4.3.2 第1课时 对数的运算-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦对数的运算性质，通过“星等亮度”实际问题导入，结合自主学习中错误等式的反例辨析与合作探究中的具体计算，引导学生从具体到抽象理解积、商、幂的对数运算，构建指数到对数运算的认知支架。 其亮点在于以逻辑推理和数学运算素养为核心，通过反例辨析、问题链探究及分层练习，如典例中多步骤化简求值培养运算能力。采用“自主-合作-典例-分层”教学结构，PPT可编辑方便教师备课，助力学生提升数学思维，教师高效教学。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第四章 指数函数与对数函数 3 目 录 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.3.2　对数的运算 第1课时　对数的运算　　　　　　 学习目标　1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件，提升逻辑推理和数学运算素养．(重点)　2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值，提升数学运算素养．(重点、难点) 夜空中，行星亮度不一，在天文学中，恒星的亮度通常用星等来表示．古希腊天文学家喜帕恰斯最早将肉眼可见的恒星分等级，现代天文学扩展了这一系统，并使用对数运算来量化恒星的亮度，每相差1个星等，亮度相差约2.512倍． 问题1　如果一颗恒星的星等为2等，另一颗为7等，那么2等星的亮度是7等星的多少倍？ 提示：2等星的亮度是7等星的2.5125≈100倍． 问题2　如果一颗恒星的星等为1等，它比另一颗星亮10 000倍，另一颗最多是几等星？ 提示：2.512x≥10 000，则x≥log2.51210 000，所以最多是11等星． 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P124，分析思考：当a>0，且a≠1，M>0，N>0时，下列等式成立吗？如果不成立，请举一个反例． (1)loga(M·N)＝logaM·logaN； (2)loga； (3)loga(M＋N)＝logaM＋logaN； (4)loga(M－N)＝logaM－logaN. 提示：这几个等式都不成立． 对于(1)，反例：如loga(a·a)＝2，logaa·logaa＝1×1＝1； 对于(2)，反例：如loga＝1，而＝2； 对于(3)，反例：如loga(1＋1)≠0，loga1＋loga1＝0； 对于(4)，反例：如loga(1－1)无意义，loga1－loga1＝0. 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)lg (x＋y)＝lg x＋lg y．(　　 ) (2)loga(M·N)＝logaM＋logaN(a>0，且a≠1，MN>0)．(　　 ) (3)loga＝logax－logay(x>0，y>0)．(　　 ) (4)logab2＝2logab.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 计算下列各组式子的值： (1)lg 10＋lg 100，lg 1 000； (2)log39＋log327，log3243； (3)logaa5－logaa3，logaa2(a>0，且a≠1)． 问题3　每组中两个式子的值是否相等？ 提示：都相等． 问题4　由此你能猜想什么结论？ 提示：两个正数的乘积的对数等于每个正数对数的和，两个正数的商的对数等于每个正数对数的差． 条件 a>0，且a≠1，M>0，N>0 性质 loga(MN)＝ loga＝ logaMn＝ (n∈R) logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 温馨提示 　 (1)性质的逆运算仍然成立； (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN >0，比如式子log2[(-2)·（-3)]有意义，而log2(-2)与log2(-3)都没有意义。 例1　(链接教材：人教A版P124例3)求下列各式的值． (1)log2(47×25)； (2)lg ； (3)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18； (4)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. 解：(1)log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19. (2)lg lg 100＝. (3)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (2×32)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－lg 2－2lg 3＝0. (4)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5·(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝＝2＋1＝3. 对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则： 对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法： ①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． 　　　 “拆”：将积（商）的对数拆成同底的两对数的和（差）。 “凑”：将同底数的对数凑成特殊值计算，如利用lg2+lg5=1,进行计算或化简。 类题通法 【迁移运用】 计算下列各式的值： (1)； (2)(一题多解)lg lg ＋lg ； (3)lg 5·lg 400＋； ＋log0.25＋9log5－. 解：(1)＝－4. (2)方法一：原式＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝. 方法二：原式＝lg －lg 4＋lg 7＝＝lg ＝. (3)原式＝lg 5·(2＋2lg 2)＋＝2lg 5＋2lg 2·(lg 5＋lg 2)＝2lg 5＋2lg 2＝2. (4)原式＝. 　对数运算性质的运用 　 对数式表示的两种方式 角度一　表示对数式 例2　(链接教材：人教A版P125例4) (1)已知3a＝2，用a表示log34－log36. (2)已知log32＝a，3b＝5，用a，b表示log3. 解：(1)因为3a＝2， 所以a＝log32， 所以log34－log36＝log3＝log32－1＝a－1. (2)因为3b＝5，所以b＝log35， 又因为log32＝a， 所以log3log3(2×3×5)＝＝(a＋b＋1)． 利用对数运算表示对数式的方法 分析对数式的结构，将要表示的对数式通过积、商、幂的对数运算法则用已知对数式表示． 类题通法 角度二　解决方程相关问题 例3　(链接教材：人教A版P127习题4.3T4) (1)已知logx8＝6，求x的值． (2)已知log3(x2－10)＝1＋log3x，求x的值． 解：(1)因为logx8＝6，所以x6＝8， 所以x＝. (2)因为log3(x2－10)＝1＋log3x， 所以log3(x2－10)＝log33x， 所以解得x＝5. 类题通法 利用对数运算性质解决方程相关问题的方法 (1)涉及一元二次方程根的问题，可以利用根与系数的关系列方程求解； (2)利用对数的运算性质解方程时，最后结果一定要使对数式有意义． 1．(2025·陕西西安阶段练习)lg 2＋lg ＝(　　 ) A． B．1 C．lg 5 D．lg 解析：选A.lg 2＋lg lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝. 2．已知x＝lg 3，y＝lg 5，则用x，y表示lg 45为(　　 ) A．2xy B．3xy C．2x＋y D．2x－y 解析：选C.lg 45＝lg (5×32)＝lg 5＋2lg 3＝2x＋y. 3．化简下列各式： (1)4lg 2＋3lg 5－lg ； (2)2log32－log3. 解：(1)原式＝lg ＝lg (24×54)＝lg (2×5)4＝4. (2)原式＝2log32－(5log32－2)＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1. 【基础巩固】 1．已知f(x)＝则f(f(6))等于(　　 ) A． B． C．1 D．e4 解析：选A.根据题意，得f(6)＝log5(6－1)＝1，所以f(f(6))＝f(1)＝e1-2＝. 2．已知5x＝2，5y＝3，则的值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.因为5x＝2，5y＝3，所以x＝log52，y＝log53， 所以log5＝log5，所以. 解析：选B.∵a>1，log4a＋loga2＝ ∴， 设log2a＝x，则，解得x＝1或x＝2，即log2a＝1或2，解得a＝2或4. 3．已知a>1，log4a＋loga2＝，则a的值可以为(　　 ) A．3 B．4 C．6 D．8 4．已知2lg (x－2y)＝lg x＋lg y，则＝(　　 ) A． B．1 C．4 D．1或4 解析：选C.因为2lg (x－2y)＝lg x＋lg y， 所以lg (x－2y)2＝lg (xy)，其中x>0，y>0，x－2y>0， 因为y＝lg x在(0，＋∞)单调递增， 所以(x－2y)2＝xy， 整理得x2－5xy＋4y2＝0， 整理得x2－5xy＋4y2＝0， 即(x－y)(x－4y)＝0， 解得x＝y或x＝4y， 当x＝y时，x－2y＝－y<0不满足题意； 当x＝4y时，x－2y＝2y>0满足题意； 此时＝4. 5．已知a，b∈R，lg a＋lg (2b)＝1，则4a＋b的最小值为(　　 ) A．2 B．4 C．2 D．4 解析：选D.lg a＋lg (2b)＝1，所以lg 2ab＝1，且a>0，b>0， 所以2ab＝10，即ab＝5， 4a＋b≥2， 当且仅当4a＝b且ab＝5，即时等号成立， 所以4a＋b的最小值为4. 6．(多选)(2025·浙江杭州期末)下列正确的有(　　 ) A．lg 3＋lg 4＝lg 7 B．log2100＝10log210 C．＝5 D．存在实数a，b使ln ＝ln a＋ln b 解析：选CD.选项A，lg 3＋lg 4＝＝lg 12，说法错误； 选项B，log2100＝log2102＝2log210，说法错误； 选项C，令log45＝t，则4t＝5，即＝5，说法正确； 选项D，正实数a，b满足ln ＝ln a＋ln b＝ln ab，所以ab＝a＋b，a>0，b>0，说法正确． 7．计算：ln 1＋lg 2＋3lg 5－lg ＝______． 解析：原式＝0＋lg ＝lg 1 000＝lg 103＝3. 答案：3 8．若2a＝5b＝m，且＝2，则实数m＝________． 解析：由题意知，2a＝5b＝m>0，则a＝log2m，b＝log5m，所以＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，所以m＝. 答案： 9．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________．(lg 2≈0.301 0) 解析：设至少要洗x次，则x≤，所以x≤，5x≥100， 故x lg 5≥2，即x≥≈2.86，因此至少洗3次． 答案：3 解：(1)原式＝＝＝log553－1＝2. 10．计算下列各式的值： －log5－log514； (2)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)． (2)解法一　原式＝＝＝log25·3log52＝13log25·＝13. 解法二　原式＝＝＝＝13. 【综合运用】 11．已知函数f(x)＝ex－e－x－1，则f(lg 3)＋＝(　　 ) A．0 B．－2 C．1 D．2 解析：选B.函数g(x)＝f(x)＋1＝ex－e－x为奇函数，又lg ＝－lg 3，所以g(lg 3)＋g＝0，即f(lg 3)＋1＋f＋1＝0，即f(lg 3)＋＝－2. 解析：选D.因为a－b＝(log23)2－log2＝(log23)2－2log23＋1＝(log23－1)2>0， 所以a>b. 因为b＝log2>log24＝2，所以a>b>2. 12．已知a＝(log23)2，b＝log2，则(　　 ) A．2>a>b B．b>2>a C．b>a>2 D．a>b>2 解析：函数f(x)＝ln ，则f(x)＋f(2－x)＝＋ln ＝ln ＝＝2， 所以函数f(x)关于点(1，1)对称， 所以f＋f＋f＋…＋f＝4×2＋1＝9. 答案：2　9 13．已知函数f(x)＝ln ，则f(x)＋f(2－x)＝______，f＋f＋f＋…＋＝________． 解：(1)lg 72＝lg (23×32)＝3lg 2＋2lg 3＝3a＋2b； lg 4.5＝lg ＝2lg 3－lg 2＝2b－a. (2)lg x＝a＋b－2＝lg 2＋lg 3－2＝lg 2＋lg 3＋＝lg ， 所以x＝＝0.06. 14．已知lg 2＝a，lg 3＝b. (1)求lg 72，lg 4.5； (2)若lg x＝a＋b－2，求x的值． 【创新探索】 15．(多选)若2a+1＝3，2b＝，则以下结论正确的有(　　 ) A．b－a>1 B．>2 C．ab> D．b2<2a 解析：选BC.由题意得a＝log23－1，b＝log2＝3－log23， b－a－1＝3－log29，而log29>3，∴b－a－1<0，A错误； ∵a>0，b>0，a＋b＝2，a≠b， ∴＝>＝2，B正确； ab＝(log23－1)(3－log23)＝＋4log23－3＝－(log23－2)2＋1， 又2>log23>log22， ∴ab>－2＋1＝，C正确； b2－2a＝(3－log23)2－2(log23－1)＝(log23)2－8log23＋11＝(log23－4)2－5， 又3log23＝log227<log232＝5，即log23<，4－log23>4－， ∴b2－2a＝(log23－4)2－5> －5＝>0，∴b2>2a，D错误． 16．(2025·浙江模拟)已知函数f＝＝4x＋2x. (1)判断函数f的奇偶性并证明； (2)若实数a，b满足f＝0，求的取值范围． 解：(1)由>0得(1＋x)(1－x)>0，解得－1<x<1， 所以函数f的定义域为， 又f＝ln ＝－ln ，所以f为奇函数． (2)由f＝ln ＋＝＝0(－1<a<1，－1<b<1)， 所以＝1，即，整理得b＝－a， 所以g－2， 因为－1<a<1，令u＝2a，则<u<2， 令t＝2a＋2－a＝u＋<u<2， 又t＝u＋在上单调递减，在上单调递增， 当u＝1时，tmin＝2；当u＝时，t＝；当u＝2时，t＝，所以2≤t<， 所以t2＋t－2＝∈ 所以g的取值范围是 $