专题5.1导数的概念及其意义 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

本讲义聚焦导数的概念及其意义核心知识点，以高台跳水问题为起点构建平均变化率学习支架，通过瞬时速度模型抽象出导数定义，进而衔接导数作为切线斜率的几何意义，形成从具体到抽象、从代数到几何的完整知识脉络。 资料以现实情境激发学习兴趣，通过“平均到瞬时”的极限逼近过程渗透数学思维，典型例题与分层题型设计助力学生理解导数双重属性。课中辅助教师突破重难点，课后通过多样化题型帮助学生巩固概念，培养用数学语言表达变化规律的能力。

5.1 导数的概念及其意义 【人教A版选择性必修第二册】 【高考要求】 了解导数概念产生的现实背景，掌握其几何意义。 【学习目标】 1.平均变化率：理解函数平均变化率的概念及其作为割线斜率的几何意义。 2.导数概念与计算：从瞬时变化率模型（如瞬时速度）抽象出导数定义，领会其极限思想，并掌握用定义求函数在某点导数的方法。 3.导数的几何意义与应用：理解导数在几何上表示函数曲线在该点切线的斜率，并能应用此意义求解切线相关问题。 【学习重点】 领会瞬时变化率即导数的实质，体悟其中蕴含的“极限”与“逼近”的核心思想，并掌握导数作为曲线切线斜率的几何意义。 【学习难点】 1.掌握通过极限方法，实现从平均变化率（割线）到瞬时变化率（切线）的抽象逼近过程。 2.在此基础上，建立导数的核心概念，并理解其作为瞬时变化率与切线斜率的内在统一性。 知识点1 平均变化率 问题 高台跳水 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度(单位：)与起跳后的时间(单位：)存在函数关系 ,如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 思考计算：和的平均速度 在这段时间里，; 在这段时间里，; 探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题： 运动员在这段时间内是静止的吗? 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 平均变化率： 上述问题中的变化率可用式子表示，称为函数从到的平均变化率. 若设,（这里看作是对于的一个“增量”，可用代替）. 则平均变化率为 【课堂笔记】 【典型例题】 例1．求y＝x2在x＝x0附近的平均变化率． 知识点2 导数的概念 1.瞬时速度 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。 2.导数的概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或， 即 说明： (1)导数即为函数在处的瞬时变化率 (2),当时，,所以 【课堂笔记】 【典型例题】 例2．求函数y＝3x2在x＝1处的导数． 例3．求函数f（x）＝﹣x2+x在x＝﹣1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 知识点3 导数的几何意义 1、曲线的切线及切线的斜率 2、导数的几何意义： 函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率， 即 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤： ①求出P点的坐标； ②求出函数在点x₀处的变化率,得到曲线在点的切线的斜率； ③利用点斜式求切线方程. 3、切线的核心元素：切点的横坐标 4、导函数： 由函数f(x)在处求导数的过程可以看到，当时，是一个确定的数，那么,当变化时，便是的一个函数，我们称它为的导函数.记作：或, 即： 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数. 注：函数在点处的导数、导函数之间的区别与联系。 1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。 2)函数的导数，是指某一区间内任意点而言的，就是函数的导函数 3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函数在点处的导数的方法之一. 【课堂笔记】 【典型例题】 例4．求曲线y＝f（x）＝x2+1在点P（1，2）处的切线方程． 例5．设P为曲线C：y＝x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为________ ． 题型1 求瞬时速度、平均速度、瞬时变化率、平均变化率 1．若一物体的运动方程为s（路程单位：m，时间单位：s）．求： （1）物体在t＝3s到t＝5s这段时间内的平均速度； （2）物体在t＝1s时的瞬时速度． 2．自由落体运动中，物体下落的距离d（单位：m）与时间t（单位：s）近似满足函数关系d＝5t2． （1）求物体在[2，4]时间段内的平均速度； （2）求物体在t＝3时的瞬时速度； （3）求物体在t＝a（a＞0）时的瞬时速度． 3．函数y＝x2+x在x＝1到x＝1+△x之间的平均变化率为（　　） A．△x+2 B．2△x+（△x）2 C．△x+3 D．3△x+（△x）2 4．已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　） A．f（x）在a到b之间的平均变化率大于g（x）在a到b之间的平均变化率 B．f（x）在a到b之间的平均变化率小于g（x）在a到b之间的平均变化率 C．对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率 D．存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率 5．函数y＝x2在区间[x0，x0+△x]上的平均变化率为k1，在[x0﹣△x，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是（　　） A．k1＞k2 B．k1＜k2 C．k1＝k2 D．k1与k2的大小关系不确定 6．已知曲线f（x）＝2x2+1在点M（x0，y0）处的瞬时变化率为﹣8，则点M的坐标为　（﹣2，9）　 ． 题型2 导数的概念 1．设函数f（x）满足2，则f'（x0）＝（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 2．设f（x）在x0处可导，下列式子与f'（x0）相等的是（　　） A． B． C． D． 3．设函数f（x）＝x2+x，则（　　） A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6 4．已知函数f（x）＝2x3，则　　 ． 题型3 导数与切线 1．函数f（x）＝x2﹣2的图像在点（1，f（1））处的切线斜率为（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1 2．已知曲线上一点，则曲线C在点P处的切线的倾斜角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 3．求曲线y2x在x＝1处切线的斜率，并求该切线的切线方程． 题型4 导数与函数图像 1．如图，函数y＝f（x）的图象在点P（2，y）处的切线是L，则f（2）+f′（2）＝（　　） A．﹣4 B．3 C．﹣2 D．1 2．已知函数y＝f（x）的图象如图，则f′（xA）与f′（xB）的大小关系是（　　） A．f′（xA）＞f′（xB） B．f′（xA）＜f′（xB） C．f′（xA）＝f′（xB） D．不能确定 3．已知函数f（x）的图象如图，设f′（x）是f（x）的导函数，则（　　） A．f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2） B．f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2） C．f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3） D．f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2） 4．函数y＝f（x）的图象如图所示，f′（x）是函数f（x）的导函数，下列数值排序正确的是（　　） A．f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜0 B．f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）＜0 C．f（3）﹣f（2）＜f′（3）＜f′（2）＜0 D．f′（2）＜f（3）﹣f（2）＜f′（3）＜0 题型5 导数综合题型 1．已知曲线y＝x2﹣1上两点A（2，3），B（2+△x，3+△y），当△x＝1时，割线AB的斜率是 　　 ；当△x＝0.1时，割线AB的斜率是 　　 ． 2．对于函数，其导数值等于函数值的点的坐标是 ______． 3．已知抛物线y＝x2和直线x﹣y﹣2＝0，则抛物线上的点到该直线的最短距离为　　 ． 4．设直线l为曲线（a＞2）在点（1，1+a）处的切线，则直线l与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值是　　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $5.1 导数的概念及其意义 【人教A版选择性必修第二册】 【高考要求】 了解导数概念产生的现实背景,掌握其几何意义。 【学习目标】 1.平均变化率:理解函数平均变化率的概念及其作为割线斜率的几何意义。 2.导数概念与计算:从瞬时变化率模型(如瞬时速度)抽象出导数定义,领会其极限思想,并掌握用定义求函数在某点导数的方法。 3.导数的几何意义与应用:理解导数在几何上表示函数曲线在该点切线的斜率,并能应用此意义求解切线相关问题。 【学习重点】 领会瞬时变化率即导数的实质,体悟其中蕴含的“极限”与“逼近”的核心思想,并掌握导数作为曲线切线斜率的几何意义。 【学习难点】 1.掌握通过极限方法,实现从平均变化率(割线)到瞬时变化率(切线)的抽象逼近过程。 2.在此基础上,建立导数的核心概念,并理解其作为瞬时变化率与切线斜率的内在统一性。 知识点1 平均变化率 问题 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系 ,如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 思考计算:和的平均速度 在这段时间里,; 在这段时间里,; 探究:计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 运动员在这段时间内是静止的吗? 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 平均变化率: 上述问题中的变化率可用式子表示,称为函数从到的平均变化率. 若设,(这里看作是对于的一个“增量”,可用代替). 则平均变化率为 【课堂笔记】 【典型例题】 例1.求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 【分析】由题意,y′=2x,从而求平均变化率. 【解答】解:由题意,y′=2x, 故y=x2在x=x0附近的平均变化率为 y′=2x0. 知识点2 导数的概念 1.瞬时速度 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。 2.导数的概念 函数在处瞬时变化率是,我们称它为函数在处的导数,记作或, 即 说明: (1)导数即为函数在处的瞬时变化率 (2),当时,,所以 【课堂笔记】 【典型例题】 例2.求函数y=3x2在x=1处的导数. 【分析】先求出导函数y′=6x,然后将x换上1即可得出原函数在x=1处的导数. 【解答】解:∵y′=6x, ∴y′|x=1=6. 例3.求函数f(x)=﹣x2+x在x=﹣1附近的平均变化率,并求出在该点处的导数. 【分析】直接代入函数的平均变化率公式进行化简求解. 【解答】解: y=﹣(﹣1+ x)2+(﹣1+ x)+(﹣1)2﹣(﹣1)=3 x﹣ x2, ∴3﹣ x, ∴(3﹣ x)=3. 知识点3 导数的几何意义 1、曲线的切线及切线的斜率 2、导数的几何意义: 函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率, 即 说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②求出函数在点x₀处的变化率,得到曲线在点的切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程. 3、切线的核心元素:切点的横坐标 4、导函数: 由函数f(x)在处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数,那么,当变化时,便是的一个函数,我们称它为的导函数.记作:或, 即: 注:在不致发生混淆时,导函数也简称导数. 注:函数在点处的导数、导函数之间的区别与联系。 1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数。 2)函数的导数,是指某一区间内任意点而言的,就是函数的导函数 3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值,这也是求函数在点处的导数的方法之一. 【课堂笔记】 【典型例题】 例4.求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. 【分析】利用导数的定义,求得切线的斜率,利用点斜式求解切线方程. 【解答】解:, 所以,所求切线的斜率为2, 因此,所求的切线方程为y﹣2=2(x﹣1), 即2x﹣y=0. 例5.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0,],则点P横坐标的取值范围为 [﹣1,] . 【分析】切线的斜率k=tan ∈[0,1].设切点为P(x0,y0),k=y′|x=x0=2x0+2,上此可知点P横坐标的取值范围. 【解答】解:∵切线的斜率k=tan ∈[tan0,tan]=[0,1]. 设切点为P(x0,y0),于是k=y′|x=x0=2x0+2, ∴x0∈[﹣1,]. 答案[﹣1,] 题型1 求瞬时速度、平均速度、瞬时变化率、平均变化率 1.若一物体的运动方程为s(路程单位:m,时间单位:s).求: (1)物体在t=3s到t=5s这段时间内的平均速度; (2)物体在t=1s时的瞬时速度. 【分析】(1)计算时间变化量为 t=2,其位移变化量为 s=s(5)﹣s(3),即可求出物体在t∈[3,5]内的平均速度; (2)求出速度增量,即可得出物体在t=1时的瞬时速度. 【解答】解:(1)∵ t=5﹣3=2, s=3 25+2﹣(3 9+2)=48, ∴24m/s; (2)3 t﹣12, 故物体在t=1时的瞬时速度为(3 t﹣12)=﹣12m/s. 2.自由落体运动中,物体下落的距离d(单位:m)与时间t(单位:s)近似满足函数关系d=5t2. (1)求物体在[2,4]时间段内的平均速度; (2)求物体在t=3时的瞬时速度; (3)求物体在t=a(a>0)时的瞬时速度. 【分析】(1)由平均速度计算公式即可知物体在[2,4]时间段内的平均速度为30m/s; (2)根据导函数的几何意义可知物体在t=3时的瞬时速度为30m/s; (3)根据(2)中的结论可知将t=a(a>0)代入计算即可求得结果. 【解答】解:(1)由d=5t2可知,第4s时的距离为d(4)=5 42=80; 第2s时的距离为d(2)=5 22=20; 所以平均速度为m/s; (2)d=5t2, 则d'(t)=10t, 当t=3时,d'(3)=10 3=30m/s; 所以物体在t=3时的瞬时速度为v=10t=30m/s; (3)由(2)的结论可知,物体在t=a(a>0)时的瞬时速度v=10am/s; 3.函数y=x2+x在x=1到x=1+ x之间的平均变化率为( ) A. x+2 B.2 x+( x)2 C. x+3 D.3 x+( x)2 【分析】直接代入函数的平均变化率公式进行化简求解. 【解答】解: y=(1+ x)2+1+ x﹣1﹣1= x2+3 x, ∴ x+3, 故选:C. 4.已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,那么下列说法正确的是( ) A.f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率 B.f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率 C.对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率 D.存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率 【分析】由函数在某一区间上的平均变化率的定义,可以判定选项A、B错误; 由函数在某一点处的瞬时变化率是函数在该点处的导数,即函数在该点处的切线的斜率,可以判定选项C错误,D正确. 【解答】解:对于A、B,∵f(x)在a到b之间的平均变化率是, g(x)在a到b之间的平均变化率是, ∴,即二者相等; ∴选项A、B错误; 对于C、D,∵函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x0处的导数, 即函数f(x)在该点处的切线的斜率, 同理函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数g(x)在x=x0处的导数, 即函数g(x)在x=x0处的切线的斜率, 由图形知,选项C错误,D正确. 故选:D. 5.函数y=x2在区间[x0,x0+ x]上的平均变化率为k1,在[x0﹣ x,x0]上的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系是( ) A.k1>k2 B.k1<k2 C.k1=k2 D.k1与k2的大小关系不确定 【分析】直接代入函数的平均变化率公式进行化简求解. 【解答】解:∵函数y=f(x)=x2在x0到x0+ x之间的平均变化量为: y=f(x0+ x)﹣f(x0)=(x0+ x)2﹣(x0)2= x(2x0+ x) ∴k12x0+ x. ∵函数y=f(x)=x2在x0﹣ x到x0之间的平均变化量为: y=f(x0)﹣f(x0﹣ x)=(x0)2﹣(x0﹣ x)2= x(2x0﹣ x) ∴k22x0﹣ x. ∵k1﹣k2=2 x,而 x>0,故k1>k2. 故选:A. 6.已知曲线f(x)=2x2+1在点M(x0,y0)处的瞬时变化率为﹣8,则点M的坐标为 (﹣2,9) . 【分析】求导函数,令其值为﹣8,即可求得结论. 【解答】解:∵y=2x2+1,∴y′=4x, 令4x0=﹣8,则x0=﹣2,∴y0=9, ∴点M的坐标是(﹣2,9), 故答案为:(﹣2,9). 题型2 导数的概念 1.设函数f(x)满足2,则f'(x0)=( ) A.﹣1 B.1 C.﹣2 D.2 【分析】利用导数的概念以及极限的运算性质即可求解. 【解答】解:因为f′(x0) , 故选:A. 2.设f(x)在x0处可导,下列式子与f'(x0)相等的是( ) A. B. C. D. 【分析】利用导数的定义逐个判断各个选项即可. 【解答】解:对于A,f'(x0),故A错误, 对于B,f'(x0),故B正确, 对于C,22f'(x0),故C错误, 对于D,f'(x0),故D错误, 故选:B. 3.设函数f(x)=x2+x,则( ) A.﹣6 B.﹣3 C.3 D.6 【分析】根据极限的定义即可求出. 【解答】解:f(1+ x)﹣f(1)=(1+ x)2+(1+ x)﹣1﹣1= x2+3 x, ∴( x+3)=3, 故选:C. 4.已知函数f(x)=2x3,则 6 . 【分析】根据导数的计算公式和定义即可得到结论. 【解答】解:∵f(x)=2x3, ∴f′(x)=6x2,∴f′(1)=6, 则f′(1)=6. 故答案为:6. 题型3 导数与切线 1.函数f(x)=x2﹣2的图像在点(1,f(1))处的切线斜率为( ) A.1 B.2 C.﹣2 D.﹣1 【分析】求出函数的导数,然后令x=1即可求解. 【解答】解:由已知可得f′(x)=2x, 所以f′(1)=2, 则f(x)在(1,f(1))处的切线斜率为2, 故选:B. 2.已知曲线上一点,则曲线C在点P处的切线的倾斜角为( ) A.30 B.45 C.60 D.120 【分析】结合导数的几何意义,求出切线的斜率,再结合直线的斜率与倾斜角的关系,即可求解. 【解答】解:y=f(x), 则f'(x)=x, 故f'(1)=1, 倾斜角的范围为[0, ), 曲线C在点P处的切线的倾斜角为45 . 故选:B. 3.求曲线y2x在x=1处切线的斜率,并求该切线的切线方程. 【分析】求函数的导数,利用导数的几何意义进行求解即可. 【解答】解:函数的导数f′(x)2, 在x=1处切线的切线斜率k=f′(1)=﹣1+2=1, f(1)=1+2=3,即切点坐标为(1,3), 则对应的切线方程为y﹣3=x﹣1, 即y=x+2. 题型4 导数与函数图像 1.如图,函数y=f(x)的图象在点P(2,y)处的切线是L,则f(2)+f′(2)=( ) A.﹣4 B.3 C.﹣2 D.1 【分析】本题根据导数的基本运算结合函数图象可计算出f′(x)的式子,进而可求出y=f(x)的式子,即可求得结果. 【解答】解:由图象可得:函数y=f(x)的图象在点P处的切线是L与x轴交于(4,0),与y轴交于(0,4),则可知 L:x+y=4,∴f(2)=2,f′(2)=﹣1 ∴代入则可得f(2)+f′(2)=1, 故选:D. 2.已知函数y=f(x)的图象如图,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( ) A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)<f′(xB) C.f′(xA)=f′(xB) D.不能确定 【分析】根据导数的几何意义,判断在A,B两处的切线斜率即可得到结论. 【解答】解:由图象可知函数在A处的切线斜率小于B处的切线斜率, ∴根据导数的几何意义可知f′(xA)<f′(xB), 故选:B. 3.已知函数f(x)的图象如图,设f′(x)是f(x)的导函数,则( ) A.f′(2)<f′(3)<f(3)﹣f(2) B.f′(3)<f′(2)<f(3)﹣f(2) C.f(3)﹣f(2)<f′(2)<f′(3) D.f′(3)<f(3)﹣f(2)<f′(2) 【分析】由题意,分析f′(3)、f(3)﹣f(2)、f′(2)所表示的几何意义,结合图形分析可得答案. 【解答】解:根据题意,由导数的几何意义: f′(3)表示函数在x=3处切线的斜率, f′(2)表示函数在x=2处切线的斜率, f(3)﹣f(2),为点(2,f(2))和点(3,f(2))连线的斜率, 结合图象可得:0<f′(3)<f(3)﹣f(2)<f′(2), 故选:D. 4.函数y=f(x)的图象如图所示,f′(x)是函数f(x)的导函数,下列数值排序正确的是( ) A.f′(2)<f′(3)<f(3)﹣f(2)<0 B.f′(3)<f′(2)<f(3)﹣f(2)<0 C.f(3)﹣f(2)<f′(3)<f′(2)<0 D.f′(2)<f(3)﹣f(2)<f′(3)<0 【分析】根据题意,设M(2,f(2))、N(3,f(3))为函数的上的点,由导数的几何意义分析可得f′(3)与f′(2)的几何意义,又由f(3)﹣f(2),为直线MN的斜率,结合图象分析可得答案. 【解答】解:根据题意,设M(2,f(2))、N(3,f(3))为函数的上的点, 则f′(2)为函数f(x)在x=2处切线的斜率, f′(3)为函数f(x)在x=3处切线的斜率, f(3)﹣f(2),为直线MN的斜率, 结合图象分析可得f′(2)<f(3)﹣f(2)<f′(3)<0; 故选:D. 题型5 导数综合题型 1.已知曲线y=x2﹣1上两点A(2,3),B(2+ x,3+ y),当 x=1时,割线AB的斜率是 5 ;当 x=0.1时,割线AB的斜率是 4.1 . 【分析】由 y=f(x+ x)﹣f(x),求得 y,再用含 x的式子表示出,即可得解. 【解答】解: y=[(2+ x)2﹣1]﹣(22﹣1)=4 x+( x)2, 所以割线AB的斜率4+ x, 当 x=1时,割线AB的斜率4+1=5, 当 x=0.1时,割线AB的斜率4+0.1=4.1. 故答案为:5;4.1. 2.对于函数,其导数值等于函数值的点的坐标是 (﹣2,) . 【分析】利用导数的几何性质可得,求解即可. 【解答】解:由,∴f′(x), 设函数在点(x0,y0)处的导数值等于函数值, ∴, 解得x0=﹣2,∴y0, 故答案为:(﹣2,). 3.已知抛物线y=x2和直线x﹣y﹣2=0,则抛物线上的点到该直线的最短距离为 . 【分析】由抛物线是二次函数可知,可转化为抛物线的切线与所给直线平行时,两平行线之间的距离. 【解答】解,由抛物线是一个二次函数,故转化为抛物线的切线与所给直线平行时,两平行线之间的距离, ∴y′=2x,由直线x﹣y﹣2=0可得该直线的斜率为1, 设切点为(x),则2x0=1, ∴,切点为(), 故切线方程为:y(x)即x﹣y0, ∴d, 故答案为:. 4.设直线l为曲线(a>2)在点(1,1+a)处的切线,则直线l与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值是 12 . 【分析】求得的导数,可得切线的斜率和切线的方程,分别令x=0,y=0,可得l与坐标轴的交点,运用三角形的面积和基本不等式可得所求最小值. 【解答】解:的导数为y′=2x, 可得在点(1,1+a)处的切线斜率为k=2﹣a, 则切线的方程为y﹣1﹣a=(2﹣a)(x﹣1), 令x=0,可得y=2a﹣1, 令y=0,可得x(a>2), 则直线l与两坐标轴所围成的三角形面积S(2a﹣1)•(a>2), 可设a﹣2=t(t>0),则S•(4t12)(212)=12, 当且仅当t,即a时,取得等号. 故答案为:12. 学科网(北京)股份有限公司 $