3.2.2 第1课时 函数奇偶性的概念及判断-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“函数的概念及其表示”，通过“自主学习·新知感悟”引导学生自主梳理知识，以“合作探究·思维进阶”中的探究任务为支架，衔接知识梳理与典例解析，帮助学生构建从概念到性质应用的认知脉络。 其亮点在于以“学-探-评-练”闭环设计落实核心素养，通过合作探究任务培养数学思维，如结合图像特征推理函数奇偶性判定，典例解析与课堂评价强化数学语言表达。PPT支持任意编辑便于教师个性化调整，课后分层练满足差异化需求，助力学生循序渐进提升，教师高效开展教学。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第三章 函数的概念及其表示 3 目 录 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 34 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.2.2　奇偶性 第1课时　函数奇偶性的概念及判断 学习目标　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义，提升数学抽象素养．(重点)　2.掌握函数的奇偶性的判断和证明方法，提升逻辑推理素养．(重点)　3.会用奇偶函数图象的对称性解决简单问题，提升直观想象素养．(重点、难点) 祈年殿，位于北京天坛公园的世界文化遗产，是明清两代皇帝祈求丰收的圣地．它的前身是“大祀殿”，始建于明永乐十八年(1420年)，是一座鎏金宝顶、蓝瓦红柱、金碧辉煌的彩绘三层重檐圆形大殿． 问题1　该殿图形有何特点？ 提示：既是轴对称图形，又是中心对称图形． 问题2　若该特点运用到函数中，函数的图象关于y轴对称，则该函数是什么函数？ 问题3　若该特点运用到函数中，函数的图象关于原点中心对称，则该函数是什么函数？ 提示：偶函数． 提示：奇函数． 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P82～83，分析思考：认为奇偶性定义中的“∀”可以省略吗？ 提示：不可以，具有奇偶性需要每一个自变量x均满足． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数．(　　 ) (2)存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　　 ) (3)函数f(x)＝x2，x∈[－1，1)是偶函数．(　　 ) (4)若y＝f(x)(x∈R)是偶函数，则一定有f(－1)＝f(1).(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 　奇、偶函数 问题4　观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 问题5　如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？ 提示：这两个函数图象都关于y轴对称． 提示：f(x)＝f(－x). 问题6　观察函数f(x)＝x和g(x)＝ eq \f(1,x)的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 问题7　如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于原点对称”呢？ 提示：可以发现，这两个函数的图象都关于原点成中心对称图形． 提示：f(－x)＝－f(x). 类型 偶函数 奇函数 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于 对称 关于 对称 y轴 原点 eq \x(,(1)函数的奇偶性是函数的整体性质．,(2)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称．) 温馨提示 　　 函数的奇偶性是函数的整体性质. 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称. 角度一　函数奇偶性的判断 例1　(链接教材：人教A版P84例6)判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝ eq \r(1－x2)＋ eq \r(x2－1)； (3)f(x)＝ eq \f(\r(1－x2),|x＋2|－2)； (4)f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x(1－x)，x<0，,x(1＋x)，x>0.)) 解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数． (2)函数f(x)＝ eq \r(1－x2)＋ eq \r(x2－1)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，此时f(x)＝0，所以函数f(x)＝ eq \r(1－x2)＋ eq \r(x2－1)既是奇函数又是偶函数． (3)由1－x2≥0，得－1≤x≤1. 由|x＋2|－2≠0，得x≠0，且x≠－4. 故函数f(x)的定义域是[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称．显然x∈[－1，0)∪(0，1]时，x＋2>0. 则f(x)＝ eq \f(\r(1－x2),|x＋2|－2)＝ eq \f(\r(1－x2),x). ∵f(－x)＝ eq \f(\r(1－(－x)2),－x)＝－ eq \f(\r(1－x2),x)＝－f(x)， ∴f(x)＝ eq \f(\r(1－x2),|x＋2|－2)是奇函数． (4)方法一：∵函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x>0时，－x<0， ∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x). 当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x). ∴函数f(x)为奇函数． 方法二：作出函数的图象，如图所示的实线部分：由图可知，该函数为奇函数． 类题通法 判断函数奇偶性的方法 定义法 （2）图像法 注意：对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的取值范围代入相应的函数解析式． 角度二　奇、偶函数的图象及其应用 例2　(链接教材：人教A版85练习1)已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示． (1)画出f(x)在区间[－5，0]上的图象； (2)写出使f(x)<0的x的取值集合． 解：(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示． (2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5). 变式探究　若将本例(2)中的“奇函数”改为“偶函数”，“f(x)<0”改为“f(x)>0”，其他条件不变，如何解答本题？ 解：由图可知，函数f(x)>0的解集为{x|－2<x<0，或0<x<2}． eq \x(,1.巧用奇偶性作函数图象的步骤,(1)确定函数的奇偶性．,(2)作出函数在[0，＋∞）（或(－∞，0])上对应的图象．,(3)根据奇（偶）函数关于原点（y轴）对称得出在（－∞，0]（或[0，＋∞））上对应的函数图象．,2.奇偶函数图象的应用类型及处理策略,(1)类型：利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题．,(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察．)类题通法 1.巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性. (2)作出函数在[0，+∞)（或（-∞,0])上对应的图象. (3)根据奇（偶）函数关于原点(y轴）对称得出在(-∞, 0]（或[0，+∞))上对应的函数图象。 2.奇偶函数图象的应用类型及处理策略 (1)类型：利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题. (2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察. 　利用函数的奇偶性求值 　例3　(1)已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：选C．因为函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数， 所以f(x)＝f(－x)， 即x2＋(2－m)x＋m2＋12 ＝(－x)2－(2－m)x＋m2＋12， 即4－2m＝0，所以m＝2. (2)设函数f(x)＝ eq \f((x＋1)(x＋a),x)为奇函数，则a＝________． 解析：方法一(定义法)：由已知f(－x)＝－f(x)， 即 eq \f((－x＋1)(－x＋a),－x)＝－ eq \f((x＋1)(x＋a),x). 显然x≠0得，x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a， 故a＋1＝0，得a＝－1. 方法二(特值法)：由f(x)为奇函数得 f(－1)＝－f(1)， 即 eq \f((－1＋1)(－1＋a),－1)＝－ eq \f((1＋1)(1＋a),1)， 整理得a＝－1. 答案：－1 类题通法 利用函数奇偶性求参策略 (1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程． (2)一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(－x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值． (3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去． 【迁移运用】 (1)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝(　　) A．26 B．18 C．10 D．－26 解析：选D．由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，得f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx. 令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋8， ∵G(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)，∴G(x)是奇函数，∴G(－3)＝－G(3)，即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10， ∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26. (2)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析：选C．因为f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，所以f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1， 又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1， 则f(1)＋g(1)＝1. 1．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选C．因为函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，那么可知a＝1. 2．f(x)＝x3＋ eq \f(1,x)的图象关于(　　 ) A．原点对称 B．y轴对称 C．y＝x对称 D．y＝－x对称 解析：选A．f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)3＋ eq \f(1,－x)＝－x3－ eq \f(1,x)＝－(x3＋ eq \f(1,x))＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，∴其图象关于原点对称． 3．函数f(x)＝ eq \r(x)的奇偶性为(　　 ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：选D．函数f(x)＝ eq \r(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数． 4．函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－2，2a]，则a＝_______，b＝_______． 解析：由f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，故有a－2＋2a＝0，解得a＝ eq \f(2,3).又f(x)为偶函数，所以其图象关于y轴对称，即－ eq \f(b,2a)＝0，解得b＝0. 答案： eq \f(2,3)　0 奇(偶)函数运算性质及复合函数的奇偶性 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2(D1∩D2≠∅)，在它们的公共定义域内，有以下结论： f(x) g(x) f(x)＋g(x) f(x)－g(x) f(x)g(x) f(g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 【基础巩固】 1．对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有(　　 ) A．f(x)－f(－x)>0 B．f(x)－f(－x)≤0 C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)>0 解析：选C．∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，f(x)·f(－x)＝f(x)·[－f(x)]＝－[f(x)]2≤0， 又f(0)＝0，∴－[f(x)]2≤0. 2．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋2，那么f(－1)的值是(　　 ) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析：选A．∵函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋2， ∴f(－1)＝－f(1)＝－(12＋2)＝－3. 3．已知函数f(x)＝(x－1) eq \r(\f(1＋x,1－x))，则f(x)为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 解析：选D．因为f(x)＝(x－1) eq \r(\f(1＋x,1－x))，则 eq \f(1＋x,1－x)≥0，得定义域为[－1，1). 因为f(x)定义域不关于原点对称，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数． 4．(2025·河北秦皇岛模拟)已知函数f(x)＝1－|x－2|＋|x|，则下列函数为奇函数的是(　　 ) A．y＝f(x＋1)＋1 B．y＝f(x－1)＋1 C．y＝f(x＋1)－1 D．y＝f(x－1)－1 解析：选C．因为f(x)＝1－|x－2|＋|x|， 所以f(x＋1)－1＝1－|x＋1－2|＋|x＋1|－1＝－|x－1|＋|x＋1|， 令g(x)＝f(x＋1)－1＝－|x－1|＋|x＋1|，定义域为R， 且g(－x)＝－|－x－1|＋|－x＋1|＝－(－|x－1|＋|x＋1|)＝－g(x)， 所以g(x)＝f(x＋1)－1为奇函数，故C正确； 又y＝f(x＋1)＋1＝－|x－1|＋|x＋1|＋2，为非奇非偶函数，故A错误； y＝f(x－1)＋1＝1－|x－1－2|＋|x－1|＋1＝－|x－3|＋|x－1|＋2，为非奇非偶函数，故B错误； y＝f(x－1)－1＝1－|x－1－2|＋|x－1|－1＝－|x－3|＋|x－1|，为非奇非偶函数，故D错误． 5．(多选)已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的是(　　) A．这个函数有两个单调增区间 B．这个函数有三个单调减区间 C．这个函数在其定义域内有最大值7 D．这个函数在其定义域内有最小值－7 解析：选BC．由题意作出该函数在[－7，0]上的图象，如图所示． 由图象可知该函数有三个单调递增区间，三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不为－7. 6．(多选)已知函数f(x)＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，且其定义域为[m－1，2m]，则(　　) A．m＝3 B．n＝0 C．函数f(x)的定义域为[－ eq \f(2,3)， eq \f(2,3)] D．函数f(x)的最大值为 eq \f(31,27) 解析：选BCD．因为函数f(x)＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，所以函数的定义域关于原点对称． 又因为函数f(x)的定义域为[m－1，2m]，所以m－1＋2m＝0，解得m＝ eq \f(1,3)，故A错误； 又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝mx2－nx＋3m＋n＝f(x)＝mx2＋nx＋3m＋n，解得n＝0.所以函数的解析式为f(x)＝ eq \f(1,3)x2＋1. 定义域为[－ eq \f(2,3)， eq \f(2,3)]，其图象是开口向上，且以y轴为对称轴的抛物线， 所以当x＝± eq \f(2,3)时，f(x)取得最大值 eq \f(31,27)，故BCD正确． 7．已知f(x)＝x2＋bx＋1，x∈[－2a，a＋3]是偶函数，则实数a＋b的值为______． 解析：由题设知f(－x)＝f(x)，则(－x)2＋b(－x)＋1＝x2＋bx＋1，得2bx＝0恒成立，故b＝0， 由偶函数的定义域关于原点对称，则－2a＋a＋3＝0，可得a＝3， 所以a＋b＝3. 答案：3 8．若函数f(x)＝ eq \f(x,(2x＋1)(x－a))为奇函数，则a＝________． 解析：在定义f(－x)＝－f(x)中令x＝1，则f(－1)＝－f(1)， ∴ eq \f(－1,(－2＋1)(－1－a))＝－ eq \f(1,(2＋1)(1－a))，解得a＝ eq \f(1,2)，经检验，符合题意． 答案： eq \f(1,2) 9．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x2(x2＋2)； (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； (3)f(x)＝ eq \f(\r(4－x2),|x＋3|－3)； (4)f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－2x＋3，x>0，,0，x＝0，,－x2－2x－3，x<0.)) 解：(1)∵x∈R，∴－x∈R. 又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (2)∵x∈R，∴－x∈R. 又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． (3)由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－x2≥0，,|x＋3|－3≠0，))得－2≤x≤2，且x≠0，所以定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称， 所以f(x)＝ eq \f(\r(4－x2),|x＋3|－3)＝ eq \f(\r(4－x2),x＋3－3)＝ eq \f(\r(4－x2),x). 又f(－x)＝ eq \f(\r(4－(－x)2),－x)＝－ eq \f(\r(4－x2),x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． (4)函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称． ①当x＝0时，－x＝0， 所以f(－x)＝f(0)＝0，f(x)＝f(0)＝0， 所以f(－x)＝－f(x)； ②当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)； ③当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝－(－x2－2x－3)＝－f(x). 综上，可知函数f(x)为奇函数． 【综合运用】 10．设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 解析：选C．易知选项ABCD中的函数定义域即为R； 因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)， 对于A，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，故f(x)g(x)是奇函数，即A错误； 对于B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，故|f(x)|g(x)是偶函数，即B错误； 对于C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，故f(x)|g(x)|是奇函数，即C正确； 对于D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，故|f(x)g(x)|是偶函数，即D错误． 11．(多选)函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2－1，则(　　 ) A．f(－1)＝－1 B．g(－1)＝2 C．f(1)＋g(1)＝1 D．f(1)＋g(1) ＝2 解析：选AC．由f(x)－g(x)＝x3＋x2－1得：f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2－1， 又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴－f(x)－g(x)＝－x3＋x2－1； 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f(x)－g(x)＝x3＋x2－1，,－f(x)－g(x)＝－x3＋x2－1，)) 得f(x)＝x3，g(x) ＝－x2＋1； 对于A，f(－1)＝(－1)3＝－1，A正确； 对于B，g(－1)＝－(－1)2＋1＝0，B错误； 对于CD，f(1)＋g(1)＝1－1＋1＝1，C正确，D错误． 12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________． 解析：当x>0时，不等式f(x)>x转化为x2－4x>x，∴x>5，由函数是奇函数，图象关于原点对称，因此当x<0时不等式f(x)>x的解集为－5<x<0，综上不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞). 答案：(－5，0)∪(5，＋∞) 13．已知函数f(x)＝ eq \f(x2＋x＋1,x2＋1)，若f(a)＝ eq \f(2,3)，则f(－a)＝________. 解析：根据题意，f(x)＝ eq \f(x2＋x＋1,x2＋1)＝1＋ eq \f(x,x2＋1)， 而h(x)＝ eq \f(x,x2＋1)是奇函数， 故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－ eq \f(2,3)＝ eq \f(4,3). 答案： eq \f(4,3) 14．(2025·内蒙古鄂尔多斯期末)已知函数f(x)＝ax＋ eq \f(b,x)(a，b∈R). (1)判断f(x)的奇偶性，并用定义进行证明； (2)若b＝2a，试讨论f(x)在( eq \r(2)，＋∞)上的单调性． 解：(1)当a＝b＝0时，f(x)＝0(x≠0)既是奇函数也是偶函数； 当a，b不同时为0时，f(x)是奇函数，证明如下： 函数f(x)的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x≠0))，对于∀x∈ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x≠0))，都有－x∈ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x≠0))， 且f(－x)＝a(－x)＋ eq \f(b,－x)＝－(ax＋ eq \f(b,x))＝－f(x)， 故f(x)为奇函数． 综上，当a＝b＝0时，f(x)既是奇函数也是偶函数；当a，b不同时为0时，f(x)是奇函数． (2)当b＝2a时，f(x)＝ax＋ eq \f(2a,x)＝a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x))). 当a＝0时，f(x)＝0在( eq \r(2)，＋∞)上无单调性； 当a≠0时，任取x1，x2∈( eq \r(2)，＋∞)，且x1<x2， 则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2))＝a(x1－x2＋ eq \f(2,x1)－ eq \f(2,x2))＝a(x1－x2)· eq \f(x1x2－2,x1x2)， ∵x1，x2∈( eq \r(2)，＋∞)，且x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>2，x1x2－2>0. 若a>0，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2))＝a(x1－x2)· eq \f(x1x2－2,x1x2)<0，即f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))<f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2))， ∴f(x)在( eq \r(2)，＋∞)上单调递增； 若a<0，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2))＝a(x1－x2)· eq \f(x1x2－2,x1x2)>0，即f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2))， ∴f(x)在( eq \r(2)，＋∞)上单调递减． 【创新探索】 15．已知函数f(x)对一切x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y). (1)求证：f(x)是奇函数； (2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12). 解：(1)证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)， 令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0. 所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数． （2）因为f(x)为奇函数．所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a.又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，所以f(12)＝－4a. $