抛物线中的阿基米德三角形及焦点弦性质总结-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习知识清单聚焦抛物线专题，系统整合阿基米德三角形与焦点弦核心内容，涵盖定义、切线方程（两种证法）、13条性质及20条焦点弦性质，构建完整知识网络。 清单采用分类细化与逻辑关联设计，阿基米德三角形性质分条呈现并附证明培养推理能力，焦点弦性质含“四个相切”“两个特殊数列”等结构化模块渗透模型意识。重点性质设标注（如底边过焦点时的直角性质），助力学生精准把握考查重点，教师可依此优化复习策略，提升备考针对性。

月录 抛物线中的邹阿基米德三角形.2 、定义.2 二、切线方程…2 三、性质(13条).2 抛物线焦点弦性质总结(20条) 7 第1页共10页 抛物线中的阿基米德三角形 一、定义 抛物线的弦与两端点的切线围成的三角形叫做阿基米德三角形。 二、切线方程 a、过抛物线y2=2px上的一点P(xo,yo)的切线为yy0=p(x+xo】 b、过抛物线y2=-2px上的一点P(xo,yo)的切线为yy。=-px+xg) c、过抛物线x2=2py上的一点P(xo,yo)的切线为xxo=p(y+yo】 d、过抛物线x2=-2py上的一点P(xo,yo)的切线为xx。=-p(y+yo】 证法1：设抛物线x2=2pyp>0)上一点Mxo,yo的切线方程为：y-yo=k(x-x), 代入x2=2pyp>0),整理得x2-2pk-2py。+2pk。=0,由△=0，得 4p2k2+4(2pyo-2pkxo)=0=pk 2-2xok+2yo=0 因为抛物线上一点处的切线是唯一的，：关于k的一元二次方程pk2-2xk+2y。=0有 两个相等的实数根，“k=所求的切线方程为y一，(x一，，即 xx=x+p四-py0,又x=2py0,过抛物线x2=2pyp>0)上一点M(xo,y)的切 线方程为：ox=py+o) 证法2：导数法：y= x2 →少=，由导数的几何意义得所求切线的斜率为：k=血所 2p D 求的切线方程为y-yo=kx-x),即xx=x+四-四0，又x=2py0,·过抛物线 x2=2pyp>0)上一点M(xo,yo)的切线方程为：xo=py+yo)。 三、性质(13条) 1。抛物线与發之间所国成区城的面积（图二中的阴影部分）为阿基米德三角形面积的2 第2页共10页 2.阿基米德三角形底边（弦AB)上的中线平行于抛物线的轴。 证明：设Ax1,y,Bx2,y2,M为弦AB的中点，则过A的切线方程为 %=px+x),过B的切线方程为y2=px+x,=2px1, y3=2px,联立方程 州=px+x0,但→上=x+五今x+x,=x+x今 y2'2p 2p y2=p(x+x22'(22x+3 yi-y2 -y y2 2p22-.y=+ 业+ 气2p2p=y+y2 yi-y2 2p y y 2 2,MQ川x轴 3、QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB平行. 运明：成，.生的中点划色生兰则q士”） 业++贤 5+五+足2p24p-+P+,当+2 2 带入抛物线 2 4p 2 8p y2=2px满足方程，所以，点P在抛物线上， k两=y==当十2=2pk---2y-2pk阿=k如 y2+yBx-x32-乃+y, 4、若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点C则另一顶点Q的轨迹为一条直线 第3页共10页 y=P(x+xo). yo 证明：设Ax1,y1,Bx2,y2,Cxo,yo)为抛物线内的定点，弦AB的过定点C,Qx,y), 满足x=业，y=当+业， 2p 2 kB=kC→，为二为=乃-为32p=-为 1 1 2p片- →y-=y-y6+y2-y2→+yy2-M-2%+2px=0 x=2,2px-0y+以+2pm,=0y=442px-2yw,+2pm,=0 2p 2 →%=px+xoy=P(x+x】 5、若直线】与抛物线没有公共点，以】上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 (若直线方程为：ax+by+c=0,则定点的坐标为C(-驾) b 证明：由性质4的证明可知：点0的轨迹方程为直线y=卫(x+x),与y=-bx-C表 yo aa 卫=-a pb Yo b %、 示同一条直线，其中(x,y)是弦AB经过的定点，所以 → a pXo=_c Yo b a 可得：弦AB所在的直线过定点C(气，-贵) 6、抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹. 证明：由性质4的证明可知：点Q的轨迹方程为直线y=P(x+x),其中(x,)为孩B Yo 的经过的定点：点C又为弦B的中点，正)。=，而骏B所在的重 2 线方程斜车由点差法可得k2P=卫，又：直线B与0的轨缝方程不重合，故可知两 y+y2 yo 第4页共10页 线平行. 7、底边为日的时基米德三角形的面积最大值为影 证明：设Ax,,B(x2,y2,弦AB的中点M 点Q到AB的距离 dsQM=+--+=山-s0:5=a 1a2_a3 2 ad≤a 2p 4p 4p4p4p 2 24p8p &、IAF·|BF=|QFI2 .b 证明 Br-(+号+号》=x无+号x+)+片 4 4 er-(0-培j-0八+号=h 4 4 所以AF·|BF=|QF2 9、抛物线上任取一点J(不与AB重合)，过虹作抛物线切线交QAQB于S,T,连接 AL,BI,则△ABI的面积是△QST面积的2倍 证明：由阿基米德重要结论：抛物线与弦之间所围成曲面区域的面积为阿基米德三角形面积 的三分之二可知：△ABI的面积是弦AB与抛物线围成的曲面面积减去弦AI和弦BI与抛物 线围成的曲面面积，即 第5页共10页 2 SmSaSSSAOn w-S-(Sow-Sw-5.m) 3 1。 1 Sam=S-SR-SaWE S8S品16a。SwS 3 3 所以△ABI的面积是△QST面积的2倍 10、在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB () A 8. BB侧 是 证明：知图，k年=-名，k0=P→A0LAF 0 y :AA'=AF→△QAA'兰△QAF→QA'=QF,∠QA'A=∠QFA 同理：QB'=QF,∠QBB=∠QFB ∴.QA'=QB'→∠QA'A=∠QBB ∴.∠QA'A=∠QFA=∠QB'B=∠QFB ∴.∠QFA=∠QFB 11、若阿基米德三角形的底边过焦点，顶点Q的轨迹为准线，反之，若阿基米德三角形的顶 点Q在准线上，则底边一定过焦点。 证明：国为点0的锐途方程为直线y=+小，且=号=0今x=子 2 反之，若Q的轨迹方程为x=-P→x+巴=0→a=L,b=0,c=2,因为弦B过得定点 2 2 2 所以弦AB过焦点。 12、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶角为直角，且阿基米德三角形的面积最小值为p2 第6页共10页 y2 S.ow-OF(yl+bsp-2p=p 13、在抛物线上任意取一点I，(不与A、B重合)，过I做抛物线的切线交QA、QB、于S、 T两点，则三角形QST的重心在准线上。 证明： A(2pt,2pt,),B(2pt,2pt2pt,2pt h:y2) 2pt3 →T2pttg,plt2+t3)》 I:y=P-(x+2pti) 2pt, 过T微QA的垂线，（点斜式方程为：y-pt,+tg=2pt(x-2pt,t)与准线x=-P交点为 0 +ptt ,显然此点具有对偶性，同理可得三条垂线与准线的交点相同。 抛物线焦点弦性质总结(20条) 已知抛物线方程为y2=2px,弦AB过焦点F,设Ax1,y1,Bx2,y2),弦AB的倾斜角为 ,S为AB的中点，AA'、BB'、ST垂直准线，AA'、BB交y轴于点C、D, ST交抛物线于点上 M、N分别为AF、BF的中点 1、四个相切。 (1)以AB为直径的圆与准线相切于AB,的中点T, 第7页共10页 (2)以AB为直径的圆与弦AB切于点F (3)以AF为直径的圆与y轴相切于点P (4)以BF为直径的圆与y轴相切于点Q 2、焦半径、焦点弦及焦比 (1)AF=+2= p 21-c0s ,BF=5+P= 2 1+cosa (2)AB=x+x2+p= 2p sin2a AF 1+cosa (3) BF 1-cosa 1 1 (4) AF BFP 3、两个特殊数列 1 12 (1)AFEFBF的倒数成等差数列，即 AF BF P (2)A、F、B到y轴的距离成等比数列，即xx2= 4 [注]等差数列的证明，由焦半径公式取创数相加即可.等比最列的证明参看结论4 A D 围1.35 图1.36 4、三个定值 0x,= 4 (2)y1y2=-p2 3)k=2p=ana=为（点差法） y1+y2 第8页共10页 5、两个共线 (1)A、O、B三点共线 (2)B、O、A'三点共线 6、两个特殊的三角形 (I)△EAB的两边EA、EB总关于x轴对称 (2)SAN0B=2sina ;SAAB最小值为P2 7、两焦点弦性质 若两条焦点孩互相垂直，且孩长为B、CD,则1十L=1 ABCD 2P 8、 S2MAOB AB 2 9、∠ATB=900,∠A'FB'=900 1O、BT垂直平分B'F,AT垂直平分A'F 11、TF⊥AB 12、点H平分STH为ST与抛物线的交点) 13、157=)aBl=)044+|BB 14、7=4B例 15 A'B=4AF BFTF=FA FB 16、AB≥2P 17、切线方程为yy=px+x0其中(xo,yo)为切点。 第9页共10页 18、AT平分角A'AB,BT平分角B'BA 19、∠TFA=TFB 20、焦点分焦点弦成比例模型 者-，啡o 第10页共10页