锐角三角函数的应用、圆与三角函数、二次函数与三角函数专项训练-2025-2026学年 人教版九年级数学下册

锐角三角函数的应用、圆与三角函数、二次函数与三角函数专项训练 锐角三角函数的应用、圆与三角函数、二次函数与三角函数专项训练 考点目录 锐角三角函数的应用 圆与三角函数 二次函数与三角函数 考点一 锐角三角函数的应用 例1．（2024·浙江绍兴·二模）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为为支杆，它可绕点B旋转，其中长为为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：） (1)如图2，当B、C、D三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点D距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，如图3所示，且点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 例2．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图（侧面结构图），某单位办公楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，，，斜坡长，斜坡的坡比为． (1)为了减缓坡面，防止山体滑坡，该单位决定对该斜坡进行改造，经勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡，如果改造时保持坡脚不动，则坡顶沿至少向前移至点时，才能确保山体不滑坡，求的长度．（参考数据：，，） (2)综合与实践： 【实践课题】通过测量相关角度，计算办公楼的高度． 【实践工具】测角仪等测量工具． 【实践活动】在办公楼顶端处安置一台测角仪，测得此时对的仰角，对的俯角． 【问题解决】借助已知中的数据计算求出办公楼的高度．（精确到） （参考数据：） 例3．（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图，综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H，经测量，点A距地面，到树的距离．求树的高度． 例4．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点的仰角为，且点与建筑物的水平距离为米． (1)求建筑物的高度； (2)驾驶员从点看地面的斑马线两端，的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算． 求出斑马线的宽度． 求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数． （参考数据：取，取，取）． 变式1．（2025·浙江·一模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离（结果保留根号）； (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确到，，）． 变式2．（2025·天津·一模）为了解学校附近一斜坡旁边一棵直立大树的高度，该校数学兴趣小组进行实地测量．如图，在斜坡顶部点C处测得大树顶端A的仰角为，大树底端B的俯角为，从点C出发沿远离大树的水平方向走4米到达点D处，测得大树顶端A的仰角为，点A，B，C，D在同一平面，延长交于点E． (1)求线段的长度．（结果保留整数） (2)计算大树的高度．（结果保留整数）（参考数据：，） 变式3．（2025· 河南郑州·一模）综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学的知识测量矩形广告牌的高度．如图，在地面A处测得广告牌顶端顶点C的仰角为，走向广告牌到达B处，在B处测得广告牌低端顶点D的仰角为，已知，立柱垂直于，且点A，B，H在同一条水平直线上．（矩形广告牌与立柱垂直）过点D作，垂足为E．设（单位：m）． (1)用含有h和的式子表示线段的长； (2)求广告牌低端顶点D到地面的距离的长．（取2.25，结果取整数） 变式4．（2025·江苏泰州·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量小山上方某信号塔的高度（如图①）．某小组设计了一个方案：如图②，点E，C，D依次在一条水平线上，，，垂足为点C．在D处测得信号塔顶端A的仰角（）为，在E处测得信号塔顶端A的仰角（）为，测得信号塔底端B的仰角（）为．参考数据：取，取0.60． (1)求线段的长； (2)求信号塔的高度（结果取整数）． 考点二 圆与三角函数 例1．（25-26九年级上·北京·月考）如图，在三角形中，点E为边上一点，以为直径的与直线相切于点D，点D在线段上，连接，若． (1)求证：； (2)若，，求的长． 例2．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，中，为直径，，为，的平分线交于， (1)试判断的形状，并给出证明； (2)求、的长． 例3．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为4，，求的长． 例4．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，是的弦，点C为半径的中点，过点C作交弦于点E，连接，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的直径． 变式1．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 变式2．（24-25九年级下·福建福州·期中）如图，已知四边形ABCD中，，BC的延长线与AD的延长线交于点E． (1)若，求BC的长_______． (2)若，求AD的长． 变式3．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图，是的直径，是弦，于F，交于点E，． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 变式4．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 考点三 二次函数与三角函数 例1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，其顶点为D．E是y轴正半轴上一点，直线交抛物线L的对称轴于点P，已知，连接，，交抛物线L的对称轴于点F． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，，当和面积相等时，求a的值； 例2．（2025·广东·模拟预测）如图①，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B、C，将直线绕点A逆时针旋转，所得直线与x 轴交于点D． (1)求直线的函数解析式； (2)如图②，若点P是直线上方抛物线上的一个动点， ①当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标和最大距离； ②当点P到直线的距离为时，求的值． 例3．（2025·四川广安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点，，，抛物线过点，． (1)直接写出点的坐标，并求出抛物线所对应的函数解析式． (2)点从点出发，沿线段向终点运动，同时点从点出发，沿线段向终点运动．点，的速度均为每秒个单位长度，运动时间为． 如图，过点作交于点，过点作于点，交抛物线于点，点关于抛物线对称轴的对称点为，求当为何值时，的面积为． 如图，连接，过作于点，在点，运动的过程中，是否存在某个，使得？若存在，请直接写出相应的值；若不存在，请说明理由． 例4．（2025·山东枣庄·模拟预测）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为、，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连接、． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求证：当取不为零的任意实数时，的值始终为2； (3)作的垂直平分线交直线于点，以为边、为对角线作菱形，连结．当与此抛物线的对称轴重合时，求菱形的面积． 变式1．（2025·安徽滁州·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线以及直线的函数解析式． (2)若是抛物线的顶点，求点到直线的距离． (3)已知是抛物线上的一动点，是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线与与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为．直线与x，y轴分别相交于点D，E，与直线相交于点F． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)请探究在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 变式3．（24-25九年级下·山西长治·期中）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标及直线的函数表达式． (2)M为直线下方抛物线上一点，其横坐标为m，过点M作于点D，当线段最长时，求点M的坐标． (3)在（2）的条件下，连接．在y轴上是否存在一点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式4．（2024·山西阳泉·三模）如图，抛物线与轴交于点和，交轴于点，点为顶点坐标． (1)求抛物线的函数表达式和点的坐标； (2)点在抛物线第二象限运动（不含A，两点），连接，，当时，求点的横坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $锐角三角函数的应用、圆与三角函数、二次函数与三角函数专项训练 锐角三角函数的应用、圆与三角函数、二次函数与三角函数专项训练 考点目录 锐角三角函数的应用 圆与三角函数 二次函数与三角函数 考点一 锐角三角函数的应用 例1.(2024浙江绍兴·二模)随着时代的发展，手机“直播带货°己经成为当前最为强劲的购物新潮流.某种手机支 架如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为115cm,BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为30cm,CD为悬杆， 滑动悬杆可调节CD的长度.（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） B A A 图1 图2 图3 (I)如图2，当B、C、D三点共线，CD=40cm时，且支杆BC与立杆AB之间的夹角∠ABC为53°，求端点D距离 地面的高度； (2)调节支杆BC,悬杆CD,使得∠ABC=60°，∠BCD=97°，如图3所示，且点D到地面的距离为148cm,求CD的 长.（结果精确到1cm) 【答案】(1)73cm (2)60cm 【详解】(I)解：如图所示，过点D作EF⊥AF,过点B作BE⊥EF于点E,则EF=AB=II5cm, B .CD=40cm,AB=115cm,BC=30cm, BD=BC+CD=30+40=70cm,∠BDE=∠ABC=53°， 在Rt△BDE中，cOs∠BDE=cOs53°=DE BD ∴.DE=BD·c0s53°≈70×0.60=42cm, 锐角三角函数的应用、圆与三角函数、二次函数与三角函数专项训练 DF=EF-DE=115-42=73cm, ∴端点D距离地面的高度为73cm; (2)解：如图所示，过点D作DG⊥AG,过点C作KH⊥DG,交AB,DG于点K,H, -DH A G ∠ABC=60°，BC=30cm, ÷∠BCK=30°，cos∠B=cos60°=BK_1 BC2' ∴BK=)BC=-5x30=15cm, 2 AK=GH=AB-BK=115-15=100cm, ~DG=148cm, DH=DG-GH=148-100=48cm, ∠BCD=97°， ∠DCH=180°-∠BCD-∠BCK=53°， 在Rt△CDH中，sin∠DCH=sin53°=DH CD .CD=DH 48 =60cm. sin53°0.80 例2.(25-26九年级上山东烟台·期中)如图（侧面结构图），某单位办公楼后面紧邻着一个山坡AB,坡上面BC是 一块平地，BC∥AD,BE⊥AD,斜坡AB长26m,斜坡AB的坡比为12：5. B C B F C G A D A E D (1)为了减缓坡面，防止山体滑坡，该单位决定对该斜坡进行改造，经勘测，当坡角不超过50时，可确保山体不滑 坡，如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向前移至F点时，才能确保山体不滑坡，求BF的长度.（参 考数据：sin50°=0.8，cos50°=0.6，tan50°=1.2) 锐角三角函数的应用、圆与三角函数、二次函数与三角函数专项训练 (2)综合与实践： 【实践课题】通过测量相关角度，计算办公楼的高度. 【实践工具】测角仪等测量工具. 【实践活动】在办公楼顶端F处安置一台测角仪，测得此时对B的仰角LBFG=Q,对A的俯角∠AFG=B. 【问题解决】借助己知中的数据计算求出办公楼的高度.（精确到0.1） (参考数据：sina=0.4,cosa=0.9,tana=0.5,sinβ=0.9，cosβ=0.3，tanβ=3) 【答案】(I)BF长度为10m (2)办公楼的高度为16.3m 【详解】(1)解：如图所示，过点F作FH⊥AD与点H, B FC A E H D 由题意得，四边形BEHF为矩形， :BF =EH,BE FH, :斜坡AB的坡比为12：5，BE⊥AD,AB=26m ,BE12 AE=5’ 设BE=12x,则AE=5x, 由勾股定理可得：AE2+BE2=AB2, 即(5x)+12x)=262,解得x=2, ∴.AE=10(m,BE=24m, :FH =BE 24(m), 在RtaFAH中，an∠FAH=FH, AH' ∠FAE=50°， AH FH tan50=20(m), .BF=EH=AH-AE =10(m) ∴.BF长度为10m时，才能确保山体不滑坡. (2)设BG=x,则EG=24-x, 锐角三角函数的应用、圆与三角函数、二次函数与三角函数专项训练 BG 1 .'tana= FG2 :FG=2x, :FG⊥BE,BE⊥HD,FH⊥HD. .∠1=∠2=∠3=90°， :四边形FHBG为矩形. :FG=HE=2x,FH=GE=24-x,FGHB, .∠β=∠4，AH=2x-10, an∠4=FH-3,即24-=3， AH 2x-10 解得：x=54 7.71， 7 经检验x=7.71是分式方程的根， .FH=24-7.71=16.29≈16.3， 故办公楼的高度为16.3m. B C F a G 34 H A E D 例3.(25-26九年级上·河南南阳·期中)如图，综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高 仪ABCD为正方形，AB=20cm,顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D,A与树顶 E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H,经测量，点A距地面1.7m,到树EG的距离AF=10m,BH=15cm.求 树EG的高度. E F - D G 【答案】树EG的高度约为9.2m 【详解】解：由题意可知，∠BAE=∠MAF=∠BAD=90°，FG=1.7m, 锐角三角函数的应用、圆与三角函数、二次函数与三角函数专项训练 则∠EAF+∠BAF=LBAF+∠BAH=90°， .∠EAF=∠BAH, AB 20cm,BH =15cm 则tan∠BAH=BH。3 AB 4' ∴.tan∠EAF= EF AF =tan∠BAH=3 :AF=10m, 则F、3 10=4’ EF=7.5m, .EG=EF+FG=7.5+1.7=9.2m. 答：树EG的高度约为9.2m. 例4.(25-26九年级上·河北石家庄·期中)如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼晴点P到地面距离 PC=2米，看前方一栋建筑物顶部点M的仰角为53°，且点P与建筑物的水平距离为20米 M 建筑物 53 o/ AN地面 (1)求建筑物MN的高度； (2)驾驶员从点P看地面的斑马线两端A,B的俯角分别是20°和76°，若每个人所占斑马线的宽度按0.5米计算. ①求出斑马线的宽度AB. ②求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数. (参考数据：an53取号，am20取036，an76取4 【答案】①)建筑物MN的高度为86米 3 (2)①AB 9!米：②行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数为10人， 1 【详解】(1)解：如图，过P作PD⊥MN于点D, 6 锐角三角函数的应用、圆与三角函数、二次函数与三角函数专项训练 M 建筑物 Fo D CB 地面 ∴四边形PCND是矩形， PC=DN=2米，PD=CN=20米， 在RtoPDM中，∠MPD=53°， 480(米) MD=PDam53°≈20×33 MN=MD+DN=3+2=86 3 (米)， 答建领物wW的高度为曾米： (2)解：①∠PBC=76°， ∴BC=PC21 tan76°42 (米)， .∠PAC=20°， ·AC=PC 250 Ftan200≈0.36=9 (米)， 4B=AC-BC=50.1-91 9218 (米)： ②：4B=91米， 18 5=10时 :91 18 答：行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数为10人. 变式1.(2025浙江一模)如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自 由转动，底座与水平地面垂直.在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上 臂AB=12cm,中臂BC=8cm,底座CD=4cm. A 夕 A D 图① 图② 图③ (1)若上臂AB与水平面平行，LABC=60°，计算点A到地面的距离（结果保留根号）； 6 锐角三角函数的应用、圆与三角函数、二次函数与三角函数专项训练 (2)在一次操作中，中臂与底座成135°夹角，上臂与中臂夹角为105°，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确 到0.1cm,√2≈1.414，√5≈1.732. 【答案】(1)4V3+4cm (2)3.7cm 【详解】(1)解：如图，过点C作CM⊥AB,垂足为M,则∠BMC=90°， ~CD垂直水平地面，臂AB与水平面平行， D,C,M三点共线， MB :∠ABC=60°，BC=8cm, D LBCM=30°， :BM =IBC=4(cm),CM=3BM=43(cm), .DM CM+CD=(43+4cm, 即点A到地面的距离为4V3+4)cm: (2)解：如图，过点B作BG垂直于地面，垂足为G,分别过点A,C作BG的垂线，垂足分别为E,F,则四边 形CFGD是矩形， .FG=CD =4cm B F▣ E C∠BCD=135°，∠ABC=105°， G D 图③ ∠BCF=135°-90°=45°，LCBF=45°，∠ABF=105°-45°=60°， FCF-BC-4(m).4xsinABF12x65(cm)6(em) 2 2 :点A到地面的距离为EG=BF+FG-BE=4V2+4-6=4v2-2cm≈3.7cm. 变式2.(2025·天津·一模)为了解学校附近一斜坡旁边一棵直立大树AB的高度，该校数学兴趣小组进行实地测量.如 图，在斜坡顶部点C处测得大树顶端A的仰角为54.5°，大树底端B的俯角为45°，从点C出发沿远离大树的水平 > 锐角三角函数的应用、圆与三角函数、二次函数与三角函数专项训练 方向走4米到达点D处，测得大树顶端A的仰角为26.7°，点A,B,C,D在同一平面，延长DC交AB于点E. 54.5 26.7 4scmmmm ⊙ (I)求线段AE的长度.（结果保留整数） (2)计算大树AB的高度.（结果保留整数）（参考数据：tan54.5°≈1.4，tan26.7°≈0.5) 【答案】I)线段AE的长度约为3米 (2)大树AB的高度约为5米 【详解】(1)解：根据题意可知DE⊥AB, ∴∠AED=∠BEC=90°， ∠BCE=45°， LB=45°=∠BCE, .BE =CE, 设BE=CE=x米， DE=(4+x)米， 在RtAACE中，AE=CE.tan54.5°≈1.4x(米)， 在Rta4DE中，an∠ADE=an26.7°=4E=14≈0.5， DE 4+x 解得x≈2.2， BE=CE≈2米，AE=1.4x≈3（米）： 答：线段AE的长度约为3米； (2)解：AB=AE+BE≈3+2=5（米）， 答：大树AB的高度约为5米. 变式3.(2025·河南郑州一模)综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学的知识测量矩形广告牌的高度.如 图，在地面A处测得广告牌顶端顶点C的仰角为45°，走向广告牌6m到达B处，在B处测得广告牌低端顶点D的 仰角为66°，已知CD=2m,立柱GH垂直于AB,且点A,B,H在同一条水平直线上.（矩形广告牌与立柱GH垂 直)过点D作DE L AB,垂足为E.设DE=h(单位：m). d 锐角三角函数的应用、圆与三角函数、二次函数与三角函数专项训练 人45°人66° B (I)用含有h和tan66°的式子表示线段BE的长； (2)求广告牌低端顶点D到地面的距离DE的长，(tan66°取2.25，结果取整数) 【答案】()线段E的长为，h n66m (2)DE的长约为7m 【详解】(1)解：~DE⊥AB, ∠DEB=90°， 在Rt△DEB中，∠DBE=66°，DE=hm, ·BE= DE an66°tan66om, 线段BE的长为h -m; tan66 (2)解：设BE=xm, AB 6m, :.AE AB+BE =(6+x)m 在RtAACE中，∠A=45°， ..CE=AE.tan45=(6+x)m, 在RtADBE中，∠DBE=66°， .DE=BE·tan66°≈2.25x(m, CD+DE=CE, ∴2+2.25x=6+x, 解得：x=3.2, .DE=2.25x=7.2≈7m, 广告牌低端顶点D到地面的距离DE的长约为7m, 变式4.(2025江苏泰州一模)综合与实践活动中，要用测角仪测量小山上方某信号塔AB的高度（如图①）.某小 组设计了一个方案：如图②，点E,C,D依次在一条水平线上，ED=182m,ED⊥AB,垂足为点C.在D处测 得信号塔顶端A的仰角（∠ADC)为66°，在E处测得信号塔顶端A的仰角（∠AEC)为45°，测得信号塔底端B 锐角三角函数的应用、圆与三角函数、二次函数与三角函数专项训练 的仰角（∠BEC)为31°，参考数据：tan66°取2.25，tan31°取0.60. 图① 图② (I)求线段AC的长； (2)求信号塔AB的高度（结果取整数）. 【答案】(1)126m; (2)50m. 【详解】(1)解：设CD=xm, 在RIA ACD中，~an∠ADC=AC CD AC=xtan66°=2.25x, 在R△AEC中，'tan∠AEC=A C CE=2.25x tan450 =2.25x, ED=182, 即EC+CD=182, 2.25x+x=182, 解得x=56, .AC=EC=2.25×56=126(m): 答：线段AC的长为126m; (2)解：在RtaBCE中，tan∠BEC=BC , .BC=126tan31°=126×0.60=75.6(m, AB=AC-BC=126-75.6≈50(m. 答：信号塔AB的高度为50m. 10