作，设，由等边三角形的性质和勾股定理得，再结合已知条件可得，进而求出然后根据等腰三角形的性质得即可求出，接下来根据直角三角形的性质得出，再结合等边三角形的性质说明，即可得出，则答案可证； 对于（3），先根据勾股定理，等边三角形的性质说明“在上存在点Q，在上存在点Q”，再分两种情况：当点Q在上时，先求出，再根据得出答案；当点Q在上时，过点O作，交于点K，可求出，，再根据得出答案． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴． ∵是的直径， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：或． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴，根据勾股定理得． 连接， 则， ∴是等边三角形，且， ∴． ∵， ∴在上存在点Q，在上存在点Q． 当点Q在上时， 在中，， ∴， ∴； 当点Q在上时，过点O作，交于点K， 在中，， ∴根据勾股定理，得． 在中，， ∴， ∴． 所以或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $