28.2.2 应用举例 第2课时 利用方位角、坡度角解直角三角形 课件 2025-2026学年 人教版（2012） 九年级数学下册

该初中数学课件聚焦锐角三角函数中方位角、坡度、坡角的概念及解直角三角形的实际应用，通过复习绘制方向图导入，衔接前期解直角三角形知识，为新知识学习搭建直观认知支架。 其亮点是以海轮航行、渔船触礁等实际问题为载体，引导学生用数学眼光抽象模型，通过例题思考步骤（画图、定边角、规范求解）培养数学思维（推理、运算），课堂小结提炼四步解题法助学生形成结构化认知。这提升学生应用能力，也为教师提供完整教学实例，便于高效教学。

人若有志,万事可为 ——斯迈尔斯 一、复习引入 画出方向图(表示东南西北四个方向的)并依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线。 北 南 西 东 O ⌒ 65° ⌒ 45° ⌒ 45° ⌒ 34° 28.1 锐角三角函数 第二十八章 锐角三角函数 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形 认真阅读课本第76页-77页的内容,本节课在前面研究了解直角三角形的方法,通过例3、例4介绍了利用直角三角形中余弦、正切关系解决有关测量、建筑等方面的实际问题的基础上,结合“在航海中确定轮船距离灯塔有多远”的实际问题介绍解直角三角形的理论在实际中的应用,进一步领悟解直角三角形的知识也是解决实际问题的有效数学工具,在思想和方法上的提升. 学习目标： 1.了解方位角、坡角、坡度； 2.会运用解直角三角形的知识解决有关实际问题； 3.体会数形结合和数学模型思想． 学习重点： 把实际问题转化为解直角三角形的问题． 二、教学目标 三、研学教材 解直角三角形的应用 例5:一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向,距离灯塔80nmile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远?(结果取整数) 思考: (1)根据题意,你能画出示意图吗？ (2)结合题目的条件,你能确定图中哪些线段和 角？求什么？怎样求？ (3)你能写出解题过程吗(要求过程完整规范)？ (4)想一想,求解本题的关键是什么？ 三、研学教材 解直角三角形的应用 解:如图, 在Rt△APC中, PC=PA· =80× ≈ . 在Rt△BPC中, PB= = ≈130(n mile) 因此,当海轮到达位于灯塔P的南 偏东34°方向时,它距离灯塔P大约130nmile. cos(90°－65） cos25° 72.505 三、研学教材 解直角三角形的应用 方向角 1.概念:一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的小于90度的水平角.  2.度量:方向角系分由南北起算,角度值在0度及90度之间.方向角的表示方式乃是在角度值之前冠以南北字样,其后则书出东西字样. 三、研学教材 方向角 正北:北偏东0度或者北偏西0度; 正南:南偏东0度或者南偏西0度; 正东:北偏东90度或者南偏东90度; 正西:北偏西90度或者南偏西90度;东北:北偏东45度; 西北:北偏西45度; 东南:南偏东45度; 西南:南偏西45度. 三、研学教材 方向角 例1:请读出下图的方向角. 45° 60° 65° 24° A B D E F 30° OA:东北方向或北偏东45° OB:南偏东25° OC:西南方向或南偏东45° OD:南偏西60° OE:北偏西66° OF:北偏西30° C 三、研学教材 1.海岛A的周围8 n mile内有暗礁,鱼船跟踪鱼群由西向东航行,在点B测得海岛A位于北偏东60°,航行12 n mile到达点D处又测得海岛A位于北偏东30°,如果鱼船不改变航向继续向东航行,有没有触礁的危险？ 三、研学教材 练一练 三、研学教材 练一练 思考: (1)渔船由B向东航行,到什么位置离海岛A最近? (2)最近的距离怎样求? (3)如何判断渔船有没有触礁? 解：过点A作AC⊥BD,垂足为C， 设AC＝x,依题意得： D C ∟ 整理得： ∴x≈10.392 ∵10.392＞8 ∴没有触礁的危险. 三、研学教材 练一练 问题:如图,从山脚到山顶有两条路AB与BC,问哪条路比较陡？ 如何用数量来刻画哪条路陡呢？ A B C 三、研学教材 “坡度”、“坡角”的概念 如图所示,坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i,即i=h:l . 坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α. α l h i= h : l ♀坡角: ♀坡度(或坡比): 坡度通常写成 1∶m的形式, 如i=1∶6. 坡面 水平面 在修路,挖河,开渠和筑坝时,设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度,如图. 三、研学教材 “坡度”、“坡角”的概念 ♀ 坡度与坡角的关系 即坡度等于坡角的正切值. α l h i= h : l 坡面 水平面 显然,坡度越大,坡角α就 , 坡面就 . 越大 越陡 三、研学教材 “坡度”、“坡角”的概念 2.斜坡的坡度是 ,则坡角α=___度. 3.斜坡的坡角是45°,则坡比是_____. 4.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______. α l h 30 1 : 1 三、研学教材 练一练 广东省怀集县马宁镇初级中学 徐志才 5.如图2,拦水坝的横断面为梯形ABCD,斜面坡度i=1:1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比,斜面坡度i=1:3是指DE与CE的比,根据图中数据求： (1)坡角α和β； (2)斜坡AB的长(结果保留小数点后一位). 三、研学教材 练一练 解：(1)由已知： （2）在Rt△ABF中， 三、研学教材 练一练 6.如图1,在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5米,测得斜坡的倾斜角是24°,求斜坡上相邻两树间的坡面距离(结果保留小数点后一位) 解:设坡面的距离为x米,则由题意可知： 故斜坡上相邻两树间的坡面距离为6.0米。 三、研学教材 练一练 1.回顾利用直角三角形的知识解决实际问题的过程,你认为一般步骤是什么?关键是什么? 2.有的同学说,类似于方程、函数、不等式,解直角三角形的知识也是解决实际问题的有效数学工具,对此你有什么看法？ 四、课堂小结 四、课堂小结 3.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为 的问题)； (2)根据问题中的条件,适当选用 等去解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到 的答案. 解直角三角形 锐角三角形函数 实际问题 $