4.5.1函数零点与方程的解 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数零点概念、零点与方程解及图像交点的关系、零点存在性定理。通过数学史时间图与奶茶利润问题导入，联系二次函数与方程解法，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于情境导入融合数学史与生活实例，激发兴趣，体现数学眼光。探究环节引导学生自主归纳定义、等价关系及定理条件，培养数学思维。例题结合定理与图像法，强化数形结合，提升学生解决问题能力，为教师提供清晰教学路径。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 4.5.1 函数的零点与方程的解 教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第一册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月 教学目标 1.了解函数（结合二次函数）零点的概念； 2.理解函数零点与方程的根以及函数图象与x轴交点的关系,掌握零点存在性定理的运用。 教学内容 教学重点：零点的概念及存在性的判定； 教学难点：零点的确定． 教学过程 1、 情境导入 （1）解方程的历史 方程解法时间图（中国） 公元50年—100年 一次方程、二次方程 和三次方程根 11世纪·北宋·贾宪 三次方程正根数值解法 13世纪·南宋秦九韶 任意次代数方程正根解法 7世纪·隋唐·王孝通 三次或三次以上方程 方程解法时间图（西方） 一次方程、二次方程 的一般解法 1541年·意大利 塔尔塔利亚 三次方程一般解法 1802～1829挪威·阿贝尔 证明了五次以上一般方程没有求根公式 记载了费拉里的四次方程一般解法 9世纪·阿拉伯花拉子米 1545年·意大利 卡尔达诺 （2） 生活情境 教师：同学们，最近老师遇到个“世纪难题”——奶茶店老板说，只要能帮他解决一个问题，就送我一周免费奶茶！问题是这样的：他卖的奶茶，每杯定价x元，根据销量统计，利润函数f(x)=-x²+5x-4（单位：百元）。老板想知道，定价多少时，利润刚好为0？也就是不赚不亏的“临界定价”。大家能帮老师拿到免费奶茶吗？ 学生：解方程- x²+5x-4=0，解得x=1或x=4。 教师：太棒了！那从函数角度看，这个“利润为0”的点，其实就是函数f(x)图像与x轴的交点横坐标吧？这就是我们今天要研究的核心——函数零点与方程的解。今天学好这节课，不仅能帮老师喝到奶茶，还能解决生活中很多“临界问题”哦！ 设计意图：以“免费奶茶”为趣味切入点，将抽象的数学问题转化为生活化的利润临界问题，既激发学生的学习兴趣，又自然引出“方程的解”与“函数图像和x轴交点横坐标”的关联，为后续概念建构铺垫。 二、新知探究 探究一：函数零点的定义 教师：结合刚才的例子，大家尝试给“函数零点”下一个定义？如果方程 f(x)=0有实数解x0，那么对应的函数f(x)有什么特征？ 学生：（分组讨论）方程的解就是函数图像与x轴交点的横坐标。 教师：非常准确！我们正式定义：对于函数y=f(x)（x∈D），把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)的零点。注意哦，零点是“实数x”，不是点！就像刚才的例子，函数f(x)=-x²+5x-4 的零点是1和4，而不是(1,0)和(4,0)。 教师：（多媒体展示）辨析：“函数的零点是函数图像与x轴的交点”这句话对吗？ 学生：（集体回答）不对，零点是横坐标，不是交点本身。 设计意图：通过学生自主讨论定义，结合实例辨析易错点，加深对“零点是实数”的理解，避免概念混淆。 探究二：函数零点与方程的解的等价关系 教师：结合定义，大家思考：函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数解、函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标，这三者之间有什么关系？ 师生共同总结： 函数y=f(x)的零点⇔方程 f(x)=0的实数解⇔函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标。 教师：（板书核心等价关系）强调“等价”意味着三者可以相互转化，解决其中一个问题，就可以解决另外两个问题。比如，求方程的解，就可以转化为求对应函数的零点，或找函数图像与x轴的交点横坐标。 设计意图：引导学生自主梳理函数零点、方程的实数解与函数图像和x轴交点横坐标的内在关联，通过师生共同总结将抽象等价关系具象化、条理化，同时强调“等价”的转化价值并结合实例感知实用性，帮助学生建立清晰知识逻辑，初步体会转化与化归的数学思想，为后续运用该关系解决问题奠定基础。 探究三：零点存在性定理 问题：结合图像，试用恰当的语言表述如何判断函数在某个区间上是否存在零点？ 观察函数的图象： ①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b) ___ 0（“＜”或“＞”）． ②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c) ___ 0（“＜”或“＞”）． ③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d) ___ 0（“＜”或“＞”）． c b d x O y c a d b 零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c就是方程f(x)=0的根. 定理解读 思考1:为什么强调“函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象一条不间断的曲线”？如果函数图象不连续，或者y=f(x)不满足f(a)·f(b) <0，那么零点存在性定理还成立吗？ x y O a b O y x b a O y x b a O y x b a 设计意图：通过设置图像观察填空问题，引导学生直观感知函数零点与区间端点函数值符号的关联，自主归纳零点存在性定理的核心条件，帮助学生辨析定理适用条件、深化对定理的严谨性认知。 三、例题讲解 例１　求方程的实数解的个数． 分析：可以先借助计算工具画出函数的图象或列出，的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助． 解：设函数，利用计算工具，列出函数的对应值表 并画出图象由表和图可知，，，则．由函数零点存在定理可知，函数在区间（2，3）内至少有一个零点． 容易证明，函数，∈（０，＋∞）是增函数， 所以它只有一个零点，即相应方只有一个实数解． 设计意图：通过求解方程lnx+2x−6=0的实数解个数，将零点存在性定理与函数单调性分析相结合，既为定理的实际应用提供具体范例，又引导学生掌握“先判断零点存在性，再结合函数性质确定零点个数”的解题思路；同时强化数形结合思想的运用，帮助学生深化对函数零点与方程解等价关系的理解。 例2 判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数． 【答案】有一个零点 【解析】[法一　图象法] 函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象交点个数． 在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)． 由图知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点，从而lnx＋x2－3＝0有一个根， 即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点． [法二　判定定理法]由于f(1)＝ln1＋12－3＝－2＜0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0， ∴f(1)·f(2)＜0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点， 又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个． 解题技巧：判断函数存在零点的3种方法 (1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数． (2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数． (3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点． 设计意图：通过例题展示图象法、判定定理法两种判断函数零点个数的核心方法，既巩固零点存在性定理与函数单调性的综合运用，又拓展图象法中 “化归为两函数图象交点个数” 的解题思路；结合解题技巧总结，帮助学生系统梳理判断函数零点的三类方法，明确不同方法的适用场景，强化数形结合、转化与化归的数学思想，提升学生灵活选择解题方法解决复杂问题的能力。 四、课堂小结 本节课主要讲了函数零点的概念以及零点存在性定理。 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点． 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解． 五、课后作业 1.教材 P144 练习 1、2 题； 2.预习下节课内容。 学科网（北京）股份有限公司 $