4.4.2 第2课时 对数型函数的图象和性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦对数函数的图象和性质及反函数概念，通过合作探究任务导入，如分析log_(1/2)(x²+1)的单调区间，连接指数函数与对数函数的反函数关系，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“类型通法”总结解题步骤，如求对数型函数单调区间分定义域、内外层函数单调性、分类讨论三步，结合典例研析培养逻辑推理素养，通过反函数图象对称关系提升直观想象。分层练习和可编辑PPT设计，帮助学生系统掌握知识，也便于教师灵活教学。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第四章 指数函数与对数函数 3 目 录 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第2课时　对数型函数的图象和性质　 学习目标　1.进一步掌握对数函数的图象和性质，提升直观想象和逻辑推理素养．(重点、难点)　2.利用单调性进一步求函数的定义域和简单值域问题，提升逻辑推理素养．(重点、难点)　3.了解反函数的概念和图象特点，提升直观想象素养．(重点) 4．4.2　对数函数的图象和性质 　对数型函数的性质 角度一　对数型函数的单调性 例1　写出下列函数的单调区间． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝log2(x2－2x－3)． 解：(1)定义域为R，u＝x2＋1在x∈(－∞，0)上单调递减，在x∈(0，＋∞)上单调递增， 又f(x)＝为减函数， 根据同增异减原则，得f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)． (2)x2－2x－3>0⇒x>3或x<－1，定义域x∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)，u＝x2－2x－3在x∈(－∞，－1)上单调递减，在x∈(3，＋∞)上单调递增， 又f(x)＝log2u为增函数， 根据同增异减原则，得f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(3，＋∞)． 求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间的步骤 (1)求出函数的定义域． (2)研究函数t＝f(x)和函数y＝logat在定义域上的单调性． (3)判断函数的增减性，求出单调区间． 注意：要注意对底数进行分类讨论． 类题通法 角度二　对数型函数的最值与值域 例2　(链接教材：人教A版P140习题4.4T7)求下列函数的值域： (1)y＝log3(2x－1)，x∈[1，2]； (2)f(x)＝log2·log2. 解：(1)∵1≤x≤2，∴1≤2x－1≤3， ∴0＝log31≤log3(2x－1)≤log33＝1. ∴函数y＝log3(2x－1)，x∈[1，2]的值域是[0，1]. (2)∵f(x)＝log2·log2＝(log2x－2)·(log2x－1)＝ －， 又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2， ∴当log2x＝，即x＝时，f(x)取最小值－. 当log2x＝0，即x＝1时，f(x)取得最大值2， ∴函数f(x)的值域是. 求对数型函数值域(最值)的方法 对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域(最值)的求解步骤如下： (1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； (2)求f(x)的定义域； (3)求u的取值范围； (4)利用y＝logau的单调性求解． 类题通法 角度三　对数型函数的奇偶性 例3　(链接教材：人教A版P161复习参考题4T11)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝____. 解析：由奇函数得f(x)＝－f(－x)，则log2＝－log2，即，得a2＝1，因为a≠－1，所以a＝1. 答案：1 (1)判断函数的奇偶性：①先求函数的定义域，②看定义域是否关于原点对称，③利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)判断是奇函数还是偶函数。 (2)解不等式：利用函数的单调性与奇偶性，将对数不等式转化为整式或分式不等式。 类题通法 　反函数 　　　给出函数f(x)＝2x与g(x)＝log2x. 问题1　两个函数的定义域、值域之间有什么关系？ 提示：f(x)的定义域、值域分别是g(x)的值域、定义域． 问题2　在同一坐标系中，两函数的图象有什么关系？ 提示：f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称． 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的 与 正好互换． 定义域 值域 例4　(链接教材：人教A版P135探究)若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，函数f(x)＝，则f(2)＋g(4)＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选D.∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，f(x)＝－x＝2x，∴g(x)＝log2x， ∴f(2)＋g(4)＝22＋log24＝6. 互为反函数的函数的性质 (1) 同底数的指数函数与对数函数互为反函数． (2) 互为反函数的两个函数的定义域与值域互换． (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． 类题通法 【迁移运用】 若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(f(2))＝(　　) A．16 B．0 C．1 D．2 解析：选B.函数y＝2x的反函数是y＝log2x，即f(x)＝log2x， ∴f(f(2))＝f(log22)＝f(1)＝log21＝0. 1．已知函数f(x)＝ln (2＋x)－ln (2－x)，则f(x)是(　　 ) A．奇函数，且在(0，2)上是增函数 B．奇函数，且在(0，2)上是减函数 C．偶函数，且在(0，2)上是增函数 D．偶函数，且在(0，2)上是减函数 解：选A.因为f(－x)＝ln (2－x)－ln (2＋x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数；因为y＝ln (2＋x)与y＝－ln (2－x)在(0，2)上是增函数，所以f(x)在(0，2)上是增函数． 2．函数y＝log3x的反函数的定义域为(　　) A.(0，＋∞) B． C．(1，4) D．[－1，4] 解析：选D.由y＝log3x，可知y∈[－1，4]. 所以反函数的定义域为x∈[－1，4]. 3．已知函数y＝loga(2－ax)在区间[0，1]上为减函数，则实数a的取值范围是________． 解析：对数函数a>0，且内层函数u(x)＝2－ax为减函数，故外层函数应为增函数，所以a>1，对数真数u(x)＝2－ax>0，u(1)＝2－a>0⇒a<2，故a∈(1，2)． 答案：(1，2) 4．求函数y＝log2(x－2)在区间[3，4]上的最大值． 解：因为x∈[3，4]，所以x－2∈[1，2]， 所以log2(x－2)∈[0，1]，最大值为1. 【基础巩固】 1．函数f(x)＝的单调递增区间是(　　 ) A． B．(0，1] C．(0，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：选D.f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)． 2．(2025·四川南充模拟)“a<b＋e”是“ln (a－b)<1”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：选B.因为a<b＋e，所以a－b<e， 又因为a－b不一定大于0，即ln (a－b)不一定成立， 所以“a<b＋e”是“ln <1”的不充分条件， 因为y＝ln x在上单调递增， 所以ln <1⇔0<a－b<e，即a<b＋e，所以“a<b＋e”是“ln (a－b)<1”的必要条件， 所以“a<b＋e”是“ln <1”的必要不充分条件． 解析：选C.当x<0时，－x>0，f(－x)＝log2(－x)．又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)． 3．设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则当x<0时，f(x)的解析式为(　　 ) A．f(x)＝－log2x B．f(x)＝log2(－x) C．f(x)＝－log2(－x) D．f(x)＝logx2 4．(多选)关于函数f(x)＝lg 有下列结论，其中正确的是(　　 ) A．定义域是(0，＋∞) B．f(x)是奇函数 C．f(x)的最小值为－lg 2 D．f(x)在(0，1)上单调递增 解析：选AD.由>0，得x>0，∴函数的定义域为(0，＋∞)，故A正确； ∵定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数，故B错误； ∵∈，∴f(x)无最小值，有最大值－lg 2，故C错误； 令u＝，可知u在(0，1)上单调递增，故f(x)在(0，1)上单调递增，故D正确． 解析：函数f(x)的反函数为g(x)＝logax，代入点(2，－1)，可得a＝. 答案： 5．如果函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的反函数图象过点(2，－1)，则a＝________． 答案： 6．不等式>0的解集为________． 解析：由>0，得4x＋2x+1<1，即(2x)2＋2·2x<1，(2x＋1)2<2，所以2x<－1，两边取以2为底的对数，得x<log2. 7．函数f(x)＝log2(4－x2)的单调递增区间是___________值域是________． 解析：由4－x2>0，得－2<x<2，所以函数f(x)＝log2(4－x2)的定义域为(－2，2)，所以函数f(x)＝log2(4－x2)的单调递增区间为(－2，0)，由0<4－x2≤4，知f(x)∈(－∞，2]. 答案：(－2，0)　(－∞，2] 解析：由题可知，a>0且a≠1， 令u＝3＋ax，则函数u＝3＋ax在[－2，－1]上是增函数， 又函数y＝loga(3＋ax)在[－2，－1]上是增函数，所以a>1，且umin＝－2a＋3>0，解得a<，所以1<a<. 答案： 8．若函数y＝loga(3＋ax)在[－2，－1]上单调递增，则实数a的范围是________． 9．已知f(x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明； (3)求f的值． 解：(1)由得－2<x<2， 所以函数f(x)的定义域为{x|－2<x<2}． (2)f(x)为偶函数，证明如下： 因为函数f(x)的定义域为{x|－2<x<2}，关于原点对称， 又f(－x)＝lg (2－x)＋lg (2＋x)＝f(x)， 所以函数f(x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)为偶函数． (3)f＝lg ＋lg ＝lg []＝lg 1＝0. 解：由－x2＋2x＋1>0，知函数的定义域为. 设t＝－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2. ∵y＝为减函数，且0<t≤2， ∴y≥－1，故y＝的值域为[－1，＋∞)． ∵t＝－x2＋2x＋1在上单调递增，在上单调递减， 又y＝为减函数， ∴函数y＝的单调递增区间为，单调递减区间为. 10．求函数y＝的值域和单调区间． 解析：选A.因为f(x)＝ln ＋2，所以f(x)＋f(－x)＝＋2＋ln ＋2＝ln 1＋4＝4，则f(lg 5)＋＝f(lg 5)＋f(－lg 5)＝4. 【综合运用】 11．已知函数f(x)＝ln ＋2，则f(lg 5)＋f等于(　　 ) A．4 B．0 C．1 D．2 12．(多选)若函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，则(　　 ) A．f(x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值 B．f(x)在(1，＋∞)上单调递减且无最小值 C．f(x)在定义域内是偶函数 D．f(x)的图象关于直线x＝1对称 解析：选AD.由|x－1|>0，得函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}． 设g(x)＝|x－1|＝则g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，D正确； 因为f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，所以a>1，所以f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上单调递增且无最大值，A正确，B错误； f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，C错误． 解析：令t＝log2x，则t∈(0，2]，∴原函数化为y＝t2－3t＋4，t∈(0，2]，其对称轴方程为t＝，∴当t＝时，y有最小值为；当t＝0时，y有最大值为4，但取不到，∴f(x)的值域为. 答案： 13．函数f(x)＝(log2x)2－log2x3＋4，x∈(1，4]的值域为________． 14．已知函数f(x)＝log eq \f(1－ax,x－1)的图象关于原点对称，其中a为常数． (1)求a的值； (2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)<m恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)∵函数f(x)的图象关于原点对称， ∴函数f(x)的定义域关于原点对称， ∵>0， ∴(x－1)(1－ax)>0， 令(x－1)(1－ax)＝0， 得x1＝1，x2＝，∴＝－1，a＝－1， 经验证，a＝－1满足题意． (2)∵f(x)＋log(x－1)＝log＋log(x－1)＝log(1＋x)， ∴当x>1时，log(1＋x)<－1， 又当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)<m恒成立，∴m≥－1， 即实数m的取值范围是[－1，＋∞). 【创新探索】 15．如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y＝logax(a>1)的图象上，则实数a＝________. 答案： 解析：设B(x，2logax)，∵BC平行于x轴，∴C(x′，2logax)，即logax′＝2logax，∴x′＝x2，∴正方形ABCD的边长|BC|＝x2－x＝2，解得x＝2.由已知得AB垂直于x轴，A(x，3logax)，正方形ABCD边长|AB|＝3logax－2logax＝logax＝2，即loga2＝2，∴a＝. $