第一章 章末总结(一) 集合与常用逻辑用语-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学必修一第一章“集合与常用逻辑用语”复习课件，以知识体系建构为核心，通过知识框架图系统梳理基本概念、基本原则及各部分内容的内在关系，将总则与具体实施步骤有机串联，帮助学生构建完整的知识网络，明晰逻辑脉络。 其亮点在于融合“高频考点聚焦-高考真题溯源-章末过关检测”三维复习策略，PPT支持任意编辑便于教师个性化调整教学内容。高频考点结合真题溯源引导学生用数学思维分析命题逻辑，章末检测卷通过分层练习设计，培养学生用数学语言规范表达解题过程，既提升学生知识巩固效率，又为教师提供精准复习教学支持，体现复习的系统性与针对性。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第一章 集合与常用逻辑用语 3 目 录 高频考点聚焦 高考真题溯源 章末过关检测卷 知识体系建构 知识体系建构 高频考点聚焦 高考真题溯源 章末过关检测卷 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题型一　集合的基本概念与集合间的基本关系 集合间的基本关系包括包含、真包含、相等．能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空集的概念，能根据集合间的关系，会利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值或范围． 例1　(1)已知集合A＝{x∈R|x2－2x＝0}，B＝{x∈N|－1<x<4}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D.由x2－2x＝0得x＝0或x＝2，所以A＝{0，2}．由题意知B＝{0，1，2，3}，所以满足条件的C为{0，2}，{0，1，2}，{0，2，3}，{0，1，2，3}． (2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m}，且B⊆A，则实数m的取值范围是__________． 解析：若m≤1，则B＝∅，满足B⊆A. 若m>1，则1<m≤4.综上可知，m≤4. 答案：{m|m≤4} 类题通法 (1)集合的概念问题应关注:①先要看集合中的代表元素，再看限制条件;②含有字母的集合，要注意检验是否满足互异性. (2)集合间关系问题的关键:将集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系,常需要利用数轴、Venn图帮助分析，同时要注意“空集”这一“陷阱”. 【迁移运用】 1.(多选)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且{2}⊆A，则实数m的取值不可以为(　　 ) A．2 B．3 C．0 D．－2 解析：选ACD.因为集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或2或3. 当m＝0时，集合A中的元素不满足互异性； 当m＝2时，m2－3m＋2＝0，集合A中的元素不满足互异性； 当m＝3时，A＝{0，3，2}，满足题意． 综上所述，m＝3. 题型二　集合的基本运算 集合的运算主要包括交集、并集和补集运算．这也是高考对集合部分的主要考查点．对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解． 例2　(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝(　　 ) A．∁U(M∪N) B．N∪∁UM C．∁U(M∩N) D．M∪∁UN 解析：选A.(方法一)因为M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，所以M∪N＝{x|x<2}，所以∁U(M∪N)＝ {x|x≥2}． (方法二)因为∁UM＝{x|x≥1}，∁UN＝ {x|x≤－1，或x≥2}，所以{x|x≥2}＝∁UM∩∁UN＝∁U(M∪N). 类题通法 (1)定义法或Venn 图法:集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在Venn 图中表示出来,借助Venn 图观察求解. (2)数轴法:集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助数轴求解. 【迁移运用】 2.(2023·全国甲卷)设A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，∁U(A∪B)＝(　　 ) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 解析：选A.集合A∪B表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集． 题型三　充分条件与必要条件 若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件； 若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件． 例3　设命题p：实数x满足a<x<3a，其中a>0，命题q：实数x满足2<x≤3.若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解：p是q的充分不必要条件，即p⇒q且q p.设集合A＝{x|x≤a，或x≥3a}，集合B＝{x|x≤2，或x>3}，则AB，所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2.所以实数a的取值范围是{a|1<a≤2}． 类题通法 充分条件与必要条件的判断方法 (1)定义法 (2)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．用集合法判断时，要尽可能用图示、数轴等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度． 【迁移运用】 3.若p：x2＋x－6＝0是q：ax－1＝0(a≠0)的必要不充分条件，则实数a的值为(　　) A．－ eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,2)或 eq \f(1,3) C．－ eq \f(1,3) D． eq \f(1,2)或－ eq \f(1,3) 解析：选D.p：x2＋x－6＝0，即p：x＝2或x＝－3.因为a≠0，所以q：x＝ eq \f(1,a).又p是q的必要不充分条件，所以 eq \f(1,a)＝2或 eq \f(1,a)＝－3，解得a＝ eq \f(1,2)或a＝－ eq \f(1,3). 题型四　全称量词与存在量词 全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题．对含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题进行否定时，首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后对结论进行否定． 例4　(多选)下列命题的否定为真命题的是(　　 ) A．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 B．任意一个四边形的四顶点共圆 C．所有能被3整除的整数都是奇数 D．∀x∈R，x2≥0 解析：选ABC.A中命题的否定是∀x∈R，x2＋2x＋2>0，是真命题；B中命题的否定是存在一个四边形的四顶点不共圆，是真命题；C中命题的否定是存在能被3整除的整数是偶数，是真命题；D中命题的否定是∃x∈R，x2<0，是假命题． 类题通法 (1)对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论. (2)根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解. 【迁移运用】 4.若命题“∃x<2 024，x>a”是假命题，则实数a的取值范围是________． 解析：因为命题“∃x<2 024，x>a”是假命题，则其否定“∀x<2 024，x≤a”为真命题，所以a≥2 024. 答案：a≥2 024 1. (2024·全国甲卷)集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x| eq \r(x)∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　 ) A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5} 　人教A版必修第一册P14习题1.3T4. 　集合间的关系及集合的交集、并集与补集运算是高考考查的重点和考查热点，多以选择题形式出现，属于容易题，多与不等式、定义域、值域等知识结合，重在考查数学运算能力． 　本题可以借助数轴进行运算，要注意端点值的取舍． 　选D.因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x| eq \r(x)∈A}，所以B＝{1，4，9，16，25，81}，则A∩B＝{1，4，9}，∁A(A∩B)＝{2，3，5}． 2．(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　 ) A．p和q都是真命题 B．p和q都是真命题 C．p和q都是真命题 D．p和q都是真命题 　人教A版必修第一册P35复习参考题1T7. 　含有一个量词的命题的否定和命题真假性的判断是高考常考内容，属于容易题，体现基础性，与各种数学命题均可关联． 　教材习题是写含有一个量词的命题的否定并判断它们的真假，真题在此基础上进行了改编． 　 选B.解法一：由绝对值的非负性知，∀x∈R，|x＋1|≥0，∴p为假命题． q：∵x3＝x，∴x3－x＝0，即x(x2－1)＝0， ∴x＝0 或x＝±1，即∃x＝1，使得命题q成立，∴q为真命题． 综上，p和q都是真命题，故选B. 解法二(特殊值法)： p：当x＝0时，|x＋1|＝1，不满足|x＋1|>1，故命题p为假命题． q：当x＝1时，13＝1，故命题q为真命题． ∴p和q都是真命题，故选B. 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合A＝{x∈N|－1≤x≤2}，B＝{－2，－1，0，1}，则A∩B＝(　　 ) A．{－2，－1，0，1，2} B．{－1，0，1} C．{0，1} D．{1} 解析：选C. 因为 A＝{x∈N|－1≤x≤2}＝{0，1，2}，又B＝{－2，－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}． 2．命题“对任意x∈R，都有x2>0”的否定是(　　 ) A．对任意x∈R，都有x2≤0 B．不存在x∈R，使得x2≤0 C.存在x∈R，使得x2≥0 D．存在x∈R，使得x2≤0 答案：D 3．已知集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2k＋1))，k∈N))，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1≤x≤3))))，则A∩B＝(　　 ) A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，3)) B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，3)) C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3)) D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，3)) 解析：选B.根据题意，集合A为正奇数集，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1≤x≤3))))，则A∩B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，3)). 4．若集合A＝{(x，y)|y＝3x－2}，B＝{(x，y)|y＝x＋4}，则A∩B＝(　　 ) A.{3，7} B．{(3，7)} C．(3，7) D．{x＝3，y＝7} 解析：选B.联立集合A与集合B中方程得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝3x－2，,y＝x＋4，))消去y得3x－2＝x＋4，解得x＝3.把x＝3代入方程 y＝3x－2，得y＝9－2＝7，所以方程组的解为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝7，))因为A＝{(x，y)|y＝3x－2}，B＝{(x，y)|y＝x＋4}，所以A∩B＝{(3，7)}． 5．(学科融合)春秋时期孔子及其弟子所著的《论语·颜渊》中的“非礼勿视，非礼勿听，非礼勿言，非礼勿动．”意思是：不符合礼的不看，不符合礼的不听，不符合礼的不说，不符合礼的不做．“非礼勿听，可以理解为：如果不合礼，那么就不听，从数学角度来说，“合礼”是“听”的(　　 ) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 6．集合{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}的真子集的个数是(　　 ) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：选C.当x＝0时，y＝6；当x＝1时，y＝5；当x＝2时， y＝2；当x＝3时，y＝－3. 所以{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}＝{2，5，6}，共3个元素，其真子集的个数为 23－1＝7. 7．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a的值为(　　 ) A． eq \f(9,8) B．0 C． eq \f(9,8)或0 D．无解 解析：选C.由集合A的子集只有两个，知集合A中只有一个元素． 当a＝0时，A＝{x|ax2－3x＋2＝0}＝{x|－3x＋2＝0}＝{ eq \f(2,3)}，符合题意； 当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一个解，则Δ＝9－8a＝0，解得a＝ eq \f(9,8). 综上，a＝0或a＝ eq \f(9,8). 8．对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6，那么p是q的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.设U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}． 命题p：x＋y≠8，对应集合为A＝{(x，y)|x＋y≠8}， 命题q：x≠2或y≠6，对应集合为B＝{(x，y)|x≠2或y≠6}， 命题p的否定：x＋y＝8，对应集合为∁UA＝{(x，y)|x＋y＝8}， 命题q的否定：x＝2且y＝6，对应集合为∁UB＝{(x，y)|x＝2，且y＝6}＝{(2，6)}， 显然∁UB∁UA，所以AB，即p是q的充分不必要条件． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则 A 可以是(　　 ) A．{1，8} B．{2，3} C．{1} D．{2} 解析：选AC.因为A⊆B，A⊆C，所以A⊆(B∩C).因为B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，所以B∩C＝{1，8}，所以A⊆{1，8}． 10．下列命题正确的是(　　 ) A．命题“∃x∈R，x2＋x＋1≥0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1<0” B．a＋b＝0的充要条件是 eq \f(b,a)＝－1 C．∀x∈R，x2>0 D．“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件 解析：选AD.因为“∃x∈R，x2＋x＋1≥0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1<0”，所以A正确； 当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但 eq \f(b,a)＝－1不成立，所以B错误； 当x＝0时，x2＝0，所以C错误； 当a>1，b>1时，则ab>1，所以充分性成立，所以D正确． 11．(新定义)若集合A具有性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时， eq \f(1,x)∈A，则称集合 A是“完美集”．下列说法正确的有(　　 ) A．集合B＝{－1，0，1}是“完美集” B．有理数集Q是“完美集” C．设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则x＋y∈A D．设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则xy∈A 解析：选BCD.选项A中，因为1∈B，－1∈B，1－(－1)＝2∉B，不满足性质②，所以A说法不正确； 选项B中，0∈Q，1∈Q，若x，y∈Q，则x－y∈Q，且x≠0时， eq \f(1,x)∈Q，所以有理数集Q是“完美集”，所以B说法正确； 选项C中，因为0∈A，x，y∈A，所以0－y＝－y∈A，所以x＋y＝x－(－y)∈A，所以C说法正确； 选项D中，任取x，y∈A，当x，y中有0或1时，xy∈A；当x，y中均不含0和1时，由性质②可知 eq \f(1,x)， eq \f(1,x－1)∈A，所以 eq \f(1,x－1)－ eq \f(1,x)＝ eq \f(1,x(x－1))∈A，所以x(x－1)∈A.即x(x－1)＝x2－x∈A，即x2∈A，同理，y2∈A，由选项C知x＋y∈A，则(x＋y)2∈A，因为2xy＝(x＋y)2－(x2＋y2)，所以2xy∈A，所以 eq \f(1,2xy)∈A，所以 eq \f(1,2xy)＋ eq \f(1,2xy)＝ eq \f(1,xy)∈A，所以xy∈A，所以D说法正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．某班50名学生做物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确的有 40 人，化学实验做得正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有________人． 解析：根据题意，可设全集U表示全班学生，A＝{做对物理实验的学生}，B＝{做对化学实验的学生}，并将两种实验都做对的学生记为x人，如图所示． 所以(40－x)＋x＋(31－x)＋4＝50，解得x＝25. 故两种实验都做对的学生为 25人． 答案：25 13．若命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，使x－a≥0”是真命题，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知，当1≤x≤2时，a≤x恒成立，所以a≤1. 答案：{a|a≤1} 14．已知非空数集I，P满足： (ⅰ)∀x∈I，有x∈P； (ⅱ)∀x，y∈I，有x＋y∈I； (ⅲ)∀x∈I且∀y∈P，有xy∈I， 则称I是P的“理想子集”．给出下列四个结论： ①若I＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2k\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(k∈Z))))，则I是Z的“理想子集”； ②若I是R的“理想子集”，且存在非零实数a∈I，则I＝R； ③若I1，I2是P的“理想子集”，则I1∪I2也是P的“理想子集”； ④若I1，I2是P的“理想子集”，则I1∩I2也是P的“理想子集”． 其中正确结论的序号是________． 解析：①集合I＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2k\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(k∈Z))))表示所有偶数构成的集合，所有的偶数都是整数，任意两个偶数的和仍是偶数，任意偶数和整数的积仍是偶数，满足(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)，故I是Z的“理想子集”，①说法正确； ②若I是R的“理想子集”，且存在非零实数a∈I，则由“理想子集”的概念可知对任意的x∈R有ax∈I，所以I＝R，②说法正确； ③若I1，I2是P的“理想子集”，则∀x，y∈I1，有x＋y∈I1，∀x，y∈I2，有x＋y∈I2， 但对于x∈I1，y∈I2，不一定有x＋y∈I1∪I2，例如I1＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2k\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(k∈Z))))，I2＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3k\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(k∈Z))))，P＝Z，此时2∈I1，3∈I2，2＋3∉I1∪I2，③说法错误； ④若I1，I2是P的“理想子集”，对于I1∩I2显然∀x∈I1∩I2，有x∈P，满足(ⅰ)，令a，b∈I1∩I2，c∈P，则a，b∈I1，又I1是P的“理想子集”，所以a＋b∈I1，ac∈I1， 同理由I2是P的“理想子集”可得a＋b∈I2，ac∈I2，所以a＋b∈I1∩I2，ac∈I1∩I2满足(ⅱ)(ⅲ)，所以若I1，I2是P的“理想子集”，则I1∩I2也是P的“理想子集”，④说法正确． 答案：①②④ 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{x∈N|1<x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}． (1)用列举法表示集合A与B； (2)求A∩B及∁U(A∪B). 解：(1)由题知，A＝{2，3，4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1，2}． (2)由题知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3，4}，所以∁U(A∪B)＝{0，5，6}． 16．(15分)用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题，并判断真假，说明理由． (1)对所有的实数a，b，关于x的方程ax＋b＝0有唯一解或无解； (2)存在实数x，使得 eq \f(1,|x＋1|＋1)＝2. 解：(1)∀a∈R，b∈R，方程ax＋b＝0有唯一解或无解，该命题为假命题． 理由：当a＝0，b＝0时，ax＋b＝0有无数个解． (2)∃x∈R， eq \f(1,|x＋1|＋1)＝2，该命题为假命题． 理由：因为|x＋1|＋1≥1，所以 eq \f(1,|x＋1|＋1)≤1，所以不存在x∈R，使得 eq \f(1,|x＋1|＋1)＝2. 17．(15分)已知命题α：1≤x≤2，命题β：1≤x≤a. (1)若α是β的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)求证：“a≥2”是“α⇒β成立”的充要条件． 解：(1)设A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}，若α是β的必要不充分条件，则B是A的真子集． 当B＝∅时，a<1，此时满足B是A的真子集，符合题意； 当B≠∅时，若B是A的真子集， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≥1，,a<2，))即 1≤a<2. 所以实数a的取值范围为{a|a<2}． (2)证明：充分性(若a≥2，则α⇒β). 若a≥2，则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}，所以命题α：1≤x≤2可以推出命题β：1≤x≤a，故充分性成立； 必要性(若α⇒β，则a≥2). 若命题α：1≤x≤2可以推出命题β：1≤x≤a，则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}，所以a≥2，故必要性成立． 综上所述，“a≥2”是“α⇒β成立”的充要条件． 18．(17分)设全集为R，A＝{x|a－1<x<2a}，B＝{x|2<x≤5}． (1)若a＝4，求A∩B，∁R(A∩B)； (2)请在①A∩B＝∅，②A∪B＝B，③A∩B＝B这三个条件中，任选其中一个作为条件，并求在该条件下实数a的取值范围．(若选择多个，只对第一个选择给分) 解：(1)当a＝4时，A＝{x|3<x<8}，而B＝{x|2<x≤5}， 所以A∩B＝{x|3<x≤5}，∁R(A∩B)＝{x|x≤3，或x>5}． (2)若选①，因为A＝{x|a－1<x<2a}，B＝{x|2<x≤5}． 当A∩B＝∅时， 若A＝∅，则a－1≥2a，即a≤－1，此时满足A∩B＝∅； 若A≠∅，要满足A∩B＝∅，即需满足 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－1<2a，,2a≤2))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－1<2a，,a－1≥5，)) 解得－1<a≤1或a≥6. 综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤1，或a≥6}． 若选②，因为A＝{x|a－1<x<2a}，B＝{x|2<x≤5}． 当A∪B＝B时， Ⅰ.当A＝∅时，a－1≥2a，即a≤－1，此时满足A∪B＝B； Ⅱ.当A≠∅时，满足A∪B＝B，即需满足 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－1<2a，,a－1≥2，,2a≤5，))解得A＝∅，矛盾， 综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤－1}． 若选③，因为A＝{x|a－1<x<2a}，B＝{x|2<x≤5}． 当A∩B＝B时，需满足 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－1<2a，,a－1≤2，,2a>5，))解得 eq \f(5,2)<a≤3. 综上所述，实数a的取值范围为{a| eq \f(5,2)<a≤3}． 19．(17分)(新定义)已知 A是非空数集，如果对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，xy∈A，则称A是封闭集． (1)判断集合 B＝{0}，C＝{－1，0，1}是否为封闭集，并说明理由． (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由． 命题p：若非空集合A1，A2是封闭集，则A1∪A2也是封闭集． 命题q：若非空集合A1，A2是封闭集，且A1∩A2≠∅，则 A1∩A2也是封闭集． 解：(1)对于集合B＝{0}，因为0＋0＝0∈B，0×0＝0∈B，所以B＝{0}是封闭集； 对于集合C＝{－1，0，1}，因为－1＋(－1)＝－2∉C，所以集合C＝{－1，0，1}不是封闭集． (2)对命题p，令A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}，则集合A1，A2是封闭集， 因为2∈A1，3∈A2，所以2，3∈A1∪A2，但2＋3＝5∉A1∪A2，即A1∪A2不是封闭集，故p为假命题； 对于命题q，设a，b∈A1∩A2，则有a，b∈A1，又集合A1是封闭集，所以a＋b∈A1，ab∈A1， 同理可得 a＋b∈A2，ab∈A2， 所以a＋b∈A1∩A2，ab∈A1∩A2， 所以A1∩A2是封闭集，故q为真命题． $