3.2.1双曲线及其标准方程【六大考点+六大题型】讲义-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

本讲义聚焦双曲线的定义、标准方程及a,b,c关系这一核心知识点，作为圆锥曲线学习的关键支架，承接椭圆定义与方程的学习，通过对比距离和与差的绝对值，构建从椭圆到双曲线的认知脉络，明确焦点位置对标准方程的影响及a,b,c的数量关系。 该资料以题型归纳为特色，涵盖定义求轨迹、焦点三角形等六个题型及例题变式，助力学生用数学思维分析参数范围、最值等问题。双基达标分层设计选择填空解答题，课中便于教师实施分层教学，课后学生可通过练习查漏补缺，提升数学语言表达与问题解决的应用意识。

3.2.1双曲线及其标准方程 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：双曲线的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． 2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 3．焦点：两个定点F1，F2. 4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. 知识点二：双曲线标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 重难点技巧： （1）,,表示双曲线；（2）,,表示两条射线； （3）,表示双曲线的一支；（4）,表示一条射线. 【题型归纳】 题型一：利用双曲线的定义求轨迹方程 【例1】．（25-26高二上·湖南长沙·月考）设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高二上·湖南邵阳·月考）一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 题型二：双曲线中的焦点三角形问题 【例2】．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于点，，，则的面积为（    ） A．16 B． C．32 D． 【变式2】．（2025·江西·二模）过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 题型三：双曲线的参数问题 【例3】．（25-26高二上·江苏南通·期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·福建厦门·期中）若，则“”是“方程表示双曲线”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【变式2】．（25-26高二上·福建福州·期中）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型四：双曲线的标准方程的求法 【例4】．（24-25高二上·全国）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 【变式1】．（23-24高二下·全国·随堂练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 【变式2】．（23-24高二下·全国·课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为． (2)过点，且焦点在坐标轴上． 题型五：双曲线中的最值问题 【例5】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【变式1】．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【变式2】．（2025·河北石家庄·一模）设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型六：双曲线方程的综合问题 【例6】．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的值. 【变式1】．（25-26高二上·山东德州·期中）已知点在双曲线C：（，），且C的实轴长为2，，分别为C的左、右焦点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若P为双曲线上一点. ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 【变式2】．（25-26高二上·贵州·期中）已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为，且的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知第一象限内的动点在上，点. （i）若点，求的最小值； （ii）若，求的面积. 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·广东广州·期中）双曲线的两个焦点分别是，，焦距为10；是双曲线上的一点，且，则的值为（   ） A．1 B．13 C．1或13 D．3 2．（25-26高二上·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东惠州·期中）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8，P是双曲线上的一点，且，则的值为（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．13 4．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖南·期中）双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．为直角三角形且其内切圆半径为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，的面积为18，则（    ） A．9 B．18 C． D． 7．（25-26高二上·河北·期中）双曲线的左、右焦点分别是，焦距为10，点是双曲线上一点，且，则（   ） A．1 B．13 C．1或13 D．1或15 8．（25-26高二上·河南·月考）已知双曲线C：（）的两个焦点分别是，，焦距为10，A是双曲线C上的一点，且，则的值为（   ） A．14 B．13 C．13或1 D．14或1 9．（25-26高二上·山西·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（25-26高二上·广东清远·期中）方程表示的曲线为，下列正确的命题是（   ） A．曲线不可能是圆； B．若，则曲线为椭圆； C．若曲线为双曲线，则或； D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则． 12．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ） A．点P的横坐标为 B．的周长为 C．大于 D．的内切圆半径为 13．（2025·河北·模拟预测）已知双曲线的左右焦点为，点在上，为坐标原点，则（    ） A．时，为直角三角形 B．时，为锐角三角形 C．为等腰三角形时，或 D．外接圆半径为时， 14．（24-25高二上·安徽·期末）已知曲线E：，则下列选项正确的有（   ） A．若，则E为椭圆 B．若E为焦点在y轴上的椭圆，则 C．若E为双曲线，则 D．若，则E为焦点在y轴上的双曲线 三、填空题 15．（25-26高二上·内蒙古包头·月考）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 16．（2025高二上·广东广州·专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于，两点，若，则的周长为 . 17．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，为线段的中点，为坐标原点，若，则 ． 18．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知为双曲线：的左焦点，，为右支上的两点.若，点在直线上，则的周长为 . 19．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为 . 四、解答题 20．（25-26高二上·江西抚州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求的面积. 21．（25-26高二上·河南南阳·月考）双曲线的左、右焦点分别为，，其离心率，且双曲线过点. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线上一点满足，求的面积. 22．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点（不在轴上）． (1)若，求的面积； (2)若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆圆心的横坐标． 23．（25-26高二上·河北唐山·月考）已知，分别为双曲线的左、右焦点，，离心率为，，. (1)求双曲线的方程； (2)若以为方向向量的直线经过，求到的距离； (3)双曲线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 24．（2025·湖南长沙·三模）已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1双曲线及其标准方程 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：双曲线的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． 2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 3．焦点：两个定点F1，F2. 4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. 知识点二：双曲线标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 重难点技巧： （1）,,表示双曲线；（2）,,表示两条射线； （3）,表示双曲线的一支；（4）,表示一条射线. 【题型归纳】 题型一：利用双曲线的定义求轨迹方程 【例1】．（25-26高二上·湖南长沙·月考）设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，点P的轨迹是以，为焦点的双曲线， 因为，，所以， 所以其轨迹方程为. 故选：B 【变式1】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案. 【详解】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B 【变式2】．（24-25高二上·湖南邵阳·月考）一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象利用双曲线的定义判断动圆圆心的轨迹，然后再求方程即可. 【详解】圆与圆外切，如图， ，即， ， 由双曲线的定义，点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线的左支，其中，， ． 故所求轨方程为：． 故选：C． 题型二：双曲线中的焦点三角形问题 【例2】．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义得出，即得出的周长为，由点为线段与双曲线的交点时，周长取最小值，即可求解. 【详解】如下图所示：    在双曲线中，，，则，则、， 由双曲线的定义可得，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：C. 【变式1】．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于点，，，则的面积为（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义确定的长，再由定义可得，由得为等腰直角三角形，从而可求得的面积. 【详解】由双曲线的实轴长为4，得， 所以， 又，所以， 因为，所以， 又，所以， 又，所以为等腰直角三角形， 由，得， 所以的面积为. 故选：A. 【变式2】．（2025·江西·二模）过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，，又， 由双曲线的定义可得， 在中由余弦定理可得，， 即，解得， 所以. 故选：D 题型三：双曲线的参数问题 【例3】．（25-26高二上·江苏南通·期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线的标准方程即得. 【详解】由题，，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【变式1】．（25-26高二上·福建厦门·期中）若，则“”是“方程表示双曲线”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【分析】根据方程表示双曲线求出的取值范围，再根据充分不必要条件的定义进行判断. 【详解】方程表示双曲线等价于，解得或， 所以“” 是“方程表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A 【变式2】．（25-26高二上·福建福州·期中）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】方程，若表示为双曲线，则需满足，也即， 充分性：若，不一定能推出，因此“”不是“方程表示双曲线”的充分条件； 必要性：若方程表示双曲线，即，则一定满足，因此“”是“方程表示双曲线”的必要条件； 综上，“”是“方程表示双曲线”的必要而不充分条件． 故选：B． 题型四：双曲线的标准方程的求法 【例4】．（24-25高二上·全国）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由双曲线的焦点在轴上，，，得， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）由双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由，且点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. （3）设所求双曲线方程为， 由点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. 【变式1】．（23-24高二下·全国·随堂练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得． 故所求双曲线的标准方程为：． （2）设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴，解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）可设双曲线的方程为，则有解得则双曲线的标准方程为． 【变式2】．（23-24高二下·全国·课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为． (2)过点，且焦点在坐标轴上． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）椭圆的两个焦点为、， 故该双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为， 令，即有，解得， 故有，解得， 故双曲线的标准方程为． （2）设双曲线的方程为，． 因为点，在双曲线上， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为． 题型五：双曲线中的最值问题 【例5】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【答案】B 【分析】求出下焦点的坐标，由双曲线的定义可得，由图知，当三点共线（在线段上）时，的值最小，计算即得． 【详解】由，得，，， 所以上焦点，则下焦点为，又， 由双曲线的定义得， 由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9．    故选：B． 【变式1】．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 【变式2】．（2025·河北石家庄·一模）设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义将转化成，数形结合求得最值得解. 【详解】如图，设双曲线的左焦点为， 由双曲线的定义得， 所以的最小值为. 故选：B. 题型六：双曲线方程的综合问题 【例6】．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出椭圆的焦点就得到了双曲线的焦点， 代入双曲线方程，计算得解； （2）设，由双曲线的定义可得，在中，由余弦定理求出，使用数量积公式计算. 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以， 又双曲线过点，所以， 由，解得，      双曲线的标准方程为. （2）设，由双曲线的定义可得，在中，由余弦定理， 得， 所以，   则. 【变式1】．（25-26高二上·山东德州·期中）已知点在双曲线C：（，），且C的实轴长为2，，分别为C的左、右焦点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若P为双曲线上一点. ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由点在双曲线上，和实轴长得到，求解即可； （2）①由余弦定理得到，再由面积公式即可求解；②，得到，，结合数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）由题设条件，可得， 解得，， 故双曲线C的标准方程为； （2） ①因为P为双曲线C：上的一点， 所以，平方得    ①， 在中，由余弦定理，得 ， 即    ②， 由①－②，得，即， 所以的面积； ②设，则，所以，， 因为，，，， ， 所以的取值范围是. 【变式2】．（25-26高二上·贵州·期中）已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为，且的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知第一象限内的动点在上，点. （i）若点，求的最小值； （ii）若，求的面积. 【答案】(1)（或）. (2)（i）；（ii）3 【详解】（1）因为动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为， 所以， 将上式两边平方，化简得， 所以的方程为（或）. （2）（i）由（1）可知分别是的左､右焦点，又，， 因为第一象限内的点在上，所以，则， 又，所以， 所以， 当且仅当在与双曲线在第一象限的交点时取等号， 所以的最小值为. （ii）由题意得， 将①左右两边平方，得，结合②得， 所以的面积为.    【双基达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·广东广州·期中）双曲线的两个焦点分别是，，焦距为10；是双曲线上的一点，且，则的值为（   ） A．1 B．13 C．1或13 D．3 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义求解，结合焦半径的范围得到的值. 【详解】焦距为10，，，，， ，是双曲线上的一点，， ，，或， ，舍去，. 故选：B.    2．（25-26高二上·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据题意结合斜率公式运算求解即可. 【详解】设， 则，整理可得， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 3．（25-26高二上·广东惠州·期中）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8，P是双曲线上的一点，且，则的值为（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．13 【答案】B 【分析】由双曲线方程及焦距确定，再由双曲线定义可求. 【详解】由题设，解得，又且， 所以，所以， 又P是双曲线上的一点，所以， 又因为，所以，解得或， 当P在双曲线左支时，， 当P在双曲线右支时，， 所以，即不可能有，则. 故选：B. 4．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的焦点三角形的面积公式列式求解即可. 【详解】下面证明双曲线的焦点三角形的面积公式，. 由题意，，， 则中， 由余弦定理可得: ， 则， 所以 . 由双曲线的焦点三角形的面积公式可知，解得， 即． 故选：A. 5．（25-26高二上·湖南·期中）双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．为直角三角形且其内切圆半径为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，结合双曲线定义得到，，再根据内切圆半径和三角形面积公式得到，，求出双曲线的方程. 【详解】在中，直线的斜率为2，故⊥， 则，故， 又，所以，， 由勾股定理得，所以． 又内切圆半径为， 由三角形等面积法可得， 解得，故，，故双曲线的方程为. 故选：A． 6．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，的面积为18，则（    ） A．9 B．18 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，求解即可. 【详解】如图： 设的焦距为，由题意得， 又， 可得，得. 故选：C 7．（25-26高二上·河北·期中）双曲线的左、右焦点分别是，焦距为10，点是双曲线上一点，且，则（   ） A．1 B．13 C．1或13 D．1或15 【答案】B 【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案. 【详解】由双曲线的性质知：，从而， 所以双曲线方程为， 故，所以或， 而，不合题意；所以. 故选：B． 8．（25-26高二上·河南·月考）已知双曲线C：（）的两个焦点分别是，，焦距为10，A是双曲线C上的一点，且，则的值为（   ） A．14 B．13 C．13或1 D．14或1 【答案】B 【分析】根据的值，可得出的值，然后利用双曲线的定义结合的范围求解即可. 【详解】由题意可知，，则，解得， 所以双曲线的方程为， 由双曲线的定义可得，解得或， 设点，则或，且，易知点， 所以， 当时，； 当时，. 综上所述，，故. 故选：B 9．（25-26高二上·山西·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的内切圆与线段，，分别相切于点，，，由，确定，进而确定直线的方程，得到，即可求解. 【详解】由题意知，，. 如图，设圆与线段，，分别相切于点，，， 则，，， 所以，所以， 从而可知内切圆的圆心在直线上. 因为的斜率为，所以倾斜角为， 因为是的平分线，所以直线的倾斜角为， 方程为，将代入，得， 所以，即圆的半径为， 得圆的面积为.    故选：C 10．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆与线段，，分别相切于点,由，确定，进而确定直线的方程，得到，即可求解. 【详解】由题意知，，. 如图，设圆与线段，，分别相切于点，则，，， 所以， 所以，从而可知内切圆的圆心C在直线上. 因为的斜率为，所以倾斜角为， 因为是的平分线， 所以直线的倾斜角为，方程为，将代入，得， 所以，即圆C的半径为，得圆C的面积为. 故选：C 二、多选题 11．（25-26高二上·广东清远·期中）方程表示的曲线为，下列正确的命题是（   ） A．曲线不可能是圆； B．若，则曲线为椭圆； C．若曲线为双曲线，则或； D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则． 【答案】CD 【分析】根据方程的特点，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程判断. 【详解】对于A，若曲线是圆，则，解得，故A错误； 对于B，若曲线为椭圆，则，解得且，故B错误； 对于C，若曲线为双曲线，则，解得或，故C正确； 对于D，若曲线表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，故D正确； 故选：CD. 12．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ） A．点P的横坐标为 B．的周长为 C．大于 D．的内切圆半径为 【答案】BD 【分析】对于A，利用的面积，先求出点P的纵坐标，代入双曲线方程计算即得其横坐标；对于B，利用双曲线的焦半径长的公式求出两焦半径，即得的周长，对于C，利用余弦定理求出，结合余弦函数的图象单调性即可判断；对于D，利用等面积运算即可求得. 【详解】如图，由可得，双曲线的离心率为. 对于A，因，则的面积为， 解得，代入，因，则，故A错误； 对于B，因，， 又的周长为.故B正确； 对于C，由余弦定理可得，， 因，则，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为， 则，解得，故D正确. 故选：BD. 13．（2025·河北·模拟预测）已知双曲线的左右焦点为，点在上，为坐标原点，则（    ） A．时，为直角三角形 B．时，为锐角三角形 C．为等腰三角形时，或 D．外接圆半径为时， 【答案】AC 【分析】设点，利用得可判断A；举反例可判断B；不妨设点在双曲线右支上时，只能是，或，分情况利用余弦定理求出可判断C；由正弦定理求出，再由余弦定理求出，再利用的坐标运算求出可判断D. 【详解】对于A，，所以，设点， 由得，， 得，所以， 即，所以为直角三角形，故A正确； 对于B， 当时，满足，，， 所以，即，所以为直角三角形，故B错误； 对于C，不妨设点在双曲线右支上时，则， 只能是，或， 当时，可得， 因为，由余弦定理得， 即，解得， 当，可得， 因为，由余弦定理得，即 ，解得， 综上为等腰三角形时，或，故C正确； 对于D，设外接圆半径为，由正弦定理得， 所以，则或， 设点，，， 由余弦定理得， 即，解得， 当时，， 则， 即，所以， 当时，， ， 则， 即，所以，综上或，故D错误. 故选：AC. 14．（24-25高二上·安徽·期末）已知曲线E：，则下列选项正确的有（   ） A．若，则E为椭圆 B．若E为焦点在y轴上的椭圆，则 C．若E为双曲线，则 D．若，则E为焦点在y轴上的双曲线 【答案】BD 【分析】根据方程表示椭圆得到不等式组即可判断A，再限制其焦点即可判断B；根据方程表示双曲线得到不等式即可判断C， 【详解】对于A，若方程表示椭圆，则满足，解得或， 当时，此时方程表示圆，所以A不正确； 对于B中，当方程表示焦点在轴上的椭圆，则满足，解得，所以B正确； 对于C中，当为双曲线时，，则或，所以C错误； 对于D中，当，曲线E：，其中，则焦点在轴上，所以D正确． 故选：BD． 三、填空题 15．（25-26高二上·内蒙古包头·月考）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意可知，计算求解即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 则，解得，即， 故答案为：． 16．（2025高二上·广东广州·专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于，两点，若，则的周长为 . 【答案】12 【分析】根据双曲线的定义求的周长. 【详解】如图， 由题意可得，的周长为， 由双曲线的定义可得，又， 所以. 所以的周长为12． 故答案为：12 17．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，为线段的中点，为坐标原点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据中位线的性质得出，再结合双曲线的定义求解即可. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以， 在双曲线中，，由双曲线的定义可得， 故. 故答案为：. 18．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知为双曲线：的左焦点，，为右支上的两点.若，点在直线上，则的周长为 . 【答案】36 【分析】利用双曲线的定义先求出的值，由此即可求出的周长. 【详解】由已知，，则，所以是双曲线的右焦点，，，则 ， 所以， 所以的周长为. 故答案为：. 19．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为 . 【答案】 【分析】设，根据椭圆定义以及余弦定理计算可得，再由双曲线定义可得，即可得双曲线的方程. 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线实半轴长为，，如图所示：    因为，所以， 根据椭圆的定义得：， 在中，根据余弦定理有：， 即，即， 又，所以，所以， 又可转化为， 所以， 因为点在第一象限，所以 又根据双曲线的定义得：，所以， 又双曲线的半焦距，所以双曲线的虚半轴长为， 所以双曲线的方程为， 故答案为： 四、解答题 20．（25-26高二上·江西抚州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由点在上和即可求解； （2）由点在上和数量积运算即可求出点P，再由即可计算求解. 【详解】（1）设， 由题意可知，当时，， 由点在上可得，即， 又，所以， 所以的方程为. （2） 由（1）可知， 则， 由题得， 解得， 所以的面积. 21．（25-26高二上·河南南阳·月考）双曲线的左、右焦点分别为，，其离心率，且双曲线过点. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线上一点满足，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代点的坐标入曲线方程，结合离心率和的关系建立方程组，求得的值，即可得到曲线方程； （2）由双曲线上的点到两焦点距离差为，两焦点间的距离，结合余弦定理即可求得，然后得到三角形面积. 【详解】（1）由题意知： ， 解得， 故双曲线的方程为：. （2）由题意得，， 在中，由余弦定理得： 即：，， ， 所以的面积为. 22．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点（不在轴上）． (1)若，求的面积； (2)若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆圆心的横坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解，（也可以用二级结论，其中求解）； （2）由双曲线的定义和圆的切线长定理，得到内切圆圆心的横坐标为a，再根据该双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点求解. 【详解】（1）设，，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理，得， 可得，则的面积． （可用二级结论验证：若为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，则双曲线焦点三角形的面积，其中，此题中，则）． （2）如图所示，，， 设内切圆与轴的切点为与内切圆的切点分别为． 由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，， 故，即． 设内切圆圆心的横坐标为，则点的横坐标为，故，可得． 由该双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点， 可得，， 解得，， 可得内切圆圆心的横坐标为． 23．（25-26高二上·河北唐山·月考）已知，分别为双曲线的左、右焦点，，离心率为，，. (1)求双曲线的方程； (2)若以为方向向量的直线经过，求到的距离； (3)双曲线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由题意可知：,，所以， 则，可知双曲线的方程为. （2）因为为直线的方向向量，则直线的斜率， 且点在直线上，则直线的方程为，即 又由题意可知， 所以到的距离. （3）由题意可知：，，设， 则，. 因为，整理得：， 由点在双曲线上，则， 可得：，即，， 所以，无解，所以不存在点，使得. 24．（2025·湖南长沙·三模）已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 【详解】（1）根据题意得，则可得， 将上式两边平方，得， 整理得，所以， 所以 （2）设点M坐标为，设曲线在点M处的切线方程为， 与双曲线方程联立，消去，可得， 整理得， 所以且， 解得，代入，得， 所以切线方程为， 与联立得，与联立得， 故. 2 学科网（北京）股份有限公司 $