4.3.2 第2课时 换底公式-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“对数的运算”第2课时换底公式，通过合作探究任务导入，从具体问题“若log₂5/log₂3=x，推导log₃5与x的关系”出发，衔接对数运算性质，构建从具体推导到抽象公式的学习支架，帮助学生理解换底公式及推论的形成脉络。 其亮点在于突出逻辑推理与数学运算素养，通过探究任务引导学生自主推导公式，典例研析链接教材并提供多思路解法，课堂评价与课后分层练分层设计，结合地震能量等实际问题培养应用意识。PPT可任意编辑方便教师调整，助力学生高效掌握知识，提升教师教学效率。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第四章 指数函数与对数函数 3 目 录 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.3.2　对数的运算 第2课时　换底公式　　　　　　　　 学习目标　1.掌握换底公式及其推论，提升逻辑推理素养．(重点、难点)　2.能运用对数的运算性质进行化简求值，提升数学运算素养．(重点) 问题　假设＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，再将此式化为对数式可得到什么结论？ 提示：x＝log35，从而x＝＝log35. 1．换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． 2．几个常用推论 (1)logab·logba＝1(a>0，a≠1；b>0，b≠1)． logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)． (3)logab·logbc·logca＝1(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1；c>0，且c≠1)． 角度一　利用换底公式求值 例1　(链接教材：人教A版P126练习3) 计算：(1)log29·log34； (2). 解：(1)由换底公式可得， log29·log34＝＝4. (2)原式＝. 利用换底公式计算、化简、求值的思路 类题通法 角度二　利用换底公式表示对数式 例2　(链接教材：人教A版P127习题4.3T5)(一题多解)设3a＝4b＝36，求的值． 解：法一　由3a＝4b＝36， 得a＝log336，b＝log436， 由换底公式得＝log363，＝log364， ∴＝2log363＋log364＝log3636＝1. 法二　由3a＝4b＝36，两边取以6为底的对数，得alog63＝blog64＝log636＝2， ∴＝log63，log64＝log62. ∴＝log63＋log62＝log66＝1. 利用换底公式计算、化简、求值的思路 (1)“定底”：根据已知对数式的底数、已知的参考数据确定要换的底数； (2)“拆分”：先利用换底公式换底后，再利用同底的对数的运算性质拆分对数式，直到拆分为已知的对数式. 类题通法 　对数运算在实际问题中的应用 例3　(链接教材：人教A版P126例5)研究表明地震释放的能量E(单位：J)的常用对数与震级M之间满足线性关系，若4级地震所释放的能量为6.3×1010 J，6级地震所释放的能量为6.3×1013 J，则5.5级地震所释放的能量约为(参考数据：lg 6.3≈0.8，100.05≈1.1)(　　 ) A．8×1011 J B．1.1×1011 J C．8×1012 J D．1.1×1013 J 解析：选D.由题意可设lg E＝λM＋μ，则解得 所以lg E＝1.5M＋4.8，所以E＝101.5M+4.8， 所以当M＝5.5时，E＝101.5×5.5+4.8＝1013.05＝100.05×1013≈1.1×1013 J. 类题通法 对数运算在实际问题中的应用 (1)审题将相关数据代入，列方程或不等式； (2)利用对数运算性质、换底公式进行计算； (3)若所列方程或不等式是指数形式，可对指数式取对数，转化为对数运算，从而达到求解的目的。 【迁移运用】 在某次电学物理实验中，经过电流表等相关仪器的测量近似得到：电流I(mA)随时间t(ms)的变化关系为I＝I0·，其中T＝(T>0)，T称为电路的时间常数．若在微型秒表的记录下该电路电流从减少到的时间间隔为6 ms，则该电路的时间常数约为(参考数据：ln 2≈0.693，结果精确到1 ms)(　　 ) A．10 ms B．15 ms C．20 ms D．30 ms 解析：选C.设该电路电流是时是时间t1，电路电流是时是时间t2， 依题意，得，两边取对数，得t1＝ln 2＝T ln 2.由，解得t2＝＝T，所以t2－t1＝(1－ln 2)T＝6，解得T≈20 ms. 1．(多选)下列等式正确的有(　　 ) A．log34＝ B．log34＝ C．log34＝ D．log34＝ 答案：ABC 2．＝(　　 ) A．－ B．2 C． D． 解析：选B.原式＝log39＝log332＝2. 3．(log43＋log83)(log32＋log272)＝(　　 ) A．1 B． C． D． 解析：选D.(log43＋log83)(log32＋log272)＝(log23+＝log23×log32＝log23×log32＝. 4．设4x＝9y＝a，且＝2求a的值． 解：由4x＝9y＝a得x＝log4a，y＝log9a，所以＝loga4＋loga9＝loga36＝2，所以a2＝36，故a＝6. 【基础巩固】 1．若lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 12＝(　　 ) A．a2b B．2ab C．a＋2b D．2a＋b 解析：选D.由对数运算性质可得lg 12＝lg (3×22)＝lg 3＋lg 22＝lg 3＋2lg 2＝2a＋b. 2．已知alog94＝1，则2－a＝(　　 ) A． B． C． D．3 解析：选C.由alog94＝1可得4a＝9，即(2a)2＝9，2a＝3，故2－a＝. 解析：选D.由对数的运算性质可知＝logt3＋logt4＝logt12＝⇒t＝144. 3．若，则t＝(　　 ) A．2 B．12 C．48 D．144 4．下列等式正确的是(　　 ) A．(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2＝1 B．log35·log32·log59＝3 ＋eln 2＋＝π ＝1 解析：选A.对于A中，由(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2＝(1－lg 2)2＋2lg 2－(lg 2)2＝1，所以A正确； 对于B中，由log35·log32·log59＝≠3，所以B错误； 对于C中，由＋eln 2＋＝log78＋2＋5－π≠π，所以C错误； 对于D中，由×(0.4)-1＝≠1，所以D错误． 5．(2025·北京顺义一模)在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述．视星等m是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响．绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距(10秒差距≈32.6光年)时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度．视星等m和绝对星等M满足m－M＝5lg ，其中d是与地球的距离，单位为秒差距．若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足mB－mA＝4，则(　　 ) A．MB＝MA＋4 B．MB＝MA＋6 C．MA＝MB＋1 D．MA＝MB＋6 解析：选C.由题意mA－MA＝5lg ，mB－MB＝5lg ， 两式相减可得mA－MA－mB＋MB＝5lg －＝－5， 又mB－mA＝4，所以MB－MA＝－1，所以MA＝MB＋1. 解析：由于3x＝2y＝6，故x＝log36，y＝log26， 故＝log63＋log62＝log66＝1， 则＝2＝2＝1. 答案：1 6．已知3x＝2y＝6，则＝______． 7．方程log2x＋＝1的解是x＝________． 解析：原方程可变为log2x＋log2(x＋1)＝1，即log2[x(x＋1)]＝1，所以x(x＋1)＝2，解得x＝1或x＝－2.又即x>0，所以x＝1. 答案：1 8．已知x>0，y>0，且x＋2y＝1，则log22x＋log2y的最大值为________． 解析：x＋2y≥2，即1≥2，解得xy≤，当且仅当x＝时，等号成立，故log22x＋log2y＝log22xy≤log2＝－2. 答案：－2 9．求值： ＋0－； ＋lg 4＋lg ＋eln 2； (3)(2log43＋log83)(log32＋log92)． 解：＋0－. ＋lg 4＋lg ＋eln 2＝＋lg 22＋lg 5－lg 2＋2＝－＋2lg 2＋lg 5－lg 2＋2＝＋lg 2＋lg 5＝. (3)(2log43＋log83)(log32＋log92)＝＝＝·＝2. 10．(2025·云南曲靖模拟)求下列各式的值． lg 25＋lg 2－log49×log38＋. (2)已知log23＝a，log37＝b，试用a，b表示log1456. 解：lg 25＋lg 2－log49×log38＋2.＝4＋lg 10－ (2)log1456＝， a＝log23＝，b＝log37＝， ∴ab＝， ∴log1456＝1＋. 【综合运用】 11．(多选)已知m，n∈(0，1)∪(1，＋∞)，若logm2＝，logn2＝，则下列命题正确的是(　　 ) A．若a＝2，则mn＝2 B．若a>2，则mn>2 C．若mn＝1，则a＝1 D．若mn>1，则a>1 解析：选ABC.由题意知log2m ＝1－2a，log2n＝a2，所以log2(mn)＝a2－2a＋1，所以mn＝2a2－2a＋1. 对于A，若a＝2，则mn＝21＝2，故A正确； 对于B，若a>2，则a2－2a＋1＝(a－1)2>1，所以mm>21＝2，故B正确； 对于C，若mn＝1，则a2－2a＋1＝0，解得a＝1，故C正确； 对于D，若mn>1，则a2－2a＋1＝(a－1)2>0，不能得到a>1，故D错误． 解析：令t＝logab，则logba＝， 由logab＋logba＝，得t＋，所以2t2－5t＋2＝0，解得t＝或t＝2， 所以logab＝或logab＝2，所以＝b或a2＝b. 当＝b时，则a＝b2， 由aa＝bb，得(b2)a＝b2a＝bb，所以2a＝b， 12．已知正实数a，b满足logab＋logba＝，aa＝bb，则a＋b＝______． 由又a>0，解得所以a＋b＝； 当a2＝b时，由aa＝bb，得aa＝(a2)b＝a2b，所以a＝2b，由又a>0，解得所以a＋b＝. 综上所述，a＋b＝. 答案： 13．(1)已知m>0，n>0，log4m＝log8n＝log16(2m＋n)，求log2－log4n的值． (2)设xa＝yb＝zc (x，y，z都是不为1的正数，abc≠0)，求z＝xy的充要条件． 解：(1)由log4m＝log8n＝log16(2m＋n)，得， 则log2＝log2＝log2，于是＝k>0， 整理得m＝k2，n＝k3，2m＋n＝k4，即2k2＋k3＝k4，解得k＝2，即m＝4，n＝8， 所以log2－log4n＝log22－log48＝. (2)令xa＝yb＝zc＝t，依题意，t>0且t≠1，则alogtx＝blogty＝clogtz＝1， 于是logtx＝，logty＝，logtz＝，z＝xy⇔logtz＝logtx＋logty⇔， 所以z＝xy的充要条件是. 解析：因为log23×log34×…×logn＋1(n＋2)＝＝log2(n＋2)， 又log24＝2，log28＝3，log216＝4，log232＝5，log264＝6，…， 所以当n＋2＝4，8，16，32时，log2(n＋2)为整数，所以在区间(1，50)内“贺数”的个数是4. 答案：4 【创新探索】 14．(新定义)把满足log23×log34×…×logn＋1(n＋2)，n∈N*为整数的n叫做“贺数”，则在区间(1，50)内所有“贺数”的个数是________. $