4.3.1 对数的概念-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“对数的概念”，涵盖对数定义、指数式与对数式互化及对数性质。课堂导入通过合作探究中的细胞分裂情境，以1个细胞分裂x次得N=2^x个为例，连接指数函数与对数概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以核心素养为导向，设“自主学习-合作探究-课堂评价-课后分层练”四环节。自主评测中“教材挖据”要求证明对数性质，培养数学抽象；合作探究结合细胞分裂实例，提升逻辑推理；典例研析链接教材例题，强化数学运算。PPT可编辑方便教师个性化教学，分层练习兼顾基础与提升，助力学生系统掌握知识，教师高效开展教学。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第四章 集合与常用逻辑用语 3 目 录 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4．3　对数 4．3.1　对数的概念　　　　　　　　 学习目标　1.了解对数、常用对数、自然对数的概念，提升数学抽象素养．(重点)　2.会进行对数式与指数式的互化，提升逻辑推理素养．(重点)　3.会求简单的对数值，提升数学运算素养．(重点、难点) 地震是地球上常见的自然灾害之一，其威力巨大，能够造成严重的破坏．为了衡量地震的强度，科学家们提出了“震级”的概念．然而，地震释放的能量差异巨大，例如一个8级地震释放的能量是7级地震的约32倍，是6级地震的约1 000倍！ 问题1　为什么地震能量相差如此巨大，而震级却只相差1级？ 提示：因为地震能量与震级之间是对数关系，而不是线性关系．震级每增加1级，地震能量大约增加32倍． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P122，分析思考：指数式与对数式有什么关系？ 提示：ab＝N⇔logaN＝b(a>0，a≠1，N>0)．两个式子表示的a，b，N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化． (2)请认真阅读教材P122～124，请你利用对数与指数间的关系证明对数的性质2和性质3. 提示：性质2：设M＝am，N＝an，则logaM＝m，logaN＝n，所以am÷an＝am－n＝，即loga＝m－n＝logaM－logaN. 性质3：令ax＝M，则logaM＝x，所以(ax)n＝Mn，即ax·n＝Mn，得logaMn＝x·n＝nlogaM. 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)对数log39和log93的意义一样．(　　 ) (2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　 ) (3)对数运算的实质是求幂指数．(　　 ) (4)若ln N＝2，则N＝2e.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 　对数的概念 　　　某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，… 问题2　分裂多少次得到的细胞个数为8和256? 提示：3和8. 问题3　1个这样的细胞分裂x次得到的细胞个数N是多少？ 提示：2x. 问题4　如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数？ 提示：由2x＝N可知，当N已知时，x的值即为分裂次数． 真数 1．定义 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做 ，记作 ，其中a叫做 ，N叫做 ． 2．常用对数与自然对数 以a为底N的对数 x＝logaN 对数的底数 温馨提示 对数与指数的关系：指数式与对数式的互化（其中a>0,且a≠1）： 角度一　指数式与对数式的互化 例1　(链接教材：人教A版P122例1)把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3x＝； (2)＝64； (3)log16； (4)ln 10＝x. 解：(1)＝x；＝x； ；(4)ex＝10. 指数式与对数式互化的思路 (1) 指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 　　　　　　 类题通法 角度二　对数的概念的理解 例2　(链接教材：人教A版P123例2)利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值． (1)log2x＝－； (2)logx25＝2； (3)log5x2＝2. 解：(1)由log2x＝－，得＝x，∴x＝. (2)由logx25＝2，得x2＝25.∵x＞0，且x≠1，∴x＝5. (3)由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5. 求对数式中x的值的基本思想和基本方法 (1)基本思想：在一定条件下求对数式中x的值时，要注意利用方程的思想求解。 (2)基本方法：①将对数式化为指数式，构建方程，转化为指数问题；②利用指数的性质计算. (3)已知多重对数式的值求变量的值的方法是从外到内，逐步脱去“log”后再求解。 类题通法 　利用对数性质与对数恒等式求值 问题5　你能推出对数恒等式alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)吗？ 提示：因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得alogaN＝N. 问题6　若方程logaf(x)＝0，则f(x)等于多少？ 提示：若方程logaf(x)＝1呢？(其中a>0 且a≠1)． 若logaf(x)＝0，则f(x)＝1；若logaf(x)＝1，则f(x)＝a. 1．对数的性质 (1)负数和0 对数； (2)loga1＝ (a>0，且a≠1)； (3)logaa＝ (a>0，且a≠1)． 2．对数恒等式 (1)alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)； (2)logaab＝b(a>0，且a≠1，b∈R)． 没有 0 1 角度一　对数性质的应用 例3　(链接教材：人教A版P127习题4.3T4)求下列各式中x的值． (1)log3[log4(log5x)]＝1； (2)log3[log4(log5x)]＝0. 解：(1)由log3[log4(log5x)]＝1可得log4(log5x)＝3， 则log5x＝43＝64，所以x＝564. (2)由log3[log4(log5x)]＝0可得log4(log5x)＝1， 故log5x＝4，所以x＝54＝625. 类题通法 　 对数性质的应用 (1)熟练利用两个性质loga1＝0，logaa＝1； (2)求值的顺序是从外往里依次求值．　　　　　　　　 角度二　对数恒等式的应用 例4　(链接教材：人教A版P127习题4.3T6)求值： (1)2log23＋2log31－3log77＋3ln 1＝________． ＝________． 解析：(1)原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0. (2)原式＝＝4. 答案：(1)0　(2)4 类题通法 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 对数恒等式的应用 应用对数恒等式alogaN＝N可以解决指数部分是对数形式的幂运算，但要注意格式． 1．(多选)下列选项中错误的是(　　 ) A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以10为底的对数叫做自然对数 D．以e为底的对数叫做常用对数 解析：选BCD.只有符合a>0，且a≠1，N>0，才有ax＝N⇔x＝logaN，故B错误．由定义可知C、D均错误．只有A正确． 2．(多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是(　　 ) A．100＝1与lg 1＝0 与log27 C．log39＝2与＝3 D．log55＝1与51＝5 解析：选ABD.对于A，100＝1⇔lg 1＝0，A正确；对于⇔log27，B正确；对于C，log39＝2⇔32＝9，C不正确；对于D，log55＝1⇔51＝5，D正确． 3．对数式log(a－2)(5－a)＝b中，实数a的取值范围是(　　 ) A．(－∞，5) B．(2，5) C．(2，＋∞) D．(2，3)∪(3，5) 解析：选D.∵∴ 4．方程lg (2x－3)＝1的解为________． 解析：由lg (2x－3)＝1知2x－3＝10，解得x＝. 答案： 5．计算下列各式： (1)2ln e＋lg 1＋3log32； (2)3log34－lg 10＋2ln 1. 解：(1)原式＝21+0＋2＝2＋2＝4. (2)原式＝3log34－1＋20＝3log34×3-1＋1＝. 【基础巩固】 1．已知f(ex)＝x，则f(3)＝(　　 ) A．log3e B．ln 3 C．e3 D．3e 解析：选B.∵f(ex)＝x，∴由ex＝3得x＝ln 3，即f(3)＝ln 3. 2．方程2log3x＝的解是(　　 ) A．9 B． C． D． 解析：选D.∵2log3x＝＝2-2，∴log3x＝－2，∴x＝3-2＝. 3．log5[log3(log2x)]＝0，则等于(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.∵log5[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1， ∴log2x＝3，∴x＝23＝8， ∴. 4．下列各式： ①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④若log25x＝，则x＝±5. 其中正确的个数为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.对于①，∵lg (lg 10)＝lg 1＝0，∴①对； 对于②，∵lg (ln e)＝lg 1＝0，∴②对； 对于③，∵10＝lg x，∴x＝1010，∴③错； 对于④，∵log25x＝，∴x＝＝5，∴④错． 5．(多选)下列指数式与对数式互化正确的是(　　 ) A．23＝8与log28＝3 B．3-2＝与log－3＝－2 C．100＝1与lg 1＝0 D．-2＝4与＝2 解析：选AC.对于A，23＝8⇒log28＝3，故正确； 对于B，对数式log-3＝－2的底数为负数，不符合对数式定义，故错误； 对于C，100＝1⇒lg 1＝0，故正确； 对于D，-2＝＝－2，故错误． 答案：3 6．log33＋3log32＝________． 解析：log33＋3log32＝1＋2＝3. 7．使log(x－1)(x＋2)有意义的x的取值范围是________． 解析：要使log(x－1)(x＋2)有意义，则 ∴x>1且x≠2. 答案：(1，2)∪(2，＋∞) 8．求值：； (2)51＋log52. 解：＝4. (2)51＋log52＝5×5log52＝5×2＝10. 【综合运用】 －lg 0.01＋ln e3等于(　　 ) A．14 B．0 C．1 D．6 解析：选－lg ＋3＝4－32－(－2)＋3＝0. 解析：23＋log23＋32－log39＝23×＝25. 答案：25 10．计算23＋log23＋32－log39＝________． 答案：16 11．若＝m＋2，则的值为________． 解析：∵＝m，∴. ∵＝m＋2，∴， ∴＝16. 【创新探索】 12．我们知道当a>0时，am＋n＝am·an对一切m，n∈R恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂运算时，发现有这么一个等式21+1＝21＋21，带着好奇，他进一步对2m＋n＝2m＋2n进行深入研究． (1)当m＝2时，求n的值； (2)当m≤0时，求证：n是不存在的； (3)求证：只有一对正整数对(m，n)使得等式成立． 解：(1)当m＝2时，22+n＝22＋2n，即3·2n＝4，所以n＝log2. (2)证明：设t＝2m，因为m≤0，所以t＝2m∈(0，1]，且t·2n＝t＋2n， 当m＝0时，t＝1，t·2n＝t＋2n不成立； 当m≠0时，t<1，由t·2n＝t＋2n可得2n＝，因为2n>0，t>0，t－1<0，所以2n＝不成立． 综上所述，当m≤0时，n是不存在的． (3)证明：由2m＋n＝2m＋2n可得2n＝， 当m，n均为正整数时，等号左侧为2的指数幂，故右侧也是2的指数幂， 所以2m－1＝1，即m＝1时符合题意，此时n＝1， 所以只有一对正整数对(1，1)使得等式成立． $