4.4.3 不同函数增长的差异-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦必修一第四章指数函数与对数函数，通过“自主学习·新知感悟”引导学生初步感知，结合“合作探究·思维进阶”中的探究任务与知识梳理、典例研析，构建从基础到深化的学习支架，帮助学生梳理函数概念及图像性质的脉络。 其亮点在于支持PPT任意编辑便于教师个性化教学，采用分层设计（如课后分层练15题）与直观化呈现（如函数图像展示y=2^x等表达式及坐标轴刻度），通过数学眼光观察函数图像特征，数学思维推理探究任务，数学语言表达课堂评价中的数量关系。这一设计能提升学生的抽象能力与探究意识，也为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第四章 指数函数与对数函数 3 目 录 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 学习目标　1.了解常用的描述现实生活中不同增长规律的函数模型，提升数学建模素养．(重点)　2.了解“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”的含义，提升直观想象素养．(重点、难点)　3.会分析具体的实际问题，通过建模解决实际问题，提升数学建模素养．(重点) 4．4.3　不同函数增长的差异 在社交媒体平台上，一个有趣的视频被发布．起初，只有少数几个人看到了这个视频．但由于人们的分享和传播，看到这个视频的人数就会以指数形式增长．假设一条新转发的视频会有5个分享和传播． 问题1　如果这种增长持续10轮，第10轮增长人数相对开始，看到的人数增长了多少倍？ 提示：510 倍 问题2　经过n轮，新转发y如何用数学表达式表示？ 提示：y＝5n. 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P136～137，分析思考：“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义． 提示：直线上升：匀速上升；对数增长：缓慢增长；指数爆炸：增长越来越快． (2)请认真阅读教材P136～138，分析思考：函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)，y＝kx(k>0)增长速度的快慢． 提示：存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax. 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．(　　 ) (2)对任意的x>0，kx>logax.(　　 ) (3)存在一个实数m，使得x>m时，1.01x>x10.(　　 ) (4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型．(　　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 　三种常见函数模型的比较 　　　把一次函数y＝2x、对数函数y＝lg x和指数函数y＝2x的图象画到同一平面直角坐标系下，观察图象并思考下面问题： 问题3　这三个函数在区间(0，＋∞)内的单调性是怎样的？ 提示：都是单调递增函数． 问题4　当x趋于无穷大时，在这三个函数中，哪一个函数的增长速度快？哪一个慢？ 提示：函数y＝2x增长速度最快，y＝2x匀速增长，y＝lg x的增长速度最慢． ax>kx>logax 名称 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞)上的增减性 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过 的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有logax<kx 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有 单调递增 单调递增 单调递增 y＝kx(k>0) 例1　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 025)，g(2 025)的大小． 解：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)因为f(1)＝2>g(1)＝1，f(2)＝4<g(2)＝8，f(9)＝512<g(9)＝729， f(10)＝1 024>g(10)＝1 000，所以1<x1<2，9<x2<10，所以x1<6<x2，2 025>x2， 从题图上可以看出：当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6)． 当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 025)>g(2 025)．所以f(2 025)>g(2 025)>g(6)>f(6)． 类题通法 由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法 根据图象判断指数函数、对数函数和一次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数，图象呈直线上升的函数是一次函数． 【迁移运用】 若x∈(0，＋∞)，则使log2x<2x<x2成立的x的取值范围是________，使log2x<x2<2x成立的x的取值范围是________． 解析： 在同一平面直角坐标系中作出y＝2x，y＝x2，y＝log2x在(0，＋∞)上的图象如图所示， 由图得，若log2x<2x<x2，则2<x<4， 若log2x<x2<2x，则0<x<2或x>4. 答案：(2，4)　(0，2)∪(4，＋∞) 　函数模型的选择 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． (4)幂函数模型：幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． 例2　近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2022年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2022到2024年，每年年末该平台的会员人数如下表所示． 建立平台第年 1 2 3 会员人数(千人) 22 34 70 (1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第x(x∈N*)年年末会员人数y(千人)，求出你所选择模型的解析式，并预测2025年年末的会员人数； ①y＝b,x＋c(b>0)；②y＝dlogrx＋e(r>0，r≠1)；③y＝tax＋s(a>0，a≠1)． (2)为了更好地维护管理平台，该平台规定第x年年末的会员人数上限为k·9x(k>0)千人，请根据(1)中得到的函数模型，求k的最小值． 解：(1)由表格中的数据知，所求函数是一个增函数，且增长越来越快， 模型①的函数递减，模型②的函数即使递增，增长也较缓慢，因此选择模型③， 于是ta＋s＝22，ta2＋s＝34，ta3＋s＝70，解得a＝3，t＝2，s＝16， 所以函数模型对应的解析式为y＝2·3x＋16(x∈N*)， 当x＝4时，预测2025年年末的会员人数为2×34＋16＝178千人． (2)由(1)及已知得，对∀x∈N*，都有2·3x＋16≤k·9x，令t＝3x≥3，则k≥＋ 令m＝1,t∈(0，]，则不等式右边等价于函数f(m)＝16m2＋2m， 函数f(m)在区间(0，]上单调递增，因此f(m)max＝f()＝16×＋2×＝， 则k≥，所以k的最小值为． 类题通法 建立函数模型应遵循的三个原则 (1)简化原则：建立函数模型，模型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型； 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论； (3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题． 1．有一组实验数据如表： x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 则体现这些数据的最佳函数模型是(　　 ) A.y＝ B．y＝log2x C．y＝ D．y＝x2 解析：选C.观察表中数据，知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快， 而选项A，B中的函数增长速度越来越慢，A、B不正确；对于C，当x＝6时，y≈21.33；对于D，当x＝6时，y＝18，误差偏大，C最佳． 2．下列函数增长速度最快的是(　　 ) A．y＝1.1x B．y＝2 023x2 C．y＝log2 023x D．y＝2 023x 解析：选A.由函数y＝1.1x为单调递增的指数函数，函数y＝2 023x2为二次函数，y＝log2 023x为递增的对数函数，y＝2 023x为递增的一次函数， 根据一次函数、指数函数与对数函数、二次函数的图象与性质，可得指数函数增长速度最快． 3．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案：甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案． 解析：将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出． 答案：乙、甲、丙 4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________. 解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方，则f(x)>g(x). 答案：f(x)>g(x) 【基础巩固】 1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　 ) A．y＝6x B．y＝log6x C．y＝x6 D．y＝6x 解析：选B.指数函数y＝6x的增长速度越来越快，对数函数y＝log6x的增长速度越来越慢，幂函数y＝x6的增长速度越来越快，一次函数y＝6x匀速增长． 解析：选B.根据题意，得函数解析式为y＝(1＋10.4%)x＝1.104x(x≥0)，所以函数为指数函数， 因为1.104>1，所以函数单调递增，且过点(0，1)． 2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的y倍，需经过x年，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　 ) 解析：选D.由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大． 3．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x.如果它们一直运动下去，则最终在最前面的物体具有的函数关系是(　　 ) A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝2x C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x 解析：选D.由题表中数据可知函数值都大于0，并且当x＝0时，y≈1，函数单调递增，而且增加的速度越来越快，符合指数函数模型． 4．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为(　　 ) x －2 －1 0 1 2 3 y 16 0.26 1.11 3.96 16.05 63.98 A.一次函数模型 B．二次函数模型 C．对数函数模型 D．指数函数模型 5．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量的增长速度保持不变，则可以用来描述该厂前t(0≤t≤6)年这种产品的年产量c与时间t的函数关系的图象是(　　 ) 解析：选A.注意以下几种情形：图1表示不再增长，图2表示增速恒定不变，图3表示增长速度越来越快，图4表示增长速度逐渐变慢．分析可知A正确． 答案：BC 6．(多选)在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，下列说法正确的是(　　 ) A．前5 min温度增加越来越快 B．前5 min温度增加越来越慢 C．5 min后温度保持匀速增加 D．5 min后温度保持不变 7．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________． 解析：当x变大时，y＝x比y＝ln x增长得快，故y＝x2比y＝x ln x增长得快． 答案：y＝x2 解析：把x＝1，2，3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较符合． 答案：甲 8．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，有两个待选函数模型：甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型．(填甲或乙) 9．某种动物的数量y(只)与时间x(年)的关系式为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年这种动物发展到________只． 解析：把x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)，得a＝100， 故函数关系式为y＝100log2(x＋1)， 所以当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300. 所以到第7年这种动物发展到300只． 答案：300 10．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x(克)的关系为：当0≤x<6时，y是x的二次函数；当x≥6时，y＝1,3x－t.测得数据如下表(部分)： x 0 1 2 9 … y 0 3 … (1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数f(x)的最大值． 解：(1)当0≤x<6时，由题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由表格数据可得解得， 所以当0≤x<6时，f(x)＝x2＋2x. 当x≥6时，f(x)＝x－t，由表格数据可得f(9)＝9-t＝1,9，解得t＝7， 所以当x≥6时，f(x)＝x-7. 综上，f(x)＝x2＋2x，0≤x<6，f(x)=x-7，x≥6. (2)当0≤x<6时，f(x)＝x2＋2x＝(x－4)2＋4，所以当x＝4时，函数f(x)的最大值为4； 当x≥6时，f(x)＝x-7单调递减， 所以f(x)的最大值为f(6)＝6-7＝3. 因为4>3，所以函数f(x)的最大值为4. 【综合运用】 11．(多选)某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表： x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合效果较差的3个曲线是(　　 ) A．y＝2x－2 B．y＝x C．y＝log2x D．y＝(x2－1) 解析：选ABC.可以采用特殊值代入法，取某个x的值代入，再比较函数值是否与表中数据相符．可取x＝4，经检验易知D拟合效果最好，A、B、C较差． 解析：选A.易知在区间(0，＋∞)上，当x∈(0，2)时，2x>x2，即y>0；当x∈(2，4)时，2x<x2，即y<0；当x∈(4，＋∞)时，2x>x2，即y>0.又当x＝－1时，y＝2-1－1<0，据此可知只有A符合条件． 12．函数y＝2x－x2的图象大致是(　　 ) 13．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0，且a≠1)的图象．有以下叙述： ①第4个月时，剩留量就会低于1,5； ②每月减少的有害物质的量都相等； ③若剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3. 其中所有正确叙述的序号是________． 解析：根据图象过(2，)可知＝a2，解得a＝或a＝－(舍)，所以函数式为y＝(2,3)t，令t＝4，y＝16,81<1,5，故①正确； 当t＝1时，y＝，减少，当t＝2时，y＝，减少，故②错误； 令y＝，，，解得t1＝log2,3，t2＝log1,4，t3＝log1,8，所以t1＋t2＝t3，故③正确． 答案：①③ 【创新探索】 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，过原点O的直线与函数y＝3x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y＝9x的图象于点C.若AC平行y轴，则点A的坐标是________． 答案：(log32，2) 解析：由题意设A(n，3n)，B(m，3m)，由9n＝32n＝3m得m＝2n，即n＝，则C(，3m)，A(，)．又因为A，B，O三点共线，设直线AB对应的解析式为y＝kx(k>0)，则 解得m＝2log32，所以n＝log32，所以点A的坐标为(log32，2)． 15．某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况进行调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减． (1)给出下列几个模拟函数： ①y＝ax2＋bx(a≠0)；②y＝kx＋b(k≠0)； ③y＝logax＋b(a>0，且a≠1)；④y＝ax＋b(a>0且a≠1)． x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L. 用哪个模拟函数来描述年人均A饮料销售量与地区人均GDP的关系更合适？说明理由； (2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把(1)中所选的模拟函数求出来，并求出年人均A饮料的销售量最大值． 解：(1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．而②③④表示的函数均是单调函数，所以②③④都不合适，故用①来模拟比较合适． 把x＝1，y＝2；x＝4，y＝5代入y＝ax2＋bx中，得 解得 所以函数的解析式为y＝－x2＋x(x∈[0.5，8])． 因为y＝－x2＋x＝－1,4x－2＋， 所以当x＝时，年人均A饮料的销售量最多，最多是 L. $