2.3 第2课时 一元二次不等式的应用-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学同步导学案及配套PPT聚焦一元二次函数、方程和不等式，涵盖分式不等式、一元二次不等式求解等核心内容。以知识梳理为基础，通过合作探究任务构建学习支架，从基础不等式到含参数问题逐步进阶，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以合作探究驱动数学思维，通过讨论二次项系数、判别式及根的大小关系培养推理能力，“读理解决答”四步法助力数学语言表达。PPT支持任意编辑便于教师个性化教学，课后分层练满足差异化需求，既提升学生探究与解题规范，又为教师提供清晰教学流程。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第二章 一元二次函数、方程和不等式 3 目 录 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2．3　二次函数与一元二次方程、不等式 第2课时　一元二次不等式的应用 学习目标　1.熟练掌握分式不等式的解法和含参不等式的解法，提升数学运算素养．(重点、难点)　2.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系，提升数学抽象素养．(重点)　3.构建一元二次函数模型，解决实际问题，提升数学建模素养．(重点) 　分式不等式的解法 问题　不等式 eq \f(x＋1,x－2)≥0的解集与(x＋1)(x－2)≥0的解集相同吗？不等式 eq \f(x－3,x＋2)<0与(x－3)(x＋2)<0等价吗？ 提示：不相同；等价． 简单分式不等式的解法 例1　求下列不等式的解集： (1) eq \f(x＋1,2x－3)≤1； (2) eq \f(2x＋1,1－x)<0. 解：(1)∵ eq \f(x＋1,2x－3)≤1，∴ eq \f(x＋1,2x－3)－1≤0，∴ eq \f(－x＋4,2x－3)≤0，即 eq \f(x－4,x－\f(3,2))≥0. 此不等式等价于(x－4)(x－ eq \f(3,2))≥0且x－ eq \f(3,2)≠0，解得x< eq \f(3,2)或x≥4. ∴原不等式的解集为{x|x< eq \f(3,2)，或x≥4}． (2)由 eq \f(2x＋1,1－x)<0得 eq \f(x＋\f(1,2),x－1)>0，此不等式等价于(x＋ eq \f(1,2))(x－1)>0， 解得x<－ eq \f(1,2)或x>1， ∴原不等式的解集为{x|x<－ eq \f(1,2)，或x>1}． 类题通法 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后求解． 【迁移运用】 (多选)与不等式 eq \f(x－3,2－x)≥0不同解的不等式是(　　 ) A．(x－3)(2－x)≥0 B．0<x－2≤1 C． eq \f(2－x,x－3)≥0 D．(x－3)(2－x)>0 解析：选ACD.由 eq \f(x－3,2－x)≥0得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1((x－3)(x－2)≤0，,x－2≠0，))解得2<x≤3， 对于A，由(x－3)(2－x)≥0得2≤x≤3，不同； 对于B，由0<x－2≤1得2<x≤3，相同； 对于C，由 eq \f(2－x,x－3)≥0得(x－2)(x－3)≤0且x－3≠0，解得2≤x<3，不同； 对于D，由(x－3)(2－x)>0得2<x<3，不同． 　解含参的一元二次不等式 例2　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R，a≥0). 解：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0(x∈R，a≥0). ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1； ②当a>0时，原不等式化为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x＋1)≥0，解得x≥ eq \f(2,a)或x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a>0时，不等式的解集为{x|x≥ eq \f(2,a)，或x≤－1}． 变式探究　(变条件)若把本例中的“a≥0”改为“a<0”，求该不等式的解集． 解：当a<0时，原不等式化为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x＋1)≤0. 当 eq \f(2,a)>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤ eq \f(2,a)；当 eq \f(2,a)＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当 eq \f(2,a)<－1，即－2<a<0，解得 eq \f(2,a)≤x≤－1. 综上所述，当－2<a<0时，不等式的解集为{x| eq \f(2,a)≤x≤－1}；当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a<－2时，不等式的解集为{x|－1≤x≤ eq \f(2,a)}． 类题通法 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 　一元二次不等式的实际应用 例3　(链接教材：人教A版P54例5)为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间的关系近似满足一次函数：y＝－10x＋500. (1)设李明每月获得的利润为ω(单位：元)，写出每月获得的利润ω与销售单价x的函数关系； (2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不小于3 000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？ 解：(1)依题意可知每件的销售利润为(x－10)元，每月的销售量为(－10x＋500)件，所以每月获得的利润ω与销售单价x的函数关系为ω＝(x－10)(－10x＋500)(10≤x≤50). (2)由每月获得的利润不小于3 000元，得(x－10)(－10x＋500)≥3 000， 化简得x2－60x＋800≤0， 解得20≤x≤40. 又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以20≤x≤25. 设政府每个月为他承担的总差价为p元，则p＝(12－10)(－10x＋500)＝－20x＋1 000. 由20≤x≤25，得500≤－20x＋1 000≤600. 故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为{p|500≤p≤600}． 类题通法 解不等式应用题的步骤 1．与不等式 eq \f(x－3,2－x)≥0同解的不等式是(　　 ) A．(x－3)(2－x)≥0 B．0<x－2≤1 C． eq \f(2－x,x－3)≥0 D．(x－3)(2－x)>0 解析：选B.解不等式 eq \f(x－3,2－x)≥0，得2<x≤3. 解不等式(x－3)(2－x)≥0，得2≤x≤3，故A不正确； 解不等式0<x－2≤1，得2<x≤3，故B正确； 解不等式 eq \f(2－x,x－3)≥0，得2≤x<3，故C不正确； 解不等式(x－3)(2－x)>0，得2<x<3，故D不正确． 2．不等式 eq \f(1,x)＜ eq \f(1,2)的解集是(　　 ) A．{x|x＜2} B．{x|x＞2} C．{x|0＜x＜2} D．{x|x＜0，或x＞2} 解析：选D.原不等式可化为 eq \f(x－2,2x)＞0，即2x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2. 3．某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)的关系为p＝300－2x，生产x件的成本r＝500＋30x(元).为使月获利不少于8 600元，则月产量x满足(　　) A．55≤x≤60 B．60≤x≤65 C．65≤x≤70 D．70≤x≤75 解析：选C.由题意可得(300－2x)x－(500＋30x)≥8 600，即x2－135x＋4 550≤0，则(x－65)(x－70)≤0，故65≤x≤70. 4．解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0). 解：原不等式变为(ax－1)(x－1)<0， 因为a>0，所以(x－ eq \f(1,a))(x－1)<0.所以当a>1时，解得 eq \f(1,a)<x<1； 当a＝1时，解集为∅； 当0<a<1时，解得1<x< eq \f(1,a). 综上，当0<a<1时，不等式的解集为{x|1<x< eq \f(1,a)}；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<1)))). 【基础巩固】 1．不等式 eq \f(3x－1,2－x)≥1的解集是(　　 ) A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(3,4)≤x≤2)) B．{x| eq \f(3,4)≤x<2} C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>2，或x≤\f(3,4))) D．{x|x≥ eq \f(3,4)} 解析：选B. eq \f(3x－1,2－x)≥1⇔ eq \f(4x－3,2－x)≥0， ∴(4x－3)(x－2)≤0且x≠2， 解得 eq \f(3,4)≤x<2， 则原不等式的解集为{x| eq \f(3,4)≤x<2}． 2．若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式 eq \f(ax＋b,x－2)>0的解集为(　　 ) A.{x|x>1，或x<－2} B．{x|1<x<2} C．{x|x>2，或x<－1} D．{x|－1<x<2} 解析：选C.因为ax－b>0的解集为{x|x>1}，所以a>0，且a＝b，故 eq \f(ax＋b,x－2)＝ eq \f(a(x＋1),x－2)>0，等价为(x＋1)(x－2)>0，所以x>2或x<－1. 3．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是(　　 ) A．{a|0<a<4} B．{a|0≤a<4} C．{a|0<a≤4} D．{a|0≤a≤4} 解析：选D.当a＝0时，满足条件； 当a≠0时，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝(－a)2－4a≤0，)) 得0<a≤4，所以0≤a≤4. 4．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　) A．{x|x<－n，或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m，或x>m} D．{x|－m<x<n} 解析：选B.方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，因为m＋n>0，所以m>－n. 结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象(图略)，得不等式的解集是{x|－n<x<m}． 5．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2，或x>4}，则(　　 ) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－4} C．a＋b＋c>0 D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为{x|x<－ eq \f(1,4)，或x> eq \f(1,2)} 解析：选ABD.依题意a>0，且ax2＋bx＋c＝0的根为－2和4， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2＋4＝－\f(b,a)，,－2×4＝\f(c,a)，))∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－2a，,c＝－8a.)) 因此a＋b＋c＝－9a<0，所以A正确，C错误； 又bx＋c>0⇔－2ax－8a>0，∴x<－4，B正确； 不等式cx2－bx＋a<0⇔8x2－2x－1>0， 解得x> eq \f(1,2)或x<－ eq \f(1,4)，D正确． 6．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，售价b的取值范围应是________． 解析：设每个涨价a元，则涨价后的利润与原利润之差为(10＋a)(400－20a)－10×400＝－20a2＋200a. 要使商家利润有所增加，则必须使－20a2＋200a>0，即a2－10a<0，得0<a<10. 所以售价b的取值范围应为{b|90<b<100}． 答案：{b|90<b<100} 7．若关于x的不等式 eq \f(x－a,x＋1)>0的解集为{x|<－1，或x>4}，则实数a＝________． 解析：由题意知，不等式的解集为{x|x<－1，或x>4}，则(x－a)(x＋1)>0⇔(x＋1)(x－4)>0，故a＝4. 答案：4 8．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.则这次事故的主要责任方为________． 解析：由题意列出不等式 s甲＝0.1x＋0.01x2>12， s乙＝0.05x＋0.005x2>10. 分别求解，得x甲<－40或x甲>30， x乙<－50或x乙>40. 由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任． 答案：乙车 9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{x| eq \f(2x－3,x－3)<1}，C＝{x|1－a≤x<1＋a}． (1)求集合(∁UB)∩A； (2)若B∪C＝B，求实数a的取值范围． 解：(1)由x2－2x－8<0，得－2<x<4， 所以A＝{x|－2<x<4}． 由 eq \f(2x－3,x－3)<1得 eq \f(x,x－3)<0，解得0<x<3， 所以B＝{x|0<x<3}， 所以∁UB＝{x|x≤0，或x≥3}． 所以(∁UB)∩A＝{x|－2<x≤0，或3≤x<4}． (2)因为B∪C＝B，所以C⊆B. 当1－a≥1＋a，即a≤0时，C＝∅，满足题意； 当C≠∅时，满足 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－a<1＋a，,1－a>0，,1＋a≤3，))解得0<a<1. 综上，实数a的取值范围为{a|a<1}． 【综合运用】 10．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少 eq \f(5,2)t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是(　　 ) A．{t|1≤t≤3} B．{t|3≤t≤5} C．{t|2≤t≤4} D．{t|4≤t≤6} 解析：选B.设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元， 则y＝2 400 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(5,2)t))×t%＝60(8t－t2). 令y≥900，即60(8t－t2)≥900.解得3≤t≤5. 11．(多选)下列关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a>0的解集讨论正确的是(　　) A．当a＝1时，解集为∅ B．当a>1时，解集为{x|x>a} C．当a<1时，解集为{x|x<a，或x>1} D．无论a取何值，解集均不为空集 解析：选CD.原不等式可化为(x－1)(x－a)>0. 对于A，当a＝1时，原不等式为(x－1)2>0，解得x≠1，故A错误； 对于B，当a>1时，不等式的解集为{x|x<1，或x>a}，故B错误； 对于C，当a<1时，不等式的解集为{x|x>1，或x<a}，故C正确； 对于D，对于一元二次方程x2－(a＋1)x＋a＝0，Δ＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≥0，所以无论a取何值，不等式的解集均不为空集，故D正确． 12．若不等式ax2＋5x＋1≤0的解集为{x|－ eq \f(1,2)≤x≤－ eq \f(1,3)}，则不等式 eq \f(3x－a,x－3)<0的解集为________． 解析：依题意，方程ax2＋5x＋1＝0有两根－ eq \f(1,2)与－ eq \f(1,3)， ∴－ eq \f(1,2)＋(－ eq \f(1,3))＝－ eq \f(5,a)，且 eq \f(1,a)＝ eq \f(1,6)， 故a＝6， 则 eq \f(3x－a,x－3)<0⇔ eq \f(3x－6,x－3)<0， ∴(x－2)(x－3)<0，解之得2<x<3. 答案：{x|2<x<3} 13．已知关于x的不等式x2－mx＋m>0，其中m为参数． (1)若该不等式的解集为R，求m的取值范围； (2)当x>1时，该不等式恒成立，求m的取值范围． 解：(1)由题意得m2－4m<0，解得0<m<4， ∴m的取值范围为{m|0<m<4}． (2)当x>1时，x－1>0， ∴x2－mx＋m>0⇔m< eq \f(x2,x－1). ∵ eq \f(x2,x－1)＝ eq \f((x－1)2＋2(x－1)＋1,x－1)＝(x－1)＋ eq \f(1,x－1)＋2≥2 eq \r((x－1)·\f(1,x－1))＋2＝4， 当且仅当x－1＝ eq \f(1,x－1)，即x＝2时取到等号，∴m<4， ∴m的取值范围是{m|m<4}． 【创新探索】 14．现有如图所示的矩形地块AMPN，其中AM＝60 m，AN＝40 m，现根据市政规划建设占地如图中矩形ABCD所示的幼儿园，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上． (1)要使幼儿园的占地面积不小于576 m2，AB的长度应该在什么范围内？ (2)如何设计才能使幼儿园的占地面积最大？最大面积是多少？ 解：(1)使AB＝x m，由题意得△NDC∽△NAM， ∴ eq \f(DC,AM)＝ eq \f(ND,NA)，即 eq \f(x,60)＝ eq \f(40－AD,40)， 则AD＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(40－\f(2,3)x)) m. 设矩形ABCD的面积为S m2，则S＝40x－ eq \f(2,3)x2(0<x<60). 要使幼儿园的占地面积不小于576 m2， 则40x－ eq \f(2,3)x2≥576，化简得x2－60x＋864≤0，解得24≤x≤36. (2)S＝40x－ eq \f(2,3)x2＝ eq \f(2,3)x(60－x)≤ eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60－x＋x,2))) eq \s\up12(2)＝600，当且仅当x＝60－x，即x＝30时等号成立，此时AD＝40－ eq \f(2,3)×30＝20(m)，故当AB＝30 m，AD＝20 m时，幼儿园的占地面积最大，最大面积是600 m2. $