4.5.1 函数的零点与方程的解-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦指数函数与对数函数，通过自主学习空白区域引导学生观察，结合知识梳理（如函数零点填空）与探究任务搭建学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于PPT支持任意编辑（双击内容调用Word文档编辑），采用分层设计（课堂评价含图形选择题、课后分层练）。通过函数零点概念抽象（数学眼光）、分段函数典例推理（数学思维）、图形选择表达（数学语言），助力学生发展抽象能力与推理意识，教师可灵活调整内容提升教学效率。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第四章 指数函数与对数函数 3 目 录 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4．5　函数的应用(二) 4．5.1　函数的零点与方程的解　　　 学习目标　1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系，提升数学抽象素养．(重点)　2.会借助函数零点存在定理判断函数零点所在大致区间，提升逻辑推理素养．(重点)　3.了解函数零点存在定理、会判断函数零点的个数，提升数学运算和直观想象素养．(重点、难点) 提示：不一定． 　　某城市冬季某天，早晨6点气温为6 ℃，傍晚6点气温降至－3 ℃. 问题1　能否确定这一天早晨6点至傍晚6点中某个时刻气温恰好为0 ℃？ 提示：能，气温是连续变化的，会在某个时刻气温恰好为0 ℃. 问题2　如果某天中午12点气温为11 ℃，那么在早晨6点至中午12点这一段时间内，是否存在某一时刻气温为0 ℃？ 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P143，如何理解若f(x)是连续函数，f(a)·f(b)<0是方程f(x)＝0在区间(a，b)内有解的充分不必要条件． 提示：在区间(a，b)内，方程f(x)＝0至少有一个解，只说明了方程f(x)＝0解的存在，并不能判断具体有多少个解． 当f(a)·f(b)>0时，方程f(x)＝0也可能有解，如图所示． 所以f(a)·f(b)<0是方程f(x)＝0在区间(a，b)内有解的充分不必要条件． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝2x－1的零点是(，0)．(　　 ) (2)函数f(x)＝x2＋x＋1有零点．(　　 ) (3)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．(　　 ) (4)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上满足f(a)f(b)>0，则在区间(a，b)上一定没有零点．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 　函数的零点与方程的解 　　　观察下列三组方程与函数： 方程 函数 x2－2x－3＝0 y＝x2－2x－3 x2－2x＋1＝0 y＝x2－2x＋1 x2－2x＋3＝0 y＝x2－2x＋3 问题3利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系． 提示：方程x2－2x－3＝0的根为－1，3，函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于点(－1，0)，(3，0)； x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为1，函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有唯一交点(1，0)； x2－2x＋3＝0没有实数根，函数y＝x2－2x＋3的图象与x轴无交点． 方程f(x)＝0的根就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 1．概念 使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的实数解的关系 f(x)＝0 x轴 f(x)＝0 例1　(链接教材：人教A版P143探究)已知函数f(x)＝ 则函数y＝f(x)的零点是_______________________________． 解析：依题意， 解得x＝－1或x＝4. 答案：－1或4 类题通法 　 探究函数零点的两种方法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点． (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 【迁移运用】 如果函数f(x)＝ax－b有一个零点是3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是__________． 解析：因为函数f(x)＝ax－b有一个零点是3，所以f(3)＝3a－b＝0，即b＝3a， 令g(x)＝bx2＋3ax＝3ax2＋3ax＝0，可得x＝0或x＝－1. 答案：－1，0 　函数零点存在定理 观察函数f(x)＝x2－2x－3的图象． 问题4　f(x)在区间(－2，1)上有零点吗？f(－2)·f(1)的值和0有什么关系？ 提示：利用图象可知，有零点－1∈(－2，1)，且f(－2)>0，f(1)<0，所以f(－2)·f(1)<0. 问题5　f(x)在区间(2，4)上有零点吗？f(2)·f(4)的值与0有什么关系？ 提示：利用图象可知有零点3∈(2，4)，且f(2)<0，f(4)>0，所以f(2)·f(4)<0. 1．条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ． 2．结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内 零点， 即 ，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． f(a)f(b)<0 至少有一个 存在c∈(a，b) 温馨提示 (1)定理要求具备两个条件：①函数在区间[a, b]上的图象是连续不断的； ②f(a)f(b)<0.两个条件缺一不可. (2)利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能确定零点的个数. 角度一　探求零点所在区间 例2　(链接教材：人教A版P144练习2)(一题多解)f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) 解析：选C.法一：∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，∴f(x)在(0，1)内有零点． 法二：ex＋x－2＝0, 即ex＝2－x， ∴原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．如图，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为(0，1)． 类题通法 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上； (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点； (3)数形结合法：通过函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 角度二　判断零点个数 例3　(链接教材：人教A版P143例1)方程x＋ln x＝3解的个数为__________． 解析：令f(x)＝x－3＋ln x＝0，则ln x＝3－x， 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象，如图所示． 由图可知函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ln x只有一个零点．故原方程只有1个解． 答案：1 类题通法 　 判断函数零点个数的常用方法 (1)直接法：解方程f(r)=0，方程f(r)=0解的个数就是函数f(c)零点的个数。 (2)图象法：直接作出函数f(r)的图象，图象与r轴公共点的个数就是函数f(x)零点的个数。 (3)f(r)=g(r)-h(r)=0, 得g(x)=h(r)，在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(r)的图象，则两个图象公共点的个数就是函数y=f(r)零点的个数。 1．(多选)下列图象表示的函数中有两个零点的有(　　 ) 答案：CD 2．(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的有(　　 ) A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点 C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点 D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点 解析：选ABD.由题知f(0)·f(1)<0，所以根据函数零点存在定理可得f(x)在区间(0，1)上一定有零点，又f(1)·f(2)>0，因此无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点． 3．函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是1和2，则函数g(x)＝ax2－bx－1的零点为________． 解析：选D.由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3－x>0，,2x＋1>0，)) ∴－ eq \f(1,2)<x<3. 答案：－1和 4．若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是________． 解析：根据指数函数与幂函数的性质，可知函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，所以f(2)>0且f(1)<0，即解得0<a<3. 答案：(0，3) 1．下列函数中有变号零点的是(　　 ) A．f(x)＝3x B．f(x)＝x2 C．f(x)＝log3x D．f(x)＝ 解析：选C.函数f(x)＝3x>0，不存在零点，排除A；函数f(x)＝x2，存在零点x＝0，但是当x<0时，f(x)>0，当x>0时，f(x)>0，x＝0不是变号零点，排除B；函数f(x)＝log3x存在零点x＝1，且当0<x<1时，f(x)<0，当x>1时，f(x)>0，故C正确；函数f(x)＝不存在零点，排除D. 解析：选B.令解得x＝－1.令 解得x＝1. 2．函数f(x)＝的零点是(　　 ) A．(－1，0)，(1，0) B．－1，1 C．(－1，0) D．－1 解析：选B.方法一：易知f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，故函数的零点所在区间为(－1，0)． 方法二：画出y＝2x与y＝－3x的图象(图略)，知其交点在(－1，0)内． 3．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　 ) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) 解析：选A.构造函数y＝2－x与y＝3－x2，在同一坐标系中作出它们的图象(图略)，可知有两个交点，故方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为2. 4．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为(　　 ) A．2 B．3 C．1 D．4 解析：选B.由题表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，又f(x)的图象连续不断，故f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点． 5．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 f(x) 15 10 －7 6 －4 －5 则函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　 ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．已知实数x0是函数f(x)＝的一个零点，若0<x1<x0<x2，则(　　 ) A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0 解析：选B.函数f(x)＝>0. 7．(一题多解)已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则(　　 ) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b 解析：选B.方法一：函数f(x)＝2x＋x的零点即为函数y＝2x和y＝－x图象交点的横坐标；函数g(x)＝x－2的零点即为函数y＝－2和y＝－x图象交点的横坐标；函数h(x)＝log2x＋x的零点即为函数y＝log2x和y＝－x图象交点的横坐标． 作出函数图象如图所示，由图可知a<c<b. 方法二：因为f(x)＝2x＋x在定义域上为增函数，所以f(x)最多有一个零点． ∵f(－1)＝<0，f(0)＝1>0， ∴f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1，0)． ∵g(2)＝0，∴g(x)的零点为b＝2. 易知h(x)为定义域上的增函数， 所以h(x)最多只有一个零点． h<0，h(1)＝1>0， 所以h(x)的零点c∈，因此a<c<b. 8．函数f(x)＝|x2－2x|－a2－1(a>0)的零点的个数是________． 解析：令f(x)＝0，则|x2－2x|＝a2＋1. 因为a>0，所以a2＋1>1. 作出函数y＝|x2－2x|的图象如图所示， 所以函数y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点，因此函数f(x)＝|x2－2x|－a2－1有两个零点． 答案：2 解：(1)当x>0时，f(x)＝1－， 所以f(1)＝1－＝0. 9．已知a∈R，函数f(x)＝ (1)求f(1)的值； (2)求函数f(x)的零点． (2)当x>0时，由(1)知1是函数f(x)的一个零点． 当x≤0时，令f(x)＝0，即(a－1)x＋1＝0　(*)． 当a>1时，由(*)得x＝<0，所以是函数f(x)的一个零点； 当a＝1时，方程(*)无解； 当a<1时，由(*)得x＝>0(舍去)． 综上所述，当a>1时，函数f(x)的零点是1和；当a≤1时，函数f(x)的零点是1. 解：(1)当a＝1时，f(x)＝2×4x－2x－1. 令f(x)＝0，即2×(2x)2－2x－1＝0， 解得2x＝1或2x＝－(舍)． 所以x＝0，即函数f(x)的零点为0. 10．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1. (1)当a＝1时，求函数f(x)的零点； (2)若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围． (2)若f(x)有零点，则方程2a·4x－2x－1＝0有解， 于是2a＝＝2－有解． 因为>0，所以2a>＝0，即a>0. 故实数a的取值范围为(0，＋∞)． 解析：令lg x＝t，因为x∈(0，1)，所以t∈(－∞，0)， 故t2－at＋1＝0在(－∞，0)上有两个不同的实数根，令f(t)＝t2－at＋1，t∈(－∞，0)， 故解得a<－2. 答案：(－∞，－2) 【综合运用】 11．若关于x的方程(lg x)2－a·lg x＋1＝0在区间(0，1)上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是________． 12．设函数f(x)＝若函数f(x)恰有3个零点，则实数m的取值范围为________________． 解析：由题意，设函数g(x)＝ 令f(x)＝0，即g(x)＝m，所以问题转化为函数y＝g(x)与y＝m的图象有3个交点．在平面直角坐标系内，作出函数g(x)的图象如图所示， 结合图象可知，当－1<m≤2时，函数y＝g(x)与y＝m的图象有3个交点，故实数m的取值范围为(－1，2]. 答案：(－1，2] 13．已知函数f(x)＝min{2x，－x＋1}． (1)画出函数f(x)的图象，并写出f(x)的解析式； (2)设g(x)＝， ①求出g(x)的零点，并直接写出函数的单调区间； ②若g(x)＝m有四个不同的解，直接写出m的取值范围． 解：(1)因为f(x)＝min{2x，－x＋1}， 所以f(x)＝ 函数f(x)的图象如图所示． (2)①令g(x)＝0，可得f(x)＝， 当x≤0时，2x＝，解得x＝－1； 当x>0时，－x＋1＝，解得x＝. 所以g(x)的零点为x＝－1和x＝. g(x)＝的图象如图所示， 故g(x)在(－∞，－1)，上单调递减；在(－1，0)，上单调递增． ②若g(x)＝m有四个不同的解， 则y＝g(x)与y＝m的图象有四个交点，如图所示， 所以m的取值范围为. 【创新探索】 14．已知函数f(x)＝ (1)在图中作出函数f(x)的图象(直接作图，不需要写出作图过程)； (2)求函数y＝4[f(x)]2－13f(x)＋9的零点个数． 解：(1)函数f(x)的图象如图所示． (2)在方程4[f(x)]2－13f(x)＋9＝0中，令t＝f(x)，则4t2－13t＋9＝(t－1)(4t－9)＝0，解得t＝1或t＝，即f(x)＝1或f(x)＝. 由f(x)的图象可知，直线y＝与f(x)的图象有3个公共点，即f(x)＝有3个不同的实数解；直线y＝1与f(x)的图象有4个公共点，即f(x)＝1有4个不同的实数解． 综上所述，函数y＝4[f(x)]2－13f(x)＋9的零点个数为3＋4＝7. $