5.1变量与函数（第二课时）讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦函数三种表示方法（解析法、列表法、图象法）及自变量取值范围这一核心知识点，前承变量与函数的基础概念，后续衔接一次函数的实际应用，为学生构建从概念理解到综合运用的学习支架。 该资料以情境化案例（如小蕾体重变化、气温与海拔关系）引导学生用数学眼光观察现实世界，通过对比分析三种方法优缺点发展数学思维，结合分层练习（课堂检测、课后作业）助力课中教学效率提升，课后学生可借助资料回顾总结，有效查漏补缺，培养用数学语言表达实际问题的能力。

2025-2026学年苏科版版八年级数学 《第五章一次函数第一节变量与函数（第二课时）》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），理解每种表示方法的定义及特征。 2.能根据实际情境选择合适的函数表示方法，准确确定自变量的取值范围并求函数值。 3.能解读函数图象中的关键信息，运用数形结合思想分析简单实际问题中变量的关系，渗透模型思想。 4.了解三种表示方法的优缺点及相互转化关系，提升运用函数知识解决实际问题的能力。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.函数三种表示方法（解析法、列表法、图象法）的定义及应用。 2.根据实际情境确定自变量的取值范围，正确求函数值。 3.从函数图象中提取有效信息，分析变量间的变化规律。 （二）难点 1.结合实际问题选择恰当的函数表示方法，理解三种方法的适用场景。 2.准确限定自变量的取值范围（兼顾数学意义与实际意义）。 3.解读函数图象中拐点、平行线段等特殊部分的实际含义。 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1. 函数的三种常见表示方法分别是______、______和______。 2. 用自变量和常量组成的等式表示函数关系的方法叫作______，这种等式称为函数的______。 3. 把自变量的取值与对应的函数值用表格形式呈现的方法叫作______，其优点是______。 4. 用平面直角坐标系中的图形表示函数关系的方法叫作______，绘制时通常遵循______、______、______三个步骤。 5. 对于函数y=2x-1，当x=3时，对应的函数值y=；自变量x的取值范围是______ 。 6. 在实际问题中，自变量的取值范围除了要使函数解析式有意义，还必须符合______。 ) 四．课堂探秘 探究一：函数的三种表示方法 1.解析法： （1）定义：用数学式子表示两个变量之间的依赖关系的方法叫做解析法； （2）特点：解析法简单明确，便于用数学方法进行研究，如需要，还可以求得相关的精确值。但也有缺点，因为在实际问题中，两个变量间的函数关系有时不能用简单的数学式子来表示，有的几乎找不到相关的函数解析式。如煤炭天气的温度与时间的函数关系等。 例1、一个长方形的周长为20cm，设长方形一边长为cm,面积用表示，试求面积与长之间的函数关系式，写出它的定义域，并求出当时的值及时的值。 例2、A、B两地相距100千米，某人从A地到B地，先步行10千米，再骑车前往，车速是20千米/时。已知骑车经过小时后，某人离A地千米，求与的函数关系式及其定义域。 例3、等腰三角形的周长12，求它的腰长与底边长之间的函数解析式。 2.列表法： （1）定义：用表格来表示两个变量之间的依赖关系的方法叫做列表法； （2）特点：列表法很容易找出对应于自变量某一个值的函数值，清楚、直接的了解到它们的变化情况，查找也非常方便。但有很多函数，往往不可能把自变量的所有值与其对应的函数值都列在表中，在进一步分析与研究上也极不方便。 例4、小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重如下表，你能看出小蕾各周岁时的体重是如何变化的吗？在哪一段时间内体重增加较快？ 周岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 体重（kg） 7.9 12.2 15.6 18.4 20.7 23.0 25.6 28.5 31.2 34.0 37.6 41.2 44.9 例5、小明暑假到黄岗山旅游，导游提醒大家要多带一件衣服，并介绍当地山区气温会随海拔高度的增加而下降。沿途小明利用随身带的登山表测得以下数据： 海拔高度x（m） 400 500 600 700 … 气温y(℃) 28.6 28.0 27.4 26.8 … （1） 观察和分析已知数据，探索y与x之间的函数关系式并验证； （2） 如果小明告诉你山顶的气温为18.1℃，你能求出黄岗山的海拔高度大约是多少吗？ 3.图象法： （1）函数的图像：一般地，我们把一个函数的自变量的值与对应的函数的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描点，所有这些点组成的图形叫作这个函数的图像。 （2）图像法定义：用图像来表示两个变量之间的依赖关系的方法叫做图像法。 （3）图像法特点：图像法表示函数非常直观，可以清楚地看到函数的变化情况，也能从图像上找到自变量某个值所对应的函数值。但由图像法所得的函数值往往是近似值，且不够准确。更何况，有时也不能得到完整的图像或画不出它的图像，这是图像法的缺点。 例6、小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示，若返回时，上、下坡的速度不变，则小明从学校骑车回家用的时间是多少？ 例7、某水电站的蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示。已知某天0点到6点，进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示，根据图像说明： （1）进水口单位时间内进水量是多少？出水口单位时间内出水量是多少？ （2）求0点到3点这段时间水池内水量y与时间x的函数解析式及定义域； （3）求3点到4点这段时间水池内水量y与时间x的函数解析式及定义域； （4）试说明4点到6点这段时间内进出水口的开放情况。 4. 三种表示方法的优缺点对比 （1）解析法：优点是简洁明了，便于理论分析和计算；缺点是部分函数无法用解析式表示，求对应值需逐个计算。 （2）列表法：优点是对应关系直观，查找方便；缺点是不能列出全部对应值，难以看出整体规律。 （3）图象法：优点是能直观反映函数变化趋势和对应关系；缺点是读取的数值近似，无法体现全部变量关系。 探究二：自变量取值范围： 1.核心原则：自变量的取值范围是指使函数关系式有意义，且符合实际情境的所有自变量的值。 （1）代数层面：保证表达式有意义（如分母不为0、被开方数非负等）； （2）实际层面：结合情境满足现实意义（如长度为正数、数量为非负整数等）。 2.常见类型及求解方法 类型 限制条件 求解示例（函数关系式） 自变量取值范围 整式函数（一次、二次等） 无额外限制（全体实数） y=2x+3、y=x2+1 为全体实数 分式函数 分母不为0 y= x≠1 二次根式函数 被开方数≥0 y= x≥2 分式+二次根式 同时满足分母≠0和被开方数≥0 y= x≥-2且x≠1 实际情境函数 符合现实意义（正数、整数等） （为购买笔记本数量） 且为整数 例8.求下列函数自变量的取值范围. （1）； （2）； （3）. 解：（1）∵x+1≠0，∴x≠-1 （2）∵x+1≤0.∴x≤-1 （3）x为所有实数 例9拖拉机开始工作时，油箱中有油30 L，每小时耗油5 L （1）写出油箱中的余油量（L）与工作时间（h）之间的函数关系式； （2）写出自变量的取值范围； （3）拖拉机工作2小时后，油箱余油是多少？ （4）若余油10 L，拖拉机工作了几小时？ 探究三：函数图象的解读 1.图象三要素：横轴（自变量）、纵轴（函数值）、单位长度。 2.关键信息：端点（起点、终点）、拐点（变化趋势改变的点）、平行于坐标轴的线段（变量不变）。 3.转化关系：解析式→列表→图象（描点作图是解析式到图象的核心转化方法）。 例10.李老师为锻炼身体一直坚持步行上下班.已知学校到李老师家总路程2000米.一天，李老师下班后，以45米/分的速度从学校往家走，走到离学校900米时，正好遇到一个朋友，停下来聊了半小时，之后以110米/分的速度走回了家.李老师回家过程中，离家的路程S（米）与所用时间t（分）之间的关系如图所示. （1）求a、b、c的值； （2）求李老师从学校到家的总时间. 例11.首条贯通丝绸之路经济带的高铁线宝兰客专在试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间是（小时），两车之间的距离是（千米），图中的折线表示关于之间的函数关系，根据图象进行以下探究： (1)西宁到西安两地相距______千米，两车出发后______小时相遇； (2)普通列车到达终点共需______小时，普通列车的速度是______千米/小时． (3)求动车的速度； (4)普通列车行驶小时后，动车到达终点西宁，求此时普通列车还需行驶多少千米到达西安？ 五．课堂检测 （一）选择题 1.下列表示函数关系的方法中，能直观反映自变量与函数值对应关系的是（ ） A. 解析法 B. 列表法 C. 图象法 D. 以上都不能 2.已知函数y = 2x + 3，这种表示函数的方法是（ ） A. 列表法 B. 图象法 C. 解析法 D. 以上都不是 3. 已知一个函数关系满足下表(x为自变量)： x … －3 －2 －1 1 2 3 … y … 1 1.5 3 －3 －1.5 －1 … 则当x＝3时，函数值等于(　　) A．1 B．－3 C．3 D．－1 4．向高为10的容器中注水，注满为止，则水深y与注水量x的函数关系的大致图象是（　） A．B．C． D． 5．在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度(h)与下滑的时间(t)的关系如表：下列结论错误的是( ) 支撑物高h/cm 10 20 30 40 50 … 下滑时间t/s 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 … A．当h＝40 cm时，t为2.66 s B．估计当h＝80 cm时，t一定小于2.56 s C．随高度增加，下滑时间越来越短 D．高度每增加了10 cm，时间就会减少0.24 s 6．小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路（如图），若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为v1，v2，v3，且v1<v2<v3，则小亮同学骑车上学时，离家的路程s与所用时间t的函数关系图象可能是( ) 7.下列关于函数三种表示方法的说法正确的是（ ） A. 解析法不能表示所有函数 B. 列表法能表示所有函数 C. 图象法能表示所有函数 D. 三种方法都能表示所有函数 8.某商店销售某种商品，单价为3元/件，销售额y（元）与销售量x（件）的函数关系用解析法表示为（ ） A. y = 3x B. y = x + 3 C. y = x - 3 D. y = 9. 在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的（　　） m 1 2 3 4 v 0.01 2.9 8.03 15.1 A. v=2m﹣2 B. v=m﹣1 C. v=3m﹣3 D. v=m+1 10. 一段笔直的公路长20千米，途中有一处休息点，长15千米，甲以15千米/时的速度匀速跑至点，原地休息半小时后，再以10千米/小时的速度匀速跑至终点；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程（千米）与时间（小时）函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. （二）填空题 11.用数学式子表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做______。 12.商店售卖单价为3元的笔记本，购买数量x（本）与总价y（元）的函数关系式为y=______（用解析法表示）。 13.已知函数y=2x+1，当x=3时，对应的函数值y=______（用解析法计算）。 14.已知函数y= -x+4，当y=0时，自变量x=______。 15.若用列表法表示函数y=3x-2，当x=0时，对应的函数值y=______。 16.函数y=（x+1）²的解析式中，自变量x的取值范围是______（用解析法分析）。 17．中国网通最近推出的无线市话的通话收费标准为：前3分钟(不足3分钟按3分钟计)收费0.2元，3分钟后每分钟收0.1元．则一次通话x(分钟)(x＞3)与这次通话费用y(元)之间的函数关系式为_________________. 18.根据如图所示的计算程序计算变量y的值，若输入m＝4，n＝3时，则输出y的值是____. 19.小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程s(米)和所用时间t(分钟)的关系图．则下列说法中正确的是________. ①小明吃早餐用时5分钟;②小华到学校的平均速度是240米/分;③小明跑步的平均速度是100米/分;④小华到学校的时间是7：55 20．清明假期第一天天气晴朗，小明与爸爸去爬山．小明与爸爸同时从山脚出发，由于爸爸有爬山经验，始终保持着较慢的速度匀速运动到山顶．小明刚开始的时候比爸爸速度快，累了之后减速继续爬山，和爸爸相遇再爬了半个小时后加速追赶爸爸，最终爸爸用2个小时爬上了山顶，小明比爸爸晚了6分钟到达．如图，横坐标为时间，纵坐标为爬山的路程．则下列说法正确的是________. ①爸爸的爬山速度为3km/h；②1.5小时的时候爸爸与小明的距离为0.5km ③山脚到山顶的总路程为6km；④小明最后一段速度为3km/h （三）解答题 21．求下列函数自变量的取值范围. （1）；（2）； （3）；（4） 22．某镇居民生活用水的收费标准如下表： 月用水量x(立方米) 0＜x≤8 8＜x≤16 x＞16 收费标准y(元/立方米) 1.50 2.5 4 (1)y是关于x的函数吗？为什么？ (2)小王同学家9月份用水10立方米，10月份用水8立方米，两个月合计应付水费多少元？ 23，某市出租车车费标准如下：3 km以内(含3 km)收费8元；超过3 km的部分每千米收费1.6元. （1）写出应收费（元）与出租车行驶路程（km）之间的关系式（其中）； （2）小亮乘出租车行驶4 km，应付多少元？ （3）小波付车费16元，那么出租车行驶了多少千米？ 24.李老师为锻炼身体一直坚持步行上下班.已知学校到李老师家总路程2000米.一天，李老师下班后，以45米/分的速度从学校往家走，走到离学校900米时，正好遇到一个朋友，停下来聊了半小时，之后以110米/分的速度走回了家.李老师回家过程中，离家的路程S（米）与所用时间t（分）之间的关系如图所示. （1）求a、b、c的值； （2）求李老师从学校到家的总时间. 25.（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8.设P为BC上的一个动点(点P不与点B，C重合)，且CP＝x，△APB的面积为S. (1)求S与x之间的函数表达式． (2)求自变量x的取值范围． 26.经验表明弹簧挂上物体后会伸长．已知一个长为12 cm的弹簧，它的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如下表： 所挂物体的质量(kg) 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度(cm) 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 (1)上表反映了哪些变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当所挂物体的质量为2 kg时，弹簧的长度是多少？3 kg呢？ (3)在弹簧的弹性限度内，当所挂物体的质量逐渐增加时，弹簧的长度怎样变化？ (4)在弹簧的弹性限度内，如果物体的质量为x kg，弹簧的长度为y cm，根据上表写出y与x之间的关系式． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.函数的三种表示方法分别是______法、______法和______法。 2.用自变量的代数式表示函数关系的方法叫作______法，这种方法能清晰地反映出函数与自变量之间的数量关系。 3.把自变量的一系列取值和对应的函数值列成表格来表示函数关系的方法叫作______法，这种方法能直观地看出自变量与函数值的对应情况。 4.用图象来表示函数关系的方法叫作______法，这种方法能形象地展现出函数的变化趋势。 5.已知函数y=2x-1，这种表示函数的方法是______法；若将x=1,2,3对应的y值列成表格，这种表示方法是______法；若在平面直角坐标系中画出该函数的直线，这种表示方法是______法。 6.表示函数时，______法需要写出函数的表达式，______法需要列出自变量和函数值的对应表，______法需要绘制函数的图象（填三种表示方法的名称）。 （二）强化训练 一．选择题 1.已知函数y = ，则自变量x的取值范围是（ ） A. x ≠ -1 B. x ≠ 1 C. x > -1 D. x > 1 2. 如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…设第n(n是正整数)个图案是由y个基础图形组成，则y与n之间的关系式是(　 ) A. y＝4n B. y＝3n C. y＝6n D. y＝3n＋1 3.由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降．若该水库的蓄水量V（万米3）与干旱的时间t（天）的关系如图所示，则下列说法正确的是（　　） A. 干旱第50天时，蓄水量为1200万米3 B. 干旱开始后，蓄水量每天增加20万米3 C. 干旱开始时，蓄水量为200万米3 D. 干旱开始后，蓄水量每天减少20万米3 4.下列关于函数三种表示方法的优缺点说法错误的是（ ） A. 解析法能准确反映函数关系，但不够直观 B. 列表法能直接看出对应值，但不能反映变化趋势 C. 图象法能直观反映变化趋势，但精度较低 D. 解析法能表示所有函数，列表法和图象法不能 5.星期天晚饭后，小华的爸爸从家里出去散步，如图描述了她爸爸散步过程中离家的距离(千米)与散步所用的时间(分)之间的函数关系，依据图象，下面描述符合小华爸爸散步情景的是（  ） A.从家出发，休息一会，就回家 B从家出发，一直散步(没有停留)，然后回家 C从家出发，休息分钟，返回用时分钟 D从家出发，休息一会，继续行走一段，然后回家 6.如图，将一圆柱形水杯杯底固定在大圆柱形容器底面中央，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，则水杯内水面的高度（单位：）与注水时间（单位：）的函数图象大致为（  ） A． B．C． D． 7. 如图①，在长方形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么当时，点R应运动到（ ） A. 点N处 B. 点P处 C. 点Q处 D. 点M处 8．一次长跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程y(米)与时间t(秒)之是的函数关系如图，则这次长跑的全程为(   )米. A．2000米 B．2100米 C．2200米 D．2400米 9．乐乐和姐姐一起出去运动，两人同时从家出发．沿相同路线前行，途中姐姐有事返回．乐乐继续前行．5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家，乐乐和姐姐在整个运动过程中离家的路程（米），（米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示．下列结论中错误的是（  ） A．两人前行过程中的速度为180米/分 B．m的值是15，n的值是2700 C．姐姐返回时的速度为90米/分 D．运动18分钟时，两人相距800米 10．已知，两地间有汽车站，客车由地驶向站、货车由地经过站去地（客货车在，两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶，（中间不停留）货车的速度是客车速度的．如图所示是客、货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系图像．小明由图像信息得出如下结论：①客车速度为60千米/时；②货车由地到地用14小时；③货车由地出发行驶120千米到达站；④客车行驶480千米时与货车相遇．你认为正确的结论有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题 11.2025年我国“天问四号”探测器持续传回火星数据，探测器向地球发送信号的距离s（万千米）与时间t（秒）满足函数关系s = 30t（信号传播速度为30万千米/秒），这种用等式表示变量关系的方法叫作______法。 12.小明在八年级数学社团活动中，制作了周长为12cm的等腰三角形卡片，设底边长为x（cm），腰长为y（cm），则y与x的函数表达式为______（注明自变量取值范围）。 13.学校组织八年级学生参加植树活动，种植总面积为600平方米，若参加人数为x（人），人均种植面积为y（平方米），则y与x的函数表达式为______（注明自变量取值范围）。 14．下面的表格列出了一个实验室的部分统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度（厘米）与下降高度（厘米）的关系： （厘米） … … （厘米） … … 根据表格中两个变量之间的关系，则当时，　 　． 15.已知x=3﹣k，y=2+k，则y与x的关系是_____________ 16．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为和5时，输出的y的值相等，则b等于________． 17.按图1-3 的方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续摆放，如果摆放的餐桌为x张，摆放的椅子为 y把，则y与x之间的函数表达式为_______________. 18．若x，y为实数，y＝，则4y－3x＝____． 19．甲、乙两人以相同路线前往离学校12 km的地方参加植树活动．图中l甲，l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s(km)随时间t(min)变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶____km. 20.为了增强抗旱能力，保证今年夏粮丰收，某村新建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同）一个进水管和一个出水管的进出水速度如图1所示，某天0点到6点（至少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图2所示，并给出以下三个论断：①0点到1点不进水，只出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点到6点只进水，不出水．则一定正确的论断是________ ． 三．解答题 21．分别写出下列各问题中的函数解析式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围． (1)一个正方形的边长为3 cm，它的各边长减少x cm后，得到新正方形的周长为y cm，求y与x的函数解析式． (2)某20层高的大厦底层高4.8 m，以上各层高3.2 m，列出第n层楼顶的高度h(m)与n的函数解析式． 22.一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后停留一段时间，然后分别按原速一同驶往甲地后停车。设慢车行驶的时间为x小时，两车之间的距离为y千米，图中折线表示y与x之间的函数图象，请根据图象解决下列问题： （1）甲、乙两地之间的距离为________千米； （2）求快车和慢车的速度。 23.有一天，龟、兔进行了600米赛跑，如图表示龟兔赛跑的路程s(米)与时间t(分钟)的关系(兔子睡觉前后速度保持不变)，根据图象回答以下问题： (1)赛跑中，兔子共睡了多少时间？ (2)赛跑开始后，乌龟在第几分钟时从睡觉的兔子旁经过？ (3)兔子跑到终点时，乌龟已经到了多长时间？并求兔子赛跑的平均速度． 24.小亮步行从家去书店，用一段时间选择自己需要的书籍，然后回家．小亮和家的距离与他离开家以后的时间之间的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)小亮用多少时间走到书店？小亮家距书店多远？ (2)小亮在书店停留了多长时间？回家用了多少时间？ (3)小亮去书店和回家的步行速度各是多少？ (4)小亮从家里走出10分钟时离家多远？走出50分钟时离家多远？ 25．如图是一辆摩托车从家里出发，离家的距离s(千米)随行驶时间t(分)的变化而变化的情况． (1)结合图形，指出上面问题中的自变量和因变量； (2)摩托车从出发到最后停止共经过了多长时间？离家最远的距离是多少？ (3)摩托车在哪一段时间内速度最快？最快速度是多少？ (4)请你写出一个适合图象反映的实际情景． 26.汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的，如图是一辆汽车的速度v(千米/时)随时间t(分)变化而变化的情况． (1)汽车从出发到最后停止共经过了多长时间？它的最高时速是多少？ (2)汽车在哪些时间段内保持匀速行驶？时速分别是多少？ (3)汽车出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？ (4)用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况． 27.某天，小颖到校后发现有学习用品遗忘在家中，此时离上课还有15分钟，于是立即步行回家去取．同时小颖的爸爸从家中骑自行车出发给她送学习用品，两人在途中相遇，在这个过程中，小颖和爸爸两人离学校的距离s(米)与所用时间t(分)之间的关系如图11所示，若爸爸骑自行车的速度是小颖步行速度的4倍，根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)学校离家的距离是______米，爸爸出发______分钟后与小颖相遇； (2)请求出小颖步行的速度； (3)若小颖与爸爸相遇后坐爸爸的自行车赶回学校(假设爸爸骑自行车的速度不变)，小颖能在上课前到达学校吗？请说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版版八年级数学 《第五章一次函数第一节变量与函数（第二课时）》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），理解每种表示方法的定义及特征。 2.能根据实际情境选择合适的函数表示方法，准确确定自变量的取值范围并求函数值。 3.能解读函数图象中的关键信息，运用数形结合思想分析简单实际问题中变量的关系，渗透模型思想。 4.了解三种表示方法的优缺点及相互转化关系，提升运用函数知识解决实际问题的能力。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.函数三种表示方法（解析法、列表法、图象法）的定义及应用。 2.根据实际情境确定自变量的取值范围，正确求函数值。 3.从函数图象中提取有效信息，分析变量间的变化规律。 （二）难点 1.结合实际问题选择恰当的函数表示方法，理解三种方法的适用场景。 2.准确限定自变量的取值范围（兼顾数学意义与实际意义）。 3.解读函数图象中拐点、平行线段等特殊部分的实际含义。 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1. 函数的三种常见表示方法分别是______、______和______。 【 答案 】 ：解析法、列表法、图象法 2. 用自变量和常量组成的等式表示函数关系的方法叫作______，这种等式称为函数的______。 【 答案 】 ：解析法、解析式/函数关系式 3. 把自变量的取值与对应的函数值用表格形式呈现的方法叫作______，其优点是______。 【 答案 】 ：列表法、能直接找到自变量对应的函数值，查找方便 4. 用平面直角坐标系中的图形表示函数关系的方法叫作______，绘制时通常遵循______、______、______三个步骤。 【 答案 】 ：图象法、列表、描点、连线 5. 对于函数y=2x-1，当x=3时，对应的函数值y=；自变量x的取值范围是______ 。 【 答案 】 ：5、全体实数） 6. 在实际问题中，自变量的取值范围除了要使函数解析式有意义，还必须符合______。 【 答案 】 ：实际意义 ) 四．课堂探秘 探究一：函数的三种表示方法 1.解析法： （1）定义：用数学式子表示两个变量之间的依赖关系的方法叫做解析法； （2）特点：解析法简单明确，便于用数学方法进行研究，如需要，还可以求得相关的精确值。但也有缺点，因为在实际问题中，两个变量间的函数关系有时不能用简单的数学式子来表示，有的几乎找不到相关的函数解析式。如煤炭天气的温度与时间的函数关系等。 例1、一个长方形的周长为20cm，设长方形一边长为cm,面积用表示，试求面积与长之间的函数关系式，写出它的定义域，并求出当时的值及时的值。 解：设长方形的一边长为cm，则其邻边长为cm 例2、A、B两地相距100千米，某人从A地到B地，先步行10千米，再骑车前往，车速是20千米/时。已知骑车经过小时后，某人离A地千米，求与的函数关系式及其定义域。 解： 例3、等腰三角形的周长12，求它的腰长与底边长之间的函数解析式。 解： 2.列表法： （1）定义：用表格来表示两个变量之间的依赖关系的方法叫做列表法； （2）特点：列表法很容易找出对应于自变量某一个值的函数值，清楚、直接的了解到它们的变化情况，查找也非常方便。但有很多函数，往往不可能把自变量的所有值与其对应的函数值都列在表中，在进一步分析与研究上也极不方便。 例4、小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重如下表，你能看出小蕾各周岁时的体重是如何变化的吗？在哪一段时间内体重增加较快？ 周岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 体重（kg） 7.9 12.2 15.6 18.4 20.7 23.0 25.6 28.5 31.2 34.0 37.6 41.2 44.9 解：小蕾平均每年增加3.08kg，在3周岁前增加较快，之后稍减慢，10周岁以后又增加较快，年增加体重均超过3.5kg。 例5、小明暑假到黄岗山旅游，导游提醒大家要多带一件衣服，并介绍当地山区气温会随海拔高度的增加而下降。沿途小明利用随身带的登山表测得以下数据： 海拔高度x（m） 400 500 600 700 … 气温y(℃) 28.6 28.0 27.4 26.8 … （1） 观察和分析已知数据，探索y与x之间的函数关系式并验证； （2） 如果小明告诉你山顶的气温为18.1℃，你能求出黄岗山的海拔高度大约是多少吗？ 解：（1）观察表中数据，海拔每增加100m，气温下降0.6℃，即每增加1m气温下降0.006 故y=28.6-0.006(x-400)=-0.006x+31 (2)解-0.006x+31=18.1，得x=2150 (m) 3.图象法： （1）函数的图像：一般地，我们把一个函数的自变量的值与对应的函数的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描点，所有这些点组成的图形叫作这个函数的图像。 （2）图像法定义：用图像来表示两个变量之间的依赖关系的方法叫做图像法。 （3）图像法特点：图像法表示函数非常直观，可以清楚地看到函数的变化情况，也能从图像上找到自变量某个值所对应的函数值。但由图像法所得的函数值往往是近似值，且不够准确。更何况，有时也不能得到完整的图像或画不出它的图像，这是图像法的缺点。 例6、小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示，若返回时，上、下坡的速度不变，则小明从学校骑车回家用的时间是多少？ 解：上坡速度：（千米/分）下坡速度：（千米/分）返程时，上坡时间（分） 下坡时间（分）小明从学校骑车回家用的时间是37.2分 例7、某水电站的蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示。已知某天0点到6点，进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示，根据图像说明： （1）进水口单位时间内进水量是多少？出水口单位时间内出水量是多少？ （2）求0点到3点这段时间水池内水量y与时间x的函数解析式及定义域； （3）求3点到4点这段时间水池内水量y与时间x的函数解析式及定义域； （4）试说明4点到6点这段时间内进出水口的开放情况。 解：（1）由图像可知，进水口单位时间内进水量是1万米3/时，出水口单位时间内出水量是2万米3/时； （2）0点到3点：y=2x (0≤x≤3) （3）3点到4点：y=-x+9 （3≤x≤4） （4）4点到6点，∵蓄水池中水量保持恒定，∴2个进水口和一个出水口同时开放。 4. 三种表示方法的优缺点对比 （1）解析法：优点是简洁明了，便于理论分析和计算；缺点是部分函数无法用解析式表示，求对应值需逐个计算。 （2）列表法：优点是对应关系直观，查找方便；缺点是不能列出全部对应值，难以看出整体规律。 （3）图象法：优点是能直观反映函数变化趋势和对应关系；缺点是读取的数值近似，无法体现全部变量关系。 探究二：自变量取值范围： 1.核心原则：自变量的取值范围是指使函数关系式有意义，且符合实际情境的所有自变量的值。 （1）代数层面：保证表达式有意义（如分母不为0、被开方数非负等）； （2）实际层面：结合情境满足现实意义（如长度为正数、数量为非负整数等）。 2.常见类型及求解方法 类型 限制条件 求解示例（函数关系式） 自变量取值范围 整式函数（一次、二次等） 无额外限制（全体实数） y=2x+3、y=x2+1 为全体实数 分式函数 分母不为0 y= x≠1 二次根式函数 被开方数≥0 y= x≥2 分式+二次根式 同时满足分母≠0和被开方数≥0 y= x≥-2且x≠1 实际情境函数 符合现实意义（正数、整数等） （为购买笔记本数量） 且为整数 例8.求下列函数自变量的取值范围. （1）； （2）； （3）. 解：（1）∵x+1≠0，∴x≠-1 （2）∵x+1≤0.∴x≤-1 （3）x为所有实数 例9拖拉机开始工作时，油箱中有油30 L，每小时耗油5 L （1）写出油箱中的余油量（L）与工作时间（h）之间的函数关系式； （2）写出自变量的取值范围； （3）拖拉机工作2小时后，油箱余油是多少？ （4）若余油10 L，拖拉机工作了几小时？ 解：（1）Q=30-5t. (2)0≤t≤6. （3）当t=2时，Q=30-5×2=20(L). （4）当Q=10(L)时，10=30-5t，解得t=4. 探究三：函数图象的解读 1.图象三要素：横轴（自变量）、纵轴（函数值）、单位长度。 2.关键信息：端点（起点、终点）、拐点（变化趋势改变的点）、平行于坐标轴的线段（变量不变）。 3.转化关系：解析式→列表→图象（描点作图是解析式到图象的核心转化方法）。 例10.李老师为锻炼身体一直坚持步行上下班.已知学校到李老师家总路程2000米.一天，李老师下班后，以45米/分的速度从学校往家走，走到离学校900米时，正好遇到一个朋友，停下来聊了半小时，之后以110米/分的速度走回了家.李老师回家过程中，离家的路程S（米）与所用时间t（分）之间的关系如图所示. （1）求a、b、c的值； （2）求李老师从学校到家的总时间. 解：由图象可得出：（1）李老师停留地点离他家的路程为：2000-900＝1100（米）， 900÷45＝20（分）.a=20，b=1100，c=20+30=50；（2）20+30+1100/110＝60（分）故答案为（1）a=20，b=1100，c=50（2）60分钟. (2)当y＝56时，0.2x＋20＝56，解得x＝180.因此当月缴费为56元时，此人该月通话时间为180 min. 例11.首条贯通丝绸之路经济带的高铁线宝兰客专在试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间是（小时），两车之间的距离是（千米），图中的折线表示关于之间的函数关系，根据图象进行以下探究： (1)西宁到西安两地相距______千米，两车出发后______小时相遇； (2)普通列车到达终点共需______小时，普通列车的速度是______千米/小时． (3)求动车的速度； (4)普通列车行驶小时后，动车到达终点西宁，求此时普通列车还需行驶多少千米到达西安？ 解：（1）从图像点A处可以看出西宁到西安两地相距1000千米，从点B处可以看出两车出发后3小时相遇；故答案为：1000，3； （2）由图像可知，x=12时，普通列车到达西宁，即普通列车到达终点共需12小时，所以普通列车的速度是 （千米/时）；故答案为：12，； （3）设动车的速度为千米/小时，根据题意，得：，解得：， 答：动车的速度为250千米/小时； （4）∵（小时），∴（千米），∴（千米）， ∴此时普通列车还需行驶千米到达西安． 五．课堂检测 （一）选择题 1.下列表示函数关系的方法中，能直观反映自变量与函数值对应关系的是（ ） A. 解析法 B. 列表法 C. 图象法 D. 以上都不能 【答案】：C 【解析】：图象法通过坐标系中的点直观呈现自变量与函数值的对应关系，可直接观察变化趋势，符合“直观反映”的要求；解析法需计算得出对应值，列表法仅能呈现有限组对应值，均不如下图象法直观。 2.已知函数y = 2x + 3，这种表示函数的方法是（ ） A. 列表法 B. 图象法 C. 解析法 D. 以上都不是 【答案】：C 【解析】：解析法是用数学式子（等式）表示两个变量之间的函数关系，y = 2x + 3是典型的解析式形式，因此属于解析法。 3. 已知一个函数关系满足下表(x为自变量)： x … －3 －2 －1 1 2 3 … y … 1 1.5 3 －3 －1.5 －1 … 则当x＝3时，函数值等于(　　) A．1 B．－3 C．3 D．－1 【答案】：D 【解析】首先观察表格中x和y的对应数值，寻找规律：x = -3时，y = 1；x = 3与x = -3互为相反数x = -2时，y = 1.5；x = 2时，y = -1.5，互为相反数x = -1时，y = 3；x = 1时，y = -3，互为相反数,可总结出规律：y的值是x值乘以-1后，再取3除以该数的结果（或直接观察到x与y的乘积恒为-3，即xy = -3)。当x = 3时，代入xy = -3，得3y = -3，解得y = -1。 4．向高为10的容器中注水，注满为止，则水深y与注水量x的函数关系的大致图象是（　） A．B．C． D． 【答案】：D 【解析】根据容器“上下宽、中间窄”的形状，注水时水深的变化速度为“慢→快→慢”，反映在函数图象上就是斜率“小→大→小”，且水深随注水量增加而持续上升，最终达到10，因此选D 5．在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度(h)与下滑的时间(t)的关系如表：下列结论错误的是( ) 支撑物高h/cm 10 20 30 40 50 … 下滑时间t/s 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 … A．当h＝40 cm时，t为2.66 s B．估计当h＝80 cm时，t一定小于2.56 s C．随高度增加，下滑时间越来越短 D．高度每增加了10 cm，时间就会减少0.24 s 【答案】：D 【解析】通过计算高度每增加10cm时下滑时间的减少量，发现减少量依次为0.25s、0.19s、0.15s、0.10s，并非恒定的0.24s；而A、B、C选项均符合表格数据的变化规律，因此错误的结论是D。 6．小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路（如图），若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为v1，v2，v3，且v1<v2<v3，则小亮同学骑车上学时，离家的路程s与所用时间t的函数关系图象可能是( ) 【答案】：C 【解析】：路程s与时间t的图象中斜率代表速度，根据v1 < v2 < v3的速度关系，行程阶段的斜率应呈现“v2（平路）→v3（下坡，斜率变大）→v1（上坡，斜率变小）→v2（平路，斜率恢复）”的变化，只有选项C符合该规律。 7.下列关于函数三种表示方法的说法正确的是（ ） A. 解析法不能表示所有函数 B. 列表法能表示所有函数 C. 图象法能表示所有函数 D. 三种方法都能表示所有函数 【答案】：A 【解析】：解析法需要用明确的数学式子表示，部分函数（如分段函数的复杂形式、无规律的对应关系）无法用单一解析式表示；列表法仅能呈现有限组对应值，无法涵盖自变量所有取值；图象法受限于绘制精度，也不能完整表示所有函数，因此A选项正确。 8.某商店销售某种商品，单价为3元/件，销售额y（元）与销售量x（件）的函数关系用解析法表示为（ ） A. y = 3x B. y = x + 3 C. y = x - 3 D. y = 【答案】：A 【解析】：销售额=单价×销售量，已知单价为3元/件，因此销售额y与销售量x的函数关系为y = 3x。 9. 在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的（　　） m 1 2 3 4 v 0.01 2.9 8.03 15.1 A. v=2m﹣2 B. v=m﹣1 C. v=3m﹣3 D. v=m+1 【答案】B 【解析】解：当m=4时 A、v=2m﹣2=6；B、v=m2﹣1=15；C、v=3m﹣3=9；D、v=m+1=5． 故选B． 10. 一段笔直的公路长20千米，途中有一处休息点，长15千米，甲以15千米/时的速度匀速跑至点，原地休息半小时后，再以10千米/小时的速度匀速跑至终点；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程（千米）与时间（小时）函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意得：甲跑到地所花费的时间为：，甲在地休息的时间为，甲从地跑到地花费的时间为：，总共花费时间为，乙跑到地所花费的时间为：，由此可知正确的图象是A，故选：A． （二）填空题 11.用数学式子表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做______。 【答案】：解析法 【解析】：直接考查解析法的定义，根据函数三种表示方法的概念，用数学式子表示的方法即为解析法。 12.商店售卖单价为3元的笔记本，购买数量x（本）与总价y（元）的函数关系式为y=______（用解析法表示）。 【答案】：3x 【解析】：总价=单价×数量，单价为3元，故y与x的函数关系式为y=3x，符合解析法的表示要求。 13.已知函数y=2x+1，当x=3时，对应的函数值y=______（用解析法计算）。 【答案】：7 【解析】：将x=3代入解析式y=2x+1，计算得y=2×3+1=7，考查解析法的代入求值。 14.已知函数y= -x+4，当y=0时，自变量x=______。 【答案】：4 【解析】：将y=0代入解析式y= -x+4，得0= -x+4，解得x=4，考查利用解析法求自变量的值。 15.若用列表法表示函数y=3x-2，当x=0时，对应的函数值y=______。 【答案】：-2 【解析】：无论用哪种表示方法，函数关系不变，将x=0代入解析式y=3x-2，得y=3×0-2=-2。 16.函数y=（x+1）²的解析式中，自变量x的取值范围是______（用解析法分析）。 【答案】：全体实数 【解析】：对于二次函数y=（x+1）²，无论x取任何实数，表达式都有意义，故自变量取值范围为全体实数。 17．中国网通最近推出的无线市话的通话收费标准为：前3分钟(不足3分钟按3分钟计)收费0.2元，3分钟后每分钟收0.1元．则一次通话x(分钟)(x＞3)与这次通话费用y(元)之间的函数关系式为_________________. 【答案】y＝0.1x -0.1 【解析】前3分钟的费用为0.2元；超过3分钟的部分时长为(x - 3)分钟，这部分每分钟收费0.1元，费用为0.1(x - 3)元。因此，总费用y（元）与通话时间x（分钟，x>3）的函数关系式为：y=0.2 + 0.1(x - 3)=0.2 + 0.1x - 0.3=0.1x - 0.1。 18.根据如图所示的计算程序计算变量y的值，若输入m＝4，n＝3时，则输出y的值是____. 【答案】10 【解析】首先明确计算程序的逻辑：先判断m和n的大小，若m > n，则执行y = m + 2n；若m ≥ n，则执行y = 2m + n。已知输入m = 4，n = 3，先比较大小：4 > 3，即m > n，因此代入y = m + 2n计算：y= 4 + 2 = 4 + 6= 10。 19.小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程s(米)和所用时间t(分钟)的关系图．则下列说法中正确的是________. ①小明吃早餐用时5分钟;②小华到学校的平均速度是240米/分;③小明跑步的平均速度是100米/分;④小华到学校的时间是7：55 【答案】①②③ 【解析】①小明吃早餐从8分到13分，用时5分钟，故①正确；②小华到学校的平均速度是1200÷（13−8）=240米/分，故②正确；③小明跑步的平均速度是（1200−500）÷（20−13）=100米/分，故③正确；④小华在7点48分开始出发，5分钟到学校，故到学校的时间是7：53，故④错误． 20．清明假期第一天天气晴朗，小明与爸爸去爬山．小明与爸爸同时从山脚出发，由于爸爸有爬山经验，始终保持着较慢的速度匀速运动到山顶．小明刚开始的时候比爸爸速度快，累了之后减速继续爬山，和爸爸相遇再爬了半个小时后加速追赶爸爸，最终爸爸用2个小时爬上了山顶，小明比爸爸晚了6分钟到达．如图，横坐标为时间，纵坐标为爬山的路程．则下列说法正确的是________. ①爸爸的爬山速度为3km/h；②1.5小时的时候爸爸与小明的距离为0.5km ③山脚到山顶的总路程为6km；④小明最后一段速度为3km/h 【答案】①②③ 【解析】①由图像可知，爸爸的爬山速度为3km/h，故①正确；②小明累了之后减速继续爬山，此时速度是（3-2）÷（1-0.5）=2km/h，∴1.5小时的时候，小明爬山的路程为：2+2×（1.5-0.5）=4（km），1.5小时的时候，爸爸爬山的路程为：3×1.5=4.5（km），∴1.5小时的时候，爸爸与小明的距离是4.5-4=0.5（km），故②正确，不符合题意；③爸爸的爬山速度为3km/h，爸爸用2个小时爬上了山顶，∴山脚到山顶的总路程为6km，故③正确，不符合题意；④小明最后一段速度为（km/h），故④错误． （三）解答题 21．求下列函数自变量的取值范围. （1）；（2）； （3）；（4） 解：（1）x为所有实数 （2）∵x+3≠0，∴x≠-3 （3）∵x-1≠0，x+3≥0，∴x≥-3且x≠1. （4）∵2x-6>0，∴x>3. 22．某镇居民生活用水的收费标准如下表： 月用水量x(立方米) 0＜x≤8 8＜x≤16 x＞16 收费标准y(元/立方米) 1.50 2.5 4 (1)y是关于x的函数吗？为什么？ (2)小王同学家9月份用水10立方米，10月份用水8立方米，两个月合计应付水费多少元？ 解：(1)y是关于x的函数．理由：存在两个变量：月用水量x和收费标准y，x每取一个值，都有唯一确定的y值与之相对应，符合函数的定义，所以y是关于x的函数． (2)1.5×8＋(10－8)×2.5＋1.5×8＝29(元)．答：两个月合计应付水费29元． 23，某市出租车车费标准如下：3 km以内(含3 km)收费8元；超过3 km的部分每千米收费1.6元. （1）写出应收费（元）与出租车行驶路程（km）之间的关系式（其中）； （2）小亮乘出租车行驶4 km，应付多少元？ （3）小波付车费16元，那么出租车行驶了多少千米？ 解：（1）y=8+(x-3)×1.6，即y=1.6x+3.2(x≥3). （2）当x=4时，y=9.6. （3）当y=16时，16=1.6x+3.2，∴x=8. 24.李老师为锻炼身体一直坚持步行上下班.已知学校到李老师家总路程2000米.一天，李老师下班后，以45米/分的速度从学校往家走，走到离学校900米时，正好遇到一个朋友，停下来聊了半小时，之后以110米/分的速度走回了家.李老师回家过程中，离家的路程S（米）与所用时间t（分）之间的关系如图所示. （1）求a、b、c的值； （2）求李老师从学校到家的总时间. 解：由图象可得出：（1）李老师停留地点离他家的路程为：2000-900＝1100（米）， 900÷45＝20（分）.a=20，b=1100，c=20+30=50；（2）20+30+1100/110＝60（分）故答案为（1）a=20，b=1100，c=50（2）60分钟. (2)当y＝56时，0.2x＋20＝56，解得x＝180.因此当月缴费为56元时，此人该月通话时间为180 min. 25.（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8.设P为BC上的一个动点(点P不与点B，C重合)，且CP＝x，△APB的面积为S. (1)求S与x之间的函数表达式． (2)求自变量x的取值范围． 解：(1)由BC＝8，CP＝x，可知BP＝8－x，且BP边上的高AC＝6，∴S＝×6×(8－x)＝24－3x.(2)∵P为BC上任意一点，且不与点B，C重合，∴x的取值范围是0＜x＜8. 26.经验表明弹簧挂上物体后会伸长．已知一个长为12 cm的弹簧，它的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如下表： 所挂物体的质量(kg) 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度(cm) 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 (1)上表反映了哪些变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当所挂物体的质量为2 kg时，弹簧的长度是多少？3 kg呢？ (3)在弹簧的弹性限度内，当所挂物体的质量逐渐增加时，弹簧的长度怎样变化？ (4)在弹簧的弹性限度内，如果物体的质量为x kg，弹簧的长度为y cm，根据上表写出y与x之间的关系式． 解：(1)反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，其中所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量． (2)当所挂物体的质量为2 kg时，弹簧的长度是13 cm；当所挂物体的质量为3 kg时，弹簧的长度是13.5 cm. (3)在弹簧的弹性限度内，当所挂物体的质量逐渐增加时，弹簧的长度逐渐增长． (4)由表得y与x之间的关系式是y＝12＋0.5x. 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.函数的三种表示方法分别是______法、______法和______法。 2.用自变量的代数式表示函数关系的方法叫作______法，这种方法能清晰地反映出函数与自变量之间的数量关系。 3.把自变量的一系列取值和对应的函数值列成表格来表示函数关系的方法叫作______法，这种方法能直观地看出自变量与函数值的对应情况。 4.用图象来表示函数关系的方法叫作______法，这种方法能形象地展现出函数的变化趋势。 5.已知函数y=2x-1，这种表示函数的方法是______法；若将x=1,2,3对应的y值列成表格，这种表示方法是______法；若在平面直角坐标系中画出该函数的直线，这种表示方法是______法。 6.表示函数时，______法需要写出函数的表达式，______法需要列出自变量和函数值的对应表，______法需要绘制函数的图象（填三种表示方法的名称）。 【答案】1.表达式、列表、图象 2.表达式 3.列表 4.图象 5.表达式、列表、图象 6.表达式、列表、图象 （二）强化训练 一．选择题 1.已知函数y = ，则自变量x的取值范围是（ ） A. x ≠ -1 B. x ≠ 1 C. x > -1 D. x > 1 【答案】：A 【解析】：分式有意义的条件是分母不为零，即x + 1 eq 0，解得x eq -1，因此自变量x的取值范围是x ≠ -1。 2. 如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…设第n(n是正整数)个图案是由y个基础图形组成，则y与n之间的关系式是(　 ) A. y＝4n B. y＝3n C. y＝6n D. y＝3n＋1 【答案】D 【解析】第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由4+3=7个基础图形组成，第3个图案由4+2×3=10个基础图形组成，第4个图案由4+3×3=13个基础图形组成，…，第n个图案由4+（n-1）×3个基础图形组成，由此可得，y与n之间的关系式是y＝3n＋1．故选：D． 3.由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降．若该水库的蓄水量V（万米3）与干旱的时间t（天）的关系如图所示，则下列说法正确的是（　　） A. 干旱第50天时，蓄水量为1200万米3 B. 干旱开始后，蓄水量每天增加20万米3 C. 干旱开始时，蓄水量为200万米3 D. 干旱开始后，蓄水量每天减少20万米3 【答案】D 【解析】根据图象，可直接判断A、C错误；由图象知，干旱开始后，蓄水量每天只减少，故B错误；干旱开始时，水库蓄水量为1200万米3，经过50后，水库蓄水量为200万米3，则每天平均减少的水量为：（万米3）．故选：D． 4.下列关于函数三种表示方法的优缺点说法错误的是（ ） A. 解析法能准确反映函数关系，但不够直观 B. 列表法能直接看出对应值，但不能反映变化趋势 C. 图象法能直观反映变化趋势，但精度较低 D. 解析法能表示所有函数，列表法和图象法不能 【答案】：D 【解析】：解析法无法表示所有函数，例如某些无规律的对应关系（如随机生成的自变量与函数值）无法用解析式表示，因此D选项说法错误。 5.星期天晚饭后，小华的爸爸从家里出去散步，如图描述了她爸爸散步过程中离家的距离(千米)与散步所用的时间(分)之间的函数关系，依据图象，下面描述符合小华爸爸散步情景的是（  ） A.从家出发，休息一会，就回家 B从家出发，一直散步(没有停留)，然后回家 C从家出发，休息分钟，返回用时分钟 D从家出发，休息一会，继续行走一段，然后回家 【答案】：D 【解析】：根据距离-时间图象的分段特征，第一段上升是出发散步，第二段水平是休息，第三段上升是继续走，第四段下降是回家，只有选项D的描述与图象的分段变化一致。 6.如图，将一圆柱形水杯杯底固定在大圆柱形容器底面中央，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，则水杯内水面的高度（单位：）与注水时间（单位：）的函数图象大致为（  ） A． B．C． D． 【答案】：B 【解析】：注水时先填充大容器底部，水杯内无进水（h=0）；大容器水面达水杯杯口后，水流入水杯，h匀速上升；水杯注满后，h保持不变，对应图象为“水平→上升→水平”，只有选项B符合. 7. 如图①，在长方形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么当时，点R应运动到（ ） A. 点N处 B. 点P处 C. 点Q处 D. 点M处 【答案】C 【解析】当点R运动到PQ上时，△MNR的面积y达到最大，且保持一段时间不变；到Q点以后，面积y开始减小；故当x=9时，点R应运动到Q处．故选：C． 8．一次长跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程y(米)与时间t(秒)之是的函数关系如图，则这次长跑的全程为(   )米. A．2000米 B．2100米 C．2200米 D．2400米 【答案】C 【解析】设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由题意，得 ，解得：，∴这次越野跑的全程为：1600+300×2=2200米， 故选C. 9．乐乐和姐姐一起出去运动，两人同时从家出发．沿相同路线前行，途中姐姐有事返回．乐乐继续前行．5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家，乐乐和姐姐在整个运动过程中离家的路程（米），（米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示．下列结论中错误的是（  ） A．两人前行过程中的速度为180米/分 B．m的值是15，n的值是2700 C．姐姐返回时的速度为90米/分 D．运动18分钟时，两人相距800米 【答案】：D 【解析】：由图可得，两人前行过程中的速度为（米分），故选项不合题意；的值是，的值是，故选项不合题意；姐姐返回时的速度为：（米分），故选项不合题意；运动18分钟时两人相距：（米，故选项符合题意，故选：． 10．已知，两地间有汽车站，客车由地驶向站、货车由地经过站去地（客货车在，两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶，（中间不停留）货车的速度是客车速度的．如图所示是客、货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系图像．小明由图像信息得出如下结论：①客车速度为60千米/时；②货车由地到地用14小时；③货车由地出发行驶120千米到达站；④客车行驶480千米时与货车相遇．你认为正确的结论有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】：D 【解析】：观察图像可知，客车从A地到B地用了9小时，行驶了720千米，所以客车的速度是（千米/时），可知①不正确；货车的速度是（千米/时），可知B地和C地的距离是2×60=120（千米），从C地到A地所用时间是720÷60=12（小时），所以货车由B地出发行驶120千米到C站，货车由B地和A地用时12+2=14（小时），则②③正确．设客车行驶x小时两车相遇，得，解得， 80×6=480（千米）．所以客车行驶了480千米时与货车相遇．可知④正确，正确的有3个．故选：D． 二．填空题 11.2025年我国“天问四号”探测器持续传回火星数据，探测器向地球发送信号的距离s（万千米）与时间t（秒）满足函数关系s = 30t（信号传播速度为30万千米/秒），这种用等式表示变量关系的方法叫作______法。 【答案】：函数表达式（或表达式） 【解析】：根据函数三种表示方法的定义，用自变量和常量组成的等式表示函数关系的方法为函数表达式法。 12.小明在八年级数学社团活动中，制作了周长为12cm的等腰三角形卡片，设底边长为x（cm），腰长为y（cm），则y与x的函数表达式为______（注明自变量取值范围）。 【答案】：y=-x+6（0<x<6） 【解析】：根据等腰三角形周长公式2y+x=12，变形得y=-x+6，由三角形三边关系得x>0且2y>x，即0<x<6。 13.学校组织八年级学生参加植树活动，种植总面积为600平方米，若参加人数为x（人），人均种植面积为y（平方米），则y与x的函数表达式为______（注明自变量取值范围）。 【答案】：y=（x为正整数且x<600） 【解析】：根据“人均种植面积×人数=总面积”，得xy=600，变形为y=，结合实际意义，x为正整数且不超过总面积对应的最大人数，故x<600。 14．下面的表格列出了一个实验室的部分统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度（厘米）与下降高度（厘米）的关系： （厘米） … … （厘米） … … 根据表格中两个变量之间的关系，则当时，　 　． 【答案】200 【解析】首先观察表格中的数据：当x=50时，y=25；当x=80时，y=40；当x=100时，y=50。 计算比值y/x= 1/2，关系式为y = 1/2x。当x=200时，代入关系式得：y = 1/2×200 = 100 15.已知x=3﹣k，y=2+k，则y与x的关系是_____________ 【答案】y = 5 - x 【解析】代入消元法:已知x = 3 - k，y = 2 + k，我们可以通过消去k来得到y与x的关系：由x = 3 - k变形得：k = 3 - x。将k = 3 - x代入y = 2 + k中：y = 2 + (3 - x),y = 5 - x. 16．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为和5时，输出的y的值相等，则b等于________． 【答案】4 【解析】根据程序框图，函数分为两段：当x≤2时，y = 3x + b；当x > 2时，y = 6 - x。输入x = -1（满足x≤2），代入得：y = 3×(-1) + b = -3 + b,输入x = 5（满足x > 2），代入得：y = 6 - 5 = 1根据y值相等列方程求解,所以：-3 + b = 1解得：b = 4. 17.按图1-3 的方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续摆放，如果摆放的餐桌为x张，摆放的椅子为 y把，则y与x之间的函数表达式为_______________. 【答案】y=4x+2 【解析】有1张桌子时有6把椅子，有2张桌子时有10把椅子，，有3张桌子时有14把椅子，∵多一张餐桌，多放4把椅子，∴第张餐桌共有， 18．若x，y为实数，y＝，则4y－3x＝____． 【答案】5 【解析】由题意，得解得x＝±2.∵x－2≠0，∴x≠2，∴x＝－2，∴y＝－. ∴4y－3x＝4×（－）－3×(－2)＝－1＋6＝5. 19．甲、乙两人以相同路线前往离学校12 km的地方参加植树活动．图中l甲，l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s(km)随时间t(min)变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶____km. 【答案】0.6 【解析】每分钟甲行驶12÷30＝0.4(km)，每分钟乙行驶12÷(18－6)＝1(km)，∴每分钟乙比甲多行驶0.6 km. 20.为了增强抗旱能力，保证今年夏粮丰收，某村新建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同）一个进水管和一个出水管的进出水速度如图1所示，某天0点到6点（至少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图2所示，并给出以下三个论断：①0点到1点不进水，只出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点到6点只进水，不出水．则一定正确的论断是________ ． 【答案】③ 【解析】①0点到1点既进水，也出水；②1点到4点同时打开两个管进水，和一只管出水； ③4点到6点只进水，不出水．正确的只有③．故答案为：③． 三．解答题 21．分别写出下列各问题中的函数解析式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围． (1)一个正方形的边长为3 cm，它的各边长减少x cm后，得到新正方形的周长为y cm，求y与x的函数解析式． (2)某20层高的大厦底层高4.8 m，以上各层高3.2 m，列出第n层楼顶的高度h(m)与n的函数解析式． 解：(1)y＝12－4x，自变量是x，函数是y，0＜x＜3. (2)h＝3.2(n－1)＋4.8＝3.2n＋1.6，n为自变量，h为函数，n是不大于20的正整数． 22.一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后停留一段时间，然后分别按原速一同驶往甲地后停车。设慢车行驶的时间为x小时，两车之间的距离为y千米，图中折线表示y与x之间的函数图象，请根据图象解决下列问题： （1）甲、乙两地之间的距离为________千米； （2）求快车和慢车的速度。 解：（1）根据x，y的实际意义以及图像可知，甲、乙两地之间的距离是560千米. （2）由图象可知，两车4小时相遇，相遇后停留了1小时，然后快车行驶3小时到达价低（D表示快车到达甲地的时刻，此时慢车仍在返回的途中行驶）.∴快车的速度=560÷7=80（千米/时），慢车的速度=（560-80×4）÷4=60（千米/时）. 23.有一天，龟、兔进行了600米赛跑，如图表示龟兔赛跑的路程s(米)与时间t(分钟)的关系(兔子睡觉前后速度保持不变)，根据图象回答以下问题： (1)赛跑中，兔子共睡了多少时间？ (2)赛跑开始后，乌龟在第几分钟时从睡觉的兔子旁经过？ (3)兔子跑到终点时，乌龟已经到了多长时间？并求兔子赛跑的平均速度． 解：(1)40分钟； (2)200÷(600÷60)=20(分)，即赛跑开始后，乌龟在第20分钟从睡觉的兔子旁经过； (3)(600－200)÷(200÷10)=20(分)，50＋20－60=10(分)，即乌龟已经到了10分钟；兔子赛跑的平均速度是600÷(50＋20)=60/7(米/分) 24.小亮步行从家去书店，用一段时间选择自己需要的书籍，然后回家．小亮和家的距离与他离开家以后的时间之间的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)小亮用多少时间走到书店？小亮家距书店多远？ (2)小亮在书店停留了多长时间？回家用了多少时间？ (3)小亮去书店和回家的步行速度各是多少？ (4)小亮从家里走出10分钟时离家多远？走出50分钟时离家多远？ 解：从图中可以看出： (1)由点A(20,900)可知，小亮去书店用了20分钟，小亮家距书店900米； (2)由A、B、C三点的横坐标分别是20、40、55可知，他在书店停留的时间为40－20＝20(分)，小亮回家用了55－40＝15(分)； (3)小亮去书店的步行速度为＝45(米/分)，回家的速度为＝60(米/分)； (4)在图象上找出横坐标为10的点D，它的纵坐标为450，因而小亮从家走出10分钟时离家450米；再找出横坐标为50的点E，它的纵坐标为300米，因而小亮从家走出50分钟时离家300米． 25．如图是一辆摩托车从家里出发，离家的距离s(千米)随行驶时间t(分)的变化而变化的情况． (1)结合图形，指出上面问题中的自变量和因变量； (2)摩托车从出发到最后停止共经过了多长时间？离家最远的距离是多少？ (3)摩托车在哪一段时间内速度最快？最快速度是多少？ (4)请你写出一个适合图象反映的实际情景． 解：(1)自变量是时间t，因变量是离家的距离s. (2)摩托车从出发到最后停止共经过了100分钟，离家最远的距离是40千米． (3)摩托车在20～50分钟内速度最快，最快速度是30÷＝60(千米/时)． (4)答案不唯一，如小明父亲早上送小明去40千米外的某地参加夏令营，由于早高峰行驶20分钟走了10千米，过了早高峰后继续行驶30分钟到达目的地，然后父亲立即返回，行驶50分钟回到家里． 26.汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的，如图是一辆汽车的速度v(千米/时)随时间t(分)变化而变化的情况． (1)汽车从出发到最后停止共经过了多长时间？它的最高时速是多少？ (2)汽车在哪些时间段内保持匀速行驶？时速分别是多少？ (3)汽车出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？ (4)用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况． 解：(1)汽车从出发到最后停止共经过24分钟，它的最高时速是90千米． (2)汽车在2分到6分，18分到22分之间保持匀速行驶，时速分别是30千米和90千米． (3)此时汽车处于静止状态，可能是遇到红灯等情况(回答合理即可)． (4)这里关注的是对变化过程的大致刻画，答案只要合理即可． 27.某天，小颖到校后发现有学习用品遗忘在家中，此时离上课还有15分钟，于是立即步行回家去取．同时小颖的爸爸从家中骑自行车出发给她送学习用品，两人在途中相遇，在这个过程中，小颖和爸爸两人离学校的距离s(米)与所用时间t(分)之间的关系如图11所示，若爸爸骑自行车的速度是小颖步行速度的4倍，根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)学校离家的距离是______米，爸爸出发______分钟后与小颖相遇； (2)请求出小颖步行的速度； (3)若小颖与爸爸相遇后坐爸爸的自行车赶回学校(假设爸爸骑自行车的速度不变)，小颖能在上课前到达学校吗？请说明理由． 解：(1)2500　10 (2)设小颖步行的速度为x米/分，则小颖爸爸骑自行车的速度为4x米/分，依题意得10x＋40x＝2500，解得x＝50.答：小颖步行的速度为50米/分． (3)小颖能在上课前到达学校．理由如下：两人相遇处离学校的距离为50×10＝500(米)， 小颖和爸爸相遇后，赶往学校的时间为＝2.5(分)，小颖来回花费的时间为10＋2.5＝12.5(分)＜15分，所以小颖能在上课前到达学校． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $