4.1数列的概念（第一课时）课件学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 授课人：何振涛 1 数列 特殊的数列 概念 表示方法 等差数列 等比数列 数学归纳法 基本原理 简单应用 通项公式 前n项和公式 数列知识脉络 数列知识网络 2 第四章 数列 4.1数列的概念（第一课时） 学习目标： 1.了解数列的概念和表示方法（列表法、图象法、通项公式法） 2.学会通过数列的项归纳出数列的通项公式； 重难点：学会通过数列的项归纳出数列的通项公式. 设计问题，创设情境 情景1：王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据（单位：厘米）依次排成一列数： 75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168. （1）75在这列数中的含义是什么？ 1岁时身高是75厘米 （2）10岁时身高是多少？ 10岁时身高是145厘米 （3）它们之间能交换位置吗？ 不能，这列数有确定顺序 （4）如何用数学的语言刻画这种顺序？能否引入一个数学符号，表示上述情景中的每一个数呢？ 记王芳第岁时的身高为,那么 ,. 设计问题，创设情境 情境2:在两河流域发掘的一块泥版（编号K90，约产生于公元前7世纪）上有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数： 5，10，20，40，80，96，112，128， 144，160，176，192，208，224，240. 思考： 哪一天月亮可见部分的数是80？它们具有确定的顺序吗？ 注：把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示。 你能类比情景1，用数学符号来表示上述情景的每一个数吗？ 记第天月亮可见部分的数为，那么，，…，. 情境3： 的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数： 设计问题，创设情境 思考： 能仿照上面的叙述来描述这列数吗？这列数也有确定的顺序吗？ 追问：上述例子的共同特征是什么？ ① 5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240. ② ③ 一列数 顺序 75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168. 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 信息交流，揭示规律 数列的定义： 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，其中第一项叫做首项. 第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示…… 第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示. 追问：在数列中,符号an 与{an} 所表示的意义是否相同？ 数列的一般形式：a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an}. 信息交流，揭示规律 ① 5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240. ② ③ 75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168. 按项数来分: 有穷数列：项数有限的的数列 无穷数列：项数无限的的数列 （1） 1,1,1,1,1,1……是一个数列。 （ ） （2）（1,2），（1,6），（2,3），（3,2）是一个数列。 （ ） （3）数列1,3，5,7和数列7,5,3,1是同一个数列。 （ ） 信息交流，揭示规律 练习：判断正误 √ × × 师生交流，揭示规律 序号 1 2 3 … n … a1 a2 a3 … an … 项 问题1：上面三个情境中序号与项之间的对应让你想到了什么关系？ 正整数集N* 实数集R 或它的有限子集{1,2,3,… ,n} 函数关系 信息交流，揭示规律 问题2：前面我们学习函数的路径是什么呢？ 基本 事实 函数的 表示方法 函数的 基本性质 函数 的概念 基本 初等函数 函数 的应用 基本 事实 数列的 表示方法 数列 的性质 数列 的概念 等差数列 等比数列 数列 的应用 师生交流，揭示规律 问题3：数列有哪些表示方法？ 尝试用三种方法表示以下数列 3，6，9，12，15. （３）解析法： 　　　an=3n, n∈{1,2,3,4,5}. 列表法、图象法、解析法 那么这个式子叫做这个数列的通项公式． ③ 例如数列③： 师生交流，揭示规律 首先，请同学们回顾一下义务教育阶段我们学习的两类基本图形：多边形和圆,对这两类图形的研究,是从图形的形状出发,依据图形中点、线、面的关系，研究图形的性质。这种方法通常称为综合法。 师生交流，揭示规律 基本 事实 数列的 表示方法 数列 的性质 数列 的概念 等差数列 等比数列 数列 的应用 问题3：数列的单调性如何定义呢？ 从第2项起，每一项都大于它前一项的数列叫做递增数列。 从第2项起，每一项都小于它前一项的数列叫做递减数列。 各项都相等的数列叫做常数列。 摆动数列 1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3…… 周期数列 例1 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象． n 1 2 3 4 5 an （1） （2） n 1 2 3 4 5 an 1 0 -1 0 1 1 3 6 10 15 运用规律，解决问题 例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： 运用规律，解决问题 数列的通项公式不是唯一的 1．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象： （1）所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列； 当堂达标： 1．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象： （2）前10项为：3，5，7，9，11，13，15，17，19， 21；图象如图： 当堂达标 1．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象： （3）前10项为：2，3，2，5，2，7，2，9，2，11；图象如图： 当堂达标 2.根据数列的通项公式填表 n 1 2 … 5 … … … n an … … 153 … 273 … 3(3+4n) 21 33 69 12 22 当堂达标 当堂达标 1.本节课我们收获了哪些知识、技能？ 2.我们是怎样获得的这些知识、技能的？ 3.在收获这些知识、技能的过程中用到了哪些思想、方法？ 反思小结，观点提炼 具体 实例 数列的概 念 数列的 表示方法 数列的 单 调 性 归纳、概括 数列与函数的关系 特殊与一般 函数思想 数 学 抽 象 4.还有哪些困惑？ $ 4.1.1数列的概念 1、 学习目标 1.了解数列的概念和表示方法（列表法、图象法、通项公式法） 2.学会通过数列的项归纳出数列的通项公式 2、 素养目标 1. 理解数列的概念,培养数学抽象的核心素养； 2. 通过数列的项归纳通项公式，培养逻辑推理的核心素养。 3、 学习重难点：学会通过数列的项归纳出数列的通项公式. 4、 教学过程 【新知探究】 情景1：王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据（单位：厘米）依次排成一列数： 75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168. （1）75在这列数中的含义是什么？ （2）10岁时身高是多少？ （3） 它们之间能交换位置吗？ （4） （4）如何用数学的语言刻画这种顺序？能否引入一个数学符号，表示上述情景中的每一个数呢？ 情境2:在两河流域发掘的一块泥版（编号K90，约产生于公元前7世纪）上有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数： 5，10，20，40，80，96，112，128， 144，160，176，192，208，224，240. 思考： 哪一天月亮可见部分的数是80？它们具有确定的顺序吗？ 你能类比情景1，用数学符号来表示上述情景的每一个数吗？ 情境3：的n次幂按1次幂，2次幂，3次幂依次排成一列数， 思考： 能仿照上面的叙述来描述这列数吗？这列数也有确定的顺序吗？ 追问：上述例子的共同特征是什么？ 【概念生成】 1.数列的定义： 一般地，我们把按照 排列的 称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 . 2.数列的一般形式：简记为{an}. 追问：在数列中,符号an 与{an} 所表示的意义是否相同？ 3.数列的分类：①按项数来分: 练习：判断正误 （1） 1,1,1,1,1,1……是一个数列。 （ ） （2）（1,2），（1,6），（2,3），（3,2）是一个数列。 （ ） （3）数列1,3，5,7和数列7,5,3,1是同一个数列。 （ ） 【师生交流，总结规律】 问题1：上面三个情境中序号与项之间的对应让你想到了什么关系？ 问题2：前面我们学习函数的路径是什么呢？ 问题3：数列有哪些表示方法？ 尝试用三种方法表示以下数列 3，6，9，12，15. 3. 数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与他的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示那么这个式子叫做这个数列的 问题4：数列的单调性如何定义呢？ ②按单调性来分类： 【例题讲解】 例1 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象． （1） 例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： （1） （2） 2，0，2，0,…… 【当堂达标】 1. 写出下列数列的前10项，并作出它们的图象： （1） 所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列； （2） 当自变量x依次取1,2,3,4，…时，函数的值构成的数列； （3） 数列的通项公式为 2. 根据数列的通项公式填表 n 1 2 … 5 … … … n an … … 153 … 273 … 3(3+4n) 【课堂小结】 1. 你学到了哪些知识？ 2. 掌握了什么数学方法？ 3. 体会了那些数学思想？ 4. 提升了哪些核心素养？ 学科网（北京）股份有限公司 $