5.4.1二项式定理的推导导学案-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

§4　二项式定理 4.1　二项式定理的推导 【学习目标】 　　1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 　　2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式. 　　3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 　　4.通过学习,培养学生数学运算的核心素养. ◆ 知识点　二项式定理及相关概念 1.二项式定理:(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn(n∈N*),简写为(a+b)n=an-kbk. 2.二项展开式:二项式定理等号右边的式子. 3.二项式系数:等号右边各项的系数　　　　　　　　.  4.二项式通项:Tk+1=an-kbk . 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)(a+b)n的展开式中共有n项. (　 ) (2)二项式(a+b)n与(b+a)n的展开式的第r+1项一定相同. (　 ) (3)an-kbk是(a+b)n的展开式的第k项. (　 ) (4)(a-b)n与(a+b)n的展开式的第k项的二项式系数相同. (　 ) ◆ 探究点一　二项式定理 例1 利用二项式定理展开下列各式: (1)(a+2b)5; (2). 变式 利用二项式定理展开. [素养小结] 利用二项式定理求展开式时,要注意以下几点: (1)项数不能少;(2)两项之间是加号;(3)展开后需化简. ◆ 探究点二　二项式定理的逆用 例2 (1)1-2+4-8+…+(-2)n等于 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.1 B.-1 C.(-1)n D.3n (2)化简16-32x+24x2-8x3+x4= (　 ) A.x4 B.(2-x)4 C.(2+x)4 D.(1-2x)4 变式 化简(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)的结果为 (　 ) A.x4-1 B.(x-1)4-1 C.(x+1)4-1 D.x4+1 [素养小结] 二项式定理的逆用是将多项式合并成二项式(a+b)n的形式,即二项式定理从右到左使用.逆用该定理可解决一些化简、求和与证明问题.熟悉公式的特点——项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律,是逆用该定理的关键. 拓展 已知·3n+·3n-1+·3n-2+…+·3+=212,则n=　　　　.  ◆ 探究点三　二项式通项 例3 在的展开式中,求: (1)第6项的二项式系数; (2)第3项的系数; (3)常数项. 变式 (1)的展开式中常数项是　　　.(用数字作答)  (2)若(a为常数)的展开式中的常数项为-160,则a= (　 ) A.-1 B.1 C.±1 D.2 [素养小结] 求二项展开式中特定项(或系数)的关键是运用二项式通项,解题过程一般分两步:第一步根据所给出的条件(特定项)和二项式通项,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r,另外需注意常数项的指数为零、有理项的指数为整数等);第二步是根据所求的指数,再代入通项中求对应的项. 拓展 已知(x+y)n的展开式的二项式系数和为64,若(2x+3)n=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n,则a2= (　 ) A.20 B.30 C.60 D.80 ◆ 探究点四　两个二项式乘积、三项式的特定项 例4 (1)的展开式中的常数项是 (　 ) A.-252 B.-220 C.220 D.252 (2)(x2+1)(x-1)5的展开式中x5的系数为 (　 ) A.1 B.-9 C.11 D.21 变式 (1)若(1+ay)6的展开式中x-2y3的系数为160,则a= (　 ) A.2 B.4 C.-2 D.-2 (2)(x+y-2z)6的展开式中xy2z3的系数是　　　　.  [素养小结] 三项式求特定项的常用方法: (1)因式分解法:通过因式分解将三项式变成两个二项式的乘积,然后用二项式定理分别展开. (2)逐层展开法:将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含两项的一组展开. (3)利用组合知识:把三项式看成几个一次项的积,利用组合知识分析项的构成,注意最后应把各个同类项合并. §4　二项式定理 4.1　二项式定理的推导 【课前预习】 知识点 3.(k=0,1,2,…,n) 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 【课中探究】 例1　解:(1)(a+2b)5=a5+a4(2b)1+a3(2b)2+a2(2b)3+a(2b)4+(2b)5=a5+10a4b+40a3b2+80a2b3+80ab4+32b5. (2)展开式的通项为Tr+1=x6-r=(-2)r,∴其展开式为x6-12+60x3-160+240-192+64x-3. 变式　解:=x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+=x7-7x5+21x3-35x+-+-. 例2　(1)C　(2)B　[解析] (1)原式=(-2)0+(-2)1+(-2)2+(-2)3+…+(-2)n=(1-2)n=(-1)n.故选C. (2)16-32x+24x2-8x3+x4=×24+×23×(-x)+×22×(-x)2+×2×(-x)3+×(-x)4=(2-x)4.故选B. 变式　A　[解析] 原式=(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+-1=(x-1+1)4-1=x4-1,故选A. 拓展　6　[解析] ·3n+·3n-1+·3n-2+…+·3+=·3n·10+·3n-1·11+·3n-2·12+…+·31·1n-1+·30·1n=(3+1)n=4n=212,即22n=212,得n=6. 例3　解:(1)由二项式通项可得,第6项的二项式系数为=126. (2)由题意可知,T3=·(x2)7·=9x12,故第3项的系数为9. (3)由题意可知,Tr+1=(x2)9-r=x18-3r,令18-3r=0,解得r=6,所以T7==,即常数项为. 变式　(1)15　(2)B　[解析] (1)的展开式的通项为Tk+1=x6-k=x6-3k,令6-3k=0,解得k=2,所以常数项是=15. (2)的展开式的通项为Tr+1=(ax)6-r=(-2)ra6-rx6-2r,令6-2r=0,解得r=3,∴的展开式中的常数项为T4=(-2)3a6-3x6-6=-160a3=-160,∴a3=1,∴a=1.故选B. 拓展　C　[解析] 由(x+y)n的展开式的二项式系数和为64,可得2n=64,即n=6.设x+1=t,则2x+3=2t+1,则(2x+3)n=(2x+3)6=(2t+1)6=a0+a1t+a2t2+…+a6t6,可得a2t2=(2t)6-414=22t2=60t2,则a2=60.故选C. 例4　(1)A　(2)C　[解析] (1)=,可得的展开式的通项为Tr+1=x10-r=(-1)rx10-2r,令10-2r=0,解得r=5,所以展开式中的常数项为(-1)5=-252.故选A. (2)由题可得(x-1)5的展开式中含x3的项为x3(-1)2=10x3,含x5的项为x5(-1)0=x5,这两项分别与x2和1相乘,得(x2+1)(x-1)5的展开式中含x5的项为10x5+x5=11x5,故所求系数为11,故选C. 变式　(1)C　(2)-480　[解析] (1)二项式(1+ay)6的展开式的通项为Tr+1=×16-r(ay)r=aryr,令r=3,可得二项式(1+ay)6的展开式中y3的系数为a3,∴(1+ay)6的展开式中x-2y3的系数为(-1)a3=160,可得a3=-8,解得a=-2,故选C. (2)(x+y-2z)6=[(x+y)-2z]6的展开式的通项为Tr+1=(x+y)6-r(-2z)r,令r=3,得T4=(x+y)3(-2z)3=-8(x+y)3z3.易知(x+y)3的展开式的通项为x3-mym,令m=2,得(x+y)3的展开式中含xy2的项为xy2.所以(x+y-2z)6的展开式中,xy2z3的系数是-8=-480. 学科网（北京）股份有限公司 $$