2.1 第1课时 不等式关系与不等式-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦一元二次函数、方程和不等式，以“自主学习·新知感悟”“合作探究·思维进阶”“学以致用·课堂评价”“课后分层练”为学习支架，衔接新知建构与应用提升，帮助学生系统梳理知识脉络。 其亮点在于PPT支持任意编辑，双击内容可通过Word文档灵活修改，适配个性化教学。通过合作探究环节培养数学思维（逻辑推理、问题分析），课后分层练落实数学语言应用（不同层次练习巩固表达），既助力学生深化理解，又提升教师教学效率。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第二章 一元二次函数、方程和不等式 3 目 录 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 学习目标　1.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，提升数学建模素养．(重点)　2.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，提升数学建模素养．(重点)　3.初步会用作差法比较两个数或代数式值的大小，提升数学运算素养．(重点、难点) 　　　在生活中，我们常在路上或在桥上看到下列交通标志． 问题1　你知道它们的含义吗？你能用一个数学式子表示吗？ 提示：其含义分别为 ①最低限速：限制行驶速度v不得低于50 km/h，v≥50； ②限制质量：装载总质量m不得超过10 t，0<m≤10； ③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m，0<h≤3.5； ④限制宽度：装载宽度a不得超过3 m，0<a≤3； ⑤限制时间：通行时间7：30－10：00，7.5<t<10. 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P38，分析思考：5≥3，2≥2，2≤2这三个命题都是真命题吗？为什么？ 提示：都是真命题．不等式a≥b的含义是指“a>b或者a＝b”，即若a>b或a＝b之中有一个正确，则a≥b正确．a≤b也类似． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)a不小于b应表示为a>b.(　　 ) (2)任意两个实数a，b之间的大小关系，有且只有a>b，a<b两种关系中的一种．(　　 ) (3)若x－y<0，我们就说x大于y.(　　 ) (4)∀a，b∈R，且a≠b有a2＋b2>2ab.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 　不等关系与不等式 1．不等关系 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． 2．常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高 于，超过 小于，低 于，少于 大于或等于， 至少，不低于 小于或等于， 至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 例1　(链接教材：人教A版P42习题2.1T2)某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是(　　 ) A．80＋20n≥300 B．80＋20n≤300 C．80＋20(n－1)≤300 D．80＋20(n－1)≥300 解析：选D.经过n年后，方案B的投入为80＋20(n－1)，则“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”用不等式表示为80＋20(n－1)≥300. 类题通法 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． (2)适当地设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围. 【迁移运用】 1.如图两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b(a≠b)的不等式表示出来(　　 ) A． eq \f(1,2)(a2＋b2)>ab B． eq \f(1,2)(a2＋b2)<ab C． eq \f(1,2)(a2＋b2)≥ab D． eq \f(1,2)(a2＋b2)≤ab 解析：选A.题图①是由两个等腰直角三角形构成的，面积为 eq \f(1,2)(a2＋b2)，题图②是一个矩形，面积为ab.由题中图形知，题图①的面积大于题图②的面积，故 eq \f(1,2)(a2＋b2)>ab. 提示： eq \f(b,a)－ eq \f(b＋m,a＋m)＝ eq \f(b(a＋m)－a(b＋m),a(a＋m))＝ eq \f(m(b－a),a(a＋m))<0. 　实数(式)比较大小 在日常生活中，我们知道向糖水不断加糖，糖水会变得越来越甜．假设已知a克糖水中含有b克糖，再添加m克糖(假设全部溶解). 问题2　你能将糖水变甜的这一事实用一个不等式表示吗？ 提示： eq \f(b,a)< eq \f(b＋m,a＋m). 问题3　如何从理论上比较 eq \f(b,a)与 eq \f(b＋m,a＋m)的大小？ 差 两个实数比较大小的基本事实 依据 a>b⇔ ； a＝b⇔ ； a<b⇔ 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的 与0的大小 a－b>0 a－b＝0 a－b<0 温馨提示 (1)以上基本事实可用来比较两个数(代数式)的大小关系. (2)对于某些大小比较问题也可能采用取中间值的方法比较大小. 例2　(链接教材：人教A版P38例1)(1)比较x2＋2x＋6与(x＋3)(x－1)的大小； (2)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． 解：(1)因为x2＋2x＋6－(x＋3)(x－1)＝x2＋2x＋6－(x2＋2x－3)＝9>0， 所以x2＋2x＋6>(x＋3)(x－1). (2)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1). 由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1>0， ∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1. 变式探究　(改变范围)把本例(2)中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小． 解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x2＋1)(x－1). ∵3x2＋1>0， 当x>1时，x－1>0，∴3x3>3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1； 当x<1时，x－1<0，∴3x3<3x2－x＋1. 类题通法 作差法比较两个实数大小的基本步骤 　重要不等式 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客． 问题4　你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗？ 提示：能．设直角三角形的两条直角边的长分别为a，b(a≠b)，则正方形的边长为 eq \r(a2＋b2).这4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为a2＋b2，则由图可知a2＋b2>2ab. 问题5　它们之间有可能相等吗？如果相等，则应该满足什么条件呢？ 提示：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2＋b2＝2ab，于是就有a2＋b2≥2ab. 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2 2ab，当且仅当 时，等号成立． ≥ a＝b 例3　(链接教材：人教A版P39探究)已知a>0，求证：a＋ eq \f(1,a)≥2. 证明：法一(利用a2＋b2≥2ab)　∵a>0， ∴a＋ eq \f(1,a)＝( eq \r(a))2＋( eq \f(1,\r(a)))2≥2 eq \r(a)· eq \f(1,\r(a))＝2， 当且仅当a＝1时，等号成立． ∴a＋ eq \f(1,a)≥2. 法二　∵a＋ eq \f(1,a)－2＝( eq \r(a))2＋( eq \f(1,\r(a)))2－2＝( eq \r(a)－ eq \f(1,\r(a)))2≥0，∴a＋ eq \f(1,a)≥2. 类题通法 用重要不等式证明不等式时，应先根据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备重要不等式的结构和条件，然后合理地选择重要不等式进行证明. 【迁移运用】 2.已知a>0，b>0，证明a3＋b3≥ab2＋a2b. 证明：a3＋b3－(ab2＋a2b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2). ∵a>0，b>0，且a2＋b2≥2ab， ∴a＋b>0，a2＋b2－2ab≥0， ∴a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0， 故a3＋b3≥ab2＋a2b. 1．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选D.本题采用特殊值法：当a＝3，b＝－1时，a＋b>0，但ab<0；当a＝－3，b＝－1时，ab>0，但a＋b<0.所以“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件． 2．(多选)下列说法正确的是(　　 ) A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” C．某变量x至少为a可表示为“x≥a” D．某变量y不超过a可表示为“y≤a” 解析：选CD.对于A，x应满足x≤2 000，故A错；对于B，x，y应满足x<y，故B不正确；CD正确． 3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　 ) A．M>N B．M＝N C．M<N D．与x有关 解析：选A.M－N＝x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(3,4)>0.∴M>N. 4．武广铁路上，高速列车跑出了350 km/h的高速度，这个速度的2倍再加上100 km/h，还超不过波音飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍．设高速列车速度为v1，波音飞机速度为v2，普通客车速度为v3，则三种交通工具速度的不等关系分别为________． 答案：2v1＋100≤v2，v1>3v3 利用作商法比较两个实数的大小 (1)a＞0，b＞0，若 eq \f(a,b)＞1，则有a＞b；若 eq \f(a,b)＜1，则有a＜b. (2)a＜0，b＜0，若 eq \f(a,b)＞1，则有a＜b；若 eq \f(a,b)＜1，则有a＞b. 【基础巩固】 1．在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x(cm)应满足的不等式为(　　 ) A．4× eq \f(x,0.5)≥100 B．4× eq \f(x,0.5)≤100 C．4× eq \f(x,0.5)＞100 D．4× eq \f(x,0.5)＜100 解析：选C.导火线燃烧的时间为 eq \f(x,0.5) s，人在这段时间跑的路程为4× eq \f(x,0.5) m．由题意可得4× eq \f(x,0.5)＞100. 2．若a≠2，且b≠－1，则M＝a2＋b2－4a＋2b的值与－5的大小关系是(　　 ) A．M＞－5 B．M＜－5 C．M＝－5 D．不能确定 解析：选A.M＝(a－2)2＋(b＋1)2－5＞－5. 3．下列不等式，正确的个数为(　　 ) ①x2＋3＞2x(x∈R)；②a3＋b3≥a2b＋ab2；③a2＋b2≥2(a－b－1). A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C.①x2＋3－2x＝(x－1)2＋2＞0，所以x2＋3＞2x；②a3＋b3－a2b－ab2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)＝(a＋b)(a－b)2，(a－b)2≥0，但a＋b的符号不能确定，所以②不一定正确；③a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1).故①③正确． 4．(新背景)四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是(　　 ) A．h2＞h1＞h4 B．h1＞h2＞h3 C．h3＞h2＞h4 D．h2＞h4＞h1 解析：选A.根据四个杯的形状分析易知h2＞h1＞h4，或h2＞h3＞h4. 5．(多选)下面列出的几种不等关系中，正确的为(　　 ) A．x与2的和是非负数，可表示为x＋2＞0 B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮，可表示为x＞y C．△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为a＋b＞c，且b＋c＞a，且a＋c＞b D．若某天的温度为t ℃，最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这一天的温度范围可表示为7 ℃≤t ℃≤13 ℃ 解析：选CD.对于A中，x与2的和是非负数，应表示为x＋2≥0，故A错误；对于B中，小明比小华矮，应表示为x＜y，故B错误；对于C中，根据三角形的性质，两边之和大于第三边，所以C正确；对于D中，最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度范围可表示为7 ℃≤t ℃≤13 ℃，所以D正确． 6．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000 万元的资金购买单价分别为40 万元、90 万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组________________． 解析：由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(40x＋90y≤1 000，,x≥5，,y≥6，,x，y∈N*，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x＋9y≤100，,x≥5，,y≥6，,x，y∈N*.)) 答案： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x＋9y≤100，,x≥5，,y≥6，,x，y∈N*)) 7．已知x＜1，则x2＋2与3x的大小关系为_________________． 解析：x2＋2－3x＝(x－1)(x－2).当x＜1时，x－1＜0，x－2＜0，所以(x－1)(x－2)＞0，即x2＋2－3x＞0，所以x2＋2＞3x. 答案：x2＋2＞3x 8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则先到达教室的是________． 解析：设寝室到教室的路程为s，步行速度为v1，跑步速度为v2，则甲用时t1＝ eq \f(\f(1,2)s,v1)＋ eq \f(\f(1,2)s,v2)，乙用时t2＝ eq \f(2s,v1＋v2)，t1－t2＝ eq \f(s,2v1)＋ eq \f(s,2v2)－ eq \f(2s,v1＋v2)＝s( eq \f(v1＋v2,2v1v2)－ eq \f(2,v1＋v2))＝s· eq \f((v1＋v2)2－4v1v2,2v1v2(v1＋v2))＝ eq \f((v1－v2)2·s,2v1v2(v1＋v2))＞0， ∴t1>t2，∴乙先到达教室． 答案：乙 9．甲、乙两辆车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走一半路程，用速度b行走另一半路程．若a≠b，试判断哪辆车先到达B地． 解：设从A地到B地的路程为S，甲车用的时间为t1，乙车用的时间为t2，则 eq \f(t1,2)a＋ eq \f(t1,2)b＝S， 所以t1＝ eq \f(2S,a＋b)，t2＝ eq \f(S,2a)＋ eq \f(S,2b)＝ eq \f(S,2)( eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b))， 因为 eq \f(2S,a＋b)－ eq \f(S,2)( eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b))＝ eq \f(2S,a＋b)－ eq \f((a＋b)S,2ab)＝ eq \f(4abS－(a＋b)2S,2ab(a＋b))＝－ eq \f((a－b)2S,2ab(a＋b))＜0，即t1＜t2， 所以甲车先到达B地． 【综合运用】 10．若p＝ eq \r(a＋6)－ eq \r(a＋4)，q＝ eq \r(a＋5)－ eq \r(a＋3)，其中a≥0，则p，q的大小关系是(　　 ) A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不确定 解析：选A.由题意知p－q＝ eq \r(a＋6)＋ eq \r(a＋3)－( eq \r(a＋4)＋ eq \r(a＋5)). ∵( eq \r(a＋6)＋ eq \r(a＋3))2－( eq \r(a＋4)＋ eq \r(a＋5))2＝2 eq \r((a＋3)(a＋6))－2 eq \r((a＋4)(a＋5))， 且(a＋3)(a＋6)－(a＋4)(a＋5)＝－2＜0，a≥0， ∴2 eq \r((a＋3)(a＋6))－2 eq \r((a＋4)(a＋5))＜0， 即( eq \r(a＋6)＋ eq \r(a＋3))2－( eq \r(a＋4)＋ eq \r(a＋5))2＜0， ∴p－q＝ eq \r(a＋6)＋ eq \r(a＋3)－( eq \r(a＋4)＋ eq \r(a＋5))＜0，故p＜q. 11．(新定义)若规定 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a　b,c　d))＝ad－bc(a，b∈R，且a≠b)，则E＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a　－b,b　　a))与F＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a　－a,b　　b))的大小关系为(　　 ) A．E＜F B．E＞F C．E≤F D．E≥F 解析：选B. eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a　－b,b　　a))－ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a　－a,b　　b))＝[a·a－(－b)·b]－[a·b－(－a)·b]＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2，∵a≠b，∴(a－b)2＞0，∴ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a　－b,b　　a))＞ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a　－a,b　　b))，即E＞F. 12．比较大小：a2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4. 解析：a2＋b2＋c2－[2(a＋b＋c)－4]＝a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋4＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋1≥1＞0， 故a2＋b2＋c2＞2(a＋b＋c)－4. 答案：＞ 13．(1)设m≠n，x＝m4－m3n，y＝n3m－n4，比较x与y的大小； (2)已知m∈R，a＞b＞1，函数y＝ eq \f(mx,x－1)，当x＝a时，y＝y1，当x＝b时，y＝y2，试比较y1与y2的大小． 解：(1)x－y＝(m4－m3n)－(n3m－n4)＝(m－n)m3－n3(m－n)＝(m－n)(m3－n3)＝(m－n)2(m2＋mn＋n2)， ∵m≠n，∴(m－n)2＞0， 又∵m2＋mn＋n2＝(m + )2＋ eq \f(3n2,4)＞0， ∴(m－n)2(m2＋mn＋n2)＞0，∴x－y＞0，∴x＞y. (2)y1－y2＝ eq \f(ma,a－1)－ eq \f(mb,b－1)＝ eq \f(m(b－a),(a－1)(b－1)). ∵a＞b＞1，∴(a－1)(b－1)＞0，b－a＜0. ∴当m＞0时，y1－y2＜0，即y1＜y2； 当m＝0时，y1＝y2； 当m＜0时，y1－y2＞0，即y1＞y2. 【创新探索】 14．某种商品计划提价，现有四种方案：方案(Ⅰ)先提价m%，再提价n%；方案(Ⅱ)先提价n%，再提价m%；方案(Ⅲ)分两次提价，每次提价 ()%；方案(Ⅳ)一次性提价(m＋n)%.已知m＞n＞0，那么四种提价方案中，提价最多的是哪种方案？ 解：依题意，设单价为1，那么方案(Ⅰ)提价后的价格是1×(1＋m%)(1＋n%)＝1＋(m＋n)%＋m%·n%； 方案(Ⅱ)提价后的价格是1×(1＋n%)(1＋m%)＝1＋(m＋n)%＋m%·n%； 方案(Ⅲ)提价后的价格是1×[1+()%]2＝1＋(m＋n)%＋[()%]2； 方案(Ⅳ)提价后的价格是1＋(m＋n)%. 所以只要比较m%·n%与[()%]2的大小即可． 因为[()%]2－m%·n%＝[()%]2≥0， 又因为m＞n＞0， 所以[()%]2＞m%·n%. 即[1+()%]2＞(1＋m%)·(1＋n%). 因此，方案(Ⅲ)提价最多． $