16.1.2幂的乘方与积的乘方 课件-2025-2026学年人教版数学八年级上册

幂的乘方与积的乘方 人教版八年级上册 1 复习回顾 am · an (a·a· … ·a) n个a =(a·a· … ·a) m个a = a·a· … ·a (m+n)个a = am+n 幂的意义: a·a· … ·a n个a an = 同底数幂乘法的运算性质： am · an = am+n （m,n都是正整数。） 2 使学生经历探索积的乘方的过程，掌握积的乘方的运算法则. 能利用积的乘方的运算法则进行相应的计算和化简. 掌握转化的数学思想，提高学生应用数学的意识和能力. 学 习 目 标 重点 难点 素养 课标要求 地球、太阳可以近似地看作球体.太阳的半径是地球的 倍，太阳的体积约是地球的 倍 怎么读呢？ 属于什么运算呢？ 该怎么计算呢？ 地球 太阳 幂的乘方的法则(较简单的) 知识点 1 4 根据乘方的意义及同底数幂的乘法性质填空 2 3 = × × =10 + + = 10 × . 102 102 102 3个102 相乘 乘方的意义 2 2 2 3个2 相加 同底数幂 乘法性质 2 3 乘法的意义 2 3 2 3 = × × = ɑ + + = ɑ × . ɑ2 ɑ2 ɑ2 2 2 2 2 3 2 3 m 3 = × × = ɑ + + = ɑ × . ɑm ɑm ɑm m m m m 3 算式 结果 观察算式和结果，你能发现什么规律？ 5 规律 根据乘方的意义及同底数幂的乘法性质填空 = × × =10 + + = 10 × . 102 102 102 3个102 相乘 乘方的意义 2 2 2 3个2 相加 同底数幂 乘法性质 2 3 乘法的意义 2 3 = × × = ɑ + + = ɑ × . ɑ2 ɑ2 ɑ2 2 2 2 2 3 2 3 m 3 = × × = ɑ + + = ɑ × . ɑm ɑm ɑm m m m m 3 算式 结果 幂的乘方 底数不变，指数相加. 猜想 m 3 m n mn 观察算式和结果，你能发现什么规律？ ？ 6 = × × =10 + + = 10 × . 102 102 102 3个102 相乘 乘方的意义 2 2 2 3个2 相加 同底数幂 乘法性质 2 3 乘法的意义 2 3 = × × = ɑ + + = ɑ × . ɑ2 ɑ2 ɑ2 2 2 2 2 3 2 3 m 3 = × × = ɑ + + = ɑ × . ɑm ɑm ɑm m m m m 3 根据乘方的意义及同底数幂的乘法性质填空 规律 算式 结果 幂的乘方 底数不变，指数相加. m 3 猜想 m n m n 7 我探究，我收获. = × × =10 + + = 10 × . 102 102 102 2 2 2 2 3 2 3 = × × = ɑ + + = ɑ × . ɑ2 ɑ2 ɑ2 2 2 2 2 3 2 3 m 3 = × × = ɑ + + = ɑ × . ɑm ɑm ɑm m m m m 3 m 3 性质 m n m n （m,n都是正整数.） 8 我探究，我收获 = × × =10 + + = 10 × . 102 102 102 2 2 2 2 3 2 3 = × × = ɑ + + = ɑ × . ɑ2 ɑ2 ɑ2 2 2 2 2 3 2 3 m 3 = × × = ɑ + + = ɑ × . ɑm ɑm ɑm m m m m 3 性质 m n m n （m,n都是正整数.） 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 9 我探究，我收获. = × × =10 + + = 10 × . 102 102 102 2 2 2 2 3 2 3 = × × = ɑ + + = ɑ × . ɑ2 ɑ2 ɑ2 2 2 2 2 3 2 3 m 3 = × × = ɑ + + = ɑ × . ɑm ɑm ɑm m m m m 3 性质 m n m n （m,n都是正整数.） 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 10 (am)n 幂的乘方法则 (am)n= amn　 (m，n都是正整数.) 即幂的乘方，底数______，指数＿__＿. 不变 相乘 =am·am·am…am n个am =am+m+…+m n个m 证明猜想 幂的乘方， 底数不变， 指数相乘. m · n = . 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 同底数幂的乘法和幂的乘方的异同： ( m)n= . 说一说 a a a a a m + n m n 相同点 不同点 运用对比 运算 种类 公式 法则 中运算 计算结果 底数 指数 同底数幂乘法 幂的乘方 乘法 乘方 不变 不变 指数 相加 指数 相乘 am · an = am+n 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 我应用，我展示. 练习 × 6 + 5 判断对错，如果有错，如何改正？ — 2 14 例 计算： 解: (1) (103)5 = 103×5 = 1015； (2) (a2)4 = a2×4 = a8； (3) (am)2 =am·2=a2m； (3)(am)2； (4) –(x4)3 =–x4×3=–x12. (1)(103)5 ； (2)(a2)4； (4)–(x4)3； (6) [(–x)4]3. (5) [(x+y)2]3； (5)[(x+y)2]3= (x+y)2×3 =(x+y)6； (6)[(–x)4]3= (–x)4×3 = (–x)12 = x12. 素养考点 幂的乘方的法则的应用 方法点拨 运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．在运算时，注意把底数看成一个整体，同时注意“负号”. 计算： ① (103)7； ② (b3)4； ③ (xn)3； ④ –(x7)7 =103×7 =1021 =b3×4 =b12 =x3n = –x7×7= –x49 ⑤[(–x)3]3 =(–x)3×3=–x9 ⑥[(–x)5]4 =(–x)5×4=(–x)20=x20 (–a5)2表示2个–a5相乘，结果没有负号. (–a2)5和(–a5)2的结果相同吗?为什么? 不相同. (–a2)5表示5个–a2相乘，其结果带有负号. n为偶数 n为奇数 知识点 2 幂的乘方的法则(较复杂的) 想一想 下面这道题该怎么进行计算呢？ 幂的乘方: ＝(a6)4 =a24 [(y5)2]2=______=________ [(x5)m]n=______=________ 练一练： (y10)2 y20 (x5m)n x5mn 例1 计算： (1) (x4)3·x6; (2) a2(–a)2(–a2)3＋a10. 解: (1) (x4)3·x6 =x12·x6= x18； (2) a2(–a)2(–a2)3＋a10 = –a2·a2·a6＋a10 = –a10＋a10 = 0. 忆一忆有理数混合运算的顺序 先乘方，再乘除。 先乘方，再乘除，最后算加减。 底数的符号要统一 素养考点 有关幂的乘方的混合运算 方法点拨 与幂的乘方有关的混合运算中，一般先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减，然后合并同类项． 计算： (1) (x3)4·x2 ； (2) 2(x2)n–(xn)2 ； (3)[(x2)3]7 ； (4)[(–m)3]2 ·(m2) 4. (1)原式= x12 ·x2 = x14. (2)原式= 2x2n –x2n =x2n. (3)原式=(x2)21 = x42. 解： (4)原式=(–m)3×2·m2×4 = m6·m8 = m14. 我巩固，我提升. 说一说 如果把幂的乘方公式从右往左看，你得到了什么？ m n n m 幂的乘方逆用公式： 练习 请你把x12写成“幂的乘方”的形式 4 3 3 4 2 6 6 2 23 例 已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值. (1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n． 解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27； (2)102n＝(10n)2＝22＝4； (3)103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108. 方法总结：此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式，将所求值的式子正确变形，然后代入已知条件求值即可. 素养考点 指数中含有字母的幂的乘方的计算 (1)已知x2n＝3，求(x3n)4的值； (2)已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值． 解：(1) (x3n)4＝x12n＝(x2n)6＝36＝729. (2) 因为2x＋5y－3＝0. 所以2x＋5y＝3. 则4x·32y＝(22)x·(25)y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8. 完成下列题目 变式训练 例 比较3500,4400,5300的大小. 分析：这三个幂的底数不同,指数也不相同,不能直接比较大小,通过观察,发现指数都是100的倍数,可以考虑逆用幂的乘方法则. 解: 3500=(35)100=243100, 4400=(44)100=256100, 5300=(53)100=125100. ∵256100>243100>125100 ∴4400>3500>5300 素养考点 幂的大小的比较 方法点拨 比较底数大于1的幂的大小的方法有两种: 1. 底数相同,指数越大,幂就越大; 2. 指数相同,底数越大,幂就越大. 故在此类题中，一般先观察题目所给数据的特点，将其转化为同底数的幂或同指数的幂，然后再进行大小比较. 比较大小：233____322 233=(23) 11=811 322=(32) 11=911 ＜ ∵811＜911 ∴233＜322 解析： 1.计算a3•(a3)2的结果是(　　) A．a8 B．a9 C．a11 D．a18 2.若2x=5，2y=3，则22x+y=_____． 解析：∵2x=5，2y=3. ∴22x+y=(2x)2×2y=52×3=75． B 75 我们居住的地球 大约6.4×103km 你知道地球的体积大约是多少吗？ 球的体积计算公式： 地球的体积约为 知识点3 积的乘方的法则 30 下列两题有什么特点？ (1) (2) 底数为两个因式相乘，积的形式. 这种形式为积的乘方. 我们学过的幂的乘方的运算性质适用吗？ 问题： 同理： (乘方的意义) (乘法交换律、结合律) (同底数幂相乘的法则) 根据乘方的意义及乘法交换律、结合律进行计算： (ab)n =? 问题： 猜想 (ab)n= anbn (ab) n= (ab)· (ab)· ··· ·(ab) n个ab =(a·a· ··· ·a)·(b·b· ··· ·b) n个a n个b = anbn. 证明： 思考问题：积的乘方(ab)n =? 猜想结论： 因此可得：(ab)n=anbn (n为正整数). (ab)n=anbn (n为正整数) 积的乘方,等于把积的每一个因式分别_____，再把所得的幂________. (ab)n = anbn (n为正整数) 三个或三个以上的积的乘方等于什么？ (abc)n = anbncn (n为正整数) 积的乘方法则 乘方 相乘 想一想 计算： ① (ab)5； ② (2a)3； ③ (-xy)4； ④ -(ab)3 ⑤ 2(ab2)3 =a5b5 =8a3 =-a3b3 =2a3b6 =x4y4 方法总结： 运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方． 若底数中含有“-”号，应将其视为“-1”,并将其作为一个因式，防止漏乘. “同底数幂相乘的法则”与“幂的乘方法则”异同： 法则 符号语言 运算 结果 同底数幂相乘 幂的乘方 乘法运算 乘方运算 底数不变，指数相加. 底数不变，指数相乘. 解：（1）(3x)2 = 32x2=9x2； （2）(-2b)5 = (-2)5b5= -32b5 ； （3）(-2xy)4 = (-2)4x4y4=16x4y4； （4）(3a2)n = 3n(a2)n=3na2n ． 方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方． 计算： （1）(3x)2 ；（2）(-2b)5 ；（3）(-2xy)4 ；（4）( 3a2 )n ． 例 素养考点 利用积的乘方进行运算 计算： (1)(－5ab)3； (2)－(3x2y)2； (3)(－3ab2c3)3； (4)(－xmy3m)2. (4)(－xmy3m)2＝(－1)2x2my6m＝x2my6m. 解：(1)(－5ab)3＝(－5)3a3b3＝－125a3b3； (2)－(3x2y)2＝－32x4y2＝－9x4y2； (3)(－3ab2c3)3＝(－3)3a3b6c9＝－27a3b6c9； 变式训练 　　　 × √ × (1)(3cd)3=9c3d3; (2)(-3a3)2= -9a6; (3)(-2x3y)3= -8x6y3; × 下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？ (4)(-ab2)2= a2b4. 变式训练 例 计算: (1) －4xy2·(xy2)2·(－2x2)3； (2) (－a3b6)2＋(－a2b4)3. 解：(1)原式=－4xy2·x2y4·(－8x6) =32x9y6; (2)原式=a6b12+(－a6b12) =0. 含有积的乘方的混合运算 素养考点 方法总结：涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项． 计算： （1）( - 3 n )3 ·4n2； （2）( 5xy)3 -（5x）2·2xy3； （3）- a3+(-4a)2a． 解：（1）( - 3 n )3·4n2 = ( - 3 )3 n3 ·4n2= - 27n3 ·4n2=-108n5； （2） ( 5xy)3 -（5x）2·2xy3 = 53x3y3 -52x2 ·2xy3 = 125x3y3 -50x3y3 =75x3y3； （3）- a3+(-4a)2a = - a3+42a2a= - a3+16a3=15a3 ． 变式训练 =(0.22)2004 × 54008 =(0.2)4008 × 54008 =(0.2 ×5)4008 =14008 (0.04)2004×[(-5)2004]2 =1. 解法一： =(0.04)2004 × [(-5)2]2004 =(0.04×25)2004 =12004 =1. = (0.04)2004 ×(25)2004 (0.04)2004×[(-5)2004]2 解法二： 素养考点 积的乘方的逆用 如何简便计算(0.04)2004×[(-5)2004]2? 例 方法总结 逆用积的乘方公式an·bn＝(ab)n，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式，再运用此公式可进行简便运算． 解：原式 计算: 变式训练 2.（深圳）下列运算正确的是（　　） A．a+2a＝3a2 B．a2•a3＝a5 C．（ab）3＝ab3 D．（﹣a3）2＝﹣a6 1.（陕西）计算：（﹣ x2y）3＝（　　） A．﹣2x6y3 B． x6y3 C．﹣ x6y3 D．﹣ x5y4 C B 我们一起来 吧! 1．（a4）5=　　　． 2.下列各式的括号内，应填入b4的是( )。 A．b12＝(　　)8 B．b12＝(　　)6 C．b12＝(　　)3 D．b12＝(　　)2 C 基础巩固题 a20 3．下列计算中，错误的是( ). A．(a2)3＝a6 B．(b2)5＝b7 C．[(－b)3]n＝(－b)3n D．[(－b)3]2＝b6 B 4．如果(9n)2＝312，那么n的值是( ). A．4 B．3 C．2 D．1 B 基础巩固题 5．计算： (1)(102)8； (2)(xm)2； (3)[(－a)3]5； (4)－(x2)m. 解：(1)(102)8＝1016. (2)(xm)2＝x2m. (3)[(－a)3]5＝(－a)15＝－a15. (4)－(x2)m＝－x2m. 基础巩固题 6．计算： (1)5(a3)4－13(a6)2； (2)7x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2； 解：(1)原式＝5a12－13a12＝－8a12. (2)原式＝－7x9·x7＋5x16－x16＝－3x16. 基础巩固题 8.下列运算正确的是( ) A. x•x2=x2 B. (xy)2=xy2 C. (x2)3=x6 D. x2+x2=x4 C 7.计算 (–x2y)2的结果是(　　) A．x4y2 B．–x4y2 C．x2y2 D．–x2y2 A 基础巩固题 9. 计算：(1) 82016×0.1252015= ________; (2) ________; (3) (0.04)2013×[(–5)2013]2=________. 8 –3 1 (1)(ab2)3=ab6 ( ) × × × (2) (3xy)3=9x3y3 ( ) × (3) (–2a2)2=–4a4 ( ) (4) –(–ab2)2=a2b4 ( ) 10. 判断: (1) (ab)8 ; (2) (2m)3 ; (3) (–xy)5; (4) (5ab2)3 ; (5) (2×102)2 ; (6) (–3×103)3. 11.计算: 解：(1)原式=a8b8; (2)原式= 23 ·m3=8m3; (3)原式=(–x)5 ·y5= –x5y5; (4)原式=53 ·a3 ·(b2)3=125a3b6; (5)原式=22 ×(102)2=4 ×104; (6)原式=(–3)3 ×(103)3= –27 ×109= –2.7 ×1010. 1.已知3x+4y-5=0,求27x·81y的值. 解:因为3x+4y-5=0.所以3x+4y=5.则27x·81y=(33)x·(34)y =33x·34y =33x+4y =35 =243.　 能力提升题 (1) 2(x3)2·x3–(3x3)3+(5x)2·x7; (2)(3xy2)2+(–4xy3) · (–xy) ; (3)(–2x3)3·(x2)2. 解：原式=2x6·x3–27x9+25x2·x7 = 2x9–27x9+25x9 = 0; 解：原式=9x2y4 +4x2y4 =13x2y4; 解：原式= –8x9·x4 =–8x13. 2.计算: 能力提升题 55 解：因为am=3, an=5 所以a3m+2n=a3m·a2n =(am)3·(an)2 =33×52 =675. 1.已知：am=2,an=5.求a3m+2n的值 拓广探索题 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2.如果(an•bm•b)3=a9b15,求m, n的值.  (an)3•(bm)3•b3=a9b15  a 3n •b 3m•b3=a9b15  a 3n •b 3m+3=a9b15  3n=9 ,3m+3=15. n=3,m=4. 解：∵(an•bm•b)3=a9b15 拓广探索题 57 课堂小结 幂的乘方 法则 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 （am）n=amn (m,n都是正整数。） 注意反向运用 幂的乘方法则的逆用：amn=(am)n=(an)m 积的乘方 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. (ab)n=anbn ( m、n都是正整数。) 幂的乘方与积的乘方 法则 积的乘方法则的逆用：an·bn = (ab)n 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢 谢 再 见 下课了! 61 谢谢观看 初中数学人教版八年级上册 Equinox Nicholas Gunn The Sacred Fire 262470.03 XXX - 酷我音乐 $