5.2.1 三角函数的概念-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦人教必修一第五章三角函数，以“自主学习·新知感悟”为课堂导入支架，引导学生从现实问题中抽象三角函数概念，结合可编辑PPT灵活调整内容，衔接合作探究与课堂评价，构建连贯的知识学习脉络。 其特色在于分层递进的教学环节设计，通过“合作探究·思维进阶”培养学生数学思维（推理能力、逻辑联系），“课后分层练”强化数学语言表达（问题解决、应用意识）。教师可编辑PPT适配教学需求，学生在探究中提升能力，教师教学更具针对性。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第五章 三角函数 3 目 录 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.2　三角函数的概念 5.2.1　三角函数的概念 学习目标　1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，会利用任意角的三角函数的定义求值，提升数学抽象和数学运算素养．(重点、难点)　2.熟练掌握三角函数值在各象限的符号，提升数学运算素养．(重点)3．掌握诱导公式一，并能运用公式解决相关问题，提升数学运算素养．(重点) 北斗导航系统是我国自主研发，利用地球同步卫星为我们提供全天候服务的卫星定位系统，现把卫星运行轨道近似地看作圆形． 问题1　从初始位置开始，卫星按轨道逆时针旋转过一定的角度时，卫星走过的路程是确定的吗？位置是确定的吗？ 提示：确定的，因为圆心角和轨道半径固定，则对应的弧长唯一，对应的位置确定． 问题2　能否建立卫星位置关于角度的函数？ 提示：能，满足函数的定义． 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P177，按初中所学的锐角三角函数定义求得的锐角的正弦、余弦、正切与按本节三角函数定义求得的结果相等吗？ 提示：相等． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边与单位圆的交点，则cos α＝－x.(　　 ) (2)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应．(　　 ) (3)若α是三角形的内角，则必有sin α>0.(　　 ) (4)若sin α>0，则α为第一、二象限角．(　　 ) (5)sin α＝sin β，则α＝β.(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)× 　任意角的三角函数的定义 前提 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y) cosα tanα 定义 正弦 把点P的纵坐标 叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝ 余弦 把点P的横坐标 叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝ 正切 把点P的纵坐标与横坐标的比值 eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α，即 eq \f(y,x)＝ (x≠0).其比值为函数值的函数，称为正切函数 三角函数 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 y sinα x 例1　(链接教材：人教A版P179例2)已知角α的终边与单位圆交于点P(－ eq \f(1,3)，y )(y>0)，则sin α＝(　　 ) A． eq \f(2,3) B．－ eq \f(2,3) C．－ eq \f(2\r(2),3) D． eq \f(2\r(2),3) 解析：选D.因为角α的终边与单位圆交于点P(－ eq \f(1,3)，y )(y>0)，所以(－ eq \f(1,3))2＋y2＝1，解得y＝ eq \f(2\r(2),3)，所以sin α＝y＝ eq \f(2\r(2),3). 类题通法 单位圆法求三角函数值的策略 (1)确定角的终边与单位圆的交点的坐标； (2)根据三角函数的定义sinα＝y；cosα＝x；tanα＝ eq \f(y,x)(x≠0). 【迁移运用】 1.已知角α的终边与单位圆的交点为P(－ eq \f(\r(5),5)，－ eq \f(2\r(5),5))，则sin α－cos α＝(　　 ) A．－ eq \f(\r(5),5) B． eq \f(\r(5),5) C． eq \f(3\r(5),5) D．－ eq \f(3\r(5),5) 解析：选A.由三角函数的定义得cos α＝－ eq \f(\r(5),5)，sin α＝－ eq \f(2\r(5),5)，因此sin α－cos α＝－ eq \f(\r(5),5). 　三角函数定义的简单应用 若已知角α终边上任意一点P(x，y)，则sin α＝ eq \f(y,r)，cos α＝ eq \f(x,r)，tan α＝ eq \f(y,x)(x≠0)，其中r＝ eq \r(x2＋y2). 例2　(2025·重庆检测)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(2，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－ eq \f(2\r(5),5)，则y＝__________． 解析：sin θ＝ eq \f(y,\r(4＋y2))＝－ eq \f(2\r(5),5)，解得y＝－4. 答案：－4 类题通法 已知角a终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 在a的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin a= ，cosa= . 注意:当角a的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 【迁移运用】 2.(链接教材：人教A版P178例1)在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：当α的终边位于第二象限时，在α的终边上取一点P(－1，2)， 则r＝ eq \r((－1)2＋22)＝ eq \r(5)， 所以sin α＝ eq \f(2,\r(5))＝ eq \f(2\r(5),5)，cos α＝ eq \f(－1,\r(5))＝－ eq \f(\r(5),5)，tan α＝ eq \f(2,－1)＝－2. 当α的终边位于第四象限时，在α的终边上取一点P′(1，－2)， 则r＝ eq \r(12＋(－2)2)＝ eq \r(5)， 所以sin α＝ eq \f(－2,\r(5))＝－ eq \f(2\r(5),5)，cos α＝ eq \f(1,\r(5))＝ eq \f(\r(5),5)，tan α＝ eq \f(－2,1)＝－2. 二、三 一、三 二、四 　三角函数值符号的应用 如图所示： 正弦： 象限正， 象限负； 余弦： 象限正， 象限负； 正切： 象限正， 象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 一、二 三、四 一、四 例3　(链接教材：人教A版P180例3)已知点P(cos α，tan α)在第二象限，则角α的终边在(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C.由题意可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cos α<0，,tan α>0，))则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α<0，,cos α<0，))所以角α的终边在第三象限． 类题通法 判断三角函数值符号的步骤 【迁移运用】 3.已知角θ的终边在第四象限，则y＝ eq \f(sin θ,|sin θ|)＋ eq \f(cos θ,|cos θ|)＋ eq \f(tan θ,|tan θ|)的值为(　　 ) A．1 B．－1 C．3 D．－3 解析：选B.由角θ的终边在第四象限，得sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0，故y＝－1＋1＋(－1)＝－1. tanα 　诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值 ，如下： sin (α＋2kπ)＝ ， cos (α＋2kπ)＝ ， tan (α＋2kπ)＝ ， 其中k∈Z. 相等 sinα cosα 温馨提示 (1)其结构特点是函数名相同，左边角为α+2kπ,右边角为α. (2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律. 例4　(链接教材：人教A版P181例5)求下列各式的值． (1)tan 1 860°； (2)cos eq \f(25π,3)＋tan (－ eq \f(15π,4))； (3)sin 420°cos 750°＋sin (－690°)cos (－660°). 解：(1)tan 1 860°＝tan (360°×5＋60°)＝tan 60°＝ eq \r(3). (2)因为cos eq \f(25π,3)＝cos ( eq \f(π,3)＋8π)＝cos eq \f(π,3)＝ eq \f(1,2)， tan (－ eq \f(15π,4))＝tan (－4π + eq \f(π,4))＝tan eq \f(π,4)＝1， 所以cos eq \f(25π,3)＋tan (－ eq \f(15π,4))＝ eq \f(1,2)＋1＝ eq \f(3,2). (3)因为sin 420°＝sin (360°＋60°)＝sin 60°＝ eq \f(\r(3),2)， cos 750°＝cos (2×360°＋30°)＝cos 30°＝ eq \f(\r(3),2)， sin (－690°)＝sin (－2×360°＋30°)＝sin 30°＝ eq \f(1,2)， cos (－660°)＝cos (－2×360°＋60°)＝cos 60°＝ eq \f(1,2)， 所以sin 420°cos 750°＋sin (－690°)cos (－660°)＝ eq \f(\r(3),2)× eq \f(\r(3),2)＋ eq \f(1,2)× eq \f(1,2)＝1. 类题通法 利用诱导公式求解任意角的三角函数值的步骤 【迁移运用】 4.求下列各式的值： (1)sin (－1 395°)cos 1 110°＋cos (－1 020°)sin 750°； (2)sin (－ eq \f(11π,6))＋cos eq \f(12π,5)·tan 4π. 解：(1)原式＝sin (－4×360°＋45°)·cos (3×360°＋30°)＋cos (－3×360°＋60°)·sin (2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°·sin 30°＝ eq \f(\r(2),2)× eq \f(\r(3),2)＋ eq \f(1,2)× eq \f(1,2)＝ eq \f(\r(6),4)＋ eq \f(1,4)＝ eq \f(1＋\r(6),4). (2)原式＝sin (－2π + eq \f(π,6))＋cos (2π＋ eq \f(2π,5))·tan (4π＋0)＝sin eq \f(π,6)＋cos eq \f(2π,5)×0＝ eq \f(1,2). 1．若点P(－3，4)在α角的终边上，则2sin α＋cos α＝(　　 ) A． eq \f(1,5) B．－ eq \f(1,5) C． eq \f(2,3) D．1 解析：选D.由条件可知r＝ eq \r((－3)2＋42)＝5，sin α＝ eq \f(4,5)，cos α＝－ eq \f(3,5)，∴2sin α＋cos α＝2× eq \f(4,5)＋(－ eq \f(3,5))＝1. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(1，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－ eq \f(3\r(10),10)，则y＝(　　 ) A．－3 B．3 C．－1 D．1 解析：选A.因为sin θ＝－ eq \f(3\r(10),10)<0，A(1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，由三角函数的定义，得 eq \f(y,\r(y2＋1))＝－ eq \f(3\r(10),10)，解得y＝－3(正值舍去). 3．点P(tan 2 025°，cos 2 025°)位于(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选D.因为2 025°＝5×360°＋225°，则2 025°为第三象限角，可得tan 2 025°>0，cos 2 025°<0，所以P(tan 2 025°，cos 2 025°)位于第四象限． 4．求tan eq \f(25π,4)＋sin eq \f(13π,6)－cos (－ eq \f(11π,3))的值． 解：原式＝tan eq \f(π,4)＋sin eq \f(π,6)－cos eq \f(π,3)＝1. 三角函数线 (链接教材：人教A版P177) 如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P，过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于点T.单位圆中的有向线段MP，OM，AT分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线． 记作：sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT. 【基础巩固】 1．若sin α>0，且α∈[0，2π]，则α是(　　 ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于π的正角 D．第一或第二象限角 解析：选C.因为sin α>0，且α∈[0，2π]，所以α是第一象限角或第二象限角或终边位于y轴正半轴的角，故A、B、D说法均错误；此时α是小于π的正角，C说法正确． 2．在△ABC中，A，B，C满足cos A cos B cos C>0，则此三角形的形状是(　　 ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．可能是锐角三角形也可能是钝角三角形 解析：选A.因为cos A cos B cos C>0， 所以cos A，cos B，cos C三者中，同为正或两负一正， 因为A，B，C为三角形的内角， 所以cos A，cos B，cos C三者中，同为正， 即A，B，C均为锐角． 3．与集合A＝{x|sin x＝ eq \f(\r(2),2)}相等的集合为(　　 ) A．{x|x＝2kπ＋ eq \f(π,4)，k∈Z} B．{x|x＝kπ＋ eq \f(π,4)，k∈Z} C.{x|x＝kπ＋(－1)k· eq \f(π,4)，k∈Z} D．{x|x＝2kπ± eq \f(π,4)，k∈Z} 解析：选C.当sin x＝ eq \f(\r(2),2)时，角x的终边为第一或第二象限角平分线， 即A＝{x|x＝ eq \f(π,4)＋2nπ，n∈Z}∪{x|x＝ eq \f(3π,4)＋2nπ，n∈Z}＝{x|x＝ eq \f(π,4)＋2nπ，n∈Z}∪{x|x＝－ eq \f(π,4)＋(2n＋1)π，n∈Z}＝{x|x＝(－1)k· eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z}． 4．(多选)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(m，1－m)，若m>0，则下列各式一定为正值的是(　　 ) A．sin α B．cos α C．sin α－cos α D．sin α＋cos α 解析：选BD.当m＝2时，sin α<0，所以选项A错误； 由角α的终边过点P(m，1－m)，m>0，得cos α＝ eq \f(m,\r(m2＋(1－m)2))>0，所以选项B正确； 当m＝ eq \f(1,2)时，sin α＝cos α，sin α－cos α＝0，所以选项C错误； 又tan α＝ eq \f(1－m,m)＝ eq \f(1,m)－1>－1，即 eq \f(sin α,cos α)>－1，所以sin α>－cos α，即sin α＋cos α>0，所以选项D正确． 5．若θ是第二象限角，则(　　 ) A．sin eq \f(θ,2)>0 B．cos eq \f(θ,2)>0 C．tan eq \f(θ,2)>0 D．cot eq \f(θ,2)>0 解析：选C.因为θ是第二象限角，所以2kπ＋ eq \f(π,2)<θ<2kπ＋π，k∈Z， 所以kπ＋ eq \f(π,4)< eq \f(θ,2)<kπ＋ eq \f(π,2)，k∈Z， 所以 eq \f(θ,2)是第一或第三象限角， 当 eq \f(θ,2)是第一象限角时，sin eq \f(θ,2)>0，cos eq \f(θ,2)>0，tan eq \f(θ,2)>0，cot eq \f(θ,2)>0； 当 eq \f(θ,2)是第三象限角时，sin eq \f(θ,2)<0，cos eq \f(θ,2)<0，tan eq \f(θ,2)>0，cot eq \f(θ,2)>0. 6．若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin α＝_____________，cos α＝________，tan α＝________． 解析：因为x＝5，y＝－12， 所以r＝ eq \r(52＋(－12)2)＝13， 则sin α＝ eq \f(y,r)＝－ eq \f(12,13)，cos α＝ eq \f(x,r)＝ eq \f(5,13)，tan α＝ eq \f(y,x)＝－ eq \f(12,5). 答案：－ eq \f(12,13)　 eq \f(5,13)　－ eq \f(12,5) 7．若α是第三象限角，则点P(sin α，cos α)在第________象限． 解析：因为α是第三象限角， 所以sin α<0，cos α<0， 所以点P(sin α，cos α)在第三象限． 答案：三 8．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋ eq \f(3,cos α)的值． 解：设角α终边上任一点为P(k，－3k)， 则r＝ eq \r(k2＋(－3k)2)＝ eq \r(10)|k|. 当k＞0时，r＝ eq \r(10)k， 所以sin α＝ eq \f(－3k,\r(10)k)＝－ eq \f(3,\r(10))， eq \f(1,cos α)＝ eq \f(\r(10)k,k)＝ eq \r(10)， 所以10sin α＋ eq \f(3,cos α)＝－3 eq \r(10)＋3 eq \r(10)＝0， 当k＜0时，r＝－ eq \r(10)k， 所以sin α＝ eq \f(－3k,－\r(10)k)＝ eq \f(3,\r(10))， eq \f(1,cos α)＝－ eq \f(\r(10)k,k)＝－ eq \r(10)， 所以10sin α＋ eq \f(3,cos α)＝3 eq \r(10)－3 eq \r(10)＝0. 综上所述，10sin α＋ eq \f(3,cos α)＝0. 9．(2025·重庆阶段检测)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点P，且点P的横坐标为－ eq \f(3,5). (1)求sin α，cos α的值； (2)求 eq \f(sin2(－2π＋α),sinα－cos (2π＋α))＋ eq \f(cos2α,cosα－sin (2π＋α))的值． 解：(1)因为P在单位圆上，且点P的横坐标为－ eq \f(3,5)，所以P(－ eq \f(3,5)， eq \f(4,5))， 所以cos α＝－ eq \f(3,5)，sin α＝ eq \f(4,5). (2)原式＝ eq \f(sin2α,sinα－cos α)＋ eq \f(cos2α,cosα－sin α)＝ eq \f(sin2α－cos2α,sinα－cos α) ＝ eq \f((sin α＋cos α)(sin α－cos α),sin α－cos α)＝sin α＋cos α＝ eq \f(1,5). 【综合运用】 10．(多选)已知{x|x≠ eq \f(kπ,2)，k∈Z}，则函数y＝ eq \f(|sin x|,sin x)＋ eq \f(|cos x|,cos x)－ eq \f(2|sin x cos x|,sin x cos x)的值可能是(　　 ) A．0 B．－4 C．4 D．2 解析：选ABD.因为{x|x≠ eq \f(kπ,2)，k∈Z}，所以sin x≠0且cos x≠0， 当x是第一象限角时：sin x>0，cos x>0，sin x cos x>0， y＝ eq \f(|sin x|,sin x)＋ eq \f(|cos x|,cos x)－ eq \f(2|sin x cos x|,sin x cos x)＝1＋1－2＝0， 当x是第二象限角时：sin x>0，cos x<0，sin x cos x<0， y＝ eq \f(|sin x|,sin x)＋ eq \f(|cos x|,cos x)－ eq \f(2|sin x cos x|,sin x cos x)＝1－1＋2＝2， 当x是第三象限角时：sin x<0，cos x<0，sin x cos x>0， y＝ eq \f(|sin x|,sin x)＋ eq \f(|cos x|,cos x)－ eq \f(2|sin x cos x|,sin x cos x)＝－1－1－2＝－4， 当x是第四象限角时：sin x<0，cos x>0，sin x cos x<0， y＝ eq \f(|sin x|,sin x)＋ eq \f(|cos x|,cos x)－ eq \f(2|sin x cos x|,sin x cos x)＝－1＋1＋2＝2， 所以函数的值域为{0，2，－4}． 11．已知A，B，C是△ABC的三个内角，满足sin A·cos Btan C<0，则此三角形是________三角形． 解析：∵A是△ABC的一个内角， ∴sin A>0， 又sin A cos B tan C<0，∴cos B tan C<0， ∴B，C中有一个角是钝角， 故△ABC为钝角三角形． 答案：钝角 12．角α终边上的点P与A(a，2a)关于x轴对称(a＞0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值． 解：由题意得，点P的坐标为(a，－2a)，点Q的坐标为(2a，a). 所以sin α＝ eq \f(－2a,\r(a2＋(－2a)2))＝－ eq \f(2,\r(5))，cos α＝ eq \f(a,\r(a2＋(－2a)2))＝ eq \f(1,\r(5))，tan α＝ eq \f(－2a,a)＝－2； sin β＝ eq \f(a,\r((2a)2＋a2))＝ eq \f(1,\r(5))，cos β＝ eq \f(2a,\r((2a)2＋a2))＝ eq \f(2,\r(5))，tan β＝ eq \f(a,2a)＝ eq \f(1,2). 故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β＝－ eq \f(2,\r(5))× eq \f(1,\r(5))＋ eq \f(1,\r(5))× eq \f(2,\r(5))＋(－2)× eq \f(1,2)＝－1. 【创新探索】 13．平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r>0)，规定：比值 eq \f(y－x,r)叫做α的正余混弦，记作sch α.若sch α＝ eq \f(1,5)(0<α<π)，则tan α＝(　　) A．－ eq \f(3,4) B． eq \f(3,4) C．－ eq \f(4,3) D． eq \f(4,3) 解析：选D.由题意得sch α＝ eq \f(1,5)＝ eq \f(y－x,r)＝ eq \f(y－x,\r(x2＋y2))(0<α<π)，∴25(y－x)2＝x2＋y2，且y>x，即24( eq \f(y,x))2－50( eq \f(y,x))＋24＝0，且y>x，解得 eq \f(y,x)＝ eq \f(4,3)，故tan α＝ eq \f(4,3). 14．已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝n(0＜n＜1)，试判断式子sin αcos α的符号． 解：若0＜α＜ eq \f(π,2)，则如图所示，在单位圆中，|OM|＝cos α，|MP|＝sin α， 所以sin α＋cos α＝|MP|＋|OM|＞|OP|＝1. 若α＝ eq \f(π,2)，则sin α＋cos α＝1. 由已知0＜n＜1，得α∈( eq \f(π,2)，π)， 则sin α＞0，cos α＜0. 于是有sin αcos α<0. $