4.2.2 第1课时 简单指数函数的图象和性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦指数函数的图象和性质，通过“万世不竭”等问题引导课堂导入，自主学习提示比较底数不同指数式大小（找中间量0或1），合作探究对比y=(1/2)^x与y=2^x图象（关于y轴对称），知识梳理表格整理性质，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是PPT可任意编辑便于教师调整，分层设计（自主学习、合作探究、课堂评价、课后分层练）。通过探究任务培养逻辑推理（分析函数图象对称性），知识梳理提升数学抽象（表格归纳性质），典例练习强化数学运算。学生能循序渐进掌握知识，教师可高效利用结构化内容备课。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第四章 指数函数与对数函数 3 目 录 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.2.2　指数函数的图象和性质 第1课时　简单指数函数的图象和性质　 学习目标　1.掌握指数函数的图象和性质，提升数学抽象素养．(重点)　2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域的问题，提升逻辑推理和数学运算素养．(重点、难点) 春秋战国时期诸子百家争鸣，庄子是其中道家学派代表人物，他的著作《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．” 问题1　随着时间的进行，木棍的变化如何？ 提示：每日减半，逐渐缩短． 问题2　你如何理解万世不竭？ 提示：木棍长度恒为正数． 问题3　请写出截取x次后，木棍剩余量y关于x的函数关系式． 提示：y＝x. 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P116～117，你认为函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝x(a>0，且a≠1)的图象有什么关系？ 提示：两函数的图象关于y轴对称． (2)请认真阅读教材P117，如何比较两个底幂均不相同的指数式的大小？ 提示：找中间量0或1，转换成底数相同用指数函数单调性，转换成幂相同用幂函数单调性比大小． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)所有指数函数的图象都在x轴的上方．(　　 ) (2)函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象都过定点(1，0)．(　　 ) (3)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)是奇函数．(　　 ) (4)若函数f(x)是指数函数，且f(1)>1，则f(x)是增函数．(　　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 【自主评测】 　指数函数的图象和性质 　　　已知函数y＝2x及y＝x. 问题4　试作出函数y＝2x及y＝x的图象． 提示： 问题5　两函数的图象有什么关系？ 提示：两函数的图象关于y轴对称． 问题6　由y＝x与y＝2x的图象，你能说出它们的性质吗？ 提示：它们的定义域都是R，值域都是(0，＋∞)，都过定点(0，1)，y＝2x在R上是增函数，y＝x在R上是减函数． 0 1 y>1 0<y<1 0<y<1 项目 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 值域 过定点 过定点 ，即x＝ 时，y＝ 函数值 的变化 当x>0时， ；当x<0时， 当x>0时， ； 当x<0时， 单调性 在R上是 在R上是 对称性 y＝ax与y＝( eq \f(1,a))x的图象关于y轴对称 y>1 增函数 减函数 R (0，＋∞) (0，1) 温馨提示 　 （1） 函数图像只出现在x轴的上方； （2） 当x=0时，有a0=1，故过定点（0，1）； （3） 0<a<1时，底数越小，图像越靠近y轴； （4） 当a>1时，底数越大，图像越靠近y轴. 角度一　图象识别问题 例1　(链接教材：人教A版P118练习1)已知y1＝x，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为(　　 ) 解析：选A.y2＝3x与y4＝10x是增函数，y1＝x与y3＝10－x＝x是减函数，在第一象限内作直线x＝1(图略)，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小． (1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1. (2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大，在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小． 类题通法 角度二　指数函数图象和解析式的应用 例2　(链接教材：人教A版P119习题4.2T5)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　 ) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 解析：选D.从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0<a<1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0<a<1)的图象向左平移得到的，所以－b>0，即b<0. 　指数函数的单调性的应用 角度一　比较大小 例3　(链接教材：人教A版P117例3)比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6-1.2和0.6-1.5； (3)1.70.2和0.92.1； (4)a1.1和a0.3(a>0，且a≠1)． 解：(1)1.52.5和1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数． 又因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. (2)0.6-1.2和0.6-1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5， 所以0.6-1.2<0.6-1.5. (3)由指数函数性质，得1.70.2>1.70＝1，0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1. (4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3；当0<a<1时，y＝ax在R上是减函数，故a1.1<a0.3. 比较指数式大小的三种类型及求解方法 类题通法 角度二　解简单的指数不等式 例4　(链接教材：人教A版P119T3)已知ax2－3x＋1<ax+6(a>0，且a≠1)，求x的取值范围． 解：(1)当0<a<1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是减函数， 所以x2－3x＋1>x＋6，所以x2－4x－5>0，解得x<－1或x>5； (2)当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数， 所以x2－3x＋1<x＋6，所以x2－4x－5<0，解得－1<x<5. 综上，当0<a<1时，x的取值范围是{x|x<－1或x>5}；当a>1时，x的取值范围是{x|－1<x<5}． 类题通法 利用单调性解不等式的步骤 (1)化同底：将不等式两边都化成底数相同的指数式； (2)去底：根据底数的取值，利用指数型函数的单调性去掉底数； (3)解不等式：求解由指数构成的不等式的解集.注意：若底数不确定，则番按0<a<1和a>1进行分类讨论. 1．函数y＝2|x|的大致图象是(　　 ) 解析：选B.易知函数y＝2|x|定义域为x∈R， 且满足2|－x|＝2|x|，可得其为偶函数，图象关于y轴对称； 又当x＝0时，y＝1，因此排除A， 又y＝2|x|＝ 利用指数函数图象性质可知其在(0，＋∞)上单调递增，且增长速度越来越快，即排除C、D. 2．已知a＝30.5，b＝20.5，c＝20.4，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a 解析：选A.依题意，结合对应幂指数函数单调性，知30.5>20.5>20.4，所以a>b>c. 3．已知指数函数y＝(a2－3)x在R上是严格增函数，则实数a的取值范围为________． 解析：因为指数函数y＝(a2－3)x在R上是严格增函数， 所以a2－3>1，即a2－4>0，解得a>2或a<－2， 即实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞) 4．若函数y＝7＋ax-3(a>0且a≠1)经过的定点是P，则P点的坐标是________． 解析：y＝ax的图象过(0，1)点， y＝ax-3＋7图象由y＝ax的图象右移3个单位、上移7个单位得到， 故过定点(3，8)． 答案：(3，8) 【基础巩固】 1．函数f(x)＝的定义域为(　　 ) A．(－∞，2] B．(－∞，5)∪(5，＋∞) C．[2，＋∞) D．[2，5)∪(5，＋∞) 解析：选D.函数f(x)＝的定义域满足解得x≥2且x≠5. 2．若函数y＝ax＋(b－1)(a>0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则有(　　 ) A．a>1且b<1 B．0<a<1且b≤1 C．0<a<1且b>0 D．a>1且b≤0 解析：选D.由指数函数图象的特征可知当0<a<1时，函数y＝ax＋(b－1)(a>0，且a≠1)的图象必经过第二象限，故排除选项B、C. 又函数y＝ax＋(b－1)(a>0，且a≠1)的图象不经过第二象限， 则其图象与y轴的交点不在x轴上方，所以当x＝0时，y＝a0＋(b－1)≤0，即b≤0. 3．在下图中，二次函数y＝ax2＋bx＋c与指数函数y＝x的图象只可能是(　　 ) INCLUDEPICTURE "25SXTBB1-4-21.TIF" 解析：选A.因为y＝x为指数函数，所以>0，且≠1，所以－<0， 因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－，所以排除B、D， 由指数函数的图象可知0<<1，所以－<－<0， 所以二次函数图象顶点的横坐标在内，所以C错误． 4．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是(　　 ) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a 解析：选A.因为函数y＝0.4x为定义域R上的减函数，所以1＝0.40>0.40.2>0.40.6，又因为a＝20.2>20＝1，所以a>b>c. 5．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列选项正确的是(　　 ) A．函数f(x)的值域为R B．若a>1，m>n，则am<an C．函数f(x)的图象恒过定点(0，1) D．若0<a<1，x>0，则f(x)>1 解析：选C.函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)为指数函数，指数函数的定义域为R，值域为(0，＋∞)，故A错误； 若a>1，则f(x)＝ax在R上单调递增，又m>n，则am>an，故B错误； 指数函数f(x)的图象恒过定点(0，1)，故C正确； 若0<a<1，则f(x)＝ax在R上单调递减，则由x>0，得0<f(x)<1，故D错误． 6．已知(0.61.2)a>(1.20.6)a，则a的取值范围是(　　 ) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(1，＋∞) D．(－∞，1) 解析：选B.由指数函数y＝0.6x是减函数知＝1； 由指数函数y＝1.2x是增函数知，1.20.6>1.20＝1，∴0.61.2<1.20.6. 设幂函数为y＝xa，由(0.61.2)a>(1.20.6)a知，幂函数在第一象限应为减函数，故a<0. 7．若函数f(x)＝在R上是增函数，则a的取值范围是(　　 ) A．(2，9) B．(2，＋∞) C．(2，9] D．[9，＋∞) 解析：选C.因为函数f(x)在R上是增函数，则函数f(x)＝(a－2)x在(－∞，1]上为增函数，所以a－2>0， 又因为函数f(x)＝6x＋1在(1，＋∞)上为增函数，所以a－2≤6＋1， 即0<a－2≤7，解得2<a≤9. 8．函数y＝a2-x＋3(a>0，且a≠1)的图象经过一定点，则该定点坐标为________． 解析：当2－x＝0，即x＝2时，y＝a0＋3＝4，所以y＝a2-x＋3的图象经过定点(2，4)． 答案：(2，4) 9．若a>0且a≠1，且，则实数a的取值范围为________． 解析：因为a>0且a≠1，且>，所以y＝ax为增函数，所以a>1. 答案：(1，＋∞) 解：(1)将点代入y＝ax-1，得a2-1＝，所以a＝. (2)由(1)知y＝x-1， 将函数y＝x的图象向右平移1个单位长度即可得到函数y＝x-1的图象，如图． 10．已知函数y＝ax-1(a>0，且a≠1)的图象经过点. (1)求实数a的值； (2)作出此函数的图象． 11．设a＝0.1e0.2，b＝，c＝0.2e0.1，则下列选项正确的是(　　 ) A．c<b<a B．b<a<c C．b<c<a D．a<c<b 解析：选B.a＝0.1e0.2＝e0.2>e0＝＝b， c＝0.2e0.1＝e0.1>e0＝>＝b， 而e0.1，因为e<210，所以e0.1<2， 所以e0.1<×2＝1，故a<c， 所以b<a<c. 12．已知函数f(x)＝ex－e2-x，则下列说法正确的是(　　 ) A．f(x)关于直线x＝－1对称 B．f(x)关于点(1，0)对称 C．f(x)关于点(－1，0)对称 D．f(x)关于直线x＝1对称 解析：选B.∵f(x)＝ex－e2-x， ∴f(2－x)＝e2-x－ex，f(－2－x)＝e-2-x－e4+x， ∴f(－2－x)＝e-2-x－e4+x≠f(x)＝ex－e2-x，故A错误； f(2－x)＝e2-x－ex＝－(ex－e2-x)＝－f(x)，故B正确； f(－2－x)＝e-2-x－e4+x≠－f(x)＝－(ex－e2-x)，故C错误； f(2－x)＝e2-x－ex≠f(x)＝ex－e2-x，故D错误． 13．函数y＝ax-4(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标为________；若点P在直线mx＋ny－1＝0上，其中mn>0，则的最小值为________． 解析：因为y＝ax恒过定点(0，1)， 所以y＝ax-4(a>0，且a≠1)恒过定点P(4，1)，所以4m＋n－1＝0，即4m＋n＝1， 所以＝·(4m＋n)＝5＋≥9， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为9. 答案：(4，1)　9 14．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)． (1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值； (2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围； (3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围． 解：(1)f(x)的图象过点(2，0)，(0，－2)， 所以 又因为a>0，且a≠1，所以a＝，b＝－3. (2)f(x)单调递减，所以0<a<1， 又f(0)<0，即a0＋b<0，所以b<－1. 故a的取值范围为(0，1)，b的取值范围为(－∞，－1)． (3)画出|f(x)|＝＝m有且仅有一个实数根，则m＝0或m≥3. 故m的取值范围为[3，＋∞)∪{0}． 【创新探索】 15．(2025·江西赣州期末)函数y＝f图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝为奇函数．可以将其推广为：函数y＝f图象关于点P成中心对称图形的充要条件是函数y＝－n为奇函数．已知函数f＋2. (1)证明：函数f的图象关于点成中心对称图形； (2)判断函数y＝f的单调性，若f<4，求实数x的取值范围． 解：(1)由题意得函数f的定义域为R， 又y＝f－2＝2x－2－x， 令g－2＝2x－2－x， 可知g＝2－x－2x， 从而g， 所以g是奇函数，即y＝f(x＋1)－2是奇函数， 故函数f图象关于成中心对称图形． (2)设x1，x2∈R，且x1<x2， 所以f＝＝＝， 因为x1<x2，所以x1－1<x2－1， 则2x1－1<2x2－1，故2x1－1－2x2－1<0， 又1＋>0，所以f<f， 所以函数f＋2在(－∞，＋∞)上是增函数， 由f<4可得f(x2－1＋1)－2＋－2<0， 即g<0， 所以g<g， 又函数g在上是增函数， 所以x2－1<3－3x，即x2＋3x－4<0，解得－4<x<1， 所以实数x的取值范围是. $