4.2.2 第2课时 指数型函数的图像和性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦必修一第四章指数函数与对数函数，通过“合作探究·思维进阶”环节导入，以概念建构、应用探究为脉络，构建“合作探究—课堂评价—课后分层练”递进式学习支架，辅助学生逐步深化理解。 其亮点在于PPT支持双击编辑（Word文档模式）方便教师调整，通过“合作探究”培养数学思维，“课堂评价+分层练”促进数学语言表达，采用探究式与分层教学结合，助力学生进阶思维、分层提升能力，教师可灵活适配教学需求。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第四章 指数函数与对数函数 3 目 录 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.2.2　指数函数的图象和性质 第2课时　指数型函数的图象和性质　　　 学习目标　1.进一步熟练掌握指数函数的图象、性质，提升直观想象素养．(重点)　2.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域和值域，提升数学运算素养．(重点)　3.掌握指数函数与其他函数复合所得函数的单调性的判断，提升逻辑推理素养．(重点、难点) 问题　已知函数f(x)在R上是增函数，g(x)在[a，b]上是减函数，求证：f[g(x)]在[a，b]上是减函数． 提示：任取x1，x2∈[a，b]，设x1<x2， ∵g(x)在[a，b]上单调递减， ∴g(x1)>g(x2)， ∵f(x)在R上单调递增，g(x1)∈R，g(x2)∈R， ∴f[g(x1)]>f[g(x2)]， ∴f[g(x)]在[a，b]上是减函数． 一般地，对于复合函数y＝f(g(x))，如果t＝g(x)在(a，b)上是单调函数，并且y＝f(t)在(g(a))，g(b))或者(g(b)，g(a))上也是单调函数，那么y＝f(g(x))在(a，b)上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”． t＝g(x) y＝f(t) y＝f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 角度一　指数型函数的定义域和值域 例1　(链接教材：人教A版P118习题4.2　T1)函数y＝的定义域为_________，值域为_________________________________________． 解析：要使函数有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0. 故函数y＝的定义域为(－∞，0]. 因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1， 故函数y＝的值域为[0，1)． 答案：(－∞，0]　[0，1) 函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)y＝af(x)的定义域就是f(x)的定义域； (2)y＝af(x)的值域，应先求出f(x)的值域，再由函数的单调性求出y＝af(x)的值域．若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论； (3)y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域． 类题通法 解：设t＝2x，当x∈[－1，1]时，t∈. 函数可化为f(x)＝g(t)＝t2－2t＋3， ∵g(t)在上单调递减，在[1，2]上单调递增，比较可得g<g(2)． ∴f(x)min＝2，f(x)max＝3， ∴函数f(x)的值域为[2，3]. 【迁移运用】 1.函数f(x)＝4x－2x+1＋3的定义域为[－1，1]，求函数f(x)的值域． 角度二　指数型复合函数的单调性 例2　(链接教材：人教A版P120习题4.2T9)判断f(x)＝的单调性，并求其值域． 解：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u. 因为u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增， 又因为y＝u在(－∞，＋∞)上单调递减， 所以f(x)＝在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减． 因为u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， 所以y＝， 所以0<u≤-1＝3， 所以原函数的值域为(0，3]. 类题通法 　 函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧 (1)指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．,(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性． 　　　　　　　　 　指数函数性质的综合应用 例3　已知函数f(x)＝a－(x∈R)． (1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在R上为增函数； (2)若f(x)为奇函数，求a的值； (3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1，5]上的最小值． 解：证明：(1)因为f(x)的定义域为R，任取x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝. 因为x1<x2，所以>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以不论a为何实数，f(x)在R上为增函数． (2)因为f(x)在x∈R上为奇函数， 所以f(0)＝0，即a－＝0，解得a＝， 此时f(x)＝＝－f(－x)(x∈R)符合题意． (3)由(2)知，f(x)＝， 由(1)知，f(x)为增函数， 所以f(x)在区间[1，5]上的最小值为f(1)＝. 解决指数函数性质的综合问题应关注两点 (1)指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义． (2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质． 类题通法 【迁移运用】 2.已知函数f(x)＝3x＋(k－2)·3－x(x∈R)为奇函数． (1)求实数k的值； (2)若对∀x∈[－2，－1]，不等式f(x)＋m·3x≤6恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)因为f(x)＝3x＋(k－2)·3－x(x∈R)是奇函数， 所以f(0)＝1＋(k－2)＝0，解得k＝1，此时f(x)＝3x－3－x＝－f(－x)，(x∈R)符合题意． (2)原问题即为∀x∈[－2，－1]，3x－3－x＋m·3x≤6， 则m≤＝6·3－x＋(3－x)2－1恒成立， 设t＝3－x，∵－2≤x≤－1，∴3≤t≤9， 则y＝6·3－x＋(3－x)2－1＝6t＋t2－1＝(t＋3)2－10， ∵3≤t≤9，∴当t＝3时，y取得最小值26， 要使不等式在[－2，－1]上恒成立，则m≤26. 1．若指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________． 解析：若a>1，则f(x)在[－1，1]上为增函数，所以f(x)max＝f(1)＝a＝2，即a＝2. 若0<a<1，则f(x)在[－1，1]上为减函数，所以f(x)max＝f(－1)＝a-1＝2，即a＝. 综上，a＝2或. 答案：2或 2．函数f(x)＝的单调递增区间是________． 解析：f(x)＝＝所以函数f(x)＝的单调递增区间是(－∞，0]. 答案：(－∞，0] 3．函数f(x)＝的定义域为________． 解析：要使原式有意义，需满足x－2≥0，即x≥-1，解得x≤－1. 答案：(－∞，－1] 4．函数f(x)＝的值域为__________． 解析：因为x2≥0，则根据指数函数性质得f(x)＝的值域为[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞) 【基础巩固】 1．函数f(x)＝x在区间[1，2]上的最大值是(　　 ) A． B． C．3 D．2 解析：选C.因为>1，所以指数函数f(x)＝x为增函数，所以当x＝2时，函数取得最大值，且最大值为3. 2．已知0.3m>0.3n，则m，n的大小关系为(　　 ) A．m>n B．m<n C．m＝n D．不能确定 解析：选B.因为函数y＝0.3x是R上的减函数，且0.3m>0.3n，所以m<n. 解析：选B.a＝30.2∈(1，3)，b＝0.2-3＝＝53＝125，c＝(－3)0.2＝<0，所以b>a>c. 3．已知a＝30.2，b＝0.2-3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 4．已知函数f(x)＝3x－，则f(x)(　　 ) A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 解析：选A.因为f(x)＝3x－，定义域为R，f(－x)＝3－x－[3x－]，所以函数f(x)是奇函数．又y＝3x在R上是增函数，y＝在R上是减函数，所以f(x)＝3x－在R上是增函数． 5．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在(0，2)上的值域是(1，a2)，则函数y＝f(x)的大致图象是(　　 ) 解析：选B.因为函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在(0，2)上的值域是(1，a2)，又指数函数是单调函数，所以a>1.由底数大于1的指数函数的图象上升，且在x轴上方，可知B正确． 答案：2 6．已知函数f(x)＝为奇函数，则n的值为________． 解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝＝0，解得n＝2，此时f(－x)＝＝－f(x)，符合题意． 7．已知函数y＝的定义域是(－∞，0]，则实数a的取值范围是________． 解析：由ax－1≥0，得ax≥a0，又依题意，ax≥a0的解集是(－∞，0]，因此0<a<1. 答案：(0，1) 解析：令＝t，则当x∈[－1，2]时，t 8．函数f(x)＝＋1在[－1，2]上的最小值是________，最大值是________． 解析：当x≥0时，令f(x)＝2x－4>0，解得x>2.又∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴其图象关于y轴对称，∴不等式f(x)>0在R上的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞).∴不等式f(x－2)>0等价为x－2∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)，解得x∈(－∞，0)∪(4，＋∞). 答案：(－∞，0)∪(4，＋∞) 13．设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，若f(x－2)>0，则x的取值范围是____________________． ． 解：(1)因为函数的定义域为R， 所以f(0)＝＝0，得a＝1. 经检验，当a＝1时，有f(－x)＝－f(x)，所以a＝1. 【创新探索】 15．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求实数a的值； (2)判断函数f(x)的单调性，并用定义加以证明； (3)若对任意的x∈R，不等式f(x2－mx)＋f(x2＋4)>0成立，求实数m的取值范围． (2)f(x)＝， 函数在定义域内单调递增，证明如下： 设x1>x2，所以f(x1)－f(x2)＝， 因为，所以f(x1)>f(x2)，所以函数在R上单调递增． (3)∵f(x)是奇函数，由已知可得f(x2－mx)>－f(x2＋4)＝f(－x2－4)， 即x2－mx>－x2－4，则2x2－mx＋4>0， 所以Δ<0，故m2－4×2×4<0，解得－4<m<4. 故实数m的取值范围为. $