3.3 幂函数-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦幂函数的概念、图象与性质，通过“自主学习·新知感悟”中的教材挖掘问题（如判断函数是否为幂函数）衔接函数概念，以“合作探究·思维进阶”构建从概念辨析到性质归纳的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动学习，通过典型例题（如判断幂函数解析式）和性质表格归纳，培养数学抽象与运算素养。采用“学以致用·课堂评价”和“课后分层练”，学生能深化理解，教师可高效落实教学目标。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第三章 函数的概念及其表示 3 目 录 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.3　幂函数 学习目标　1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式，提升数学抽象和数学运算素养．(重点)　2.通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x-1，y＝x eq \s\up6(\f(1,2))的图象，归纳出幂函数的基本性质提升直观想象素养．(重点、难点)　3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小，提升数学运算素养．(重点) 1．教材挖掘：(1)函数y＝2x，y＝2x2是幂函数吗？ (2)幂函数的图象能出现在第四象限吗？为什么？ 提示：不是． 提示：不能，当x>0时，不论α如何取值，函数值均不小于0. 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝x0是幂函数．(　　 ) (2)幂函数的图象都过原点．(　　 ) (3)幂函数一定具有奇偶性．(　　 ) (4)当α>0时，幂函数y＝xα在第一象限内都是递增的．(　　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 　幂函数的概念 一般地，函数y＝ 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数． xα x α 例1　(1)在函数①y＝ eq \f(1,x)，②y＝x2，③y＝1，④y＝2x2，⑤y＝x－ eq \f(1,2)中，是幂函数的是(　　) A．①②③④ B．③⑤ C．①②⑤ D．①②③④⑤ 解析：选C．幂函数是形如y＝xα(α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑤是α＝－ eq \f(1,2)的情形，所以①②⑤都是幂函数；④中x2的系数是2，所以不是幂函数；③是常函数，不是幂函数．所以只有①②⑤是幂函数． (2)函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，求f(x)的解析式． 解：由m2－m－1＝1得，m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，m2＋m－3＝3，f(x)＝x3， 当m＝－1，m2＋m－3＝－3，f(x)＝x-3. 综上，f(x)＝x3或f(x)＝x-3. 类题通法 幂函数的判断及应用 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xa(a为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xa的系数为1 【迁移运用】 (1)下列函数中，是幂函数的为(　　 ) A．y＝ eq \f(1,x2) B．y＝4x3 C．y＝x2＋x D．y＝1 解析：选A．因为y＝ eq \f(1,x2)＝x-2，所以是幂函数；y＝4x3由于出现系数4，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1与y＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0，1)，所以常函数y＝1不是幂函数． (2)已知幂函数f(x)的图象经过点(3， eq \f(1,9))，则f(－3)＝________． 解析：设幂函数为f(x)＝xα，α∈R， 因为幂函数f(x)的图象经过点(3， eq \f(1,9))，可得 eq \f(1,9)＝3α，解得α＝－2，即f(x)＝x-2， 所以f(－3)＝(－3)-2＝ eq \f(1,9). 答案： eq \f(1,9) 　幂函数的图象与性质 　观察在同一平面直角坐标系中函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x-1，y＝x eq \s\up6(\f(1,2))的图象． 问题1　这些函数图象有什么共同特征？ 问题2　在第一象限，函数图象具有哪些特点？ 提示：均过定点(1，1). 提示：①当α>0时，y＝xα在第一象限内的图象由左向右呈上升趋势． ②当α<0时，y＝xα在第一象限内图象由左向右呈下降趋势． {y|y≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 幂函数的性质 项目 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x eq \s\up6(\f(1,2)) y＝x-1 定义域 R R R [0，＋∞) 值域 R R 奇偶性 单调性 增 在[0，＋∞)上 ，在(－∞，0]上 在(0，＋∞)上 ， 在(－∞，0)上 奇 增 减 增 增 减 减 {x|x≠0} [0，＋∞) [0，＋∞) 角度一　幂函数图象及应用 例2　(2025·上海高一检测)如图为三个幂函数y＝xa1，y＝xa2，y＝xa3在其定义域上的局部图象，则实数a1，a2，a3从小到大的排列顺序为________．(请用“<”连接) 解析：对于y＝xa1，由其图象可知a1<－1，例如a1＝－2， 对于y＝xa2，由其图象可知0<a2<1，例如a2＝ eq \f(2,3)， 对于y＝xa3，由其图象可知a3>1，例如a3＝3，所以a1<a2<a3. 答案：a1<a2<a3 类题通法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x-1或y＝或y＝x3)来判断． 角度二　幂函数的性质及应用 例3　(链接教材：人教A版P91练习2)比较下列各组数的大小． (1)( eq \f(2,3))0.5与( eq \f(3,5))0.5； (2)－3.143与－π3； (3)( eq \f(3,2)) eq \s\up6(\f(3,4))与( eq \f(3,4)) eq \s\up6(\f(3,2)). 解：(1)因为y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数且 eq \f(2,3)> eq \f(3,5)，所以 > . (2)因为y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，所以3.143<π3，所以－3.143>－π3. (3)因为函数y1＝ 在(0，＋∞)上单调递增，又 eq \f(3,2)>1，所以 ＝1. 又因为函数y2＝ 在(0，＋∞)上单调递增，且 eq \f(3,4)<1，所以 ( eq \f(3,4)) eq \s\up6(\f(3,2))<1 eq \s\up6(\f(3,2))＝1，所以( eq \f(3,2)) eq \s\up6(\f(3,4))>( eq \f(3,4)) eq \s\up6(\f(3,2)). 类题通法 1.比较幂值大小的两种基本办法 2.利用幂函数的性质解不等式的步骤 (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围时，注意分类讨论思想的应用． 1．(多选)下列幂函数中，既是奇函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝x－ eq \f(1,3) B．y＝x eq \s\up6(\f(1,3)) C．y＝x eq \s\up6(\f(3,2)) D．y＝x eq \s\up6(\f(5,3)) 解析：选BD．对于A，函数y＝x－ eq \f(1,3)，因α＝－ eq \f(1,3)<0，故函数y＝x－ eq \f(1,3)在(0，＋∞)上单调递减，不合题意； 对于B，函数y＝f(x)＝x eq \s\up6(\f(1,3))的定义域为R，关于原点对称且满足f(－x)＝(－x) eq \s\up6(\f(1,3))＝－x eq \s\up6(\f(1,3))＝－f(x)，故函数为奇函数， 且α＝ eq \f(1,3)>0，故函数y＝x eq \s\up6(\f(1,3))在(0，＋∞)上单调递增，故B符合题意； 对于C，因函数y＝x eq \s\up6(\f(3,2))＝ eq \r(x3)的定义域是[0，＋∞)，不关于原点对称，即函数没有奇偶性，不合题意； 对于D，函数y＝g(x)＝x eq \s\up6(\f(5,3))的定义域为R，关于原点对称且满足g(－x)＝(－x) eq \s\up6(\f(5,3))＝－x eq \s\up6(\f(5,3))＝－g(x)，故函数为奇函数， 且α＝ eq \f(5,3)>0，故函数g(x)＝x eq \s\up6(\f(5,3))在(0，＋∞)上单调递增，故D符合题意． 2．若(3－2m) eq \s\up6(\f(1,2))>(m＋1) eq \s\up6(\f(1,2))，则实数m的范围是_________________． 解析：因为y＝x eq \s\up6(\f(1,2))在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3－2m≥0，,m＋1≥0，,3－2m>m＋1，)) 解得－1≤m< eq \f(2,3)，故实数m的取值范围为[－1， eq \f(2,3)). 答案：[－1， eq \f(2,3)) 3．比较下列各组数的大小． (1)1.5 eq \s\up6(\f(1,3))，1.7 eq \s\up6(\f(1,3))，1； (2)3.8－ eq \f(2,3)，3.9 eq \s\up6(\f(2,5))，(－1.8) eq \s\up6(\f(3,5)). 解：(1)因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，且1.7＞1.5＞1， 所以＞＞1. (2)因为0＜＜1，>1，＜0，所以3.9 eq \s\up6(\f(2,5))＞3.8－ eq \f(2,3)＞(－1.8) eq \s\up6(\f(3,5)). 幂函数的图象规律 (链接教材：人教A版P91习题3.3T1) (1)当α＝1时，y＝x的图象是一条直线． (2)当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)的图象是一条不包括点(0，1)的直线． (3)当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： α＝ eq \f(q,p) α<0 0<α<1 α>1 p、q都是奇数 p为奇数q为偶数 p为偶数q为奇数 　　　【基础巩固】 1．下列结论中，正确的是(　　) A．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 C．当幂指数α取1，3， eq \f(1,2)时，幂函数y＝xα是增函数 D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数 解析：选C．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x-1的图象不经过原点，故A错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；当α>0时，y＝xα是增函数，故C正确；当α＝－1时，y＝x-1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误． 2．图中C1，C2，C3分别为幂函数y＝xα1，y＝xα2，y＝xα3在第一象限内的图象，则α1，α2，α3依次可以是(　　) A． eq \f(1,2)，3，－1 B．－1，3， eq \f(1,2) C． eq \f(1,2)，－1，3 D．－1， eq \f(1,2)，3 解析：选D．由图知α1<0，0<α2<1，α3>1，所以α1，α2，α3可以是－1， eq \f(1,2)，3. 3．已知a＝2 eq \s\up6(\f(4,3))，b＝3 eq \s\up6(\f(2,3))，c＝25 eq \s\up6(\f(1,3))，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 解析：选A．因为a＝2 eq \s\up6(\f(4,3))＝4 eq \s\up6(\f(2,3))，b＝3 eq \s\up6(\f(2,3))，c＝5 eq \s\up6(\f(2,3))，且幂函数y＝x eq \s\up6(\f(2,3))在(0，＋∞)上单调递增，所以b<a<c. 4．函数y＝ eq \r(|x|)的图象大致为(　　) 解析：选A．因为y＝f(x)＝ eq \r(|x|)的定义域为R，又f(－x)＝ eq \r(|－x|)＝ eq \r(|x|)＝f(x)，故f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，故排除C、D； 当x≥0时f(x)＝ eq \r(x)，由幂函数的性质可知，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，但是增长趋势越来越慢，故B错误． 5．(2025·重庆期中)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－2是幂函数，且为奇函数，则实数m＝(　　 ) A．2或－1 B．－1 C．4 D．2 解析：选B．由题意得m2－m－1＝1，所以m2－m－2＝0，所以，解得m＝2或m＝－1， 当m＝2时，f(x)＝x22－2×2－2＝x-2，为偶函数，故m＝2不符合题意， 当m＝－1时，f(x)＝x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))2－2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))－2＝x，为奇函数，故m＝－1符合题意． 综上所述，m＝－1. 6．(多选)设α∈{－1，1， eq \f(1,2)，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值有(　　) A．－1 B．1 C．3 D． eq \f(1,2) 解析：选BC．α＝－1时，y＝x-1的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，不正确； α＝1时，函数y＝x的定义域是R，且是奇函数，故正确； α＝3时，函数y＝x3的定义域是R，且是奇函数，故正确； α＝ eq \f(1,2)时，函数y＝x eq \s\up6(\f(1,2))的定义域是[0，＋∞)，不正确． 7．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为________． 解析：由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意． 答案：1 8．幂函数f(x)的图象经过点( eq \r(2)，2)，点(－2， eq \f(1,4))在幂函数g(x)的图象上． (1)求f(x)，g(x)的解析式； (2)当x为何值时，f(x)>g(x)？当x为何值时，f(x)<g(x)? 解：(1)设f(x)＝xα，则( eq \r(2))α＝2，∴α＝2，∴f(x)＝x2 ，设g(x)＝xβ，则(－2)β＝ eq \f(1,4)， 即β＝－2，g(x)＝x-2(x≠0). (2)从图象可知，当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)； 当－1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x). 【综合运用】 9．(多选)已知幂函数y＝xα的图象如图所示，则a值可能为(　　) A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,2) C． eq \f(1,5) D．3 解析：选AC．由图可知，y＝xα定义域为R，且为奇函数，故B错误； 可知y＝xα在(0，＋∞)上凸递增，则0<α<1，故D错误． 10．(多选)(2025·吉林长春期末)幂函数f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1))x－m-1，m∈N*，则下列结论正确的是(　　 ) A.m＝1 B．f(－2)<f(3) C．函数f(x)是偶函数 D．函数f(x)的值域为(0，＋∞) 解析：选ACD．对于A，因为f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1))x－m-1，m∈N*是幂函数，所以m2＋m－1＝1，可得m＝1或m＝－2(舍去)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝x-2，正确； 对于B，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))＝ eq \f(1,4)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3))＝ eq \f(1,9)，所以f(－2)>f(3)，错误； 对于C，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝ eq \f(1,x2)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))，所以函数f(x)是偶函数，正确； 对于D，由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝x-2＝ eq \f(1,x2)>0，得函数f(x)的值域为(0，＋∞)，正确． 11．实数α满足(2a－1)－ eq \f(3,2)>(a＋1)－ eq \f(3,2)，则实数α的取值集合为________． 解析：y＝x－ eq \f(3,2)＝ eq \f(1,\r(x3))，其定义域为(0，＋∞)，且在定义域上单调递减， 因为(2a－1)－ eq \f(3,2)>(a＋1)－ eq \f(3,2)， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a－1>0，,a＋1>0，,2a－1<a＋1，))解得 eq \f(1,2)<a<2. 答案：( eq \f(1,2)，2) 12．(开放性问题)有四个幂函数：①f(x)＝x-1；②f(x)＝x-2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x eq \s\up6(\f(1,3)).某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质： (1)偶函数； (2)值域是{y|y≠0}； (3)在(－∞，0)上单调递增． 如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是______(填序号). 解析：对于函数①，f(x)＝x-1，这是一个奇函数，值域是{y|y≠0}，在(－∞，0)上单调递减，所以三个性质中有两个不正确； 对于函数②，f(x)＝x-2，这是一个偶函数，其值域是{y|y>0}，在(－∞，0)上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件； 同理可判断③④中函数不符合条件． 答案：② 13．已知幂函数f(x)＝(a2－3a＋3)xa为偶函数． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若函数g(x)＝f(x)＋(2m－1)x－3在[－1，3]上的最大值为2，求实数m的值． 解：(1)因为f(x)＝(a2－3a＋3)xa为幂函数，所以a2－3a＋3＝1，解得a＝2或a＝1， 因为f(x)为偶函数，所以a＝2，故f(x)的解析式f(x)＝x2； (2)由(1)知g(x)＝x2＋(2m－1)x－3，对称轴为x＝ eq \f(1－2m,2)，开口向上， 当 eq \f(1－2m,2)≤1即m≥－ eq \f(1,2)时，g(x)max＝g(3)＝3＋6m＝2，即m＝－ eq \f(1,6)； 当 eq \f(1－2m,2)>1即m<－ eq \f(1,2)时，g(x)max＝g(－1)＝－1－2m＝2，即m＝－ eq \f(3,2)； 综上所述：m＝－ eq \f(1,6)或m＝－ eq \f(3,2). 【创新探索】 14．(多选)(2025·甘肃期末)已知幂函数f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2－m－1))x－m，函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列正确的是(　　 ) A．m＝－2 B．函数f(x)的图象经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1)) C．若a<b<0，则f(b)>f(a) D．若a>b>0，则f(a)＋f(b)>2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) 解析：选BCD．对于A，由函数f(x)为幂函数，有m2－m－1＝1，解得m＝－1或2. 当m＝－1时，f(x)＝x，函数f(x)在(0，＋∞)单调递增，不符合题意； 当m＝2时，f(x)＝x-2，函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，符合题意．故有m＝2，故A错误； 对于B，由选项A，f(x)＝x-2，可得f(－1)＝1，故B正确； 对于C，由函数f(x)为偶函数，可知函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，可得f(b)>f(a)，故C正确； 对于D，由f(x)＝x-2，a>b>0，则f(a)＋f(b)－2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))＝ eq \f(1,a2)＋ eq \f(1,b2)－ eq \f(8,(a＋b)2)> eq \f(1,a2)＋ eq \f(1,b2)－ eq \f(8,4ab)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,b)))2>0， 可得f(a)＋f(b)>2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，故D正确． $