5.4.1二项式定理的推导（课件）-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦二项式定理的推导与应用，以“8¹⁰⁰后是星期几”的实际问题导入，衔接计数原理与组合数知识，通过低次展开式观察、多项式乘法分析、组合数类比等学习支架，引导学生从具体到抽象归纳定理。 其亮点在于问题驱动教学，前后呼应解决实际问题，多角度推导培养数学思维，如“烧杯摸球”类比助理解组合数系数体现数学眼光。通过典例和变式练习辨析概念，提升数学语言表达能力，利于学生逻辑推理，方便教师分层教学。

4.二项式定理 1.二项式定理的推导 第5章 计数原理 情景引入 以后的这一天是星期几? 我们一起来猜想的展开式 = …… 展开式共有 项. 1 各项的次数和都等于二项式的次数; 2 观察以上展开式,分析其运算过程,你能发现什么规律? 字母按降幂排列,次数从递减到0; 字母按升幂排列,次数从0递增到 3 如何验证项的猜想并确定项的系数呢? 新知探究 展开式有几项?各项的系数是如何确定的? = 各项的系数分别是什么?能否用计数原理解释每一组系数与项数? 项 角度一 多项式乘以多项式 展开式的每一项都是从这两个因式中各取一个字母相乘得到. 发现: 将2个比作2个一样的烧杯,每个烧杯各放一个红球和一个蓝球,从每个烧杯中任取一个球,能得到几种不同的结果? 第一类: 选择0个 第二类: 选择1个 第三类: 选择2个 (a+b)2=(a+b)(a+b)= 展开式有几项? 每项的次数为几次? 展开式中项的排列方式如何? a3 b3 项 系数 将3个比作3个一样的烧杯,用红球表示字母,用蓝球表示字母,请用刚学过的组合数作为工具,思考摸球可能出现的组合以及每种组合的种数? 大家能够根据以上方法求出的展开式吗? 思考:你能否根据上述规律,写出的展开式时的系数吗? =_an +_an-1b +_an-2b2 +_an-3b3 + +_abn-1 n个 +_bn ........ 个 . . . . . . . . . . . . 个 个 角度二:组合角度 共项 概念讲解 的展开式中共有(n+1)种不同的同类项:(k= 0,1,2,…,n)相应的个数为().因此,根据分类加法计数原理,其展开式为: +…++…+. ① 上式可简写成公式 ①称为二项式定理. 定义 等号右边的式子称为的二项展开式,其中各项系数(称为二项式系数, 式中的叫作二项展开式的通项,即通项为展开式的第项: 角度三 :几何角度 2.指数规律: (1)各项的次数均之和为; (2)各项里的指数由降到0,的指数由0升到. 3.二项式系数规律: 两项和的次幂的展开式共有+1个项. . 只与项数有关系,与没有关系. 1.项数规律: 二项展开式的特点 例1. 求的展开式. 解 分析 典例分析 例2. 求的展开式. 解 分析 典例分析 例3.求的展开式. 解: 典例分析 例4.求展开式中的系数. 解: 因为中“”的指数为4,所以由二项式通项,得 =-280. 因此,的系数是-280. 典例分析 l 基础检验 1.化简:-5+10-10+5-1. 分析:本题主要考查二项式定理的逆用,需要识别出式子与二项式展开式的对应关系。 解:①观察式子结构: 发现所给式子的系数—1,-5,10,-10,5,-1,与二项式展开式的系数相等; ②构造二项式形式: 令则原式可转化为二项式展开式的逆形式; ③化简计算:原式等于 题型一:二项式的展开式 变式:化简下列各式 a=1,b=3 3n a=x-1,b=1 x5-1 l 基础检验 2的展开式中常数项为60,则. 解:的通项为: 6 分析:本题主要考查二项式展开式通项公式的应用,研究展开式特定项的相关问题。 题型二:求二项式的指定项 变式3.求的第4项的二项式系数; 解(1)第4项的二项式系数为. 变式4.求的第4项的系数. (2) 变式3运用通项公式时,谁为谁为 思考:与展开式是否相同? 与展开式相同,但具体到展开式的某一项时是不同的! 某一项的二项式系数:是一个组合数 某一项的系数:是该项字母前的数连同符号 推广:多项式的指定项或其系数 选2个y 选1个x2 选2个x 题型三:整除和余数问题 分析:结合除数,将底数化成两数的和或差的形式. 难度提升 3.运用二项式定理证明:能被1000整除. 以后的这一天是星期几? 即除以7余数是1,所以是星期_. 完成任务 用数学精准逻辑,利用二项式定理为低碳环保等民生议题提供切实支撑! 二项式定理 () 二项展开 公式右边的多项式 二项式系数 二项展开式的通项 (1)学会正确区分二项式系数与项的系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅与二项式的指数及项数有关,与二项式无关,后者与二项式、二项式的指数及项数均有关. 反思领悟 课堂小结 Lavf58.46.101 Lavf58.20.100 $