2.1 第2课时 等式性质与不等式性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦一元二次函数、方程和不等式核心内容，课堂导入通过“合作探究·思维进阶”引导学生用数学眼光观察现实问题中的数量关系，以“学以致用·课堂评价”衔接知识应用，“课后分层练”巩固提升，构建从探究到应用再到巩固的学习支架。 其亮点在于PPT支持任意编辑，教师可灵活调整教学内容。通过“合作探究”培养数学思维，引导学生推理函数与方程的逻辑关系，“课堂评价”强化数学语言表达，“课后分层练”适配不同层次学生。学生在探究中提升思维与应用能力，教师借助可编辑课件优化教学效率。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第二章 一元二次函数、方程和不等式 3 目 录 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.1　等式性质与不等式性质 第2课时　等式性质与不等式性质 学习目标　1.掌握等式性质与不等式性质以及推论，培养学生数学抽象的核心素养．(重点)　2.进一步掌握作差比较法比较实数的大小，提升数学运算的核心素养．(难点)　3.能利用不等式的性质证明简单的不等式、求代数式的取值范围，强化逻辑推理的核心素养．(重点、难点) 　等式的基本性质 性质 名称 内容 性质1 对称性 如果a＝b，那么b＝a 性质2 传递性 如果a＝b，b＝c，那么 性质3 同加(减)性 如果a＝b，那么a±c＝b±c 性质4 同乘性 如果a＝b，那么 性质5 同除性 如果a＝b，c≠0，那么 eq \f(a,c)＝ eq \f(b,c) a＝c ac＝bc 例1　下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是(　　 ) A．如果a＝b，那么a＋c＝b－c B．如果a2＝6a，那么a＝6 C．如果a＝b，那么 eq \f(a,c)＝ eq \f(b,c) D．如果 eq \f(a,c)＝ eq \f(b,c)，那么a＝b 解析：选D.选项A，当c≠0时，显然不成立； 选项B，如果a2＝6a，那么a＝6或a＝0，显然不成立； 选项C，当c＝0时， eq \f(a,c)＝ eq \f(b,c)无意义，不成立； 选项D，如果 eq \f(a,c)＝ eq \f(b,c)，则c≠0，故 eq \f(a,c)×c＝ eq \f(b,c)×c，即a＝b，成立． 类题通法 等式基本性质中性质 1,2反映了相等关系自身的特性:对称性和传递性;性质3,4,5反映了等式在运算中保持的不变性. 　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 a>b⇔b a ⇔ 性质2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 性质3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 性质4 可乘性 a>b，c>0⇒ a>b，c<0⇒ c的符号 < ac>bc ac<bc 性质 别名 性质内容 注意 性质5 同向可加性 a>b，c>d⇒ 同向 性质6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ 同向正项 性质7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 a＋c>b＋d ac>bd 温馨提示 应用不等式应注意: (1)一定要搞清不等式成立的前提条件; (2)要注意每条性质是否具有可逆性. 例2　(多选)下列四个命题中正确的是(　　 ) A．若a>b，c>d，则a－d>b－c B．若 eq \f(1,a)< eq \f(1,b)<0，则b2<ab C．若a>b，则 eq \f(1,a－b)> eq \f(1,a) D．若a2m>a2n，则m>n 解析：选AD.对于A，因为a>b，c>d，所以－d>－c，则a－d>b－c，故A正确； 对于B，取a＝－1，b＝－2，则满足 eq \f(1,a)< eq \f(1,b)<0，但b2＝4>2＝ab，故B错误； 对于C，取a＝1，b＝－1，则满足a>b，但 eq \f(1,a－b)＝ eq \f(1,2)<1＝ eq \f(1,a)，故C错误； 对于D，因为a2m>a2n，所以a2≠0，则a2>0，所以m>n，故D正确． 类题通法 利用不等式的性质判断命题真假的注意点 (1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意构造性质． (2)采用特殊值法进行排除，注意取值一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 【迁移运用】 (多选)若a，b，c∈R且a<b<0，则下列不等式一定正确的是(　　 ) A． eq \f(1,a)< eq \f(1,b) B．ab>b2 C．a|c|<b|c| D．a(c2＋1)<b(c2＋1) 解析：选BD.对于A，a＝－2，b＝－1，则 eq \f(1,a)＝－ eq \f(1,2)> eq \f(1,b)＝－1，故A错误； 对于B，由a<b<0，两边同时乘以b，ab>b2，故B正确． 对于C，若c＝0，则a|c|＝b|c|，故C错误； 对于D，因为a<b<0，c2＋1>0，则a(c2＋1)<b(c2＋1)，故D正确． 　不等式的性质的应用 角度一　利用不等式的性质证明不等式 例3　(链接教材：人教A版P42例2)已知c>a>b>0，求证： eq \f(a,c－a)> eq \f(b,c－b). 证明：方法一(作差法)　 eq \f(a,c－a)－ eq \f(b,c－b)＝ eq \f(a(c－b)－b(c－a),(c－a)(c－b)) ＝ eq \f(ac－ab－bc＋ab,(c－a)(c－b)) ＝ eq \f(c(a－b),(c－a)(c－b)) ， 因为c>a>b>0，所以a－b>0，c－a>0，c－b>0，所以 eq \f(a,c－a)> eq \f(b,c－b). 方法二(性质法)　因为c>a>b>0，所以0<c－a<c－b，所以 eq \f(1,c－a)> eq \f(1,c－b)>0， 又因为a>b>0，所以 eq \f(a,c－a)> eq \f(b,c－b). 方法三(转化法)　因为a>b>0，所以 eq \f(1,a)< eq \f(1,b)， 因为c>0，所以 eq \f(c,a)< eq \f(c,b)， 所以 eq \f(c,a)－1< eq \f(c,b)－1，即 eq \f(c－a,a)< eq \f(c－b,b)， 因为c>a>b>0，所以c－a>0，c－b>0. 所以 eq \f(a,c－a)> eq \f(b,c－b). 类题通法 (1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件. (2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件. 角度二　利用不等式的性质求范围 例4　(1)(链接教材：人教A版P43 习题2.1T5改编)已知30＜x＜42，16＜y＜24，分别求下列范围． ①x＋y；②x－3y. 解：①因为30＜x＜42，16＜y＜24， 所以30＋16＜x＋y＜42＋24，故46＜x＋y＜66. ②因为30＜x＜42，－72＜－3y＜－48， 所以30－72＜x－3y＜42－48，故－42＜x－3y＜－6. (2)已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范围． 解：设x＝a＋b，y＝a－b，则a＝ eq \f(x＋y,2)，b＝ eq \f(x－y,2)，∴3a－2b＝ eq \f(1,2)x＋ eq \f(5,2)y， ∵1≤x≤5，－1≤y≤3， 又 eq \f(1,2)≤ eq \f(1,2)x≤ eq \f(5,2)，－ eq \f(5,2)≤ eq \f(5,2)y≤ eq \f(15,2)， ∴－2≤ eq \f(1,2)x＋ eq \f(5,2)y≤10，即－2≤3a－2b≤10. 变式探究　(变结论)在本例(1)条件下，求 eq \f(x,x－3y)的范围． 解：因为30＜x＜42，－42＜x－3y＜－6， 所以－ eq \f(1,6)＜ eq \f(1,x－3y)＜－ eq \f(1,42)， 所以0＜ eq \f(1,42)＜－ eq \f(1,x－3y)＜ eq \f(1,6)， 所以 eq \f(30,42)＜－ eq \f(x,x－3y)＜ eq \f(42,6)，故－ eq \f(42,6)＜ eq \f(x,x－3y)＜－ eq \f(30,42)，得 －7＜ eq \f(x,x－3y)＜－ eq \f(5,7). 类题通法 利用不等式求指定代数式的关注点 (1)要充分利用性质进行适当变形求范围，注意变形的等价性． (2)要注意整体使用所给条件，切不可随意拆分所给条件． 1．(多选)若 eq \f(1,a)< eq \f(1,b)<0，则下面四个不等式成立的有(　　 ) A．|a|>|b| B．a<b C．a＋b<ab D．a3>b3 解析：选CD.由 eq \f(1,a)< eq \f(1,b)<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，A，B均不正确； a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，C正确；a3>b3，D正确． 2．已知0<a－b<2，2<a＋b<4，则3a＋b的范围是(　　 ) A．4<3a＋b<8 B．6<3a＋b<10 C．4<3a＋b<10 D．6<3a＋b<12 解析：选C.设3a＋b＝x(a－b)＋y(a＋b)＝(x＋y)a＋(y－x)b，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,y－x＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))所以3a＋b＝(a－b)＋2(a＋b)， 因为0<a－b<2，4<2(a＋b)<8，所以4<3a＋b<10. 3．若8<x<10，2<y<4，则 eq \f(x,y)的取值范围为________． 解析：∵2<y<4，∴ eq \f(1,4)< eq \f(1,y)< eq \f(1,2)，又∵8<x<10，∴2< eq \f(x,y)<5. 答案：(2，5) 4．已知1<a<6，3<b<4，求a－b， eq \f(a,b)的取值范围． 解：∵3<b<4，∴－4<－b<－3. ∴1－4<a－b<6－3，即－3<a－b<3. 又 eq \f(1,4)< eq \f(1,b)< eq \f(1,3)， ∴ eq \f(1,4)< eq \f(a,b)< eq \f(6,3)，即 eq \f(1,4)< eq \f(a,b)<2. 【基础巩固】 1．已知a>b>c>d>0，则下列结论不正确的是(　　 ) A．a＋c>b＋d B．ac>bd C． eq \f(a,c)> eq \f(b,d) D． eq \f(a,d)> eq \f(b,c) 解析：选C.∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d，故A正确； ∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴ac＞bd，故B正确； 取a＝4，b＝3，c＝2，d＝0.1，则 eq \f(a,c)＝2， eq \f(b,d)＝30，此时 eq \f(a,c)< eq \f(b,d)，故C错误； ∵c＞d＞0，则 eq \f(1,d)> eq \f(1,c)>0，又a＞b＞0，则 eq \f(a,d)> eq \f(b,c)，故D正确． 2．若a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.由不等式(a－b)a2<0，可得a－b<0，可得a<b，即充分性成立； 反之，由a<b，可得a－b<0，又因为a2≥0，所以(a－b)a2≤0，所以必要性不成立，所以(a－b)a2<0是a<b的充分不必要条件． 3．已知a>b，c>d，且cd≠0，则(　　 ) A．ad>bc B．ac>bc C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d 解析：选D.a，b，c，d的符号未确定，排除A、B两项； 同向不等式相减，结果未必是同向不等式，排除C项； 由同向不等式的可加性，D选项正确． 4．下列各式中，不能判断其符号的是(　　 ) A．a2＋a＋1 B．a2－a＋1 C．|a|＋a＋1 D．a2＋|a|－1 解析：选D.a2＋a＋1＝(a＋ eq \f(1,2))2＋ eq \f(3,4)>0，故A不符合题意； a2－a＋1＝(a－ eq \f(1,2))2＋ eq \f(3,4)>0，故B不符合题意； 当a≥0时，|a|＋a＋1＝2a＋1>0；当a<0时，|a|＋a＋1＝1>0，故C不符合题意； 当a＝0时，a2＋|a|－1＝－1; 当a＝1时，a2＋|a|－1＝1; 当a＝ eq \f(－1＋\r(5),2)时，a2＋|a|－1＝0，则a2＋|a|－1的值可正，可负，也可能为0，故D符合题意． 5．(多选)已知a>－b>0，c<0，则下列不等式不恒成立的是(　　 ) A． eq \f(c,a)> eq \f(c,b) B． eq \f(a,b)< eq \f(a,c) C．a(1－c)>b(c－1) D．b(1＋c)<b(1－c) 解析：选ABD.依题意a>0，b<0，c<0， ∴ eq \f(c,a)<0< eq \f(c,b)，故A不成立． 当a＝2，b＝－1，c＝－1时， eq \f(a,b)＝ eq \f(a,c)，b(1＋c)>b(1－c)，故B，D不恒成立． 对于C，a(1－c)－b(c－1)＝(a＋b)(1－c)， ∵a>－b>0，c<0， ∴a＋b>0，1－c>0，则(a＋b)(1－c)>0， 故a(1－c)>b(c－1)，故C恒成立． 6．(多选)若m＋n<0且m>0，则(　　) A．n<0 B．－mn>n2 C．－mn>m2 D．|m|>|n| 解析：选AC.因为m＋n<0，且m>0，所以n<0，且|m|<|n|，A正确，D错误； 因为m＋n<0，所以n<－m，不等式两边同乘以n(n<0)得－mn>m2，B错误； 因为m＋n<0，所以n<－m，不等式两边同乘以－m(m>0)得－mn>m2，C正确． 7．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的有_____________． ①若a>b，c>b，则a>c； ②若a>－b，则c－a<c＋b； ③若a>b，c<d，则 eq \f(a,c)> eq \f(b,d)： ④若a2>b2，则－a<－b. 解析：对于①，若a＝4，b＝2，c＝5，则满足a>b，c>b，而此时a<c，所以①错误， 对于②，因为a>－b，所以－a<b，所以c－a<c＋b，所以②正确， 对于③，若a＝2，b＝1，c＝－1，d＝1，则满足a>b，c<d，而此时 eq \f(a,c)< eq \f(b,d)，所以③错误， 对于④，若a＝－1，b＝0，则满足a2>b2，而此时－a>－b，所以④错误， 答案：② 8．若α，β满足－ eq \f(π,2)<α<β< eq \f(π,2)，则2α－β的取值范围是________． 解析：因为－ eq \f(π,2)<α<β< eq \f(π,2)，则－ eq \f(π,2)<a< eq \f(π,2)，－ eq \f(π,2)<－β< eq \f(π,2)，且α－β<0，所以－π<α－β<0，所以－ eq \f(3π,2)<(α－β)＋α< eq \f(π,2). 故2α－β的取值范围是{2α－β|－ eq \f(3π,2)<2α－β< eq \f(π,2)}． 答案：{2α－β|－ eq \f(3π,2)<2α－β< eq \f(π,2)} 9．a<b<0，求证： eq \f(b,a)< eq \f(a,b). 证明：由于 eq \f(b,a)－ eq \f(a,b)＝ eq \f(b2－a2,ab)＝ eq \f((b＋a)(b－a),ab). ∵a<b<0， ∴b＋a<0，b－a>0，ab>0， ∴ eq \f((b＋a)(b－a),ab)<0，故 eq \f(b,a)< eq \f(a,b). 10．已知a>b>0，c<d<0，|b|>|c|，求证： (1)b＋c>0； (2) eq \f(b,a－c)< eq \f(a,b－d). 证明：(1)因为|b|>|c|且b>0，c<0， 所以b>－c，即b＋c>0. (2)因为c<d<0，所以－c>－d>0. 又a>b>0，所以a－c>b－d>0， 所以 eq \f(1,b－d)> eq \f(1,a－c)>0， 所以 eq \f(b,a－c)< eq \f(b,b－d)< eq \f(a,b－d)，即 eq \f(b,a－c)< eq \f(a,b－d). 【综合运用】 11．手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在0～1之间．设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机的外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化(　　) A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小 C．“屏占比”变大 D．变化不确定 解析：选C.设升级前“屏占比”为 eq \f(b,a)，升级后“屏占比”为 eq \f(b＋m,a＋m)(a>b>0，m>0)，因为 eq \f(b＋m,a＋m)－ eq \f(b,a)＝ eq \f((a－b)m,a(a＋m))>0，所以该手机“屏占比”和升级前比变大． 12．(多选)已知实数x，y满足－1≤x＋y≤3，4≤2x－y≤9，则4x＋y可能取的值为(　　) A．1 B．2 C．15 D．16 解析：选BC.由题意，实数x，y满足－1≤x＋y≤3，4≤2x－y≤9， 令4x＋y＝m(x＋y)＋n(2x－y)，即4x＋y＝(m＋2n)x＋(m－n)y， 可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋2n＝4，,m－n＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝1，))所以4x＋y＝2(x＋y)＋(2x－y)， 因为－2≤2(x＋y)≤6，4≤2x－y≤9，所以2≤4x＋y≤15. 13．已知12<a<60，15<b<36，求a－2b， eq \f(2a,b)的取值范围． 解：因为15<b<36，所以－72<－2b<－30. 又12<a<60， 所以12－72<a－2b<60－30， 即－60<a－2b<30. 因为12<a<60，所以24<2a<120， 因为15<b<36，所以 eq \f(1,36)< eq \f(1,b)< eq \f(1,15)， 所以 eq \f(24,36)< eq \f(2a,b)< eq \f(120,15)， 即 eq \f(2,3)< eq \f(2a,b)<8. 所以a－2b的取值范围是{a－2b|－60<a－2b<30}， eq \f(2a,b)的取值范围是{ eq \f(2a,b)| eq \f(2,3)< eq \f(2a,b)<8}． 14．(2025·河南驻马店模拟)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好． (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为210 m2，其中窗户面积为20 m2，该公寓采光效果是否合格？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光是变好了还是变坏了？请说明理由． 解：(1)这所公寓的窗户面积为20 m2，则地板面积为190 m2， 由题意可得 eq \f(20,190)＝ eq \f(2,19)> eq \f(2,20)＝10%， 所以这所公寓的采光效果合格． (2)设窗户面积为x m2，地板面积为y m2，窗户和地板同时增加m m2， 则 eq \f(x＋m,y＋m)－ eq \f(x,y)＝ eq \f(y(x＋m)－x(y＋m),y(y＋m))＝ eq \f((y－x)m,y(y＋m))， 由题意可知0<x<y，m>0， 所以 eq \f((y－x)m,y(y＋m))>0，即 eq \f(x＋m,y＋m)> eq \f(x,y). 所以公寓的采光效果变好了． 【创新探索】 15. 阅读材料： (1)若x>y>0，且m>0，则有 eq \f(y,x)< eq \f(y＋m,x＋m). (2)若a<b，c<d，则有a＋c<b＋d. 请依据以上材料解答问题： 已知a，b，c是三角形的三边，求证： eq \f(a,b＋c)＋ eq \f(b,a＋c)＋ eq \f(c,a＋b)<2. 解：因为a，b，c是三角形的三边，则b＋c>a>0，由材料(1)知， eq \f(a,b＋c)< eq \f(a＋a,b＋c＋a)＝ eq \f(2a,a＋b＋c)，同理可得 eq \f(b,a＋c)< eq \f(2b,a＋b＋c)， eq \f(c,a＋b)< eq \f(2c,a＋b＋c)， 由材料(2)得 eq \f(a,b＋c)＋ eq \f(b, a＋c)＋ eq \f(c,a＋b)< eq \f(2a,a＋b＋c)＋ eq \f(2b,a＋b＋c)＋ eq \f(2c,a＋b＋c)＝ eq \f(2(a＋b＋c),a＋b＋c)＝2， 所以原不等式成立． $