3.2.2 第2课时 函数单调性和奇偶性的综合应用-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学（人教必修一）课件聚焦函数单调性和奇偶性的综合应用，通过合作探究任务搭建学习支架，先以奇偶性求解析式为例题切入，逐步过渡到单调性与奇偶性结合的比较大小、解不等式问题，衔接紧密。 其亮点在于PPT支持任意编辑便于个性化教学，分层练习覆盖基础到创新题型，通过逻辑推理（如解不等式策略总结）和数学运算（如分段函数推导）培养核心素养，助力学生提升解题能力，也为教师提供高效教学资源。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第三章 函数的概念及其表示 3 目 录 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.2.2　奇偶性 第2课时　函数单调性和奇偶性的综合应用 学习目标　1.会根据函数奇偶性求函数值或函数的解析式，提升逻辑推理素养．(重点)　2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的综合问题，提升逻辑推理和数学运算素养．(重点、难点) 　利用奇偶性求函数解析式 　　例1　(链接教材：人教A版P86习题3.2T11)已知f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1. (1)求f(0)的值； (2)求函数f(x)的解析式． 解：(1)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(－0)＝－f(0)， ∴f(0)＝－f(0)，即2f(0)＝0， ∴f(0)＝0. (2)当x<0，即－x>0时， f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1. ∵f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， 即－f(x)＝－2x2－3x＋1，∴f(x)＝2x2＋3x－1(x<0). ∴函数f(x)的解析式为f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2x2＋3x＋1，x>0，,0，x＝0，,2x2＋3x－1，x<0.)) 变式探究　在本例中，把条件“f(x)是定义在R上的奇函数”改为“f(x)是定义在R上的偶函数”，其余不变，求当x<0时，f(x)的解析式． 解：当x<0，即－x>0时， f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1. ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)， 即f(x)＝－2x2－3x＋1(x<0). 类题通法 利用函数奇偶性求函数解析式的步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，工就应在哪个区间上设. (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式. (3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x)，从而解出f(x). (4)已知函数f(x)，g(x)的组合运算与奇偶性，把τ换为一工，构造方程组求解. 【迁移运用】 若函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝ eq \f(1,x－1)，则f(x)＝________. 解析：∵f(x)＋g(x)＝ eq \f(1,x－1)　①， 以－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝ eq \f(1,－x－1). 又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数， ∴f(x)－g(x)＝－ eq \f(1,x＋1)　②. ①＋②，得2f(x)＝ eq \f(1,x－1)－ eq \f(1,x＋1)＝ eq \f(2,x2－1)， ∴f(x)＝ eq \f(1,x2－1). 答案： eq \f(1,x2－1) －M 　单调性与奇偶性的应用 (1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](a<b)上单调性 ． (2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](a<b)上单调性 ． (3)奇函数在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则在[－b，－a]上有最小值为 ． (4)偶函数在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则在[－b，－a]上有最大值为 ． 相同 相反 N _1234567890.doc N 角度一　比较大小 例2　若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f(－ eq \f(3,2))与f(a2＋2a＋ eq \f(5,2))的大小关系是(　　) A.f(－ eq \f(3,2))>f(a2＋2a＋ eq \f(5,2)) B.f(－ eq \f(3,2))<f(a2＋2a＋ eq \f(5,2)) C.f(－ eq \f(3,2))≥f(a2＋2a＋ eq \f(5,2)) D.f(－ eq \f(3,2))≤f(a2＋2a＋ eq \f(5,2)) 解析：选C．因为a2＋2a＋ eq \f(5,2)＝(a＋1)2＋ eq \f(3,2)≥ eq \f(3,2)，又f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f(－ eq \f(3,2))＝f( eq \f(3,2))≥f(a2＋2a＋ eq \f(5,2)). eq \x(,比较函数值大小的求解策略,(1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．,(2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小．) 类题通法 比较函数值大小的求解策略 (1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小. (2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小. 角度二　解不等式 例3　已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意，函数f(x)在R上是增函数，所以a>3. 答案：(3，＋∞) 变式探究　(1)(变条件)已知定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意可知f(x)在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减， 所以|a|<3，解得－3<a<3. 答案：(－3，3) (2)(变条件)已知定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在[0，2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，则m的取值范围是________． 解析：因为f(x)在[－2，2]上是偶函数，且f(x)在[0，2]上单调递减， 因此f(1－m)<f(m)等价于f(|1－m|)<f(|m|)等价于 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，,|1－m|>\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m))))⇒ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1≤m≤3，,－2≤m≤2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－m))\s\up12(2)>m2))⇒－1≤m< eq \f(1,2). 答案：[－1， eq \f(1,2)) eq \x(,利用函数奇偶性和单调性解不等式的策略,(1)结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式；,(2)利用单调性“脱去”函数的等号“f”，转化为解不等式（组）的问题．) 类题通法 利用函数奇偶性和单调性解不等式的策略 (1)结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； (2)利用单调性“脱去”函数的等号“f”，转化为解不等式（组）的问题。 1．若偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则a＝f(－ eq \r(2))，b＝f( eq \f(π,2))，c＝f( eq \f(3,2))的大小关系是(　　) A．b<a<c B．b<c<a C．a<c<b D．c<a<b 解析：选C．f(x)为偶函数，则a＝f(－ eq \r(2))＝f( eq \r(2)). 又∵ eq \r(2)< eq \f(3,2)< eq \f(π,2)，f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴f( eq \r(2))<f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))<f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，即a<c<b. 2．已知函数f(x)是偶函数，且x<0时，f(x)＝3x－1，则x>0时，f(x)＝(　　) A．3x－1 B．3x＋1 C．－3x－1 D．－3x＋1 解析：选C．设x>0，则－x<0. ∴f(－x)＝－3x－1. 又∵f(x)是偶函数，∴x>0时，f(x)＝f(－x)＝－3x－1. 3．若f(x)是定义在[－6，6]上的偶函数，且f(4)>f(1)，则下列各式一定成立的是(　　) A．f(0)<f(6) B．f(4)>f(3) C．f(2)>f(0) D．f(－1)<f(4) 解析：选D．∵f(x)是定义在[－6，6]上的偶函数，∴f(－1)＝f(1).又f(4)>f(1)，∴f(4)>f(－1). 4．已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是减函数，若f(a－1)＋f(1)>0，则实数a的取值范围是________． 解析：∵f(a－1)＋f(1)>0，∴f(a－1)>－f(1). ∵f(x)是奇函数， ∴f(－1)＝－f(1). ∴f(a－1)>f(－1). 又f(x)在R上是减函数，∴a－1<－1，即a<0. 答案：(－∞，0) 5．已知奇函数f(x)在R上是减函数，且f(3a－10)＋f(4－2a)<0，求a的取值范围． 解：∵f(3a－10)＋f(4－2a)<0， ∴f(3a－10)<－f(4－2a)， ∵f(x)为奇函数，∴－f(4－2a)＝f(2a－4)， ∴f(3a－10)<f(2a－4). 又f(x)在R上是减函数，∴3a－10>2a－4，∴a>6. 故a的取值范围为(6，＋∞). 函数的凸凹性 (链接教材：人教A版P101复习参考题3T8) 设函数y＝f(x)在区间D上连续，∀x1，x2∈D： (1)函数f(x)的图形是凹的⇔f( eq \f(x1＋x2,2))≤ eq \f(f(x1)＋f(x2),2)； (2)函数f(x)的图形是凸的⇔f( eq \f(x1＋x2,2))≥ eq \f(f(x1)＋f(x2),2). 　　 【基础巩固】 1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　) A．y＝x＋1 B．y＝－x2 C．y＝ eq \f(1,x) D．y＝x|x| 解析：选D．A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确． 2．若函数f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，则(　　 ) A．f(－2)<f(3)<f(－4) B．f(3)<f(－2)<f(－4) C．f(3)<f(－4)<f(－2) D．f(－4)<f(3)<f(－2) 解析：选D．因为函数f(x)是偶函数，所以f(3)＝f(－3)，因为函数f(x)在(－∞，0]上是增函数，所以有f(－4)<f(－3)<f(－2)，即f(－4)<f(3)<f(－2). 3．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式 eq \f(f(x)－f(－x),x)<0的解集为(　　 ) A．(－1，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(0，1) 解析：选D．由f(x)为奇函数可知， eq \f(f(x)－f(－x),x)＝ eq \f(2f(x),x)<0. 而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0. 当x>0时，f(x)<0＝f(1); 当x<0时，f(x)>0＝f(－1). 又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x<1，或－1<x<0. 4．如果奇函数f(x)在[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是(　　 ) A．增函数且最小值为－5 B．减函数且最小值为－5 C．增函数且最大值为－5 D．减函数且最大值为－5 解析：选C．因为奇函数f(x)在[3，7]上是增函数且最小值为5，而奇函数的图象关于原点对称，所以f(x)在区间[－7，－3]上是增函数且最大值为－5. 5．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若x1<0，x1＋x2>0，下列结论正确的是(　　) A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)>f(x2) C．f(|x1|)>f(|x2|) D．f(－x1)>f(x2) 解析：选A．由x1＋x2>0，x1<0得x2>－x1>0， ∵f(x)在(0，＋∞)是增函数， ∴f(x2)>f(－x1)， 又f(x)是R上的偶函数，∴f(－x1)＝f(x1)＝f(|x1|)，f(x2)＝f(|x2|)，∴f(x2)>f(x1). 6．(多选)(新定义)若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有 eq \f(f(x1)－f(x2),x1－x2)<0，则称函数f(x)为“理想函数”．则下列函数中能被称为“理想函数”的有(　　) A．f(x)＝ eq \f(1,x) 　　 B．f(x)＝x2 C．f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2，x≥0，,x2，x<0)) 　　 D．f(x)＝－x 解析：选CD．已知性质①说明函数是奇函数，性质②说明函数在定义域内是减函数， 选项A，函数在(－∞，0)及(0，＋∞)是减函数，但在定义域内不是减函数，选项B，在[0，＋∞)上是增函数，均不合题意， 选项C，f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2，x≥0，,x2，x<0，))x≥0时，f(－x)＝(－x)2＝x2＝－f(x)，x<0时，f(－x)＝－(－x)2＝－x2＝－f(x)，因此在定义域内f(－x)＝－f(x)，函数为奇函数， 在(－∞，0)上是减函数且f(x)>0，在[0，＋∞)上也是减函数且f(x)≤0，因此函数在定义域内是减函数，满足题意，选项D，f(x)＝x易知其满足题意． 7．若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　 ) A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1] C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3] 解析：选D．因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上也是单调递减，且f(－2)＝0 ，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－2)∪(0，2)时，f(x)>0，当x∈(－2，0)∪(2，＋∞)时，f(x)<0， 所以由xf(x－1)≥0可得： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<0，,－2≤x－1≤0，))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x>0，,0≤x－1≤2，))或x＝0， 解得－1≤x≤0或1≤x≤3， 所以满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3]. 8．已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝_______． 解析：因为g(x)＝f(x)＋2，g(1)＝1，所以1＝f(1)＋2，所以f(1)＝－1，又因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝1，则g(－1)＝f(－1)＋2＝3. 答案：3 9．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)－2. (1)求f(x)的解析式； (2)若f(m＋1)<f(2－m)，求实数m的取值范围． 解：(1)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)－2， 则当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝－x(－x＋1)－2＝x2－x－2， 所以当x<0时，f(x)＝x2－x－2， 故f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≥0，,x2－x－2，x<0.)) (2)依题意，f(x)＝x2＋x－2在[0，＋∞)上单调递增， 则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋1))<f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－m))⇔f(|m＋1|)<f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|2－m|))⇔|m＋1|<|m－2|，解得m< eq \f(1,2)， 所以实数m的取值范围是(－∞， eq \f(1,2)). 【综合运用】 10．已知函数f(x)＝ eq \f(x,x2＋1)＋1在[－2 025，2 025]上的最大值和最小值分别为M，N，则M＋N＝________． 解析：f(x)＝ eq \f(x,x2＋1)＋1，则f(x)－1＝ eq \f(x,x2＋1)， 令g(x)＝f(x)－1＝ eq \f(x,x2＋1)，定义域为[－2 025，2 025]， 则g(－x)＝ eq \f(－x,(－x)2＋1)＝－ eq \f(x,x2＋1)＝－g(x)，故g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，即f(x)max－1＋f(x)min－1＝0，故M＋N＝2. 答案：2 11．已知函数f(x)＝x2＋ eq \f(a,x)(x≠0，a∈R). (1)判断f(x)的奇偶性； (2)若f(x)在[2，＋∞)是增函数，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2， 对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数． 当a≠0时，f(x)＝x2＋ eq \f(a,x)(a≠0，x≠0)， 取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0， ∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (2)设2≤x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x eq \o\al(2,1)＋ eq \f(a,x1)－x eq \o\al(2,2)－ eq \f(a,x2)＝ eq \f((x1－x2),x1x2)[x1x2(x1＋x2)－a]， 要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为増函数，必须f(x1)－f(x2)<0恒成立． ∵x1－x2<0，x1x2>4，∴即a<x1x2(x1＋x2)恒成立． 又∵x1＋x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16.∴a的取值范围是(－∞，16]. 12．已知函数f(x)＝ eq \f(mx＋n,x2＋1)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1. (1)求m，n的值； (2)试判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论； (3)求使f(a－1)＋f(a2－1)<0成立的实数a的取值范围． 解：(1)由题意，x∈[-1，1]在f(x)＝ eq \f(mx＋n,x2＋1)中，函数是奇函数，且f(1)＝1， 可得f(0)＝0即n＝0；又 eq \f(1,2)(m＋n)＝1，则m＝2，∴m＝2，n＝0；经验证满足题意． (2)由题意及(1)得，f(x)＝ eq \f(2x,x2＋1)在[－1，1]上为增函数．证明如下： 设－1≤x1<x2≤1，则f(x1)－f(x2)＝eq \o\al(2,1) eq \f(2x1,x＋1) －eq \o\al(2,2) eq \f(2x2,x＋1) ＝eq \o\al(2,1) eq \f(2(x1－x2)(1－x1x2),（x＋1）（x eq \o\al(2,2)＋1）) ， ∵－1≤x1<x2≤1，∴x1－x2<0，x1x2<1， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在[－1，1]上为增函数； (3)由题意，f(x)＝ eq \f(2x,x2＋1)，x∈[－1，1]， ∴f(a－1)＋f(a2－1)<0，即f(a－1)<－f(a2－1)＝f(1－a2)， ∴－1≤a－1<1－a2≤1，解得0≤a<1， ∴a的取值范围是[0，1). 【创新探索】 13．(多选)(新定义)给出定义：若m－ eq \f(1,2)<x≤m＋ eq \f(1,2)(其中m为整数)，则称m为离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}＝m，则下列关于函数f(x)＝x－{x}的四个说法中正确的有(　　) A．函数y＝f(x)的定义域是R，值域是(－ eq \f(1,2)， eq \f(1,2)] B．函数y＝f(x)是偶函数 C．函数y＝f(x)是奇函数 D．函数y＝f(x)在(－ eq \f(1,2)， eq \f(1,2)]上单调递增 解析：选AD．化简函数解析式可得， f(x)＝x－{x}＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(…,x，－\f(1,2)<x≤\f(1,2)，,x－1，\f(1,2)<x≤\f(3,2)，,x－2，\f(3,2)<x≤\f(5,2)，,…))画出函数的图象，如图所示，由图象可知函数y＝f(x)的定义域是R，值域是(－ eq \f(1,2)， eq \f(1,2)]，故A正确． 由图可以得出，函数图象既不关于y轴对称，也不关于坐标原点对称，且f(x)在(－ eq \f(1,2)， eq \f(1,2)]上单调递增， 故函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，从而B，C错误，D正确． $