第四单元 比 期末复习（讲义）-2025-2026学年六年级上册数学人教版

该小学数学讲义以“比的意义-关系-性质-应用”为主线构建知识体系，通过表格对比比与分数、除法的联系与区别，用实例解析比的意义，清晰呈现比的基本性质、化简比与求比值的区别等重难点，知识脉络系统连贯。 讲义亮点在于分层练习设计，涵盖填空（如三角形内角比判断类型）、解决问题（如按3:2围长方形求长宽）等题型，强化运算能力与推理意识。通过实际情境题培养模型意识，帮助学生用数学思维解决问题，支持教师实施精准分层教学。

第四单元 比 期末复习讲义-2025-2026学年人教版数学六年级上册 知识讲解 一、比的意义 1.定义：两个数相除又叫做两个数的比 2.各部分名称： （1）在比中，比号前面的数叫做前项，比号后面的数叫做后项 （2）前项除以后项所得的商叫做比值（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示） 3.表示方法：用“∶”表示比，如“3比2”写作“3∶2”，读作“3比2” 4.注意：比的后项不能为0（因为除数不能为0） 示例： （1）男生20人，女生15人，男生与女生人数的比是20∶15，比值是 （2）路程300千米，时间5小时，路程与时间的比是300∶5，比值是60（表示速度） 二、比与分数、除法的关系 比 前项 比号（∶） 后项 比值 分数 分子 分数线（—） 分母 分数值 除法 被除数 除号（÷） 除数 商 联系：（） 区别：比表示两个量的关系，分数是一个数，除法是一种运算 示例：，其中3是前项（被除数、分子），4是后项（除数、分母），是比值（商、分数值） 三、比的基本性质 1.性质内容：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变 2.依据：比与除法、分数的关系（商不变的性质、分数的基本性质） 示例： （1）（同时除以2，比值不变） （2）（同时乘3，比值不变） 四、化简比 1.定义：把一个比化成前项和后项是互质数（只有公因数1）的最简整数比 2.方法： （1）整数比：同时除以前项和后项的最大公因数 （2）分数比：先化成整数比（前项和后项同时乘分母的最小公倍数），再化简 （3）小数比：先化成整数比（前项和后项同时乘10、100……），再化简 3.结果：必须是最简整数比（如3∶4、5∶1等） 示例： （1）化简整数比： （2）化简分数比： （3）化简小数比： 五、求比值与化简比的区别 项目 求比值 化简比 目的 求前项除以后项的商 化成最简整数比 方法 前项÷后项 依据比的基本性质化简 结果 一个数（整数、小数、分数） 一个比（前项和后项互质） 示例： （1）求比值：（结果是1.5） （2）化简比：（结果是3∶2） 六、按比例分配解决问题 1.意义：把一个数量按照一定的比分成几部分，求各部分是多少 2.解题步骤： ① 先求总份数（前项+后项） ② 求各部分占总量的几分之几（、） ③ 用总量分别乘各部分的分率，求出各部分量 示例： 用60cm长的铁丝围成一个长方形，长与宽的比是3∶2，求长和宽各是多少？ 解：总份数，长：cm，宽：cm（注意：长方形周长=2×（长+宽），此处需先求长+宽=60÷2=30cm，再按比例分配：长cm，宽cm，避免易错点） 巩固练习 一、填空题 1．把化成最简单的整数比是　 　，比值是　 　。 2．一个三角形三个内角的度数比是3：2：5，这个三角形是　 　三角形。 3．一个鱼塘按3：7 放养鲢鱼和鲈鱼，一共可以放养鱼苗24000尾，其中鲢鱼的鱼苗应放养　 　尾。 4．阳阳喝一包感冒冲剂，药和水的比是1：12。如果水不变，再加一包药，那么药和药水的比是　 　。 5．两个正方形的边长分别是18cm，12cm，它们的边长是　 　，周长比是　 　，面积比是　 　。 6．红红到外婆家去，已走的路程和剩下的路程的比是3：2，红红已走的路程是全程的　 　，剩下的路程是全程的　 　。 二、判断题 7．a比b多 ，a与b的比是6：5。(　　) 8．5∶6的前项增加10，要使比值不变，后项也应该增加10。(　　) 9．学校买来篮球和足球共180个，这两种球的数量比可能是7：5。(　　) 10．数学兴趣小组男、女生人数的比是3∶5，男生人数比女生人数少。(　　) 11．如果甲数的等于乙数的，且两数均不为0，那么甲乙两数之比为5∶6。（　　） 三、选择题 12．已知甲数比乙数少，下面说法错误的是(　　)。 A．如果乙数是50，甲数就是40 B．甲数与乙数的比是4：5 C．乙数占甲、乙两数之和的 D．乙数比甲数多 13．一个减法算式中，减数是差的 ，被减数与差的最简整数比是(　　)。 A．3：2 B．2：3 C．5：2 D．5：3 14．一条公路，修了全长的，那么已经修的长度与未修的长度的比是(　　)。 A．5∶9 B．9∶5 C．5∶4 D．4∶5 15．一个三角形三个内角的度数比是1：1：1。关于这个三角形的说法，错误的是(　　)。 A．它是等边三角形 B．它是直角三角形 C．它是等腰三角形 D．它是锐角三角形 16．在这个比当中，如果后项加上15，要使比值不变，前项应该(　　)。 A．加15 B．加6 C．乘5 D．乘4 17．有甲、乙两筐梨，若把甲筐梨的 装入乙筐，则两筐梨同样重。原来甲、乙两筐梨的质量比是(　　)。 A．7 ：4 B．7 ：5 C．7 ：2 D．7 ：3 四、计算题 18．先化简下面各比，再求比值。 20：8 1.25：0.25 3.6：0.16 五、解决问题 19．张阿姨在和面做面条，她认为当面粉和水的质量比为20∶9时做出来的面条口感更佳。照这样和面，张阿姨用500克面粉，需要加水多少克？ 20．甲、乙两地相距800千米，A、B两车分别从甲、乙两地同时相向开出，4小时后相遇。已知A、B两车的速度比是2∶3。A、B两车平均每小时各行驶多少千米？ 21．育才小学六年级学生去检查视力，第一天检查了180人，第二天检查了总人数的，这时已检查的人数和没检查的学生人数比是5∶3，育才小学六年级一共有多少人？ 22．中国二十四节气中的“冬至”是北半球各地一年中白昼最短的一天，并且越往北白昼越短。就北京地区来说，冬至这天白昼与黑夜时长的比约为3：5，这一天北京地区的白昼和黑夜各约是多少小时? 23．中国自主研制的北斗三号的卫星导航系统由中圆轨道卫星、地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星组成，这些卫星的数量之比是8∶1∶1，其中中圆轨道卫星的数量比地球静止轨道卫星多21颗，北斗三号卫星导航系统共有多少颗卫星? 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 比 期末复习讲义-2025-2026学年人教版数学六年级上册 知识讲解 一、比的意义 1.定义：两个数相除又叫做两个数的比 2.各部分名称： （1）在比中，比号前面的数叫做前项，比号后面的数叫做后项 （2）前项除以后项所得的商叫做比值（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示） 3.表示方法：用“∶”表示比，如“3比2”写作“3∶2”，读作“3比2” 4.注意：比的后项不能为0（因为除数不能为0） 示例： （1）男生20人，女生15人，男生与女生人数的比是20∶15，比值是 （2）路程300千米，时间5小时，路程与时间的比是300∶5，比值是60（表示速度） 二、比与分数、除法的关系 比 前项 比号（∶） 后项 比值 分数 分子 分数线（—） 分母 分数值 除法 被除数 除号（÷） 除数 商 联系：（） 区别：比表示两个量的关系，分数是一个数，除法是一种运算 示例：，其中3是前项（被除数、分子），4是后项（除数、分母），是比值（商、分数值） 三、比的基本性质 1.性质内容：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变 2.依据：比与除法、分数的关系（商不变的性质、分数的基本性质） 示例： （1）（同时除以2，比值不变） （2）（同时乘3，比值不变） 四、化简比 1.定义：把一个比化成前项和后项是互质数（只有公因数1）的最简整数比 2.方法： （1）整数比：同时除以前项和后项的最大公因数 （2）分数比：先化成整数比（前项和后项同时乘分母的最小公倍数），再化简 （3）小数比：先化成整数比（前项和后项同时乘10、100……），再化简 3.结果：必须是最简整数比（如3∶4、5∶1等） 示例： （1）化简整数比： （2）化简分数比： （3）化简小数比： 五、求比值与化简比的区别 项目 求比值 化简比 目的 求前项除以后项的商 化成最简整数比 方法 前项÷后项 依据比的基本性质化简 结果 一个数（整数、小数、分数） 一个比（前项和后项互质） 示例： （1）求比值：（结果是1.5） （2）化简比：（结果是3∶2） 六、按比例分配解决问题 1.意义：把一个数量按照一定的比分成几部分，求各部分是多少 2.解题步骤： ① 先求总份数（前项+后项） ② 求各部分占总量的几分之几（、） ③ 用总量分别乘各部分的分率，求出各部分量 示例： 用60cm长的铁丝围成一个长方形，长与宽的比是3∶2，求长和宽各是多少？ 解：总份数，长：cm，宽：cm（注意：长方形周长=2×（长+宽），此处需先求长+宽=60÷2=30cm，再按比例分配：长cm，宽cm，避免易错点） 巩固练习 一、填空题 1．把化成最简单的整数比是　 　，比值是　 　。 2．一个三角形三个内角的度数比是3：2：5，这个三角形是　 　三角形。 3．一个鱼塘按3：7 放养鲢鱼和鲈鱼，一共可以放养鱼苗24000尾，其中鲢鱼的鱼苗应放养　 　尾。 4．阳阳喝一包感冒冲剂，药和水的比是1：12。如果水不变，再加一包药，那么药和药水的比是　 　。 5．两个正方形的边长分别是18cm，12cm，它们的边长是　 　，周长比是　 　，面积比是　 　。 6．红红到外婆家去，已走的路程和剩下的路程的比是3：2，红红已走的路程是全程的　 　，剩下的路程是全程的　 　。 二、判断题 7．a比b多 ，a与b的比是6：5。(　　) 8．5∶6的前项增加10，要使比值不变，后项也应该增加10。(　　) 9．学校买来篮球和足球共180个，这两种球的数量比可能是7：5。(　　) 10．数学兴趣小组男、女生人数的比是3∶5，男生人数比女生人数少。(　　) 11．如果甲数的等于乙数的，且两数均不为0，那么甲乙两数之比为5∶6。（　　） 三、选择题 12．已知甲数比乙数少，下面说法错误的是(　　)。 A．如果乙数是50，甲数就是40 B．甲数与乙数的比是4：5 C．乙数占甲、乙两数之和的 D．乙数比甲数多 13．一个减法算式中，减数是差的 ，被减数与差的最简整数比是(　　)。 A．3：2 B．2：3 C．5：2 D．5：3 14．一条公路，修了全长的，那么已经修的长度与未修的长度的比是(　　)。 A．5∶9 B．9∶5 C．5∶4 D．4∶5 15．一个三角形三个内角的度数比是1：1：1。关于这个三角形的说法，错误的是(　　)。 A．它是等边三角形 B．它是直角三角形 C．它是等腰三角形 D．它是锐角三角形 16．在这个比当中，如果后项加上15，要使比值不变，前项应该(　　)。 A．加15 B．加6 C．乘5 D．乘4 17．有甲、乙两筐梨，若把甲筐梨的 装入乙筐，则两筐梨同样重。原来甲、乙两筐梨的质量比是(　　)。 A．7 ：4 B．7 ：5 C．7 ：2 D．7 ：3 四、计算题 18．先化简下面各比，再求比值。 20：8 1.25：0.25 3.6：0.16 五、解决问题 19．张阿姨在和面做面条，她认为当面粉和水的质量比为20∶9时做出来的面条口感更佳。照这样和面，张阿姨用500克面粉，需要加水多少克？ 20．甲、乙两地相距800千米，A、B两车分别从甲、乙两地同时相向开出，4小时后相遇。已知A、B两车的速度比是2∶3。A、B两车平均每小时各行驶多少千米？ 21．育才小学六年级学生去检查视力，第一天检查了180人，第二天检查了总人数的，这时已检查的人数和没检查的学生人数比是5∶3，育才小学六年级一共有多少人？ 22．中国二十四节气中的“冬至”是北半球各地一年中白昼最短的一天，并且越往北白昼越短。就北京地区来说，冬至这天白昼与黑夜时长的比约为3：5，这一天北京地区的白昼和黑夜各约是多少小时? 23．中国自主研制的北斗三号的卫星导航系统由中圆轨道卫星、地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星组成，这些卫星的数量之比是8∶1∶1，其中中圆轨道卫星的数量比地球静止轨道卫星多21颗，北斗三号卫星导航系统共有多少颗卫星? 答案解析部分 1．【答案】；2.25 【解析】【解答】解： ＝∶ ＝0.75×3 所以把化成最简单的整数比是9∶4，比值是2.25。 故答案为：9：4；2.25 【分析】先把0.75化成分数，再根据比的基本性质，把比的前项和后项同时乘4和3的最小公倍数12，从而将比化成最简单的整数比。 （2） 求比值时，用比的前项除以比的后项， 即0.75÷。 2．【答案】直角 【解析】【解答】解：180°×=54° 180°×=36° 180°×=90° 故答案为：直角。 【分析】已知这个三角形三个内角的度数比是3：2：5，也就是将三角形的内角和180°平均分成3+2+5=10（份），一个角占3份，一个角占2份，一个角占5份，对应的分数比是、、，所以只需根据分数乘法用内角和分别乘以三个角的分数比，计算出三个角的度数，进而根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，进行判断即可。 3．【答案】7200 【解析】【解答】解：24000÷（3+7）×3 =2400×3 =7200（尾） 故答案为：7200。 【分析】分析题干，已知这个鱼塘放养鲢鱼和鲈鱼的比是3：7，也就是说将24000尾鱼苗平均分成3+7=10（份），鲢鱼占其中3份，鲈鱼占其中7份，首先根据除法计算得出每份是24000÷10=2400（尾），再乘以鲢鱼所占的份数3，即可得到放养鲢鱼的尾数。 4．【答案】1：7 【解析】【解答】解：设一包药的量为1单位，根据题意，可得 （1+1）：（12+2） =2：14 =1：7 故答案为：1：7 【分析】设一包药的量为1单位，则水的量为12单位，此时药水总量为药+水=1+12=13单位，再加一包药后，药的总量为1+1=2单位，水仍为12单位。药水总量变为2（药）+12（水）=14单位。因此，药：药水=2：14=1：7（约分后）。 5．【答案】3：2；3：2；9：4 【解析】【解答】解：18：12=3：2 （18×4）：（12×4）=3：2 （18×18）：（12×12） =324：144 =9：4 它们的边长比是3：2，周长比是3：2，面积比是9：4。 故答案为：3：2；3：2；9：4。 【分析】 两个正方形的边长已知，根据正方形的周长计算公式“C=4a”、面积计算公式“S=a2”，即可分别求出两个正方形的周长、面积．再根据比的意义即可分别写出这两个正方形边长、周长、面积的比，然后再化成最简整数比。 6．【答案】； 【解析】【解答】解：设已走的路程占3份，剩下的路程占2份，总路程占3＋2＝5份。 3÷5= 2÷5= 故答案为：；。 【分析】根据已走的路程和剩下的路程的比，可设已走的路程占3份，剩下的路程占2份，总路程占（3＋2）份，求一个数占另一个数的几分之几，即一个数÷另一个数，红红已走的路程是全程的几分之几即为已走的路程÷总路程，剩下的路程是全程的几分之几即为剩下的路程÷总路程，代入计算即可。 7．【答案】正确 【解析】【解答】解：a比b多 ，a与b的比是6：5。原题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】b是1，a就是（1+），由此写出a与b的比并化成最简单的整数比即可。 8．【答案】错误 【解析】【解答】解：根据题意，可得（5＋10）÷5 ＝15÷5 ＝3 6×3－6 ＝18－6 ＝12 5∶6的前项增加10，要使比值不变，后项也应该增加12。 原题干说法错误。 故答案为：错误 【分析】根据题意，先求出加上5后，现在的前项是原前项的几倍，然后再根据比的基本性质：前项和后项同时乘以同一个数，结果不变，最后再用现在的后项减去原后项的数，即可求解。 9．【答案】正确 【解析】【解答】解：180÷（7+5） =180÷12 =15（个）； 故答案为：正确。 【分析】因为球的个数为整数，7+5=12，180是12的倍数，所以这两种球的数量比可以是7：5。 10．【答案】错误 【解析】【解答】解：（5-3）÷5 =2÷5 =。 故答案为：错误。 【分析】男生人数比女生人数少的分率=（女生占的份数-男生占的份数） ÷女生占的份数。 11．【答案】错误 【解析】【解答】解：假设甲数为 所以甲乙两数之比为 故答案为：错误 【分析】根据题意我们可以假设甲数为a，根据求一个数的几分之几是多少，求这个数用乘法，即甲数的就是，已知乙数的是a，求乙数是多少，用除法计算即可。计算出甲乙两数后，把甲乙两数求比，最后化简成最简整数比。 12．【答案】D 【解析】【解答】解：A：50×（1-）=40，A选项说法正确； B：1×（1-）=，：1=4：5，B选项说法正确； C：÷（1+1-）=，C选项说法正确； D：÷=，乙数比甲数多，D选项说法错误； 故答案为：D。 【分析】A选项，已知乙数是50，甲数是乙数的（1-），根据分数乘法，计算得到甲数是50×（1-）=40； B选项，将乙数看作“1”，则甲数是1×（1-）=，然后作比得到甲数与乙数的比是：1，最后根据比的基本性质得到最简整数比是4：5； C选项，由B选项可知乙数是1，甲数是，那么甲、乙两数之和就是1+=，然后用乙数1除以两数之和，得到乙数占甲、乙两数之和的； D选项，甲数比乙数少，是把乙数看做单位“1”；而乙数比甲数多，是把甲数看做单位“1”；单位“1”不一样，所以得到甲数比乙数少的分率与乙数比甲数多的分率是不一样的。 13．【答案】D 【解析】【解答】解：（1＋）：1 =：1 =5：3 故答案为：D。 【分析】把差看作单位“1”，由减数是差的，可得减数是；被减数=差＋减数，可得被减数=，再求出被减数与差的比，然后化简比。 14．【答案】C 【解析】【解答】解：∶（1－） ＝∶ ＝（×9）∶（×9） ＝5∶4 故答案为：C 【分析】根据题意我们可以把这条公路看作单位“1”，已知修了全长的，那么还剩下1－没有修，用已经修的长度比未修的长度，根据比的基本性质： 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变； 化简即可。 15．【答案】B 【解析】【解答】解：这个三角形是等边三角形，也是等腰三角形、锐角三角形 故答案为：B。 【分析】已知一个三角形的三个内角的度数比是1：1：1，说明这个三角形的三个角相等，而三个角相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，也是锐角三角形，据此判断即可。 16．【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意，可得5＋15＝20 20÷5＝4 4×3－3 ＝12－3 ＝9 所以要使比值不变，前项应该加上9或者乘4。 故答案为：D 【分析】根据题干信息，可知，先用比的后项加上15，求出比新的后项，然后再根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘以4，求出新比的后项，然后再用新比的前项减去原来比的前项，即可求解。 17．【答案】D 【解析】【解答】解：7-2=5 5-2=3 所以甲、乙两筐梨的质量比是7：3。 故答案为：D。 【分析】把甲筐的质量平均分成7份，其中的2份放入乙筐，此时两筐梨同样重，都占（7-2）份，那么原来乙筐占（5-2）份，再根据比的意义解答即可。 18．【答案】解：20：8 =（20÷4）∶（8÷4） =5：2 = = =3：8 = 1.25：0.25 =（1.25÷0.25）：（0.25÷0.25） =5：1 =5 3.6：0.16 =（3.6÷0.08）∶（0.16÷0.08） =45：2 = 【解析】【分析】利用比的基本性质化简比，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。比的前项除以后项所得的商，叫作比值。（1）比的前项和后项同时除以4。 （2）比的前项和后项同时乘5。（3）比的前项和后项再同时除以0.25；比的前项和后项再同时除以0.08。 19．【答案】解：500×＝225（克） 答：需要加水225克。 【解析】【分析】根据题意我们可以知道水的质量占面粉质量的，根据求一个数的几分之几用乘法，即水的重量=面粉的重量×。 20．【答案】解：800÷4=200（km） 200÷（2+3） =200÷5 =40（km） 40×2=80（km） 40×3=120（km） 答：A车平均每小时行驶80千米， B车平均每小时行驶120千米。 【解析】【分析】A、B两车分别的速度=路程÷相遇时间÷速度总份数×各自分别占的份数。 21．【答案】解：根据题意，可得 = = = ＝480（人） 答：育才小学六年级一共有480人。 【解析】【分析】根据已检查的人数和没检查的学生人数比，可知，已检查的人数占总人数的，用减去，求出第一天检查的占比，最后再用第一天检查的人数除以，即可求出育才小学六年级一共有多少人。 22．【答案】解：3＋5＝8（份） 24÷8＝3（小时） 3×3＝9（小时） 3×5＝15（小时） 答：这一天北京地区的白昼约是9小时，黑夜约是15小时。 【解析】【分析】根据冬至这天白昼与黑夜时长的比约为3∶5，可认为白昼时长为3份，黑夜时长为5份，一共（3＋5）份，用24小时除以总的份数，计算出1份对应的时间，再分别用1份对应的时间乘3和5，即可求得这一天北京地区的白昼和黑夜各约是多少小时。 23．【答案】解：21÷（8-1）×（8＋1＋1） =3×10 =30（颗） 答：北斗三号卫星导航系统共有30颗卫星。 【解析】【分析】北斗三号卫星导航系统共有卫星的颗数=中圆轨道卫星比地球静止轨道卫星多的数量÷多的份数×总份数。 学科网（北京）股份有限公司 $