4.4.2 第1课时 简单对数函数的图象和性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦对数函数的图象和性质，通过历史背景引入对数发明，类比指数函数研究路径，设置自主学习（教材挖深、自主评测）、合作探究（图象观察、问题链）、学以致用（典例研析、变式训练）的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以直观想象（图象对称性观察）、逻辑推理（类比方法、分类讨论解不等式）和数学表达（表格梳理性质、符号语言描述）为核心素养导向，结合分层练习（基础巩固、综合运用、创新探索）和PPT可编辑功能，学生能系统掌握知识与方法，教师可高效开展同步教学。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第四章 指数函数与对数函数 3 目 录 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4．4.2　对数函数的图象和性质 第1课时　简单对数函数的图象和性质　 学习目标　1.初步掌握对数函数的图象和性质，提升直观想象素养．(重点)　2.会类比指数函数研究对数函数的性质，提升逻辑推理素养．(重点)　3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用，提升直观想象和数学运算素养．(重点、难点) 历史上纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在著作《奇妙的对数定律说明书》中公布．恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明．法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说：“对数，可以缩短计算时间，在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”． 问题1　如何研究指数函数？ 提示：从指数函数的概念、图象、性质和应用等方面入手． 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P132～133，底数互为倒数的两个对数函数的图象什么关系？为什么？ 提示：关于x轴对称，利用换底公式可知y＝＝－logax，而(x，y)与(x，－y)关于x轴对称，因此函数图象关于x轴对称． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)对数函数的图象都过定点(0，1)．(　　 ) (2)对数函数的图象都在y轴的右侧．(　　 ) (3)若对数函数y＝log2ax是减函数，则0<a<.(　　 ) (4)y＝2x与y＝2log4x互为反函数．(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 　对数函数的图象与性质 　　　观察下图： 问题2　从图象上看，函数y＝log2x与y＝的图象有什么关系？函数y＝logax与y＝(a>0，且a≠1)呢？ 提示：函数y＝log2x与y＝的图象关于x轴对称；函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称． (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 R 单调性 增函数 减函数 共点性 图象过点 ，即loga1＝0 函数值 特点 x∈(0，1)时，y∈ ；x∈[1，＋∞)时，y∈ x∈(0，1)时，y∈ ；x∈[1，＋∞)时，y∈ 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 (0，＋∞) (1，0) 例1　(1)(链接教材：人教A版P135练习1)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________． 解析：由图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1，0＜d＜1. 过点(0，1)作平行于x轴的直线l(图略)，则直线l与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c＞0. 答案：b>a>1>d>c (2)函数f(x)＝ax-2＋loga(x－1)＋1(a＞0，a≠1)的图象必经过点________． 解析：当x＝2时，f(2)＝a0＋loga1＋1＝2，所以图象必经过点(2，2)． 答案：(2，2) 对数函数底数对图象的影响, a，b，c，d是图象对应的对数函数的底数，根据图象，其大小关系为0<c<d<1<a<b. 类题通法 【迁移运用】 (2025·杭州检测)函数f(x)＝logn(x＋m)恒过定点(－2，0)，则m的值为(　　 ) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：选C.由函数f(x)＝logn(x＋m)恒过定点(－2，0)，可得logn(－2＋m)＝0，所以－2＋m＝1，解得m＝3. 　对数函数单调性的应用 问题3　对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)图象的“上升”或“下降”与什么有关？ 提示：底数a与1的关系决定了对数函数图象的升降．当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”． 问题4　如果不能直接运用函数的单调性比较两个数的大小，我们可以采用哪种方法来比较两个数的大小呢？ 提示：采用中间值进行比较两个数的大小，例如中间值0，1等． 角度一　比较对数值的大小 例2　(链接教材：人教A版P133例3)比较下列各组数的大小． 与； 与； (3)log23与log0.32. 解：(1)y＝在(0，＋∞)上单调递减，又因为＜，所以. (2)法一：. ∵y＝lg x是增函数，∴lg <lg <0<lg 3.<0，. 法二：因为在x∈(1，＋∞)上，y＝的图象在y＝图象的上方，所以. (3)因为log23>log21＝0，log0.32<log0.31＝0， 所以log23>log0.32. 对数值比较大小的常用方法 (1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，则要分类讨论． (2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间变量． (3)如果不同底但同真，可利用图象的高低与底数的大小解决或利用换底公式化为同底的再进行比较． (4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1，0，－1等进行比较． 类题通法 角度二　解对数不等式 例3　(1)解不等式log2(x＋1)>log2(1－x)． 解：原不等式等价于解得0<x<1. ∴原不等式的解集为(0，1)． (2)(链接教材：人教A版P141习题4.4T12)若loga<1，求实数a的取值范围． 解：若a>1，则loga<1＝logaa， ∴a>1. 若0<a<1，则loga<1＝logaa， ∴0<a<. 综上所述，实数a的取值范围是∪(1，＋∞) 变式探究　将本例(1)改为loga(x＋1)＞loga(1－x)，求解x的集合． 解：当a＞1时，得解集为(0，1)． 当0＜a＜1时，得解集为(－1，0)． 综上所述，当a>1时，不等式的解集为(0，1)；当0<a<1时，不等式的解集为(－1，0)． 类题通法 　　 对数不等式解题策略 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论； (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解； (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)>0，g(x)>0，且均不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解． 1．已知a＝π-2，b＝－log25，c＝log2，则(　　 ) A．b>a>c B．c>b>a C．a>c>b D．a>b>c 解析：选C.因为a＝π-2＝，所以0<a<1， 因为b＝－log25＝log2，c＝log2<， 所以log2<log2<0，即b<c<0. 所以a>c>b. 2．(多选)(2025·朔州高一检测)已知a>0，b>0，且ab＝1，a≠1，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx在同一坐标系中的图象可能是(　　 ) 解析：选AB.因为a>0，b>0，且ab＝1，a≠1， 所以当0<a<1时，b>1，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx在同一坐标系中的图象是A； 当a>1时，0<b<1，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx在同一坐标系中的图象是B. 3．(2025·台州检测)若函数f(x)＝loga(x－3)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则P的坐标是________． 解析：令x－3＝1，可得x＝4，f(4)＝loga1＋2＝2.因此，定点P的坐标为(4，2)． 答案：(4，2) 4．解不等式log3(x＋2)>3. 解：由log3(x＋2)>3，可得log3(x＋2)>log327，解得x＋2>27，即x>25， 所以不等式的解集为{x|x>25}． 【基础巩固】 1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝ln (x＋1)，则函数f(x)的图象为(　　 ) 解析：选D.由f(x)是R上的奇函数，即函数图象关于原点对称，排除A、B.又x＞0时f(x)＝ln (x＋1)，排除C. 2．若点(a，b)在函数f(x)＝ln x的图象上，则下列点中，不在函数f(x)图象上的是(　　 ) A． B．(a＋e，1＋b) C． D．(a2，2b) 解析：选B.因为点(a，b)在f(x)＝ln x的图象上，所以b＝ln a，所以－b＝ln ，1－b＝ln ，2b＝2ln a＝ln a2. 解析：选A.根据题意可知f(2)＝0，得k＝2，所以f(x)＝ax-2－1，又因为是减函数，所以0<a<1，此时g(x)＝loga(x＋2)也是单调减的，且过点(－1，0)，所以A选项符合题意． 3．若函数f(x)＝ax－k－1(a>0，且a≠1)过定点(2，0)，且f(x)在定义域R上是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是(　　 ) 解析：选B.lg (2x－4)≤1，则满足解得2<x≤7. 4．若lg (2x－4)≤1，则x的取值范围是(　　 ) A．(－∞，7] B．(2，7] C．[7，＋∞) D．(2，＋∞) 5．(2025·湖南长沙阶段练习)设a＝log0.60.8，b＝1.10.8，c＝log1.10.8，则(　　 ) A．b<a<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b 解析：选C.因为log0.61<log0.60.8<log0.60.6， 所以0<a<1， 因为1.10.8>1.10＝1，所以b>1， 因为log1.10.8<log1.11＝0， 所以c<0，故c<a<b. 解析：由图象知函数为增函数，故n＞1.又当x＝1时，f(1)＝m＞0，故m＞0. 答案：③ 6．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是________. ①m＞0，0＜n＜1 ②m＜0，0＜n＜1 ③m＞0，n＞1 ④m＜0，n＞1 7．已知当x＝3时，不等式loga(x2－x－2)<loga(3x＋3)成立，那么这个不等式的解集是________. 解析：当x＝3时，loga4<loga12，故a>1， 由loga(x2－x－2)<loga(3x＋3)， 得解得 2<x<5}． 答案：{x|2<x<5} 8．(2025·山东聊城期末)函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则实数a的取值范围是________． 解析：由已知对任意x1≠x2，都有<0成立，即f(x)在R上是减函数， 故需满足解得≤a<1，即a∈. 答案： 9．已知函数f(x)＝(x>0)． (1)解不等式f(x＋2)>f(1－x)； (2)若|f(a)|＝|f(b)|(a≠b)，求a＋b的取值范围． 解：(1)由f(x＋2)>f(1－x)， 得即－2<x<－， 所以x∈. (2)因为f(x)＝＝|f(b)|知，a>0，b>0，且a·b＝1，a≠b， 故a＋b>2＝2，即a＋b>2， 故a＋b的取值范围是(2，＋∞)． 【综合运用】 10．给出下列四个命题： ①函数f(x)＝2a2x-1－1的图象过定点； ②已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)，若f(a)＝－2，则实数a＝－1或2； ③若loga>1，则a的取值范围是； ④对于函数f(x)＝ln x，其定义域内任意. 其中所有正确命题的个数是(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.对于①，令2x－1＝0，得x＝，f＝1，故函数f(x)的图象过定点，故①错误； 对于②，f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－x)(－x＋1)＝x(1－x)，故f(x)＝若f(a)＝－2，解得a＝－1，故②错误； 对于③，若loga>1，可得0<a<1且a>，则a的取值范围是，故③正确； 对于④，函数f(x)＝ln x为增函数，其定义域内任意x1≠x2，利用函数的图象，都满足，故④正确． 解析：因为g(lg x)>g(1)，所以f(|lg x|)>f(1)，由f(x)为增函数得|lg x|>1，从而lg x>1或lg x<－1，解得0<x<或x>10. 答案：∪(10，＋∞) 11．若f(x)＝lg x，g(x)＝f(|x|)，且g(lg x)>g(1)，则x的取值范围是________． 12．已知函数f(x)＝log2. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明． 解：(1)由函数的形式可知，>0，即(1－x)(1＋x)>0，解得－1<x<1， 所以函数的定义域为(－1，1)． (2)f(x)为奇函数． 证明：由(1)可知，函数的定义域关于原点对称，且f(－x)＝log2＝＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数． 解： 由x2－logmx<0，得x2<logmx在内恒成立， 若m>1，且x∈，则x2>0，logmx<0，不符合题意，故0<m<1. 在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的草图，如图所示． 【创新探索】 13．若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围． 因为当x＝时，y＝x2＝， 所以只要当x＝时，y＝logm即可， 则，即≤m. 又0<m<1，所以≤m<1， 即实数m的取值范围是. $