3.1.1 第1课时 函数的概念（一）-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件（人教·必修一）聚焦第三章函数的概念及其表示，通过“自主学习·新知感悟”环节导入，帮助学生联系旧知搭建学习支架，系统构建函数概念的认知脉络。 其亮点在于PPT支持任意编辑（双击内容用word修改），结构分自主学习、合作探究、课堂评价、课后分层练四环节。结合数学思维（合作探究中逻辑推理）和数学语言（分层练习中应用表达），实例如分层习题设计，助力学生循序渐进发展探究能力，教师可灵活调整内容提升教学效率。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第三章 函数的概念及其表示 3 目 录 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．1.1　函数的概念 第1课时　函数的概念(一) 学习目标　1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，提升数学抽象素养．(重点、难点)　2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，提升逻辑推理素养．(难点)　3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域，提升数学抽象和数学运算素养．(重点) 北京时间2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟二十号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功． 问题1　火箭发射过程中，火箭升空高度h随时间t变化而变化，它们之间是函数关系吗？ 提示：每一个时刻t，都有唯一确定的高度h与之对应，因此是函数关系． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)函数概念中强调的“三个特点”分别指的是什么？ (2)对于函数f：A→B，值域一定是集合B吗？ 提示：①非空性：函数定义中的集合A，B必须是两个非空实数集． ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值． ③唯一性：每一个自变量都有唯一的函数值与之对应． 提示：不一定．值域是函数值的集合，是集合B的子集，即值域{f(x)|x∈A}⊆B. 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(　　 ) (2)根据函数的定义，定义域中可以有多个x对应着值域中同一个y.(　　 ) (3)根据函数的定义，集合A中可以存在x在集合B中没有对应的y.(　　 ) (4)函数的定义域和值域一定是无限集合．(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 　函数的概念 　　　一枚炮弹发射后，经过26 s落在地面击中目标，炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度为h(单位：m)，随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130t－5t2. 问题2　炮弹飞行时间t的变化范围的集合A是什么？ 提示：A＝{t|0≤t≤26}． 问题3 炮弹在飞行过程中距离地面高度h的变化范围的集合B是什么？ 问题4　对任一时刻t，高度h是否唯一确定？集合A，B有什么特点？ 提示：B＝{h|0≤h≤845}． 提示：唯一确定，集合A，B均为非空的实数集． x 概念 一般地，设A，B是非空的 ，如果对于集合A中的 一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三 要 素 对应关系 y＝f(x) 定义域 的取值范围A 值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A} 实数集 任意 唯一 例1　(链接教材：人教A版P64练习3)(多选)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　) A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值 解析：选AD．按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义． 类题通法 判断一个对应关系是否为函数的方法 （1）根据函数的概念判断 根据图形判断 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 【迁移运用】 1.下列图形中不是函数图象的是(　　) 解析：选A．选项A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故选项A中的图形不是函数图象，其余B，C，D均符合函数定义． 　函数的三要素 　　　已知函数y＝f(x)的图象如图所示 问题5　f(x)的定义域是什么？ 问题6　f(x)的值域是什么？ 问题7　这个函数对应关系是用什么表示？ 提示：f(x)的定义域为{x|－2≤x≤4，或5≤x≤8}． 提示：值域为{y|－4≤y≤3}． 提示：图象． 函数y＝f(x)，x∈A的 ，值域与对应关系f称为函数的三要素，其中值域由定义域与对应关系确定，值域是集合{f(x)|x∈A}，是集合B的子集． 定义域A 角度一　函数的定义域、值域 例2　求函数y＝ eq \f(\r(3,2x－1),(x＋3)0)＋ eq \f(1,\r(|x|－x))的定义域． 解析：要使函数式有意义，必须 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋3≠0，,|x|－x>0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠－3，,x<0，)) 因此函数y＝ eq \f(\r(3,2x－1),(x＋3)0)＋ eq \f(1,\r(|x|－x))的定义域为{x|x<0，且x≠－3}． 类题通法 求函数的定义域应关注三点 （1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有： ①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0. (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 【迁移运用】 2.(链接教材：人教A版P73习题3.1T11)下列可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数图象的是(　　) 解析：选C．根据题意，依次分析选项．对于A，其对应函数的值域不是N＝{y|0≤y≤1}，A错误；对于B，图象中存在一部分与x轴垂直，该图象不是函数的图象，B错误；对于C，其对应函数的定义域为M＝{x|0≤x≤1}，值域是N＝{y|0≤y≤1}，C正确；对于D，图象不满足一个x对应唯一的y，该图象不是函数的图象，D错误． 角度二　求函数值 例3　已知函数f(x)＝ eq \f(x＋1,x＋2)，则f [f(1)]＝________． 解析：∵f(1)＝ eq \f(1＋1,1＋2)＝ eq \f(2,3)， ∴f[f(1)]＝f( eq \f(2,3))＝ eq \f(\f(2,3)＋1,\f(2,3)＋2)＝ eq \f(5,8). 答案： eq \f(5,8) 类题通法 　　 函数求值的方法 已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值． 求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 注意：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义． 【迁移运用】 3.设函数f(x)＝ eq \f(x－6,x＋2)，则当f(x)＝2时，x的取值为(　　) A．－4 B．4 C．－10 D．10 解析：选C．令 eq \f(x－6,x＋2)＝2，则x＝－10. 1．已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|0≤x≤2}，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是(　　) 解析：选D．选项A，当0<x≤4时，每个x对应2个y，错误； 选项B，不满足定义域为A＝{x|0≤x≤4}，错误； 选项C，不满足值域为B＝{x|0≤x≤2}，错误； 选项D，每个x都满足从集合A到集合B的函数关系，正确． 2．某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是(　　) A．y是x的函数 B．w是y的函数 C．w是z的函数 D．w是x的函数 解析：选B．因为姓名不是数集，所以A、D错误；因为同一个身高可能对应多名同学，多个成绩，所以C错误；根据函数定义知，只有考试成绩与学号之间存在函数关系． 3．函数f(x)＝ eq \f(1,\r(x－2))－(x－4)0的定义域是(　　) A．{x|x≥2} B．{x|x>2} C．{x|x>2，且x≠4} D．{x|x≥2，且x≠4} 解析：选C．由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2＞0，,x－4≠0，))解得x＞2且x≠4，∴定义域为{x|x>2，且x≠4}． 4．已知f(x)＝ eq \f(1,1＋x)(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R). (1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f [g(3)]的值． 解：(1)∵f(x)＝ eq \f(1,1＋x)，∴f(2)＝ eq \f(1,1＋2)＝ eq \f(1,3). 又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6. (2)∵g(3)＝32＋2＝11，∴f[g(3)]＝f(11)＝ eq \f(1,1＋11)＝ eq \f(1,12). 【基础巩固】 1．下列对应是从集合A到集合B的函数的是(　　) A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→ eq \f(1,|x|) B．A＝N，B＝N*，f：x→|x－1| C．A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2 D．A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→ eq \r(x) 解析：选C．A中，x＝0时，集合B中没有元素与之对应；B中，x＝1时，|x－1|＝0，集合B中没有元素与之对应；C正确；D中，当x为负数时，B中没有元素与之对应． 2．函数y＝ eq \r(2－\f(x＋3,x2＋1))的定义域是(　　) A．{x|x＜－ eq \f(1,2)，或x＞1} B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤－\f(1,2)，或x≥1)) C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜1，或x＞2)) D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤－\f(1,2)，或x＞1)) 解析：选B．由题意，可得2－ eq \f(x＋3,x2＋1)≥0，即 eq \f(2x2－x－1,x2＋1)≥0，即2x2－x－1≥0，解得x≤－ eq \f(1,2)或x≥1. 3．已知函数f(x＋2)＝x2－3x＋4，则f(1)＝(　　) A．4 B．6 C．7 D．8 解析：选D．由x＋2＝1，得x＝－1.令x＝－1，得f(1)＝(－1)2－3×(－1)＋4＝1＋3＋4＝8. 4．函数f(x)＝x2＋1(0<x≤2且x∈N*)的值域是(　　) A．{x|x≥1} B．{x|x>1} C．{2，3} D．{2，5} 解析：选D．因为0<x≤2且x∈N*，所以x＝1或x＝2，所以f(1)＝2，f(2)＝5，故函数的值域为{2，5}． 5．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是(　　) A．1 B．0 C．－1 D．2 解析：选A．因为f(x)＝ax2－1，所以f(－1)＝a－1，f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1，所以a(a－1)2＝0.又因为a为正数，所以a＝1. 6．(多选)托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花．”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合M＝{－1，2，4}到集合N＝{1，2，4，16}的函数的是(　　) A．y＝2x B．y＝x＋2 C．y＝x2 D．y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x)) 解析：选CD．对于A，当x＝－1时，y＝－2，没有对应值，不满足条件；对于B，当x＝4时，y＝x＋2＝6，没有对应值，不满足条件；C，D满足条件． 7．(多选)下列函数中，定义域为{x eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x>1))}的是(　　) A．y＝ eq \f(\r(2x－2),x－1) B．y＝ eq \r(x－1) C．y＝ eq \r(x－1)＋(3x－3)0 D．y＝(2x－2)0 解析：选AC．对于A选项，依题可知x－1≠0，且2x－2≥0，所以x>1，故A符合题意； 对于B选项，依题可知x－1≥0，所以x≥1，故B不符合题意； 对于C选项，依题可知x－1≥0，且3x－3≠0，所以x>1，故C符合题意； 对于D选项，依题可知2x－2≠0，所以x≠1，故D不符合题意． 8．若函数y＝ eq \f(ax＋1,\r(ax2－4ax＋3))的定义域为R，则实数a的取值范围为________． 解析：由题意不等式ax2－4ax＋3＞0的解集为R，当a＝0时，不等式变为3＞0，解集为R，符合题意．当a≠0时，实数a应满足条件 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＝16a2－12a＜0，))解得0＜a＜ eq \f(3,4).综上，实数a的取值范围为{a|0≤a＜ eq \f(3,4)}． 答案： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|0≤a＜\f(3,4))) 9．已知函数f(x)＝x2－mx＋n且f(1)＝－1，f(n)＝m，则f(f(－1))＝________，f(f(x))＝________． 解析：由题意知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m＋n＝－1，,n2－mn＋n＝m，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝－1.)) 所以f(x)＝x2－x－1，故f(－1)＝1， f(f(－1))＝f(1)＝－1， f(f(x))＝f(x2－x－1)＝(x2－x－1)2－(x2－x－1)－1＝x4－2x3－2x2＋3x＋1. 答案：－1　x4－2x3－2x2＋3x＋1 10．已知f(x)＝ eq \f(1＋x2,1－x2)， (1)求f(x)的定义域； (2)求证：f( eq \f(1,x))＝－f(x)； (3)若f(a)＝2，求a. 解：(1)若使函数f(x)＝ eq \f(1＋x2,1－x2)有意义，需满足1－x2≠0，即x≠±1. 所以函数f(x)＝ eq \f(1＋x2,1－x2)的定义域为{x|x≠±1}． (2)证明：∵f( eq \f(1,x))＝ eq \f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))\s\up12(2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))\s\up12(2))＝ eq \f(\f(x2＋1,x2),\f(x2－1,x2))＝ eq \f(x2＋1,x2－1)， －f(x)＝－ eq \f(1＋x2,1－x2)＝ eq \f(x2＋1,x2－1)， ∴f( eq \f(1,x))＝－f(x). (3)∵f(a)＝2，∴ eq \f(1＋a2,1－a2)＝2， ∴3a2＝1，解得a＝± eq \f(\r(3),3). 【综合运用】 11．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是______，其中只与x的一个值对应的y值的范围是________． 解析：观察函数图象可知，f(x)的定义域是[－3，0]∪[2，3]；只与x的一个值对应的y值的范围是[1，2)∪(4，5]. 答案：[－3，0]∪[2，3]　[1，2)∪(4，5] 12．已知f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)且f(2)＝p，f(3)＝q，则f(72)＝________． 解析：因为f(ab)＝f(a)＋f(b)， 所以f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q， f(8)＝f(4)＋f(2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3p， 所以f(72)＝f(8×9)＝f(8)＋f(9)＝3p＋2q. 答案：3p＋2q 13．一个小球被抛出后经过6 s落地，小球在空中运动时与地面的最大距离为9 m，且小球的高度h eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m))与运动时间t eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(s))之间的关系为h＝－t2＋6t，求该关系所表示的函数的定义域和值域，并用函数的定义来描述这个函数． 解：定义域为A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(t\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(0≤t≤6))))， 因为h＝－t2＋6t＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－3))2＋9，则值域为B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(h\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(0≤h≤9))))， 对应关系h＝－t2＋6t把集合A中的任意一个数t，对应到集合B中唯一确定的数－t2＋6t. 14．(一题多解)已知f(x)＝ eq \f(x2,1＋x2)，x∈R. (1)计算f(a)＋f( eq \f(1,a))的值； (2)计算f(1)＋f(2)＋f( eq \f(1,2))＋f(3)＋f( eq \f(1,3))＋f(4)＋f( eq \f(1,4))的值． 解：(1)由于f(a)＝ eq \f(a2,1＋a2)，f( eq \f(1,a))＝ eq \f(1,1＋a2)， 所以f(a)＋f( eq \f(1,a))＝1. (2)法一　因为f(1)＝ eq \f(12,1＋12)＝ eq \f(1,2)， f(2)＝ eq \f(22,1＋22)＝ eq \f(4,5)， f( eq \f(1,2))＝ eq \f((\f(1,2))2,1＋(\f(1,2))2)＝ eq \f(1,5)， f(3)＝ eq \f(32,1＋32)＝ eq \f(9,10)，f( eq \f(1,3))＝ eq \f((\f(1,3))2,1＋(\f(1,3))2)＝ eq \f(1,10)， f(4)＝ eq \f(42,1＋42)＝ eq \f(16,17)，f( eq \f(1,4))＝ eq \f((\f(1,4))2,1＋(\f(1,4))2)＝ eq \f(1,17)， 所以f(1)＋f(2)＋f( eq \f(1,2))＋f(3)＋f( eq \f(1,3))＋f(4)＋f( eq \f(1,4))＝ eq \f(1,2)＋ eq \f(4,5)＋ eq \f(1,5)＋ eq \f(9,10)＋ eq \f(1,10)＋ eq \f(16,17)＋ eq \f(1,17)＝ eq \f(7,2). 法二　由(1)知，f(a)＋f( eq \f(1,a))＝1， 则f(2)＋f( eq \f(1,2))＝f(3)＋f( eq \f(1,3))＝f(4)＋f( eq \f(1,4))＝1， 即[f(2)＋f( eq \f(1,2))]＋[f(3)＋(f( eq \f(1,3)))]＋[f(4)＋f( eq \f(1,4))]＝3， 而f(1)＝ eq \f(1,2)，所以f(1)＋f(2)＋f( eq \f(1,2))＋f(3)＋f( eq \f(1,3))＋f(4)＋f( eq \f(1,4))＝ eq \f(7,2). 【创新探索】 15．(多选)(数学文化)德国数学家狄利克雷(1805—1859)在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，如狄利克雷函数D(x)，即当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0.以下关于狄利克雷函数D(x)的性质正确的有(　　) A．D( eq \r(2))＝1 B．D(x)的值域为[0，1] C．D(x)的定义域为R D．D(x－1)＝D(x) 解析：选CD．因为 eq \r(2)是无理数，所以D( eq \r(2))＝0，故A错误；D(x)的值域为{0，1}，故B错误；D(x)的定义域为R，故C正确；当x为有理数时，x－1也为有理数，所以此时D(x－1)＝D(x)＝1，当x为无理数时，x－1也为无理数，所以此时D(x－1)＝D(x)＝0，所以对x∈R，都有D(x－1)＝D(x)，故D正确． $