专项突破01 数轴（期末复习-知识回顾+7个重难点培优题型+真题演练 共36题）-2025-2026学年人教版数学七年级上册精讲练

该初中数学讲义以“数轴”为核心系统构建单元复习体系，通过知识梳理模块详细呈现数轴三要素、有理数与数轴上点的关系、利用数轴比较大小等要点，用框架图梳理知识脉络，明确从基础定义到实际应用的递进逻辑，突出重难点分布。 讲义亮点在于分层设计的7个重难点题型，如数轴上点的平移（动点问题）、规律探究等，结合精讲与变式题培养学生几何直观和推理意识，真题演练强化知识应用，基础题与培优题结合适配不同学生，助力教师实施精准化复习教学。

专项突破01 数轴 （知识回顾+7个重难点培优题型+真题演练 共36题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：数轴 1 知识点梳理02：有理数与数轴上的点的关系 2 知识点梳理03：利用数轴比较有理数的大小 2 重点难点 培优讲练 3 题型1 用数轴上的点表示有理数 3 题型2 利用数轴比较有理数的大小 6 题型3 数轴上两点之间的距离 8 题型4 数轴上点的平移（动点问题） 12 题型5 数轴上找原点 16 题型6 数轴上整点覆盖问题 18 题型7 数轴上的规律探究 20 期末真题 实战演练 22 知识点梳理01：数轴 画一条直线(通常把它水平放置)，在直线上取一点 O，把它叫做原点，用它表示数0，规定这条直线上一个方向(通常从左到右)的方向为正方向，标上箭头，相反的方向规定为负方向，选取某一长度为单位长度，就得到如图2-2-3所示的图形. 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 说明：数轴的画法：①画一条直线，在这条直线上任取一点作为原点，用这个点表示数0；②规定直线上从原点向右的方向为正方向，在右边画出箭头，则从原点向左的方向为负方向；③选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…，从原点向左，每隔一个单位长度取一点,依次标上-1,-2,-3,…,如图2-2-3所示. 拓展点：数轴上一个单位长度可以表示1，也可以表示2，3，…，10，但是同一条数轴单位长度表示的要一样. 方法归纳 (1)原点、正方向和单位长度被称为数轴的三要素； (2)在数轴上，正数和负数分别位于原点的两侧，正数在原点的右边(正方向的一边)，负数在原点的左边(负方向的一边). 知识点梳理02：有理数与数轴上的点的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点表示，即正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示，但不能说数轴上所有的点都表示有理数. 说明：在数轴上给出一点能确定它表示的数；给一个有理数能在数轴上找出这个点的位置. 方法归纳 ①表示正有理数的点都在原点的右侧；②表示负有理数的点都在原点的左侧；③表示0的点就是原点；④表示分数时一定要准确地找到该数的位置. 知识点梳理03：利用数轴比较有理数的大小 在数轴上表示出两个数，右边的数总比左边的数大，由此可以得到：正数都大于0，0大于负数，负数都小于0，正数大于一切负数. 说明：“右边的数总比左边的数大”是针对正方向向右的数轴而言的，对于正方向向上的数轴，就该说成“上边的数总比下边的数大”，不论正方朝向何方，都可以说成“沿着数轴正方向的点所表示的数越来越大，沿着数轴负方向的点所表示的数越来越小”. 拓展点：多个有理数比较大小时，要把这些有理数表示在数轴上，根据它们的左右位置关系来确定它们的大小. 方法归纳 由数轴可知：①最小的自然数是0，没有最大的自然数；②最小的正整数是1，没有最大的正整数；③最大的负整数是-1，没有最小的负整数.④如果a是正数，则a>0；反之，如果a>0，则a是正数.同理，如果a是负数，则a<0；反之，如果a<0，则a是负数 题型1 用数轴上的点表示有理数 【精讲】（25-26七年级上·湖北恩施·期中）如图，在数轴上有，，三个点． (1)点表示的有理数是__________； (2)将点向左平移5个单位长度后的点用表示，则点表示的数是__________；到点距离2个单位长度的点表示的数是__________． (3)请在数轴上描出点、分别表示有理数和，并将点、、、、表示的数直接用“＞”连接起来． 【答案】(1) (2)；或1 (3)见详解， 【思路引导】本题考查了数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，运用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察数轴，直接作答即可； （2）先得出点A表示的有理数是：4，再结合点A向左平移5个单位长度后的点用D表示，得出点D表示的数是，则点D距离2个单位长度的数是或1； （3）结合点M、N分别表示有理数和，直接在数轴上描点，即可作答． 【规范解答】（1）解：由数轴得点C表示的有理数是：， 故答案为：； （2）解：由数轴得点A表示的有理数是：4， ∵将点A向左平移5个单位长度后的点用D表示， ∴， 则点D表示的数是， 或， 即到点D距离2个单位长度的数是或1， 故答案为：；或1； （3）解：依题意，用数轴上的点M、N分别表示有理数和．如下图所示： 由数轴，得． 【变式1】（25-26七年级上·河南商丘·期中）在数轴上有A、B、C三点，点A表示的数为，点B表示的数为2，点C在点B的右侧，且到点B的距离为4． (1)点C表示的有理数是 ； (2)将点A向右平移6个单位长度得到点D，点D表示的数是 ；点E在点D的左侧，且与点D的距离为3，点E表示的数是 ； (3)在数轴上画出点A、B、C、D、E，并将这五个点表示的数用“”连接起来． 【答案】(1)6 (2) (3)图见解析， 【思路引导】本题考查了数轴上的点与有理数的对应关系、点的平移及有理数的大小比较，解题的关键是掌握数轴上点的位置与数的关系及平移规律． （1）根据点C在点B右侧及距离计算点C表示的数； （2）根据点的平移规律计算点D，再根据点E与点D的位置关系计算点E； （3）在数轴上标出各点后，再根据数轴上的点表示的数，从左到右依次增大，进行比较数的大小即可． 【规范解答】（1）解：∵点表示的数为2，点在点右侧且距离为4， ∴点C表示的数为， 故答案为：6； （2）解：点A表示的数为，向右平移6个单位长度得到点D， 点D表示的数为， 点E在点D左侧，且与点D的距离为3， 点E表示的数为， 故答案为：； （3）解：数轴表示如图即为所求， ． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江伊春·期中）操作与探究． (1)如图1，写出数轴上点 M，N，P，Q表示的数，再将这4个数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接． (2)如图2，点A，B，C为数轴上的三个点，当点B为原点时，点A 表示的数是，点C 表示的数是3． ①若以点C 为原点，则点A 表示的数是 ，点B 表示的数是 ； ②若点 B 表示的数和点 C 表示的数互为相反数，则点 B 表示的数是 ，点A 表示的数是 ． (3)若将数轴上一点 E 先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度到达点 F，点F 表示的数是．求点 E 表示的数是多少． 【答案】（1）点 M 表示的数是，点 N 表示的数是，点 P 表示的数是1，点 Q 表示的数是3；； （2）①；；②；； （3）点E表示的数是2 【思路引导】本题考查数轴上点的表示，利用数轴比较大小，两点间距离，数轴上点的平移问题等． （1）根据题意利用数轴知识即可得到本题答案； （2）①利用数轴上两点间距离求出本题答案；②利用相反数的几何意义结合数轴上两点间距离即可求解； （3）通过动点的移动列出算式计算即可． 【规范解答】解：（1）根据题意得：点 M 表示的数是，点 N 表示的数是，点 P 表示的数是1，点 Q 表示的数是3； 由数轴得； （2）①∵若以点C为原点，点A在点C的左边，且与点C相距5个单位长度， ∴点A表示的数为：， ∵点在点的左边，且与点相距3个单位长度， ∴点表示的数为：， 故答案为：；； ②∵若点B，C表示的两个数互为相反数， ∴原点在中点， ∵点，相距三个单位长度， ∴点表示的数为：， ∴点A表示的数是：， 故答案为：；； （3）由题意得：， ∴原来点E表示的数为：． 题型2 利用数轴比较有理数的大小 【精讲】（25-26七年级上·江西赣州·期中）已知有理数：，，3.2，0，2，． (1)在如图所示的数轴上画出表示这6个数的点； (2)把这6个数用“”连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查有理数在数轴上的表示及有理数的大小比较，涉及的知识点是“数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）”“绝对值的化简”“有理数大小比较规则（数轴上左边的数小于右边的数，负数正数）”．解题方法是先化简绝对值，再将各数对应到数轴的相应位置；利用数轴上数的位置关系或有理数大小规则比较大小．解题关键是准确化简，正确在数轴上定位分数、负数．易错点是化简时符号错误，或数轴上分数的位置定位不准确． （1）先化简，再将6个数分别对应到数轴的对应点并标注； （2）根据数轴上数的左右位置，将6个数按从小到大排列． 【规范解答】（1），在数轴上表示为： （2）由图可知： ． 【变式1】（25-26七年级上·福建福州·期中）数轴上5个点A，B，C，D，E的位置如图所示，观察数轴，解答下列问题： (1)点A表示的有理数是_______； (2)在数轴的正半轴上，与点E的距离为1个单位长度的点表示的有理数是___： (3)在数轴上分别标出表示有理数和0.5的点M，N； (4)将点B，D，E，M，N表示的有理数用“<”连接的结果是_________． 【答案】(1)； (2)1； (3)见解析 (4)． 【思路引导】本题考查了数轴以及有理数大小比较，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键． （1）根据数轴的意义解答即可； （2）根据两点之间的距离公式直接计算即可； （3）根据数轴的意义解答即可； （4）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案． 【规范解答】（1）解：点A表示的有理数是； 故答案为：； （2）解：在数轴的正半轴上，与点E的距离为1个单位长度的点表示的有理数是1 故答案为：1； （3）解：如图点M，N即为所求： （4）解：由（3）得． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）（1）指出图中数轴上A，B，C，D，E各点分别表示的有理数，并用“”将它们连接起来； （注：E在0与1正中间，B在3与4正中间） （2）在数轴上把下列5个有理数表示出来，并用“”连接起来． 【答案】（1）点A表示的有理数为：；点B表示的有理数为：；点C表示的有理数为：2；点D表示的有理数为：0；点E表示的有理数为：；； （2）各数在数轴上的表示见解析， 【思路引导】本题考查了有理数大小比较，数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先根据数轴得出各点代表的有理数，然后根据数轴比较有理数的大小即可． （2）先在数轴上把各数表示出来，然后根据数轴比较有理数的大小即可． 【规范解答】解：（1）点A表示的有理数为：；点B表示的有理数为：；点C表示的有理数为：2；点D表示的有理数为：0；点E表示的有理数为：； 用“”将它们连接起来为：； （2）各数在数轴上的表示如图： ， 用“”将它们连接起来为：． 题型3 数轴上两点之间的距离 【精讲】（25-26七年级上·湖北孝感·期中）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒， （说明：如果A、B两点在数轴上表示的数分别为m、n，我们常用符号“”表示A、B两点的距离，且） (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【答案】(1)当时，点Q到原点O的距离为6； (2)当时，点Q到原点O的距离为4； (3)点P到点Q的距离为6或10或22 【思路引导】本题主要考查了数轴上的动点问题、两点间的距离、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，再用8减去点Q运动的路程即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，然后减去8即可解答； （3）分点Q向左运动还没到达原点时、点Q向右运动时且还没经过点A时、点Q向右运动时且经过点A后三种情况，分别求出的长、进而求得运动时间，再求得的长，进而完成解答． 【规范解答】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ， ∴当时，点Q到原点O的距离为6； （2）解：∵动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动， ∴当时，点Q运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ∴当时，点Q向右运动，， ∴当时，点Q到原点O的距离为4； （3）解：当点Q到点A的距离为4时， 分三种情况讨论： ①点Q向左运动还没到达原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ， 运动时间为（秒）， ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为4； ； ②点Q向右运动时且还没经过点A时， ， ， 运动时间为（秒）， ； ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为4； ； ③点Q向右运动时且经过点A后， ， ， 运动时间为（秒）， ； ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为12； ； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 【变式1】（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图将一个滑块放在数轴上，数轴的1个单位长度为，滑块的左端与数轴上的点重合，右端与点重合． (1)若将滑块沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为18；若将滑块沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得到滑块长为_____ ． (2)在（1）的条件下，图中点所表示的数是_____，点所表示的数是_____． (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助子涵解决下面的问题： 一天，子涵跟数学老师聊天，老师聊起说：“我若是你现在这么大，你还要28年才出生；你若是我现在这么大，我都86岁，已经退休了，哈哈！”，请求出老师现在多少岁了？ 【答案】(1)5； (2)8，13； (3)数学老师现在48岁． 【思路引导】本题考查数轴的实际应用，熟练掌握数轴与有理数的关系以及灵活运用数轴解决问题是解题的关键．利用数轴的线性特征，将抽象的数量关系（如滑块长度、年龄差）转化为直观的数轴上的距离问题，通过分析移动前后的位置变化找到等量关系，从而实现求解． （1）观察数轴移动情况：滑块向右移动时左端到，右端对应；向左移动时右端到，左端对应，此时的距离恰好是个滑块的长度，以此进行求解即可； （2）已知滑块长，向左移动时左端对应，说明点在右侧一个滑块长度处，点在点右侧一个滑块长度处； （3）年龄差相当于“滑块长度”，此时的距离是个年龄差（类似滑块移动的逻辑），所以年龄差为． 【规范解答】（1）解：由数轴观察知，三个滑块长是（）， 则滑块长为：（）． 故答案为：5； （2）∵滑块长为5，将滑块沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为3， ∴A点所表示的数是； ∵将滑块沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为18， ∴B点表示的数是； 故答案为：8，13； （3）借助数轴，把子涵和数学老师的年龄差看做滑块， 类似数学老师若是子涵现在这么大看做当A点移动到B点时， 此时B点所对应的数为， 子涵若是数学老师现在这么大看做当B点移动到A点时， 此时A点所对应的数为86， ∴可知数学老师比子涵大（岁）， 可知数学老师的年龄为（岁）． 故数学老师现在48岁． 【变式2】（25-26七年级上·天津南开·期中）（1）阅读以下材料，并回答问题． 如图，将一根木棒放在数轴上（数轴的单位长度为1cm），木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合．    若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6． ①请列式求出这根木棒的长； ②填空：图中点所表示的数是________，点所表示的数是________； （2）借助上面的方法解决下面的问题： 一天，小明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要43年才出生；你若是我现在这么大，我已经是122岁啦！” ①请列式求出奶奶和小明的年龄差： ②填空：小明现在的年龄为________（岁），奶奶现在的年龄为________（岁） 【答案】（1）①这根木棒的长为7；②；（2）①；②， 【思路引导】本题考查了一个线段模型的运用，数轴上两点的距离，有理数的加减法和除法，解题的关键在于运用材料的解题模型去求解奶奶与小明的年龄差，进而求出奶奶的年龄和小明的年龄． （1）①最大数减去最小数，再除以3即可；②依次加7即可解答； （2）①；②用减去得到奶奶年龄，再减55即可得到小明年龄． 【规范解答】解：（1）①，， 这根木棒的长为7； ②图中点所表示的数是：，点所表示的数是：， 故答案为：； （2）①奶奶和小明的年龄差为：（岁）， ②奶奶现在的年龄：（岁），小明现在的年龄：（岁）． 故答案为：，． 题型4 数轴上点的平移（动点问题） 【精讲】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知数轴上点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位长度得到点B，若数轴上点C到点A和点B的距离相等，则用含a的代数式表示点C对应的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查数轴上的动点问题． 点C到点A和点B的距离相等，故点C为线段的中点，利用中点公式即可求解． 【规范解答】解：∵点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位得到点B， ∴点B对应的数为． ∵点C到点A和点B的距离相等， ∴点C为的中点， ∴点C对应的数为． 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度； (1)求数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少？ (2)求在数轴上点B所对应的数b； (3)若D是数轴上一点，且满足，通过计算，求点D所对应的数； (4)如图3，一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此跳动下去，则第n次跳动后，直接写出数轴上点所表示的数（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是 (2) (3)点D表示的数为2或 (4) 【思路引导】本题主要考查数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上的动点问题是解题的关键． （1）根据点、是数轴上从左到右排列的点，进而根据数轴上两点距离可进行求解； （2）根据点B对齐刻度列式求解即可； （3）首先求出，然后分两种情况求解即可； （4）首先求出，然后根据线段中点的概念找出规律求解即可． 【规范解答】（1），是数轴上从左到右排列的点，在数轴上对应的数分别为，2， ； ， ∴数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的； （2）∵点B对齐刻度， ∴， ∴， ∴在数轴上点B所对应的数； （3）∵点A表示的数是，点B表示的数是， ∴ ∴ ∴点D所对应的数为或； （4）点B表示的数是，点C表示的数是2， ， 一质点从点处向点方向跳动，第一次跳动到的中点处， 点表示的数为， 第二次从点跳动到的中点处， 点表示的数为， 第三次从点跳动到的中点处， 点表示的数为， 第四次从点跳动到的中点处， 点表示的数为， 点表示的数为． 【变式2】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料解决问题，如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”． (1)若点表示的数是0，则的值为____________； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“5格距点”，则这样的整点对应的点的值分别是____________； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的3倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【答案】(1)5 (2)，，0，1，2，3； (3)点P表示的数为： ，此时；点P表示的数为：，此时 【思路引导】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数即可； （3）分两种情况讨论，当在之间时和当在点的左边时，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵点P表示的数为0， ∴点P到点A距离与点P到点B的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴ ， 故答案为：5； （2）∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴ ，即P在线段上， ∴整点P所表示的数是，，0，1，2，3， 故答案为：，，0，1，2，3； （3）①当P在之间时，， ∵点到点的距离等于点到点的距离的3倍， ∴， ，点P表示的数为：，此时； ②当P在点A左边时，，， 点P表示的数为：，此时． 综上所述，点P表示的数为： ，此时；点P表示的数为：，此时． 题型5 数轴上找原点 【精讲】（25-26七年级上·新疆哈密·期中）如图，数轴上每两个刻度之间的距离为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点． (2)并指出点所表示的数是______． (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为3个单位长度，那么点表示的数为_____． 【答案】(1)见详解 (2)4 (3)1或7 【思路引导】本题考查数轴，用数轴表示有理数，数轴上两点间距离： （1）根据点A表示的数及每个刻度为1个单位长度可确定原点， （2）根据点B与原点的位置可得点B所表示的数； （3）分点C在点B的左侧与右侧两种情况，分别计算即可． 【规范解答】（1）解：原点在点A的右侧距离点3个单位长度，如图： （2）解：点B在原点的右侧距离原点4个单位，因此点B所表示的数为4， 故答案为：4； （3）解：①当点C在点B的左侧时，， ②当点C在点B的右侧时，， 点C表示的数为1或7． 故答案为：1或7． 【变式1】（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是4． (1)在数轴上标出原点O； (2)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，． 【答案】(1)见解析 (2)数轴见解析， 【思路引导】本题考查的是用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． （1）根据点A表示的数是，点B表示的数是4找出原点即可； （2）把各数在数轴上表示出来，从左到右用“”连接起来即可． 【规范解答】（1）解：因为点A表示的数是， 所以原点O在点A右边3个单位长度， 所以原点如图所示： ； （2）解：， 各点在数轴上表示为： ， 故． 【变式2】25-26七年级上·河南商丘·阶段练习）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，把数轴补充完整，点B所表示的数是______； (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为3个单位长度，那么点C表示的数为______； (3)在数轴上表示数2.5，，0，，，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． 【答案】(1)补充数轴见解析， (2)0或6 (3)数轴表示见解析， 【思路引导】本题考查了利用数轴有理数比较大小，关键是在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据题意可知点A往右数四个单位长度即为原点0的位置，点B距离原点3个单位长度，且在原点右侧，所以点B表示的数是3； （2）点C与点B距离3个单位长度，分两种情况：①点C在点B左侧距离3个单位长度，②点C在点B右侧距离3个单位长度，即可求解； （3）在数轴上确定表示各数点的位置，再根据在数轴上表示有理数，右边的数总比左边的数大，并用小于号将各数连接起来即可． 【规范解答】（1）解：如图， 点O为原点，点B表示的数是3， 故答案为：3； （2）解：如图，点C表示的数为或， 故答案为：0或6； （3）解：，， 如图，在数轴上表示各数， ． 题型6 数轴上整点覆盖问题 【精讲】（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 【答案】B 【思路引导】本题考查了数轴的概念以及整数的范围确定．确定遮挡的整数范围是解题的关键． 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 遮挡的区间是到，数出该区间的整数即可解答． 【规范解答】解：到之间的整数有个， 故选B． 【变式1】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，在数轴上，点A，B所表示的数分别为，，则A，B两点之间表示整数的点一共有 个． 【答案】6 【思路引导】本题考查了有理数大小比较，数轴，正确理解题意是解题的关键．根据有理数大小比较的方法确定出、分别介于哪两个整数之间，进而即可得出A、B两点之间表示整数的点个数． 【规范解答】解：，， ∴所以大于并且小于的整数有、、、0、1、2共6个． 故答案为：6． 【变式2】（25-26七年级上·河北邯郸·月考）已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为．有一辆玩具火车放置在数轴上，将玩具火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点与点重合；当点移动到点时，点与点重合．若将此玩具火车沿数轴左右水平移动，玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了数轴上的点表示数和整数的个数问题，熟练掌握数轴的特征是解题的关键．由题意可得到的长度是玩具火车的倍，则玩具火车长度为，要使玩具火车能更多的覆盖住整数，应使玩具火车的左端尽可能靠近整数点的左侧，玩具火车的右端尽可能靠近整数点的右侧，据此即可得到答案． 【规范解答】解：∵已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为． ∴, 由题意可知，的长度是玩具火车的倍， ∴玩具火车长度为， 要使玩具火车能更多的覆盖住整数，应使玩具火车的左端尽可能靠近整数点的左侧，玩具火车的右端尽可能靠近整数点的右侧，此时玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为， 故答案为： 题型7 数轴上的规律探究 【精讲】（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段练习）正六边形在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则经过连续翻转后，数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【思路引导】本题考查了图形类规律探索，正确归纳推出一般规律是解题关键．先得出翻转是以每6次为一个循环，再根据（次）可得翻转2024次后，数2025所对应的点与翻转2次后，数3所对应的点相同，由此即可得． 【规范解答】解：由题意得：翻转1次后，数所对应的点为点， 翻转2次后，数所对应的点为点， 翻转3次后，数所对应的点为点， 翻转4次后，数所对应的点为点， 翻转5次后，数所对应的点为点， 翻转6次后，数所对应的点为点， 翻转7次后，数所对应的点为点， 由此可知，翻转是每以6次为一个循环， ∵（次）， ∴翻转2024次后，数所对应的点与翻转2次后，数3所对应的点相同，即为点， ∴经过连续翻转后，数轴上2025这个数所对应的点是， 故选：D． 【变式1】25-26七年级上·宁夏中卫·阶段练习）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0、1、2、3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路引导】此题综合考查了数轴、循环的有关知识，关键是把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答． 【规范解答】解：由题意可知，圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次， 则与圆周上的重合的数是、、，即， 同理与圆周上的重合的数是、、，即， 与圆周上的重合的数是、、，即， 与圆周上的重合的数是、、，即，是正整数， ， 数轴上的数将与圆周上的重合， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·北京西城·期中）如图，数轴上点表示的数为，点，（不与重合）到0对应的点的距离相等，点，（不与重合）到1对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到2对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到3对应的点的距离相等，……，按此规律，点表示的数为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【思路引导】本题考查了数轴的概念，两点间的距离公式及找规律进行归纳推理． 【规范解答】解：由题意知，∵数轴上点表示的数为，且，分别到0对应的点的距离相等，先根据数轴上两点到某点距离相等的性质求出前几个点所表示的数，再分析这些数的规律，最后根据规律求出表示的数． ∴， 即点表示的数为2， 依此类推，点表示的数为0，点表示的数为4，点表示的数为2，点表示的数为6，点表示的数为4，…， ∴点（n为正整数）表示的数为：，点（n为正整数）表示的数为， ∴当时，，即点表示的数为． 故选：B． 1．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）数轴上点A距原点2个单位长度，点B距原点3个单位长度，则点A与点B之间的距离为（    ）个单位长度． A．1 B．5 C．1或5 D．或 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 点、点在数轴上的位置可能位于原点的左侧或右侧，分类计算即可． 【规范解答】解：∵点距原点2个单位长度，∴表示的数为； 点距原点3个单位长度，∴表示的数为； 当点表示的数为2，点表示的数为3时，； 当点表示的数为2，点表示的数为时，； 当点表示的数为，点表示的数为3时，； 当点表示的数为，点表示的数为时，； ∴点A与点B之间的距离为1或5． 故选：C． 2．（21-22七年级上·福建福州·期末），是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查数轴及有理数的大小比较，先在数轴上表示出，，然后根据数轴特点比较大小即可． 【规范解答】解：，在数轴上的位置，如图所示： 根据数轴可知：， 故选：B． 3．（24-25七年级上·全国·期末）下列说法正确的是（    ） ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 A．④ B．③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【思路引导】本题考查数轴的定义，有理数与数轴，根据数轴的定义，以及用数轴表示有理数逐一进行判断即可． 【规范解答】解：规定了原点、单位长度，正方向的直线是数轴；故①说法错误； 数轴上两个不同的点不能表示同一个有理数；故②说法错误； 有理数在数轴上能表示出来；故③说法错误； 任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点；故④说法正确； 故选A． 4．（23-24七年级上·山东德州·期末）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示． 则在下列选项中，正确的是（      ） ①如果，则一定会有； ②如果，则一定会有； ③如果，则一定会有； ④如果，则一定会有． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【思路引导】本题考查了数轴、有理数的乘法，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，再根据有理数的乘法法则逐个判断即可得． 【规范解答】解：由数轴可知，． 如果，则都同号，所以一定会有，①正确； 如果，则，但的符号不能确定，所以不一定会有，②错误； 如果，则同号，但的符号不能确定，所以不一定会有，③错误； 如果，则，所以，所以一定会有，④正确； 故选：B． 5．（20-21七年级上·北京海淀·期末）已知有理数满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），， 下列结论 ①； ②当点与点重合时，； ③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的是（    ） A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】D 【思路引导】根据平方式和绝对值的非负性求出a和b的值，然后根据数轴上两点之间距离的计算方法和中点的表示方法去证明命题的正确性． 【规范解答】解：∵，，且， ∴，，解得，，故①正确； 当点与点重合时， ∵，， ∴，故②错误； 设点P表示的数是， 当点与点重合时，点B表示的数是2， ，，， ∴，故③正确； 设点B表示的数是，则点C表示的数是， ∵M是OB的中点， ∴点M表示的数是， ∵N是AC的中点， ∴点N表示的数是， 则，故④正确． 故选：D． 【考点剖析】本题考查数轴的性质，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的求解，中点的表示方法． 6．（24-25七年级上·浙江金华·期中）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上，以长作为该数轴的单位长度，刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上“”和“”，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查数轴上两点间距离公式．根据题意可知，数轴上1个单位长度为，由此可得，据此即可求出的值． 【规范解答】解：由题可知， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·山东青岛·期末）已知数轴上的两点A，B分别表示数,3，若点C与点A的距离为5个单位长度，则点C与点B的距离是 ． 【答案】1或9 【思路引导】本题考查了数轴上两点间的距离计算，解题的关键是先确定点C的可能位置，再分别计算点C与点B的距离． 先根据点C与点A的距离为5个单位长度，求出点C表示的数（分点C在点A左侧和右侧两种情况）；再分别计算这两个数与点B表示的数3之间的距离． 【规范解答】解：∵点A表示数，点C与点A的距离为5个单位长度， ∴当点C在点A左侧时，点C表示的数为； 当点C在点A右侧时，点C表示的数为． ∵点B表示数3， ∴当点C表示时，点C与点B的距离为； 当点C表示4时，点C与点B的距离为． 故答案为：1或9． 8．（23-24七年级上·四川达州·期末）如图所示，有一个高为的圆柱体，现在它的底面圆周在数轴上滚动，在滚动前圆柱体底面圆周上有一点和数轴上表示的点重合，当圆柱体滚动一周时点恰好落在了表示的点的位置．则这个圆柱体的侧面积是 【答案】 【思路引导】本题考查了圆柱体侧面积的计算，数轴的运用，由题意可得，底面圆的周长为，而圆柱体的高为，根据侧面积底面周长高即可求解，解题的关键是通过数轴求出圆柱体的底面周长． 【规范解答】解：由题意可得，底面圆的周长为， ∴这个圆柱体的侧面积为， 故答案为：． 9．（23-24七年级上·江西南昌·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和40，点在线段上移动，图中的三条线段和，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍时，则点在数轴上表示的数为 ． 【答案】0或10或20 【思路引导】本题考查了两点间的距离，解题的关键是要读懂题目的意思，利用分论讨论的思想求解．分，，，进行讨论求解即可． 【规范解答】解：， ①当，则，则点C所表示的数为； ②当，则，则点C所表示的数为； ③当，则，则点C所表示的数为； 综上，点在数轴上表示的数为：0或10或20， 故答案为：0或10或20． 10．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为0，点表示的数为． （1）将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是 ； （2）将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点 重合． 【答案】 【思路引导】此题主要考查数轴的特点，解题的关键是根据题意得到正方形滚动一周，正方形的顶点移动4个单位． （1）根据正方形滚动1周后点的位置得出点对应的数； （2）根据正方形滚动的规律，得到经过数轴上的数的点． 【规范解答】（1）由题可得，正方形向左滚动一周，正方形的顶点向左移动4个单位， 所以正方形向左滚动一周后，点对应的数为：， 故答案为：； （2）∵ 所以将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2025表示的点与点B重合； 故答案为：． 11．（25-26七年级上·广东肇庆·期中）如图，在每个刻度为个单位长度的数轴上，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是_____； (2)在数轴上表示下列各数：，，，，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． 【答案】(1) (2)在数轴上表示见解析， 【思路引导】本题主要考查了数轴上两点间的距离计算，有理数与数轴，化简多重符号和求一个数的绝对值： （1）根据题意可得点与原点的距离为，那么从点的位置向右数格即为原点位置，据此画出原点，再求出点表示的数即可； （2）先计算绝对值，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【规范解答】（1）解：如图，在数轴上标出原点，点所表示的数是， 故答案为：； （2） ， 在数轴上表示各数如下： ． 12．（23-24七年级上·山东济宁·期末）阅读下面材料 定义：在数轴上，如果两个点所表示数的和等于2，那么我们就叫做这两个点关于表示1的点对称．若点表示的数是，点表示的数是，则点与点关于表示1的点对称． 例如：，表示的点与表示5的点关于表示1的点对称． 根据上面材料的信息，解答下列问题： (1)填空：表示18的点与表示________的点关于表示1的点对称； (2)若点表示的数是，点表示的数是，判断点与点是否关于表示1的点对称，并说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【思路引导】本题考查了数轴，整式的加减运算． （1）根据“若点表示的数是，点表示的数是，，则点与点关于表示1的点对称”，代入计算即可； （2）将代数式、相加，若值为2，则点与点是关于表示1的点对称即可． 【规范解答】（1）解：根据“关于表示1的点对称”的定义， ， 表示18的点与表示的点关于表示1的点对称； 故答案为：； （2）解：根据题意得： ， 点与点是关于表示1的点对称． 13．（12-13七年级上·江苏泰州·月考）已知数轴上两点A，B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P为的中点，则点P对应的数是 ． (2)数轴的原点右侧有点P，使点P到点A，点B的距离之和为8．请你求出x的值． (3)现在点A，点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，直接写出点P对应的数． 【答案】(1)1 (2)x的值是5 (3)点P对应的数是或 【思路引导】本题考查数轴上点表示的数及两点间距离，解题的关键是掌握点运动后表示的数与运动前表示的数的关系． （1）根据点P为的中点列方程即可解得答案； （2）分两种情况，当P在线段上时，由，知这种情况不存在；当P在B右侧时，，求解即可； （3）设运动的时间是t秒，表示出运动后A表示的数是，B表示的数是，P表示的数是，根据点A与点B之间的距离为3个单位长度得：，解出t的值，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵A，B对应的数分别为，3，点P为的中点， ∴， 解得， ∴点P对应的数是1； （2）解：当P在线段上时，， ∴这种情况不存在； 当P在B右侧时，， 解得， 答：x的值是5； （3）解：设运动的时间是t秒，则运动后A表示的数是，B表示的数是，P表示的数是， 根据题意得：， 解得或， 当时，P表示的数是， 当时，P表示的数是， 答：点P对应的数是或． 14．（23-24七年级上·吉林·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)10，1 (2)当或或时，P，Q两点间距离为3 (3)，理由见详解 【思路引导】本题主要考查数轴上两点之间的距离和中点坐标，数轴上动点问题以及分类讨论思想， 结合点和点表示的数，利用两点之间距离即可求得，利用中点坐标即可求得线段的中点表示的数； 当点P与点B重合时，求得；同理求得点Q与点A重合时的t；当点Q返回到点B时的t，当时，点P表示的数，点Q表示的数，结合题意即可列出方程求的t；当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，同理求的t即可； 根据题意得，，当点到达点之前，即当时，点M表示的数是，点N表示的数是，即可得即可． 【规范解答】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为6， ∴， 线段的中点表示的数为∶， 故答案为：10，1 （2）当点P与点B重合时，； 当点Q与点A重合时，； 当点Q返回到点B时，， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∵， ∴或， 解得或 (不符合题意，舍去)， 综上所述，当或或时，P，Q两点间距离为3． （3），理由如下： ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， 当点到达点之前，即当时， 点M表示的数是， 点N表示的数是， ∵， ∴， ∴． 15．（23-24七年级上·全国·期末）如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2)①或；②t的值为或或5.5 【思路引导】（1）根据A点，B点对应的数，得到，根据与的比值，得到，，得到C点对应的数是； （2）①当M、N未相遇， M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是，得到，解得，此种情况不存在；当P与M第一次相遇后，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是，得到，解得；当P与N相遇后，未与M第二次相遇时，P表示的数是，，解得；当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是， M表示的数是4，得到，解得，根据，得到这种情况不存在；当P运动到A后，若N为的中点，此时，，解得． 本题主要考查了数轴上动点问题，熟练掌握数轴上动点表示的数，两点间的距离公式，相遇与追及问题，列代数式，列方程，分类考虑动点的位置，是解题关键． 【规范解答】（1）∵A点对应的数是，B点对应的数是8， ∴， ∵， ∴，， ∴C点对应的数是， 答：C点对应的数是4； （2）①∵运动t秒时， 当M、N未相遇，则M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或； ②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是， ∵ ∴， 解得（舍去），此种情况不存在， 由已知得，P与M在时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是， ∴， 解得， 由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过秒，即时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未与M第二次相遇，此时P表示的数是， ∴， 解得， 当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是，M在C点处，M表示的数是4， 次情况， ∴， 解得，不合， ∴这种情况不存在， 当P运动到A后，若N为的中点，此时， ∴， 解得， 综上所述，t的值为，或，或5.5． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破01 数轴 （知识回顾+7个重难点培优题型+真题演练 共36题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：数轴 1 知识点梳理02：有理数与数轴上的点的关系 2 知识点梳理03：利用数轴比较有理数的大小 2 重点难点 培优讲练 3 题型1 用数轴上的点表示有理数 3 题型2 利用数轴比较有理数的大小 4 题型3 数轴上两点之间的距离 5 题型4 数轴上点的平移（动点问题） 7 题型5 数轴上找原点 10 题型6 数轴上整点覆盖问题 11 题型7 数轴上的规律探究 11 期末真题 实战演练 12 知识点梳理01：数轴 画一条直线(通常把它水平放置)，在直线上取一点 O，把它叫做原点，用它表示数0，规定这条直线上一个方向(通常从左到右)的方向为正方向，标上箭头，相反的方向规定为负方向，选取某一长度为单位长度，就得到如图2-2-3所示的图形. 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 说明：数轴的画法：①画一条直线，在这条直线上任取一点作为原点，用这个点表示数0；②规定直线上从原点向右的方向为正方向，在右边画出箭头，则从原点向左的方向为负方向；③选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…，从原点向左，每隔一个单位长度取一点,依次标上-1,-2,-3,…,如图2-2-3所示. 拓展点：数轴上一个单位长度可以表示1，也可以表示2，3，…，10，但是同一条数轴单位长度表示的要一样. 方法归纳 (1)原点、正方向和单位长度被称为数轴的三要素； (2)在数轴上，正数和负数分别位于原点的两侧，正数在原点的右边(正方向的一边)，负数在原点的左边(负方向的一边). 知识点梳理02：有理数与数轴上的点的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点表示，即正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示，但不能说数轴上所有的点都表示有理数. 说明：在数轴上给出一点能确定它表示的数；给一个有理数能在数轴上找出这个点的位置. 方法归纳 ①表示正有理数的点都在原点的右侧；②表示负有理数的点都在原点的左侧；③表示0的点就是原点；④表示分数时一定要准确地找到该数的位置. 知识点梳理03：利用数轴比较有理数的大小 在数轴上表示出两个数，右边的数总比左边的数大，由此可以得到：正数都大于0，0大于负数，负数都小于0，正数大于一切负数. 说明：“右边的数总比左边的数大”是针对正方向向右的数轴而言的，对于正方向向上的数轴，就该说成“上边的数总比下边的数大”，不论正方朝向何方，都可以说成“沿着数轴正方向的点所表示的数越来越大，沿着数轴负方向的点所表示的数越来越小”. 拓展点：多个有理数比较大小时，要把这些有理数表示在数轴上，根据它们的左右位置关系来确定它们的大小. 方法归纳 由数轴可知：①最小的自然数是0，没有最大的自然数；②最小的正整数是1，没有最大的正整数；③最大的负整数是-1，没有最小的负整数.④如果a是正数，则a>0；反之，如果a>0，则a是正数.同理，如果a是负数，则a<0；反之，如果a<0，则a是负数 题型1 用数轴上的点表示有理数 【精讲】（25-26七年级上·湖北恩施·期中）如图，在数轴上有，，三个点． (1)点表示的有理数是__________； (2)将点向左平移5个单位长度后的点用表示，则点表示的数是__________；到点距离2个单位长度的点表示的数是__________． (3)请在数轴上描出点、分别表示有理数和，并将点、、、、表示的数直接用“＞”连接起来． 【变式1】（25-26七年级上·河南商丘·期中）在数轴上有A、B、C三点，点A表示的数为，点B表示的数为2，点C在点B的右侧，且到点B的距离为4． (1)点C表示的有理数是 ； (2)将点A向右平移6个单位长度得到点D，点D表示的数是 ；点E在点D的左侧，且与点D的距离为3，点E表示的数是 ； (3)在数轴上画出点A、B、C、D、E，并将这五个点表示的数用“”连接起来． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江伊春·期中）操作与探究． (1)如图1，写出数轴上点 M，N，P，Q表示的数，再将这4个数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接． (2)如图2，点A，B，C为数轴上的三个点，当点B为原点时，点A 表示的数是，点C 表示的数是3． ①若以点C 为原点，则点A 表示的数是 ，点B 表示的数是 ； ②若点 B 表示的数和点 C 表示的数互为相反数，则点 B 表示的数是 ，点A 表示的数是 ． (3)若将数轴上一点 E 先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度到达点 F，点F 表示的数是．求点 E 表示的数是多少． 题型2 利用数轴比较有理数的大小 【精讲】（25-26七年级上·江西赣州·期中）已知有理数：，，3.2，0，2，． (1)在如图所示的数轴上画出表示这6个数的点； (2)把这6个数用“”连接起来． 【变式1】（25-26七年级上·福建福州·期中）数轴上5个点A，B，C，D，E的位置如图所示，观察数轴，解答下列问题： (1)点A表示的有理数是_______； (2)在数轴的正半轴上，与点E的距离为1个单位长度的点表示的有理数是___： (3)在数轴上分别标出表示有理数和0.5的点M，N； (4)将点B，D，E，M，N表示的有理数用“<”连接的结果是_________． 【变式2】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）（1）指出图中数轴上A，B，C，D，E各点分别表示的有理数，并用“”将它们连接起来； （注：E在0与1正中间，B在3与4正中间） （2）在数轴上把下列5个有理数表示出来，并用“”连接起来． 题型3 数轴上两点之间的距离 【精讲】（25-26七年级上·湖北孝感·期中）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒， （说明：如果A、B两点在数轴上表示的数分别为m、n，我们常用符号“”表示A、B两点的距离，且） (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【变式1】（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图将一个滑块放在数轴上，数轴的1个单位长度为，滑块的左端与数轴上的点重合，右端与点重合． (1)若将滑块沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为18；若将滑块沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得到滑块长为_____ ． (2)在（1）的条件下，图中点所表示的数是_____，点所表示的数是_____． (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助子涵解决下面的问题： 一天，子涵跟数学老师聊天，老师聊起说：“我若是你现在这么大，你还要28年才出生；你若是我现在这么大，我都86岁，已经退休了，哈哈！”，请求出老师现在多少岁了？ 【变式2】（25-26七年级上·天津南开·期中）（1）阅读以下材料，并回答问题． 如图，将一根木棒放在数轴上（数轴的单位长度为1cm），木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合．    若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6． ①请列式求出这根木棒的长； ②填空：图中点所表示的数是________，点所表示的数是________； （2）借助上面的方法解决下面的问题： 一天，小明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要43年才出生；你若是我现在这么大，我已经是122岁啦！” ①请列式求出奶奶和小明的年龄差： ②填空：小明现在的年龄为________（岁），奶奶现在的年龄为________（岁） 题型4 数轴上点的平移（动点问题） 【精讲】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知数轴上点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位长度得到点B，若数轴上点C到点A和点B的距离相等，则用含a的代数式表示点C对应的数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度； (1)求数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少？ (2)求在数轴上点B所对应的数b； (3)若D是数轴上一点，且满足，通过计算，求点D所对应的数； (4)如图3，一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此跳动下去，则第n次跳动后，直接写出数轴上点所表示的数（用含n的代数式表示）． 【变式2】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料解决问题，如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”． (1)若点表示的数是0，则的值为____________； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“5格距点”，则这样的整点对应的点的值分别是____________； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的3倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 题型5 数轴上找原点 【精讲】（25-26七年级上·新疆哈密·期中）如图，数轴上每两个刻度之间的距离为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点． (2)并指出点所表示的数是______． (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为3个单位长度，那么点表示的数为_____． 【变式1】（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是4． (1)在数轴上标出原点O； (2)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，． 【变式2】25-26七年级上·河南商丘·阶段练习）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，把数轴补充完整，点B所表示的数是______； (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为3个单位长度，那么点C表示的数为______； (3)在数轴上表示数2.5，，0，，，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． 题型6 数轴上整点覆盖问题 【精讲】（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 【变式1】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，在数轴上，点A，B所表示的数分别为，，则A，B两点之间表示整数的点一共有 个． 【变式2】（25-26七年级上·河北邯郸·月考）已知，两点在数轴上所表示的数分别为和，其中表示的数为10，表示的数为．有一辆玩具火车放置在数轴上，将玩具火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点与点重合；当点移动到点时，点与点重合．若将此玩具火车沿数轴左右水平移动，玩具火车最多能覆盖住的整数的个数为 ． 题型7 数轴上的规律探究 【精讲】（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段练习）正六边形在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则经过连续翻转后，数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【变式1】25-26七年级上·宁夏中卫·阶段练习）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0、1、2、3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（25-26七年级上·北京西城·期中）如图，数轴上点表示的数为，点，（不与重合）到0对应的点的距离相等，点，（不与重合）到1对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到2对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到3对应的点的距离相等，……，按此规律，点表示的数为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 1．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）数轴上点A距原点2个单位长度，点B距原点3个单位长度，则点A与点B之间的距离为（    ）个单位长度． A．1 B．5 C．1或5 D．或 2．（21-22七年级上·福建福州·期末），是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·全国·期末）下列说法正确的是（    ） ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 A．④ B．③④ C．②③④ D．①②③④ 4．（23-24七年级上·山东德州·期末）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示． 则在下列选项中，正确的是（      ） ①如果，则一定会有； ②如果，则一定会有； ③如果，则一定会有； ④如果，则一定会有． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 5．（20-21七年级上·北京海淀·期末）已知有理数满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），， 下列结论 ①； ②当点与点重合时，； ③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的是（    ） A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④ 6．（24-25七年级上·浙江金华·期中）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上，以长作为该数轴的单位长度，刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上“”和“”，则的值为 ． 7．（24-25七年级上·山东青岛·期末）已知数轴上的两点A，B分别表示数,3，若点C与点A的距离为5个单位长度，则点C与点B的距离是 ． 8．（23-24七年级上·四川达州·期末）如图所示，有一个高为的圆柱体，现在它的底面圆周在数轴上滚动，在滚动前圆柱体底面圆周上有一点和数轴上表示的点重合，当圆柱体滚动一周时点恰好落在了表示的点的位置．则这个圆柱体的侧面积是 9．（23-24七年级上·江西南昌·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和40，点在线段上移动，图中的三条线段和，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍时，则点在数轴上表示的数为 ． 10．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为0，点表示的数为． （1）将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是 ； （2）将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点 重合． 11．（25-26七年级上·广东肇庆·期中）如图，在每个刻度为个单位长度的数轴上，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是_____； (2)在数轴上表示下列各数：，，，，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． 12．（23-24七年级上·山东济宁·期末）阅读下面材料 定义：在数轴上，如果两个点所表示数的和等于2，那么我们就叫做这两个点关于表示1的点对称．若点表示的数是，点表示的数是，则点与点关于表示1的点对称． 例如：，表示的点与表示5的点关于表示1的点对称． 根据上面材料的信息，解答下列问题： (1)填空：表示18的点与表示________的点关于表示1的点对称； (2)若点表示的数是，点表示的数是，判断点与点是否关于表示1的点对称，并说明理由． 13．已知数轴上两点A，B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P为的中点，则点P对应的数是 ． (2)数轴的原点右侧有点P，使点P到点A，点B的距离之和为8．请你求出x的值． (3)现在点A，点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，直接写出点P对应的数． 14．（23-24七年级上·吉林·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)当为何值时，两点间距离为3； (3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由． 15．（23-24七年级上·全国·期末）如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $