28.2.2 应用举例 第1课时 解直角三角形的简单应用 课件 2025-2026学年 人教版（2012） 九年级数学下册

该初中数学课件聚焦“解直角三角形的简单应用”，通过复习解直角三角形方法及圆的切线概念导入，搭建从理论到实际应用的学习支架，衔接锐角三角函数等前置知识。 其亮点在于以“神舟”九号观测地球、热气球测楼高为例，引导学生用数学眼光抽象问题，通过示意图与思考问题培养几何直观和模型意识，练一练与小结强化应用步骤，提升学生分析解决问题能力，为教师提供结构化教学支持。

锲而舍之.朽木不折； 锲而不舍.金石可镂. ——荀况 一、新课引入 1.如何解直角三角形? 2.什么叫圆的切线? O A P B 28.1 锐角三角函数 第二十八章 锐角三角函数 第1课时 解直角三角形的简单应用 认真阅读课本第74至75页的的内容,解直角三角形的理论在实际中的应用是在熟练掌握了勾股定理,直角三角形中两锐角互余,锐角三角函数,能利用直角三角形中的这些关系解直角三角形的基础上进行教学,主要是学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题.它既是前面所学知识的运用,也是高中继续解斜三角形的重要预备知识.它的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法(数学建模、转化化归).在本节教学中有针对性地对学生进行这方面的能力培养. 广东省怀集县冷坑中学 李银玲 广东省怀集县冷坑中学 李银玲 二、教学目标 学习目标： 1.使学生把实际问题转化为解直角三角形问题,从而会把实际问题转化为数学问题来解决,进一步提高数学建模能力； 2.通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 学习重点： 将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形元素之间的关系,从而利用所学知识解决实际问题 　　例3:2012年6月18日,“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接． “神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行, 如图,当组合体运行到地球表面 P点的正上方时,从中能直接看 到的地球表面最远的点在什么 位置?最远点与P点的距离是多 少(地球半径约为6400km, π取3.142,结果取整数)? 解直角三角形的应用 三、研学教材 　　思考1:从组合体中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？ 　　从组合体中能直接看到的地球表面最远点,应是视线与地球相切时的切点． 　　思考2:在平面图形中,用什么图形可表示地球,用什么图形表示观测点,请根据题中的相关条件画出示意图． 解直角三角形的应用 三、研学教材 　　如图,用⊙O 表示地球,点 F 是组合体的位置,FQ是⊙O 的切线,切点 Q 是从组合体观测地球时的最远点． 　　问题中求最远点与 P 点的距离实际上是要求什么?需先求哪个量?怎样求？ 　　 的长就是地面上 P、Q 两点间的距离,为计算 的长需先求出∠POQ（即α）． PQ PQ 解直角三角形的应用 三、研学教材 ∴______ ∴弧PQ的长为 ______ 由此可知,当飞船在p点正上方时,从飞船观测地球时的最远点距离P点约______ km. 解:在上图中,FQ是⊙O的切线,△FOQ是直角三角形， 2051 2051 解直角三角形的应用 三、研学教材 例4:热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为300,看这栋离楼底部的俯角为600,热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高(结果取整数)? 解直角三角形的应用 三、研学教材 思考:平时观察物体时,我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？ 三种:重叠、向上和向下． 在视线与水平线所成的角中: (1)当视线在水平线上方时,视线与水平线所成的角叫仰角; (2)当视线在水平线下方时,视线与水平线所成的角叫俯角． 水平线 视线 铅垂线 视线 视点 仰角 俯角 解直角三角形的应用 三、研学教材 A B C D α β 　　(1)从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°→ α=30°. 　　(2)从热气球看一栋楼底部的俯角为 60°→ β=60°. 　　(3)热气球与高楼的水平距离为120 m→ AD=120 m, AD⊥BC． 解直角三角形的应用 三、研学教材 A B C D α β 　　(4)这个问题可归纳为解决什么样的问题?怎样解决? 　　在直角三角形中,已知一锐角和与这个锐角相邻的直角边,可以利用解直角三角形的知识求这个锐角所对的直角边,再利用两线段之和求解． 解直角三角形的应用 三、研学教材 A B C D α β 解:如图,α=30°, β=60°, AD=120． 答:这栋楼高约为 277 m． ∵tanα=　　，tanβ=　　． ∴BD=AD·tan α=120×tan 30° =120×　 =　　 ， CD=AD·tan β=120×tan 60° =120×　 =　　　． ∴BC=BD+CD=　　 + =　　　≈277（m）． 解直角三角形的应用 三、研学教材 　　应用解直角三角形的方法解决实际问题的一般步骤： 　　(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)； 　　(2)根据条件,适当选用锐角三角函数解直角三角形； 　　(3)得到数学问题的答案； 　　(4)得到实际问题的答案． 　　如果问题不能归结为一个直角三角形,则应当对所求的量进行分解,将其中的一部分量归结为直角三角形中的量. 解直角三角形的应用 三、研学教材 1.如图,某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于60°,否则就有危险,那么梯子的长至少为( ) A．8米 B． 米 C． 米 D． 米 C 练一练 三、研学教材 2.如图,沿AC方向开山修路,为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=140°, BD=520m,∠D=50°,那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上（结果保留小数点后一位）． 练一练 三、研学教材 解： 即另一边开挖点E离D约334.4m时,正好使A,C,E三点在一直线上 练一练 三、研学教材 3.如图,建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为50°,观察旗杆底部B的仰角为45°,求旗杆的高度(结果保留小数点后一位). 练一练 三、研学教材 解:在 中, 练一练 三、研学教材 1.本节课主要学习了什么内容? 2.应用解直角三角形的方法解决实际问题的一般步骤是什么?关键是哪一步? 四、课堂小结 $