专题01 数与式（知识清单）（12考点+6重难题型+6易错+6技巧方法+测试）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习知识清单系统梳理了“数与式”专题内容，涵盖实数分类、整式运算、因式分解等12大核心考点，通过考点梳理、重难题型、易混易错、方法技巧及实战测试五大模块构建完整复习体系。 清单以思维导图呈现知识结构，用易错点警示（如平方根与算术平方根区别）和方法技巧（如数式规律探究）强化理解，培养学生抽象能力、运算能力和推理意识。设计“题型典例+变式练习”模式，如实数运算结合大小比较方法，助力学生高效突破重点，方便教师针对性教学与学生自主复习。

专题01 数与式（12大考点+6大题型+6大易错+6大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（12个核心考点） 考点01实数的分类及正负数的意义 考点02数轴、相反数、绝对值 考点03平方根、算术平方根、立方根的定义 考点04实数的运算及大小比较 考点05科学记数法与近似数 考点06整式的有关概念 考点07整式的运算 考点08因式分解 考点09分式的概念与性质 考点10分式的运算 考点11二次根式的定义与性质 考点12二次根式的运算 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（6大重难题型） 题型01实数的有关概念 题型02实数的大小比较与运算 题型03整式及运算 题型04因式分解 题型05分式及其运算 题型06二次根式 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（6个易混易错点） 易错点01平方根、算术平方根、立方根的区别 易错点02二次根式的性质与化简 易错点03分式的基本性质及求值问题 易错点04实数的混合运算 易错点05整式的混合运算与化简求值 易错点06分式的混合运算与化简求值 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（6大方法技巧） 技巧01数与代数式的规律探究问题 技巧02图形的规律探究类问题 技巧03数与式中的新定义问题 技巧04数与式中的大小比较方法拓展 技巧05乘法公式与几何图形综合 技巧06因式分解的方法拓展 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题） 1．理解有理数、无理数的概念，能用数轴上的点表示实数；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义； 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，能用有理数估计一个无理数的大致范围，能比较实数的大小；掌握实数的加减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主) 2．能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；理解乘法公式，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理；能用提公因式法、公式法进行因式分解 3.了解分式和最简分式的概念.能利用分式的基本性质进行约分与通分，能对简单的分式进行加、减、乘、除运算. 4.了解二次根式、最简二次根式的概念，理解二次根式的性质 掌握二次根式(根号下仅限于数)加，减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算 考点01：实数的分类及正负数的意义 （一）实数的分类： 1.按实数的定义分类： 2.按大小分类： 1. 正数与负数 正数：大于0的数叫做正数，如：0.1，，+3等. 负数：小于0的数叫做负数.如：-0.2，，-5，-（+4）等. 3.常见的无理数： （1） 一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等 （2） 开方开不尽的数，如： 、等. [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. （3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，等. （1）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… （5）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 考点02数轴、相反数、绝对值 1.数轴： （1）定义：在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴. （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可. （3）利用数轴比较大小：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. （4）实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. 2.相反数 （1）相反数的定义：只有符号不同的两个数称为互为相反数，相反数是成队出现的. （2）相反数的性质：正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0. 若a，b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则若a，b互为相反数. 3.绝对值 （1）绝对值的定义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|． （2）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即. 4. 倒数 倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数．若a、b互为倒数，则ab=1.0没有倒数，倒数是本身的只有1和-1. 4. 平方根、立方根、算术平方根 考点03平方根、算术平方根、立方根的定义 1. 算术平方根 定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 算术平方根(a≥0)具有双重非负性：1）被开方数具有非负性，即a≥0； 2）算术平方根本身具有非负性，即≥0； 2. 平方根 定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根.正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”. 性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根. 3. 立方根 定义：如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根. 数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 【补充】1）立方根等于本身的有0和±1. 2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 考点04实数的运算及大小比较 1.实数的运算 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用 2.实数运算的顺序 (1)先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减. (2)同级运算从左到右依次计算， (3)有括号的要先算括号里面的. 实数的运算顺序与有理数相同，有理数范围内的加法运算律、乘法运算律和去（添）括号法则同样适用于实数. 3、实数的大小比较： 数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 类别比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 作差比较法：若a，b是任意两个实数，则①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b． 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b； ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b． 倒数比较法：若>，ab>0，则a<b． 作商比较法：①任意实数a，b，=1a=b； ②任意正实数a，b，>1a>b；<1a＜b； ③任意负实数a，b，>1a<b；<1a＜b. 考点05科学记数法与近似数 1.科学记数法 定义：把一个数A表示成的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法． 2.近似数 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 考点06整式的有关概念 1、整式：单项式与多项式统称为整式． 2、单项式：含有数或字母的积的代数式叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．单项式中的数字因式叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 3、多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．多项式中单项式的个数，就是这个多项式的项数． 4、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 5、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变． 考点07整式的运算 1、整式的加减运算： ①概念：整数的加减本质是合并同类项，如果有括号要先去括号，再合并同类项. ②去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. ③添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 2.幂的运算 （1）同底数幂相乘底数不变，指数相加，即（m，n都是整数） （2）幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n都是整数） （3）积的乘方积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即（n为整数） （4）同底数幂的除法底数不变，指数相减，即（a≠0，m，n都为整数） （5）零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）. 3.整式的乘除 （1）单项式乘单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 实质：乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式乘多项式运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即. 实质：利用乘法的分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式. （3）多项式乘多项式运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即. （4）整式的混合运算含有整式的加减、乘除及乘方的多种运算叫做整式的混合运算. 运算顺序: 先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 4.乘法公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即： 特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一 个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差. （2）完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即. 特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 完全平方式的常见变形 ① ② ③ ④ ⑤ 考点08因式分解 1.因式分解：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形 叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 2. 因式分解的方法 （1）提取公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法，叫做提公因式法 字母表示：pa十pb十pc=p(a十b十c),p既可表示单项式也可表示多项式，p称为这个多项式的公因式 （2）公式法：如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 常用公式 ①平方差公式逆用：a²一b²=(a十b)(a一b). 应用平方差公式分解因式的特征： a等号的左边是两个数的平方差的形式 b.等号的右边是这两个数的和与这两个数的差的积 ②完全平方公式逆用：a²土2ab十b²=(a士b)². 应用完全平方公式分解因式的特征： a等号的左边是两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍. b.等号的右边是这两个数的和（或差）的平方. 考点09分式的概念与性质 1、分式的概念 形如的式子叫做分式，其中A和B均为整式，B中含有字母，注意B的值不能为零． 2、分式的基本性质 分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变． ，．(其中M是不等于零的整式) 考点10分式的运算 1.分式的加减法 1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 2.分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 3.分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 考点11二次根式的定义与性质 1.二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 2.二次根式的性质 （1）式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； （2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； （3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 考点12二次根式的运算 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 3.最简二次根式 定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 4.二次根式的加减 一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 5.二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 题型01：实数的有关概念 【典例1】（2024·湖北·模拟预测）的平方根是（   ） A． B．2 C． D．不存在 【典例2】（2025·河北·一模）求值：（ ） A． B． C．3 D． 【变式练习】 1．（2025·四川资阳·中考真题）的相反数是（   ） A．4 B． C． D． 2．（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ． 5．（2025·山东济南·中考真题）已知一个正方形的面积为2，则其边长为 ． 题型02：实数的大小比较与运算 【典例1】（2025·云南·模拟预测）估算面积为7的正方形边长在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【典例2】（2025·天津南开·二模）计算的值为（　　） A．1 B．0 C． D． 【变式练习】 6．（2025·湖南·中考真题）下列四个数中，最大的数是（   ） A． B． C．0 D． 7．（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 8．（2025·海南·中考真题）写出一个比大的实数： ． 9．（2025·陕西·中考真题）计算：． 10．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 题型03整式及运算 【典例1】（2025·上海·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．单项式的次数为4次 B．是二项式 C．关于x的代数式是三项式 D．是单项式 【典例2】（2024·天津·模拟预测）已知，则 ． 【变式练习】 11．（2025·山东滨州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（2025·陕西西安·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 15．（2025·内蒙古·一模）先化简，再求值：，其中． 题型04因式分解 【典例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）若，，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 【典例2】（2024·河北石家庄·模拟预测）对于任何正整数m，多项式都能（    ） A．被8整除 B．被m整除 C．被整除 D．被整除 【变式练习】 16．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 17．（2024·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（   ） A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除 18．（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 19．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式分解因式的结果是 ． 20．（2015·宁夏·中考真题）分解因式： ． 题型05分式及其运算 【典例1】（2025·广东东莞·一模）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·山东·模拟预测）若表示一个整数，则整数可取值的个数是 个． 【变式练习】 21．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 22．（2025·甘肃甘南·中考真题）若分式的值为0，则x的值为 ． 23．（2024·黑龙江大庆·中考真题）若，则 ． 24．（2025·贵州·一模）下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务．计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 任务一：上述计算过程中，第 步出现错误，发生错误的原因是 ； 任务二：请写出该分式正确化简过程． 25．（2025·辽宁·一模）先化简，再求值：，其中． 题型06二次根式 【典例1】（2025·河北·一模），则的值为（　　） A． B． C． D． 【典例2】（2025·甘肃定西·一模）观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： ． 【变式练习】 26．（2025·全国·一模）下列运算结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 27．（2025·全国·一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．0 D． 28．（2025·黑龙江·一模）若式子在实数范围内有意义，则的值可以是 ． 29．（2025·广东·模拟预测）已知，则的平方根为 ． 30．（2025·辽宁·一模）计算：． 易错点01：平方根、算术平方根、立方根的区别 【错因】对“算术平方根、平方根、立方根”的概念理解模糊. 【避错关键】1、平方根：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 2、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． 3、立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 【典例】 1．的平方根是 ，的立方根是 ． 2．有一个数值转换器，流程如图： 当输入的值为81时，输出的值是 ． 易错点02二次根式的性质与化简 【错因】对二次根式的性质掌握的不熟练，在化简时容易出现符号错误或对于已知化简的结果不能求出正确的参数的范围 【避错关键】利用二次根式性质化简时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简． 【典例】 1．（2025·全国·一模）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．0 D． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）若，则a的值可以是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2025·全国·一模）若，则实数的取值范围是 ． 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）平面直角坐标系内，若点和点关于直线对称，则的计算结果是 ． 易错点03分式的基本性质及求值问题 【错因】不能熟练应用分式的基本性质，在求值时不能对所给的条件进行正确的变形 【避错关键】利用分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，对所给的条件或者结论进行恒等变形，找到条件和结论之间的联系 【典例】 1.（2025·四川泸州·三模）将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来一半 C．保持不变 D．无法确定 2.（2025·安徽·三模）已知非零实数满足，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2025·湖北·模拟预测）已知，则的值为 ． 4．（2024·福建·模拟预测）已知 ，且，则的值为 ． 易错点04实数的混合运算 【错因】（1）在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： （2）在进行实数的混合运算时，不能熟练掌握特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂 【避错关键】 1. 零指数幂和负整数指数幂： ，（，为正整数）， 2.特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 1 【典例】 1．（2025·江苏·一模）计算：． 2．（2025·内蒙古·一模）计算 3．（2025·贵州·一模）计算：； 4．（2025·贵州·一模）计算：； 5．（2025·贵州·一模）计算： 6．（2025·贵州·一模）计算：． 7．（2025·贵州·一模）计算：； 8．（2025·贵州·一模）计算：； 易错点05整式的混合运算与化简求值 【错因】（1）整式的混合运算括号前是“﹣”号时，出现符号错误 （2）没有正确使用乘法公式 （3）在化简后，代入求值出错 【避错关键】 整式的化简求值常见的类型： 1.整体代入法：从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. 2.间接代入法： 将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值. 3.赋值法：给未知数赋予一些特殊值，将其代入等式中，得到所求代数式的形式，从而求出代数式的值.一般情况下，多是代入-1、0、1这三个值. 【典例】 1.（2025·江苏·一模）化简：． 2.．（2025·江苏·一模）化简：． 3．（2025·陕西·模拟预测）计算：． 4．（2025·山西·一模）化简：． 5．（2025·江苏常州·模拟预测）先化简，再求值：，其中x，y满足． 6．（2025·广西·一模）先化简，再求值：，其中． 7．（2025·广西·一模）先化简，再求值：，其中． 易错点06分式的混合运算与化简求值 【错因】常见错误类型： 1）运算顺序错误，应先算括号里的，再算括号外的. 2）错在去分母，例如：，错误原因：上述解法把分式通分与解方程混淆，要注意分式计算式等式代换，不能去分母. 3）错在符号变化，例如： ，错误原因：去括号时没有注意前面的符号. 【避错关键】（1）分式的混合运算，先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. （1）分式的化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大；若题干中明确给出字母的数值，通常选用直接代入法；若题干中未明确给出字母的数值，可考虑使用整体代入法. 【典例】 1．（2025·内蒙古·一模）计算：． 2．（2025·辽宁·一模）计算： 3．（2025·辽宁·一模）计算：． 4．（2025·四川·一模）先化简，再求值：，其中． 5．（2025·甘肃定西·模拟预测）化简求值：，其中， 6．（2025·浙江丽水·二模）先化简，再求值：，其中． 7．（2025·甘肃武威·模拟预测）先化简，再求值：  其中 8．（2025·江西宜春·一模）先化简，再求值：，然后从中选一个合适的整数代入求值． 9．（2025·江西赣州·一模）先化简，再求值：，其中x满足． 技巧01：数与代数式的规律探究问题 《方法技巧》 代数式的规律探究题是近几年命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． 探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． 【典例】 1．（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式： ．则第10个多项式是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…，叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，…，第n个三角形数记为，则的值为（   ） A． B． C．n D． 3．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段练习）将1、、三个数按如图所示方式排列，若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（   ） A． B． C．3 D．1 故选：C． 4．（2025·安徽·模拟预测）观察下列等式，按要求回答下列问题． ①        ②         ③             ④ …… (1)根据以上规律，写出第⑥个等式 ； (2)猜想第n（n为正整数）个等式： （用含n的代数式表示） 5．（21-22八年级下·山东烟台·期中）观察下列等式：； ； ； …… (1)【观察猜想】根据以上规律归纳出： ①______________．（不填中间式子） ②_______________．（不填中间式子） (2)【论证猜想】请证明②这个等式． (3)【拓展运用】根据以上规律，求的值． 技巧02图形的规律探究类问题 《方法技巧》 解决图形变化规律问题可以从“形”和“数”两个角度入手，通过逐一看图，观察、分析、归纳图形或数 字的变化规律，从而得出答案.这体现了从特殊到一般的数学思想.其主要过程是首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 【典例】 1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，每一个图形都是由一些黑点按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有个黑点，第②个图形中有个黑点，第③个图形中有个黑点，按此规律，则第⑦个图形中黑点的个数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江西九江·阶段练习）如图，正方形的边长是1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续作图，则的值为 ． 3．（2024·安徽·模拟预测）如图，对面积为的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长，，至，，，使得，，，顺次连接，，，得到，记其面积为，按此规律继续下去，可得到，则其面积为 ． 第次操作得到，则的面积 ． 4．（2025·安徽淮南·一模）某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题． (1)图5中共有______个黑色小正方形，图n（n为正整数）中共有______个黑色小正方形． (2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？ 5．（2024·安徽合肥·模拟预测）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层． (1)将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 ； (2)图3中的圆圈有14层，我们自上往下，在每个圆圈中按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ； (3)图4中的圆圈有14层，我们自上往下，在每个圆圈中按图4的方式填上一串连续的整数，，，，…，求图4中所有圆圈中各数值之和．（写出计算过程） 技巧03数与式中的新定义问题 《方法技巧》 新定义运算的规律其实是这几种规律当中最为简单的一种，因为其规律都是由题目给出的，想要找到其规律，需要从所给的条件当中进行简单的推论.这时候就考验大家的观察能力，以及对数字的敏感程度. 【典例】 1．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）阅读理解：把数用大括号围起来，如：、，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”．若“集”是“回归集”，则n的值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025九年级·湖南·学业考试）若我们约定：表示不大于的最大整数，例如：，，记，则的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．（25-26九年级上·山东济南·月考）定义新运算：，例如：，．若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 4．（25-26九年级上·四川成都·期中）若一个三位正整数的百位数字比十位数字大3，则称这个数是“嘉数”．例如：742，，是“嘉数”；例如：431，，不是“嘉数”．则最小的“嘉数”是 ．若“嘉数”N的百位数字、十位数字、个位数字依次为a，b，c，并规定：，，其中是整数，且也是整数，则满足以上条件的“嘉数”N的最大值是 ． 5．（2024·天津·模拟预测）当n为正整数时，定义阶乘运算，例如 (1)证明 (2)化简 (3)若用[x]表示不超过x的最大整数，如，，记，求 技巧04数与式中的大小比较方法 《方法技巧》 数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 类别比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 作差比较法：若a，b是任意两个实数，则①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b． 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b； ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b． 倒数比较法：若>，ab>0，则a<b． 作商比较法：①任意实数a，b，=1a=b； ②任意正实数a，b，>1a>b；<1a＜b； ③任意负实数a，b，>1a<b；<1a＜b. 【典例】 1．已知，，，则（  ） A．a < b < c B．a < c < b C．b < a < c D．b < c < a 2．（2025·安徽芜湖·二模）黄金分割是数学和美学的桥梁，而斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55随着项数的增加，相邻两数之间的比值逐渐趋近黄金分割数，试比较大小： ．（填“”，“”或“”） 3．（2025·安徽芜湖·三模）为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在上且，．通过计算可得 ．（填“>”“<”或“=”） 4．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）； (2)判断之间的大小，并证明． 5.阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化． 解：原式． 运用以上方法解决问题： (1)将分母有理化． (2)比较大小（在横线上填“>”“<”或“=”）：______． (3)计算：． 技巧05乘法公式与几何图形综合 《方法技巧》 1.平方差公式：①用多项式的乘法推导平方差公式 ②常见验证平方差公式的几何图形 2.完全平方公式 ①用多项式的乘法推导完全平方公式： ②通过面积法推导完全平方公式： 【典例】 1．（2025·河北石家庄·模拟预测）有一个边长为的小正方形和一个边长为的大正方形．将小正方形按图1的方式放入大正方形中，设图中阴影部分的面积为；再将小正方形按图2的方式放入大正方形中，取的中点，设图中三角形（阴影部分）的面积为． (1) （用含，的式子表示）； (2)求的大小（结果用含，的式子表示）； (3)若，请你直接写出的值，不用说明理由． 2．（2025·河北·一模）如图，大正方形A的边长为a，小正方形B的边长为b，两个正方形重叠部分（阴影部分）的面积为m． (1)用含b，m的代数式表示正方形B中空白部分的面积：______． (2)若，，设正方形A中空白部分的面积为，正方形B中空白部分的面积为，求的值． 3．（2025·浙江·一模）《几何原本》是数学发展史中的不朽著作，该书记载了很多利用几何图形来论证代数结论的方法，凸显了数形结合的思想.如图①，借助四边形的面积说明了等式成立． (1)观察图②，③，找出可以推出的等式： 等式A：； 等式B：； 可知，图②对应等式_____；图③对应等式_____． (2)如图④，中，，，于点，是边上一点，作于点于点，过作的平行线交直线于点．分别记，，，的面积为．求的值． 4．（2025·河北邯郸·三模）探究：把四块如图1所示的小正方形按图2所示的方式拼成一个大正方形，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的矩形； 尝试：用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积，可得到的等式为_____； 应用：如图3，已知是线段上一点，分别以为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若，求阴影部分的面积； 拓展：已知，求的最小值． 5．（2025·河北石家庄·模拟预测）有两根长度相同的铁丝，嘉嘉、琪琪两位同学分别用它折 成了一个长方形和一个正方形，如图1，2所示．设长方形和正方形的面积分别为和． (1)正方形的边长______（用含的式子表示）； (2)比较______（填写“”“”或“”）； (3)若为正整数，则长方形与正方形的面积之和可以等于吗？若可以，求出的值；若不可以，请说明理由． 技巧06因式分解的方法拓展 《方法技巧》 1.分组分解法 (1)定义：am十an十bm十bn=a(m十n)十b(m十n)=(a十b)(m十n),像这种把多项式分成几组来进行因式分解的方法叫做分组分解法， (2)分组的标准：将多项式的项进行适当分组后，组与组之间能提公因式 或运用公式法进行因式分解 2. 十字相乘法 由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 1．（2025·广东珠海·二模）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式： 根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 2．（2025·宁夏银川·二模）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 3．（2024·湖南邵阳·二模）由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： (1)尝试：分解因式： ； (2)应用：请运用“十字相乘法”解方程： 4．（2025·江苏扬州·三模）【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 一、单选题 1．（2025·新疆·一模）的相反数是（   ） A． B． C．2025 D． 2．（2025·黑龙江·一模）人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·江西吉安·二模）在数轴上表示下列各数，其中距离原点最远的是（   ） A．3 B． C． D． 4．（2025·广东清远·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·云南·模拟预测）若分式 有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·全国·一模）若多项式可分解为，则（   ） A．8 B． C．4 D． 7．（2025·河北·一模）若，则表示实数的点会落在数轴的（ ） A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 8．（2025·江西宜春·三模）烷烃是一类由碳、氢元素构成的有机化合物，如图是这类物质前三种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，如图，第1种有4个氢原子，第2种有6个氢原子，第3种有8个氢原子，…，按此规律，则第2025种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．4048 B．4050 C．4052 D．4054 9．（2025·山东聊城·模拟预测）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则，按此规律继续计算，则第2025次“”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 10．（2025·河北邢台·三模）【规定】一列数中任意相邻的三个数满足，则这个数列为“漂亮数列”． 如下结论：①若是“漂亮数列”，则； ②若不论取何值，数列都是“漂亮数列”，则； ③若数列…，…是“漂亮数列”，则． 其中正确的是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 二、填空题 11．（2024·广东茂名·一模）计算： ． 12．（2025·青海海西·一模） ；分解因式： ． 13．（2025·河北·一模）点A在数轴上的位置如图所示，设点A对应的数为x，若，写出一个符合条件的y的整数值： ． 14．（2025·吉林·二模）某停车场为小时营业，其收费方式如下表所示．已知某辆车某日进入该停车场，停了小时为正整数），若该辆车于当日间离场，则此次停车的费用为 元．（用含有的代数式表示） 停车时长 收费标准 不超过3小时的部分 5元/小时 超过3小时的部分 3元/小时 15．（2025·江西·一模）一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的……，则第n次倒出后，倒出的水的总量为 L． 16．（2025·四川成都·三模）新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的立方差，且，则称这个正整数为“立方差友好数”例如：，56就是一个立方差友好数．若将“立方差友好数”从小到大排列，则第5个“立方差友好数”是 ；第28个“立方差友好数”是 ． 三、解答题 17．（2025·广西·模拟预测）（1）计算：       （2）先化简，再求值：，其中 18．（2025·四川巴中·中考真题）（1）计算下列代数式的值．． （2）先化简，再求值．，其中． 19．（2024·安徽·模拟预测）观察下列等式： …… (1)根据上述规律，写出第六个等式为 ． (2)请写出第个等式，并利用整式的乘除说明你写出的等式成立． 20．（2025·河北邯郸·三模）如图，有两张边长分别为，的正方形纸片，其面积分别为，． (1)求的值（用含的式子表示）． (2)若，求的值． 21．（2024·安徽·模拟预测）【观察思考】围棋起源于中国，至今已有多年的历史．围棋使用圆形黑白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．现用黑白棋子围成下列图案： (1)【规律发现】请用含的式子填空： 第个图案中黑色棋子的个数为_______，白色棋子的个数为_______． (2)【规律应用】结合图案中两色棋子的排列方式及上述规律，当第个图案中黑色棋子比白色棋子多个时，求正整数的值． 22．（2025·上海杨浦·模拟预测）①存在数字，使得，则称为虚数 ②若（、为实数），则称为复数 (1)判断：___________复数，___________复数，0___________复数 (2)化简： (3)在复数范围内解方程：． 23．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）阅读下面的例题：分解因式：． 解：令得到一个关于的一元二次方程． ，，， ．解得，； ． 这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： (1)已知代数式对应的方程解为和5，则代数式分解后为_____，的值为_____； (2)将代数式分解因式． 24．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）综合探究：像，这样，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：； 根据以上信息解答下列问题： (1)与 互为有理化因式； (2)比较大小： ；（填“>”“<”或“=”） (3)计算：． 5 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数与式（12大考点+6大题型+6大易错+6大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（12个核心考点） 考点01实数的分类及正负数的意义 考点02数轴、相反数、绝对值 考点03平方根、算术平方根、立方根的定义 考点04实数的运算及大小比较 考点05科学记数法与近似数 考点06整式的有关概念 考点07整式的运算 考点08因式分解 考点09分式的概念与性质 考点10分式的运算 考点11二次根式的定义与性质 考点12二次根式的运算 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（6大重难题型） 题型01实数的有关概念 题型02实数的大小比较与运算 题型03整式及运算 题型04因式分解 题型05分式及其运算 题型06二次根式 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（6个易混易错点） 易错点01平方根、算术平方根、立方根的区别 易错点02二次根式的性质与化简 易错点03分式的基本性质及求值问题 易错点04实数的混合运算 易错点05整式的混合运算与化简求值 易错点06分式的混合运算与化简求值 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（6大方法技巧） 技巧01数与代数式的规律探究问题 技巧02图形的规律探究类问题 技巧03数与式中的新定义问题 技巧04数与式中的大小比较方法拓展 技巧05乘法公式与几何图形综合 技巧06因式分解的方法拓展 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题） 1．理解有理数、无理数的概念，能用数轴上的点表示实数；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义； 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，能用有理数估计一个无理数的大致范围，能比较实数的大小；掌握实数的加减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主) 2．能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；理解乘法公式，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理；能用提公因式法、公式法进行因式分解 3.了解分式和最简分式的概念.能利用分式的基本性质进行约分与通分，能对简单的分式进行加、减、乘、除运算. 4.了解二次根式、最简二次根式的概念，理解二次根式的性质 掌握二次根式(根号下仅限于数)加，减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算 考点01：实数的分类及正负数的意义 （一）实数的分类： 1.按实数的定义分类： 2.按大小分类： 1. 正数与负数 正数：大于0的数叫做正数，如：0.1，，+3等. 负数：小于0的数叫做负数.如：-0.2，，-5，-（+4）等. 3.常见的无理数： （1） 一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等 （2） 开方开不尽的数，如： 、等. [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. （3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，等. （1）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… （5）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 考点02数轴、相反数、绝对值 1.数轴： （1）定义：在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴. （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可. （3）利用数轴比较大小：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. （4）实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. 2.相反数 （1）相反数的定义：只有符号不同的两个数称为互为相反数，相反数是成队出现的. （2）相反数的性质：正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0. 若a，b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则若a，b互为相反数. 3.绝对值 （1）绝对值的定义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|． （2）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即. 4. 倒数 倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数．若a、b互为倒数，则ab=1.0没有倒数，倒数是本身的只有1和-1. 4. 平方根、立方根、算术平方根 考点03平方根、算术平方根、立方根的定义 1. 算术平方根 定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 算术平方根(a≥0)具有双重非负性：1）被开方数具有非负性，即a≥0； 2）算术平方根本身具有非负性，即≥0； 2. 平方根 定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根.正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”. 性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根. 3. 立方根 定义：如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根. 数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 【补充】1）立方根等于本身的有0和±1. 2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 考点04实数的运算及大小比较 1.实数的运算 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用 2.实数运算的顺序 (1)先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减. (2)同级运算从左到右依次计算， (3)有括号的要先算括号里面的. 实数的运算顺序与有理数相同，有理数范围内的加法运算律、乘法运算律和去（添）括号法则同样适用于实数. 3、实数的大小比较： 数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 类别比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 作差比较法：若a，b是任意两个实数，则①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b． 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b； ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b． 倒数比较法：若>，ab>0，则a<b． 作商比较法：①任意实数a，b，=1a=b； ②任意正实数a，b，>1a>b；<1a＜b； ③任意负实数a，b，>1a<b；<1a＜b. 考点05科学记数法与近似数 1.科学记数法 定义：把一个数A表示成的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法． 2.近似数 准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数. 精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 考点06整式的有关概念 1、整式：单项式与多项式统称为整式． 2、单项式：含有数或字母的积的代数式叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．单项式中的数字因式叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 3、多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．多项式中单项式的个数，就是这个多项式的项数． 4、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 5、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变． 考点07整式的运算 1、整式的加减运算： ①概念：整数的加减本质是合并同类项，如果有括号要先去括号，再合并同类项. ②去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. ③添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 2.幂的运算 （1）同底数幂相乘底数不变，指数相加，即（m，n都是整数） （2）幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n都是整数） （3）积的乘方积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即（n为整数） （4）同底数幂的除法底数不变，指数相减，即（a≠0，m，n都为整数） （5）零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）. 3.整式的乘除 （1）单项式乘单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 实质：乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式乘多项式运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即. 实质：利用乘法的分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式. （3）多项式乘多项式运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即. （4）整式的混合运算含有整式的加减、乘除及乘方的多种运算叫做整式的混合运算. 运算顺序: 先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 4.乘法公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即： 特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一 个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差. （2）完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即. 特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 完全平方式的常见变形 ① ② ③ ④ ⑤ 考点08因式分解 1.因式分解：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形 叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 2. 因式分解的方法 （1）提取公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法，叫做提公因式法 字母表示：pa十pb十pc=p(a十b十c),p既可表示单项式也可表示多项式，p称为这个多项式的公因式 （2）公式法：如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 常用公式 ①平方差公式逆用：a²一b²=(a十b)(a一b). 应用平方差公式分解因式的特征： a等号的左边是两个数的平方差的形式 b.等号的右边是这两个数的和与这两个数的差的积 ②完全平方公式逆用：a²土2ab十b²=(a士b)². 应用完全平方公式分解因式的特征： a等号的左边是两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍. b.等号的右边是这两个数的和（或差）的平方. 考点09分式的概念与性质 1、分式的概念 形如的式子叫做分式，其中A和B均为整式，B中含有字母，注意B的值不能为零． 2、分式的基本性质 分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变． ，．(其中M是不等于零的整式) 考点10分式的运算 1.分式的加减法 1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 2.分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 3.分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 考点11二次根式的定义与性质 1.二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 2.二次根式的性质 （1）式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； （2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； （3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 考点12二次根式的运算 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 3.最简二次根式 定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 4.二次根式的加减 一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 5.二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 题型01：实数的有关概念 【典例1】（2024·湖北·模拟预测）的平方根是（   ） A． B．2 C． D．不存在 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，熟练掌握算术平方根和平方根定义是解题的关键．先求出，然后求出4的平方根即可． 【详解】解：∵，且4的平方根为， ∴的平方根是． 故选：C． 【典例2】（2025·河北·一模）求值：（ ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的概念，根据负数的绝对值是其相反数即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 【变式练习】 1．（2025·四川资阳·中考真题）的相反数是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可求解． 【详解】解：的相反数为． 故选：D． 2．（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： ， 故选：C． 4．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，将方程两边同时除以 或乘以它的倒数，即可求解“☆”的值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 5．（2025·山东济南·中考真题）已知一个正方形的面积为2，则其边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的应用，正方形的面积等于边长的平方，所以2的算术平方根即为所求． 【详解】解：已知一个正方形的面积为2，则其边长为． 故答案为： 题型02：实数的大小比较与运算 【典例1】（2025·云南·模拟预测）估算面积为7的正方形边长在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】此题主要考查了估算算术平方根的取值范围．首先求出正方形的边长，进而估算其边长的取值范围． 【详解】解：∵一个正方形的面积为7， ∴正方形的边长为：， ∵， 估计它的边长大小为：， 故选：B． 【典例2】（2025·天津南开·二模）计算的值为（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数混合运算．代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的乘法运算法则，计算即可求解． 【详解】解： ． 故选：B． 【变式练习】 6．（2025·湖南·中考真题）下列四个数中，最大的数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查实数比较大小，掌握实数大小的比较方法是关键. 根据零大于负数，正数大于零，比较各数的大小，先排除负数与零，再比较正数的大小. 【详解】解：1. 确定数的正负性： D选项为，是负数；C选项为，非正非负；A选项和B选项均为正数， 负数一定小于非负数，则D和C均小于A和B， 2. 比较正数的大小： ，显然， 故A选项大于B选项， 故选：A. 7．（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 8．（2025·海南·中考真题）写出一个比大的实数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握其估算方法是解题的关键．根据，可得，因此，即可写出比大的实数． 【详解】解：， ， ， 比大的实数可以是：， 故答案为：（答案不唯一）． 9．（2025·陕西·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，先运算乘法，乘方，负整数指数幂，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 10．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 题型03整式及运算 【典例1】（2025·上海·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．单项式的次数为4次 B．是二项式 C．关于x的代数式是三项式 D．是单项式 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及整式的定义，根据单项式次数和系数的定义，多项式的定义和单项式的定义逐一判断即可．表示数与字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数；整式是单项式和多项式的统称． 【详解】解：A．单项式的次数为次，故A错误； B．含有两个单项式，是二项式，故B正确； C．当时，关于x的代数式是二项式，故C错误； D．是分式，不是单项式，故D错误； 故选：B． 【典例2】（2024·天津·模拟预测）已知，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查完全平方公式，完全平方式非负性的应用，利用完全平方公式将等式化为两个完全平方式的和，根据完全平方式的非负性即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：2． 【变式练习】 11．（2025·山东滨州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和幂的乘方，根据相关运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A、与指数不同，不能直接相加，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 12．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，同底数幂的除法运算，正确运算是解题的关键．从左到右先进行同底数幂的乘法运算，再进行同底数幂的除法运算即可． 【详解】解：, 故选：D． 13．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键；由题意易得，即可求解． 【详解】解：， ， 故选：A． 14．（2025·陕西西安·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查多项式混合运算，代数式求值，熟练掌握多项式运算法则与乘法公式是解题的关键． 先根据多项式除以单项式法则和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简，然后把字母值代入计算即可． 【详解】解： 当，时： 原式 15．（2025·内蒙古·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】4045 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先按照平方差公式以及完全平方公式展开，然后合并同类项，最后将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型04因式分解 【典例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）若，，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法因式分解是解题的关键． 先将所求式子进行因式分解，再将已知条件代入求值． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：D． 【典例2】（2024·河北石家庄·模拟预测）对于任何正整数m，多项式都能（    ） A．被8整除 B．被m整除 C．被整除 D．被整除 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解公式法和提公因式法，熟练掌握提公因式法是解本题的关键．将该多项式分解因式，其必能被它的因式整除． 【详解】解： 故多项式能被整除． 故选：A． 【变式练习】 16．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：. 故选：C 17．（2024·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（   ） A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除 【答案】D 【分析】设一个奇数为，另一个奇数为，且是较大一个，都是正整数，根据题意，得，分类解答即可． 本题考查了平方差公式的应用，整数的整除性质，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：设一个奇数为，另一个奇数为，且是较大一个，都是正整数， 根据题意，得 ， 当时，，都能成立； 当时，则，则， 故， 故， 故一定能被8整除， 故选：D． 18．（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选D． 19．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查了分解因式，先提取公因式，再运用平方差公式分解因式． 【详解】解： ． 故答案为：． 20．（2015·宁夏·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，综合利用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键． 先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型05分式 【典例1】（2025·广东东莞·一模）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加法运算，通过通分后分子相加即可求解． 【详解】解：； 故选B． 【典例2】（2025·山东·模拟预测）若表示一个整数，则整数可取值的个数是 个． 【答案】 【分析】本题考查了根据分式得值求参数，根据表示一个整数，则是的约数，即可求解． 【详解】解：因为表示一个整数， ∴是的因数， 故的值为，，，，，，，， ∴，，，，，，，，共个． 故答案为：． 【变式练习】 21．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 22．（2025·甘肃甘南·中考真题）若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件．已知分式的值为零，可得分子为零，分母不为零，即可求解． 【详解】解：分式的值为， ， 解得：， 故答案为：． 23．（2024·黑龙江大庆·中考真题）若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式的化简求值和完全平方公式，将原式根据完全平方公式变形，再将值代入计算即可得出答案． 【详解】解∶∵， ∴ ， 故答案为∶3． 24．（2025·贵州·一模）下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务．计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 任务一：上述计算过程中，第 步出现错误，发生错误的原因是 ； 任务二：请写出该分式正确化简过程． 【答案】任务一：三，分式的分母去掉了；任务二：见解析 【分析】本题考查了异分母分式加减法运算，解题的关键是熟练　运算法则． 任务一：根据异分母分式减法运算法则逐步判断即可得出答案； 任务二：根据异分母分式减法运算法则计算即可得出答案． 【详解】解：任务一：上述计算过程中，第三步出现错误，发生错误的原因是分式的分母去掉了； 故答案为：三；分式的分母去掉了； 任务二：原式 ． 25．（2025·辽宁·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题考查了分式化简求值，正确掌握相关运算法则是解题的关键．先通分括号内，再运算除法，化简得，再把代入化简，即可作答． 【详解】解： ． 当时，原式． 题型06二次根式 【典例1】（2025·河北·一模），则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，首先根据二次根式的除法法则把二次根式整理可得：，再把等式两边同时平方即可求出结果． 【详解】解：， 根据二次根式的除法法则可得： 化简得：， 两边同时乘以可得：， 两边同时平方可得：． 故选：C． 【典例2】（2025·甘肃定西·一模）观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式练习】 26．（2025·全国·一模）下列运算结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、合并同类同类二次根式、二次根式的乘除运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质、合并同类二次根式化简，然后再根据二次根式的乘除法计算C、D选项，然后再判断即可． 【详解】解：； A． ，符合题意； B． ，不符合题意； C． ，不符合题意； D． ，不符合题意． 故选A． 27．（2025·全国·一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简、绝对值等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，，且，则，再根据二次根式的性质、绝对值化简，然后再计算即可． 【详解】解：由数轴得，，且，则， ． 故选B． 28．（2025·黑龙江·一模）若式子在实数范围内有意义，则的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，根据分式和二次根式有意义的条件列出不等式解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， ∴的值可以是 ．（答案不唯一） 29．（2025·广东·模拟预测）已知，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，二次根式的性质，根据二次根式的被开方数是非负数，确定的取值范围，从而求出和y的值，再计算的值，最后求其平方根，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 故， ∴， ∴， ∴4的平方根为， 故答案为：． 30．（2025·辽宁·一模）计算：． 【答案】9 【分析】本题考查了零次幂、乘方、二次根式的乘法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先计算零次幂，以及运算乘方和二次根式的乘法，再运算减法，即可作答． 【详解】解： ． ． 易错点01：平方根、算术平方根、立方根的区别 【错因】对“算术平方根、平方根、立方根”的概念理解模糊. 【避错关键】1、平方根：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 2、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． 3、立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 【典例】 1．的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 2 【分析】此题考查了立方根，平方根及算术平方根．根据平方根及立方根的定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴的平方根是； ∵，的立方根为， 则的立方根为． 故答案为：；． 2．有一个数值转换器，流程如图： 当输入的值为81时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键，根据流程图求算术平方根，再根据无理数的定义判断即可求解． 【详解】解：由题意得，的算术平方根是，不是无理数， 的算术平方根是，不是无理数， 的算术平方根是，是无理数， 则输出． 故答案为：． 易错点02二次根式的性质与化简 【错因】对二次根式的性质掌握的不熟练，在化简时容易出现符号错误或对于已知化简的结果不能求出正确的参数的范围 【避错关键】利用二次根式性质化简时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简． 【典例】 1．（2025·全国·一模）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断数的符号，式子的符号，再根据二次根式的性质，绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴； 故选C． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）若，则a的值可以是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．二次根式的性质有：，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值可以是． 故选：D． 3．（2025·全国·一模）若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的非负性可得，解不等式即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）平面直角坐标系内，若点和点关于直线对称，则的计算结果是 ． 【答案】 【分析】先根据点和点关于直线对称，得到方程组，求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵点和点关于直线对称， ∴， 解得 ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，解二元一次方程组，轴对称的性质，利用二次根式的性质化简等知识点，正确求出是解题的关键． 易错点03分式的基本性质及求值问题 【错因】不能熟练应用分式的基本性质，在求值时不能对所给的条件进行正确的变形 【避错关键】利用分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，对所给的条件或者结论进行恒等变形，找到条件和结论之间的联系 【典例】 1．（2025·四川泸州·三模）将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来一半 C．保持不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质．把分式中的、分别用、代替，求出所得分式与原分式相比较即可． 【详解】解：由题意得：， 即扩大为原来的2倍， 故选：A． 2．（2025·安徽·三模）已知非零实数满足，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简求值，由，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．（2025·湖北·模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，正确通过已知的式子得到是关键．首先对已知的式子进行化简，得到，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． ∴原式． 故答案为：． 4．（2024·福建·模拟预测）已知 ，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式的求值，代数式求值，由可得，再整体代入即可，熟练把条件变形再整体代入计算是解本题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 则原式， ， ， 原式， 故答案为：1． 易错点04实数的混合运算 【错因】（1）在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： （2）在进行实数的混合运算时，不能熟练掌握特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂 【避错关键】 1. 零指数幂和负整数指数幂： ，（，为正整数）， 2.特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 1 【典例】 1．（2025·江苏·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，包括绝对值的化简，有理数的乘方，特殊角的三角函数值及负整数指数幂的运算．熟练掌握各运算的规则是解题关键． 求先计算绝对值，乘方，特殊角三角函数值，负整数指数幂，再计算加减． 【详解】解：原式 ． 2．（2025·内蒙古·一模）计算 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值、零指数幂和负整数指数幂，准确的计算是解决本题的关键． 先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂、负整数指数幂和去绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 3．（2025·贵州·一模）计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再计算除法，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 4．（2025·贵州·一模）计算：； 【答案】3 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂，再计算加法即可得解． 【详解】解：原式． 5．（2025·贵州·一模）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先计算负整数幂，绝对值，化简二次根式，再计算二次根式乘法，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 6．（2025·贵州·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂和负整数指数幂． 先计算乘方，零指数幂和负整数指数幂，再计算加法即可得到答案． 【详解】解： ． 7．（2025·贵州·一模）计算：； 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先化简各数，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 8．（2025·贵州·一模）计算：； 【答案】0 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据零指数幂，特殊角的三角函数，绝对值意义，进行计算即可． 【详解】解： ． 易错点05整式的混合运算与化简求值 【错因】（1）整式的混合运算括号前是“﹣”号时，出现符号错误 （2）没有正确使用乘法公式 （3）在化简后，代入求值出错 【避错关键】 整式的化简求值常见的类型： 1.整体代入法：从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. 2.间接代入法： 将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值. 3.赋值法：给未知数赋予一些特殊值，将其代入等式中，得到所求代数式的形式，从而求出代数式的值.一般情况下，多是代入-1、0、1这三个值. 【典例】 1.（2025·江苏·一模）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式及多项式乘以多项式，熟练掌握平方差公式及多项式乘以多项式是解题的关键；先利用平方差公式计算，再利用多项式乘法法则计算，最后去括号，合并同类项． 【详解】解： ． 2．（2025·江苏·一模）化简：． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用完全平方公式和平方差公式展开，再进行合并同类项即可． 【详解】解： ． 3．（2025·陕西·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，根据完全平方公式和单项式乘以多项式展开，然后合并同类项解答即可． 【详解】解： ． 4．（2025·山西·一模）化简：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，利用整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 5．（2025·江苏常州·模拟预测）先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，绝对值的非负性．利用完全平方公式和平方差公式进行化简可得化简结果，根据绝对值的非负性和平方的非负性求解的值，然后代入求解即可． 【详解】解： ∵，即， ∴，， 解得，， 将，，代入原式． 6．（2025·广西·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 7．（2025·广西·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．利用平方差公式，单项式乘以多项式先计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把代入化简后的结果计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 易错点06分式的混合运算与化简求值 【错因】常见错误类型： 1）运算顺序错误，应先算括号里的，再算括号外的. 2）错在去分母，例如：，错误原因：上述解法把分式通分与解方程混淆，要注意分式计算式等式代换，不能去分母. 3）错在符号变化，例如： ，错误原因：去括号时没有注意前面的符号. 【避错关键】（1）分式的混合运算，先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. （1）分式的化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大；若题干中明确给出字母的数值，通常选用直接代入法；若题干中未明确给出字母的数值，可考虑使用整体代入法. 【典例】 1（2025·内蒙古·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，然后约分即可． 【详解】解：原式 ． 2．（2025·辽宁·一模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得． 【详解】解： ． 3．（2025·辽宁·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握知识点是解题的关键，先将小括号里面的分式进行通分，然后再进行分式的乘法运算，得出答案即可． 【详解】解： ． 4．（2025·四川·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的混合运算和分母有理化，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 5．（2025·甘肃定西·模拟预测）化简求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算法则，进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 6．（2025·浙江丽水·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先利用完全平方公式和因式分解法化简分式，再代入求值． 【详解】解：原式 当 时，原式． 7．（2025·甘肃武威·模拟预测）先化简，再求值：  其中 【答案】， 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用零指数幂、平方差公式以及特殊角的三角函数值求出x的值，代入化简后的式子计算求解，即可解题． 【详解】解：原式 ， 又 ， 将代入式子得：上式． 【点睛】本题考查分式化简求值、零指数幂、平方差公式及特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、平方差公式及特殊角的三角函数值和分式的运算法则是解题的关键． 8．（2025·江西宜春·一模）先化简，再求值：，然后从中选一个合适的整数代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算，正确运算是解题的关键．括号内先通分，然后进行同分母分式运算，再进行分式的除法运算即可，根据分式有意义的条件，选取适当的a的值求解． 【详解】解：原式 ， 且为整数， ，0，1，2， ∵，，， ，0，1， ， 当时，原式． 9．（2025·江西赣州·一模）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】；1 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，然后根据，得，最后把代入计算即可求解，解题的关键是对相应的运算法则的掌握，注意整体代入的应用． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 技巧01：数与代数式的规律探究问题 《方法技巧》 代数式的规律探究题是近几年命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． 探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． 【典例】 1．（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式： ．则第10个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字规律，理解材料提示，找出规律是关键． 根据材料提示，找出多项式的各项系数，指数的规律即可求解． 【详解】解：多项式：，，，，，， ∴的系数是（是正整数），的指数为（是正整数）， ∴当时，的系数是，的指数为， ∴第10个多项式是， 故选：B ． 2．（2024·广东·模拟预测）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…，叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，…，第n个三角形数记为，则的值为（   ） A． B． C．n D． 【答案】A 【分析】根据题意，，，，确定规律，解答即可． 本题考查了数列中的数字规律，正确发现规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，，， 故， 故， ， 故选：A． 3．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段练习）将1、、三个数按如图所示方式排列，若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】C 【分析】考查知识点：找规律（循环规律、数列求和）、二次根式的乘法运算．解题思想与方法：归纳推理思想，通过分析排列的循环规律和数列求和确定数的位置，再利用二次根式乘法法则计算乘积．解题关键：准确计算某一位置对应的总数字个数，结合循环节长度确定具体数字；明确列数的计数方向（从右往左）．易错点：列数的计数方向容易混淆（误将从左往右计数）；计算总数字个数时数列求和公式应用错误；确定循环节对应数字时余数分析失误． 要解决此题，可按以下步骤进行： 1.确定循环规律：观察到数的排列以1, ,为循环节，每3个数重复一次． 2.计算总数字个数：对于第a排第b列的数，需先计算前排的总数字个数（利用等差数列求和公式，再加上b得到该数的总序号． 3.确定循环节中的数字：用总序号除以循环节长度3，根据余数判断数字（余数为0对应循环节第3个，余数为1对应第1个，余数为2对应第2个）． 4.计算两数的积：根据二次根式乘法法则（此处时，）得出结果． 以为例，前7排总个数为，总序号为，无余数，对应；以为例，总序号为，除以3无余数，对应，最终积为3．． 【详解】数的循环节：1, ,． 排与数的关系：第a排有a个数，列数从右往左计数． 计算前7排的总数字个数：． 第8排第2列的数是第个数．     （无余数），对应循环节第3个数：． 第2025排第2025列的数，是前2024排的总个数加2025，即： 计算其与循环节长度3的关系： 结果为整数，说明对应循环节第3个数：． ． 故选：C． 4．（2025·安徽·模拟预测）观察下列等式，按要求回答下列问题． ①        ②         ③             ④ …… (1)根据以上规律，写出第⑥个等式 ； (2)猜想第n（n为正整数）个等式： （用含n的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）序号为1时，变形为 ，    序号为2时，变形为 ，以此推导出规律解答即可； （2）根据猜想，把序号换成n即可． 本题考查了规律的探索，正确探索序号与等式的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得 序号为1时，变形为 ，    序号为2时，变形为 ， 序号为3时，变形为 ， 序号为4时，变形为 ， 故当序号为6时，即， 故答案为：． （2）根据题意，得 序号为1时，变形为 ，    序号为2时，变形为 ， 序号为3时，变形为 ， 序号为4时，变形为 ， 故当序号为n时，即， 故答案为：． 5．（21-22八年级下·山东烟台·期中）观察下列等式：； ； ； …… (1)【观察猜想】根据以上规律归纳出： ①______________．（不填中间式子） ②_______________．（不填中间式子） (2)【论证猜想】请证明②这个等式． (3)【拓展运用】根据以上规律，求的值． 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）①x右下角的角码是第一个幂分母的底数，角码加上1就是第二个幂分母的底数，结果是常数1加上角码与相邻较大的整数积的倒数，找到规律，计算即可． ②角码为n，相邻整数n+1，规律一般化即可． （2）通分，运用完全平方公式计算即可． （3）根据计算后，两边分别求和计算即可． 【详解】（1）①； 故答案为：． ②， 故答案为：． （2）证明：左边 右边． （3）由题意可知，，， ∴ ． 【点睛】本题考查了等式中规律问题，正确发现恒等式中的规律是解题的关键． 技巧02图形的规律探究类问题 《方法技巧》 解决图形变化规律问题可以从“形”和“数”两个角度入手，通过逐一看图，观察、分析、归纳图形或数 字的变化规律，从而得出答案.这体现了从特殊到一般的数学思想.其主要过程是首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 【典例】 1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，每一个图形都是由一些黑点按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有个黑点，第②个图形中有个黑点，第③个图形中有个黑点，按此规律，则第⑦个图形中黑点的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形类规律探索，观察图形得出规律（为正整数），由此计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：设第个图形有个黑点为正整数． 观察图形，可知：，，，，， ∴（为正整数）， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·江西九江·阶段练习）如图，正方形的边长是1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续作图，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律，勾股定理，由特殊情况总结出一般规律，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理：， 按照此规律继续下去，则， 故答案为：． 3．（2024·安徽·模拟预测）如图，对面积为的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长，，至，，，使得，，，顺次连接，，，得到，记其面积为，按此规律继续下去，可得到，则其面积为 ． 第次操作得到，则的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，三角形的面积，正确判断相邻的两个三角形面积之间的关系是解决本题的关键．连接，根据同高的两个三角形的面积之比等于底边之比，依次得到，然后得到，进而得到，同理可得，，然后得到，即，以此类推，即可得到，，，，，． 【详解】解：如图所示，连接， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， 即； 同理可得，， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 4．（2025·安徽淮南·一模）某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题． (1)图5中共有______个黑色小正方形，图n（n为正整数）中共有______个黑色小正方形． (2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？ 【答案】(1)65； (2)该图形中共有325个黑色小正方形 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，一元一次方程，解题时必须仔细观察规律，通过归纳得出结论．注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n个图案中有个黑色小正方形． （1）根据题干找到规律即可解答； （2）根据题意列出方程解答即可． 【详解】（1）解：图1中共有个黑色小正方形， 图2中共有个黑色小正方形， 图3中共有个黑色小正方形， 图4中共有个黑色小正方形， 图5中共有个黑色小正方形， 故图n（n为正整数）中共有个黑色小正方形． 故答案为：65；． （2）解：由题意，得图n中共有个小正方形， 则， 解得， ． 答：该图形中共有325个黑色小正方形． 5．（2024·安徽合肥·模拟预测）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层． (1)将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 ； (2)图3中的圆圈有14层，我们自上往下，在每个圆圈中按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ； (3)图4中的圆圈有14层，我们自上往下，在每个圆圈中按图4的方式填上一串连续的整数，，，，…，求图4中所有圆圈中各数值之和．（写出计算过程） 【答案】(1) (2)92 (3)2835 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形得出是解题的关键． （1）根据图2中的圆圈总个数是图1中的2倍，且图2中共有n层圆圈，每层个，据此可解决问题． （2）根据数的排列方式，求出第13层最右边一个数即可解决问题． （3）根据题意，得出正数，负数的个数即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知 图2中有n层圆圈，每层圆圈的个数为个， 所以图2中圆圈的总个数为个． 又因为图2中圆圈的总个数是图1中的2倍， 所以图1中圆圈的总个数为个， 即， 故答案为：； （2）解：当时 ， 即图3中第13层最右边一个数为91， 所以图3中第14层最左边这个圆圈中的数是92， 故答案为：92； （3）解：当时， （个）， 所以图4中共有105个圆圈． 因为这一串连续的整数为，，，，…， 所以这105个数中有25个负数，1个0，79个正数， 所以图4中所有圆圈中各数值之和为： ． 技巧03数与式中的新定义问题 《方法技巧》 新定义运算的规律其实是这几种规律当中最为简单的一种，因为其规律都是由题目给出的，想要找到其规律，需要从所给的条件当中进行简单的推论.这时候就考验大家的观察能力，以及对数字的敏感程度. 【典例】 1．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）阅读理解：把数用大括号围起来，如：、，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”．若“集”是“回归集”，则n的值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查新定义下的运算，一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据新定义下的运算，分类讨论计算即可． 【详解】解：①当时，， ∴6是集合中的元素，则， ②当，且时， ， 即， ， 解得或， ③当，且时， ， 即， 解得， 综上所述，n的值为6，1，，0． 故选D． 2．（2025九年级·湖南·学业考试）若我们约定：表示不大于的最大整数，例如：，，记，则的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，实数的运算，无理数的估算等知识，理解题中新定义是关键；由新定义知，当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个，则中，共有3个1，5个2，7个3，……，19个9，1个10，由此即可求解． 【详解】解：， ， 当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个，则中，共有3个1，5个2，7个3，……，19个9，1个10， ． ． 故选：B． 3．（25-26九年级上·山东济南·月考）定义新运算：，例如：，．若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义． 根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得，， 综上所述，x的值是或． 故选：D． 4．（25-26九年级上·四川成都·期中）若一个三位正整数的百位数字比十位数字大3，则称这个数是“嘉数”．例如：742，，是“嘉数”；例如：431，，不是“嘉数”．则最小的“嘉数”是 ．若“嘉数”N的百位数字、十位数字、个位数字依次为a，b，c，并规定：，，其中是整数，且也是整数，则满足以上条件的“嘉数”N的最大值是 ． 【答案】 300 854 【分析】本题主要考查了新定义，能正确理解题意是解题的关键． 要使“嘉数”最小，首先要保证百位数字最小，则十位数字要最小，据此确定十位的数字，从而确定百位的数字，再保证个位数字为0即可得到最小的“嘉数”；先求出，，再根据题意得到和都是整数，据此可得或或，或或，求出c的值，进而确定a的值即可得到答案． 【详解】解：要使“嘉数”最小，首先要保证百位数字最小，则十位数字要最小， 十位数字最小为0， 百位数字最小为3， 当百位数字为3，十位数字为0，且个位数字为0时，此时有最小的“嘉数”，即最小的“嘉数”为300； “嘉数”N的百位数字、十位数字、个位数字依次为a，b，c， ∴，即， ，， ，， 是整数，且是整数， 或或，或或， 或或， 当时，或（舍去）或（舍去）； 当时，或或（舍去）； 当时，（舍去）或或（舍去）； ∴或或， ∵“嘉数”N的最大值，则百位数字应最大， ，，时，N最大，最大为854， 故答案为：①300；② 5．（2024·天津·模拟预测）当n为正整数时，定义阶乘运算，例如 (1)证明 (2)化简 (3)若用[x]表示不超过x的最大整数，如，，记，求 【答案】(1)见解析 (2) (3)1 【分析】本题考查对新定义阶乘的理解，归纳法的运用，裂项法的运用； （1）按照阶乘的定义展开等式的左右两边，即可发现左右两边是完全一样的算式； （2）运用归纳法从算式中归纳出规律从而得出结果； （3）这种分数形式的加法首先考虑裂项相消的方法，由题意得，然后将原式扩大得到，然后即可裂项相消，得出，所以. 【详解】（1）证明：∵ ∴ （2）解：∵， ， ， ， ∴， ， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴. 故答案为：. （3）解：∵ ∴ ∵ ∵ ∴ 综上所述 ∴. 故答案为：1. 技巧04数与式中的大小比较方法 《方法技巧》 数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 类别比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 作差比较法：若a，b是任意两个实数，则①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b． 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b； ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b． 倒数比较法：若>，ab>0，则a<b． 作商比较法：①任意实数a，b，=1a=b； ②任意正实数a，b，>1a>b；<1a＜b； ③任意负实数a，b，>1a<b；<1a＜b. 【典例】 1．已知，，，则（  ） A．a < b < c B．a < c < b C．b < a < c D．b < c < a 【答案】A 【分析】本题考查数的大小比较． 先估算，再进行比较即可． 【详解】解：，，， ∴． 故选A． 2．（2025·安徽芜湖·二模）黄金分割是数学和美学的桥梁，而斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55随着项数的增加，相邻两数之间的比值逐渐趋近黄金分割数，试比较大小： ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割数，实数的大小比较，熟练掌握无理数的近似值是解题的关键． 分别运算出两数的近似值再作比较即可． 【详解】解：∵黄金分割数，， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（2025·安徽芜湖·三模）为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在上且，．通过计算可得 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，勾股定理的应用，以及三角形的三边的关系，解答此题的关键是要明确：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 首先根据，在上且，求出的值，然后在中，求出的值，在中，求出的值，在根据三角形的三边的关系，判断出与的大小即可． 【详解】解：，， 在中，， ，， 在中，， ，在上且， ， 在中，， ． 故答案为：． 4．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）； (2)判断之间的大小，并证明． 【答案】(1)>； (2)，见解析． 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键， （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可． 【详解】（1）解：， 则， 故答案为：>； （2）， 证明：， ， ， ， ． 5.阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化． 解：原式． 运用以上方法解决问题： (1)将分母有理化． (2)比较大小（在横线上填“>”“<”或“=”）：______． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化、平方差公式的应用、二次根式乘法运算等知识点，掌握分母有理化成为解题的关键． （1）根据平方差公式先分子和分母都乘以即可解答； （2）先分母有理化，然后再比较大小即可； （3）先分母有理化，最后合并同类二次根式，最后算乘法即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∵ ∴． 故答案为：． （3）解： ． 技巧05乘法公式与几何图形综合 《方法技巧》 1.平方差公式：①用多项式的乘法推导平方差公式 ②常见验证平方差公式的几何图形 2.完全平方公式 ①用多项式的乘法推导完全平方公式： ②通过面积法推导完全平方公式： 【典例】 1．（2025·河北石家庄·模拟预测）有一个边长为的小正方形和一个边长为的大正方形．将小正方形按图1的方式放入大正方形中，设图中阴影部分的面积为；再将小正方形按图2的方式放入大正方形中，取的中点，设图中三角形（阴影部分）的面积为． (1) （用含，的式子表示）； (2)求的大小（结果用含，的式子表示）； (3)若，请你直接写出的值，不用说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查列代数式，解题的关键是结合图形找到相应长度的代数式． （1）由题意知，阴影部分是上底为a、下底为b，高为的梯形，据此求解即可； （2）结合图形得出，，据此依据三角形面积公式可得答案； （3）根据已求的的表达式可得答案． 【详解】（1）解：由题意知，阴影部分是上底为a、下底为b，高为的梯形， 所以， 故答案为：； （2）解：∵M是的中点， ∴． ∴， 又 ∴ （3）解：由题意知，， 所以，． 2．（2025·河北·一模）如图，大正方形A的边长为a，小正方形B的边长为b，两个正方形重叠部分（阴影部分）的面积为m． (1)用含b，m的代数式表示正方形B中空白部分的面积：______． (2)若，，设正方形A中空白部分的面积为，正方形B中空白部分的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了平方差公式的几何应用． （1）利用正方形B的面积减去m即可求解； （2）分别求得，；求得，利用平方差公式分解，再整体代入数据求解即可． 【详解】（1）解：正方形B中空白部分的面积为：； 故答案为：； （2）解：正方形B中空白部分的面积为：； 正方形A中空白部分的面积为：； ∴ ， ∵，， ∴． 3．（2025·浙江·一模）《几何原本》是数学发展史中的不朽著作，该书记载了很多利用几何图形来论证代数结论的方法，凸显了数形结合的思想.如图①，借助四边形的面积说明了等式成立． (1)观察图②，③，找出可以推出的等式： 等式A：； 等式B：； 可知，图②对应等式_____；图③对应等式_____． (2)如图④，中，，，于点，是边上一点，作于点于点，过作的平行线交直线于点．分别记，，，的面积为．求的值． 【答案】(1)B，A (2) 【分析】本题考查了乘法公式在几何图形中的应用，分式的化简，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）观察图形，根据面积计算方法即可快速判断； （2）由题意可得，，，均为等腰直角三角形，设，则，用代数式分别表示，再代入化简即可． 【详解】（1）解：图②中大正方形的面积为，也可以表示为两个正方形和两个长方形的面积和，则为， ∴， ∴图②对应等式B； 图③中实线部分的两个长方形的面积和可以表示为大正方形面积减去小正方形面积即为，当把右下角的小长方形移至大长方形左边，则两个长方形的面积和可以表示为， ∴得到， ∴图③对应等式A； 故答案为：B，A； （2）解：由题意可得，，，，均为等腰直角三角形， 设，如图： 则， ∴， ∴． 4．（2025·河北邯郸·三模）探究：把四块如图1所示的小正方形按图2所示的方式拼成一个大正方形，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的矩形； 尝试：用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积，可得到的等式为_____； 应用：如图3，已知是线段上一点，分别以为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若，求阴影部分的面积； 拓展：已知，求的最小值． 【答案】尝试：，应用：12，扩展：2 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景，根据图形中面积的不同表示方法得到相关等式是解题的关键． 尝试：从整体上看，阴影部分的面积=边长为的正方形的面积；从组成上看，阴影部分的面积=边长为m的大正方形的面积个长为m、宽为n的小长方形的面积再加上边长为n的正方形的面积； 应用：设，得，求出，从而可求出阴影部分的面积； 拓展：进行整式的减法得，再进行配方可得结论． 【详解】解：尝试：， 故答案为：； 应用：设， 由题意，得． 又， ， ． 阴影部分的面积为． 拓展：， 的最小值为2． 5．（2025·河北石家庄·模拟预测）有两根长度相同的铁丝，嘉嘉、琪琪两位同学分别用它折成了一个长方形和一个正方形，如图1，2所示．设长方形和正方形的面积分别为和． (1)正方形的边长______（用含的式子表示）； (2)比较______（填写“”“”或“”）； (3)若为正整数，则长方形与正方形的面积之和可以等于吗？若可以，求出的值；若不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)长方形与正方形的面积之和不可以等于，理由见解析 【分析】本题考查了正方形、长方形的性质，列代数式，一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得正方形的边长，即可得到答案； （2）由得到，即可得到答案； （3）不可以，理由：设，得到，解得，即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得正方形的边长， 故答案为：； （2）解：， ， 故答案为：； （3）解：长方形与正方形的面积之和不可以等于，理由如下， 设， ， ， 解得：， 为正整数， ∴长方形与正方形的面积之和不可以等于． 技巧06因式分解的方法拓展 《方法技巧》 1.分组分解法 (1)定义：am十an十bm十bn=a(m十n)十b(m十n)=(a十b)(m十n),像这种把多项式分成几组来进行因式分解的方法叫做分组分解法， (2)分组的标准：将多项式的项进行适当分组后，组与组之间能提公因式 或运用公式法进行因式分解 2. 十字相乘法 由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 1．（2025·广东珠海·二模）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式： 根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了公式法因式分解法和分组分解法的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）仿照进行分解即可； （）仿照进行分解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（2025·宁夏银川·二模）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键． （1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可； （2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可； （3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，整体代入得出答案即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） 根据题意得：， ∴原式． 3．（2024·湖南邵阳·二模）由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： (1)尝试：分解因式： ； (2)应用：请运用“十字相乘法”解方程： 【答案】(1)1；5 (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用“十字相乘法”进行因式分解，即可求解； （2）利用“十字相乘法”将方程左边因式分解可得，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：1；5 （2）解：将方程左边因式分解得， ∴或， 解得：． 4．（2025·江苏扬州·三模）【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；② 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对进行因式分解； （2）①利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解；②利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （3）①利用题中的“十字”可以对多项式进行因式分解；②利用如图4所示的“十字”可以对多项式进行因式分解为，然后结合有理数的乘法运算分析求解即可． 【详解】 解：（1）， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①∵ ∴； ②∵ ∴， ∴， 故答案为：； （3）①根据题意得： ∴， 故答案为：； ②， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴为奇数，不能为3的倍数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴． 一、单选题 1．（2025·新疆·一模）的相反数是（   ） A． B． C．2025 D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义即可解答． 【详解】解： 的相反数是 ，． 的相反数是． 故选：C． 2．（2025·黑龙江·一模）人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据科学记数法的定义作答即可． 【详解】． 故选：C． 3．（2025·江西吉安·二模）在数轴上表示下列各数，其中距离原点最远的是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，实数的大小比较，熟练掌握绝对值的几何意义和实数的大小比较是解题的关键．依题意，选项的每个数值的绝对值最大即为距离原点最远，即可作答． 【详解】解：∵，，，，， ∴绝对值最大的是3， ∴距离原点最远的是3， 故选：A． 4．（2025·广东清远·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项等知识，根据各自的运算法则一一计算即可得出答案． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 5．（2025·云南·模拟预测）若分式 有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选D． 6．（2025·全国·一模）若多项式可分解为，则（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用公式法因式分解、完全平方公式等知识点，掌握因式分解的定义是解题的关键． 由题意可得，即，进而得到． 【详解】解：∵多项式可分解为， ∴， ∴， ∴，． 故选：B． 7．（2025·河北·一模）若，则表示实数的点会落在数轴的（ ） A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，先化简二次根式，计算出a的值，再估算出a的范围，再结合数轴即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ，， ， 即， 故实数a的点会落在数轴的段②上， 故选：B． 8．（2025·江西宜春·三模）烷烃是一类由碳、氢元素构成的有机化合物，如图是这类物质前三种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，如图，第1种有4个氢原子，第2种有6个氢原子，第3种有8个氢原子，…，按此规律，则第2025种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．4048 B．4050 C．4052 D．4054 【答案】C 【分析】根据题意，第一个结构模型中有个氢原子，第二个结构模型中有个氢原子，第三个结构模型中有个氢原子，由此得到第2025个结构模型中有个氢原子，解答即可． 本题考查了规律探索，正确探索规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，第一个结构模型中有个氢原子， 第二个结构模型中有个氢原子， 第三个结构模型中有个氢原子， 由此得到第2025个结构模型中有个氢原子． 故选：C． 9．（2025·山东聊城·模拟预测）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则，按此规律继续计算，则第2025次“”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握“给什么用什么”是“新定义”解题的基本思路． 计算出时第1，2，3，4，5，6，7次运算的结果，通过计算从第5次开始，结果就只有1和4两个数循环出现，进而观察规律即可得结论． 【详解】解：当， 第1次“”运算的结果是： ， 第2次“”运算的结果是： ， 第3次“”运算的结果是： ， 第4次“”运算的结果是：， 第5次“”运算的结果是，， 第6次“”运算的结果是，， 第7次“”运算的结果是，， … 以此类推可知，从第5次“”运算开始，每两次“”运算为一个循环，运算的结果为1、4依次出现，且当次数为偶数时，结果是4，次数为奇数时，结果是1， ∴第2025次“”运算的结果是1， 故选：A． 10．（2025·河北邢台·三模）【规定】一列数中任意相邻的三个数满足，则这个数列为“漂亮数列”． 如下结论：①若是“漂亮数列”，则； ②若不论取何值，数列都是“漂亮数列”，则； ③若数列…，…是“漂亮数列”，则． 其中正确的是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，整式加减的应用，解题关键是理解新定义运算． 根据“漂亮数列”意义直接解可以判断①； 根据“漂亮数列”意义列出式子求得可以判断②； 根据“漂亮数列”意义列，由得出，代入，求出可以判断③． 【详解】解：①由题意得：； ②数列是“漂亮数列”， ， 不论取何值，数列都是“漂亮数列”， ，解得：， ； ③数列是“漂亮数列”， ， ∴， ， 解得：或−2． ∴正确的是①②， 故选：B． 二、填空题 11．（2024·广东茂名·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（2025·青海海西·一模） ；分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式与单项式的乘法，提公因式法与公式法的综合运用，关键是对平方差公式的掌握． 根据单项式与单项式相乘的法则，把系数相乘作为积的系数，相同的字母相乘作为积的因式，只在一个单项式中含有的字母也作为积的一个因式计算即可；：只需先提取公因式，然后再运用平方差公式分解即可． 【详解】解： ； ． 故答案为：，． 13．（2025·河北·一模）点A在数轴上的位置如图所示，设点A对应的数为x，若，写出一个符合条件的y的整数值： ． 【答案】 【详解】解：设点A对应的数为x，由点A在数轴上的位置可得， 所以若， 则符合条件的y的整数值为，0,1三个﹒ 故答案为：，0,1（写一个即可） 14．（2025·吉林·二模）某停车场为小时营业，其收费方式如下表所示．已知某辆车某日进入该停车场，停了小时为正整数），若该辆车于当日间离场，则此次停车的费用为 元．（用含有的代数式表示） 停车时长 收费标准 不超过3小时的部分 5元/小时 超过3小时的部分 3元/小时 【答案】 【分析】本题考查了分段收费问题，正确理解分段收费的意义是解题的关键．先计算停车的时间的取值范围，后根据收费标准，列代数式即可． 【详解】解：根据题意，某辆车某日进入该停车场，停了小时为正整数），若该辆车于当日的间离场， 停车时长的范围是（小时），（小时）， 停了小时，超过了3小时， 故收费为元， 故答案为：． 15．（2025·江西·一模）一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的……，则第n次倒出后，倒出的水的总量为 L． 【答案】 【分析】根据题目信息可推得第n次倒出水量是升的，将前n次倒出的水量相加即可求解．通过观察，第n次倒出的水量可表示为 升．前n次倒出的总量为​，利用裂项相消法，即​，求和后化简得升． 【详解】解：第1次倒出升水， 第2次倒出水量是升的， 第3次倒出水量是升的， 第4次倒出水量是升的， …， 第n次倒出水量是升的， 则第n次倒出水后，倒出的水量为： ； 故答案为：． 16．（2025·四川成都·三模）新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的立方差，且，则称这个正整数为“立方差友好数”例如：，56就是一个立方差友好数．若将“立方差友好数”从小到大排列，则第5个“立方差友好数”是 ；第28个“立方差友好数”是 ． 【答案】 117 665 【分析】本题考查规律型，整式乘法的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 根据定义，得出，取的值和对应符合题意的的值分别计算，通过观察规律，可以发现第 5 个“立方差友好数”和第 28 个“立方差友好数”． 【详解】解：根据题意，满足且，是正整数， 则， 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 将以上所有“立方差友好数”汇总，并按从小到大的顺序排列（重复的数只记一次）得到：观察可知，第5个“立方差友好数”是，第28个“立方差友好数”是， 故答案为：117，665． 三、解答题 17．（2025·广西·模拟预测）（1）计算：       （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1）1；（2）， 【分析】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键： （1）先进行零指数幂和特殊角的三角函数值的运算，再进行加减运算即可； （2）先利用完全平方公式和单项式乘以多项式的法则进行计算，再代值计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） 当时，原式． 18．（2025·四川巴中·中考真题）（1）计算下列代数式的值．． （2）先化简，再求值．，其中． 【答案】（1）4；（2）； 【分析】本题考查了有理数的乘方运算、特殊角的三角函数值（）、绝对值的性质、分式的混合运算与化简求值，解题的关键是熟练掌握乘方、三角函数、绝对值的基础计算规则，以及分式通分、因式分解、除法变乘法的化简方法，代入求值时准确计算． （1） 先计算乘方；再代入特殊角三角函数值，计算；接着化简绝对值；最后将各项结果进行加减运算． （2）先对括号内通分计算；再将除法转化为乘法（乘以倒数），对分子因式分解（完全平方公式）；然后约分简化分式；最后将代入化简后的式子计算． 【详解】（1） （2）解： 当时，原式 ∴化简结果为，代入求值结果为． 19．（2024·安徽·模拟预测）观察下列等式： …… (1)根据上述规律，写出第六个等式为 ． (2)请写出第个等式，并利用整式的乘除说明你写出的等式成立． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查整式的混合运算、实数的运算、数字的变化特点，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的式子． （1）根据题目中给出的式子的特点，可以写出第六个等式； （2）根据题目中式子的特点，写出第个等式，然后通过计算说明成立即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 第六个等式为：， 故答案为：； （2）解：由题意可得， 第个等式为：， 理由：设， 则， ， ， ， 即成立． 20．（2025·河北邯郸·三模）如图，有两张边长分别为，的正方形纸片，其面积分别为，． (1)求的值（用含的式子表示）． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式，解一元二次方程等知识，解题的关键是： （1）根据正方形的面积列式求解即可； （2）根据列出关于a的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解∶ ； （2）解∶ ， ， ， 或2， 又， ． 21．（2024·安徽·模拟预测）【观察思考】围棋起源于中国，至今已有多年的历史．围棋使用圆形黑白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．现用黑白棋子围成下列图案： (1)【规律发现】请用含的式子填空： 第个图案中黑色棋子的个数为_______，白色棋子的个数为_______． (2)【规律应用】结合图案中两色棋子的排列方式及上述规律，当第个图案中黑色棋子比白色棋子多个时，求正整数的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）根据已知图形找出规律即可求解； （）根据（）的规律列出方程，进而即可求解； 本题考查了图形的变化规律问题，找出图形的变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵第个图案中黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为， 第个图案中黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为， 第个图案中黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为， 第个图案中黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为， ， ∴第个图案中黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为， 故答案为：，； （2）解：由题意得，， 解得． 22．（2025·上海杨浦·模拟预测）①存在数字，使得，则称为虚数 ②若（、为实数），则称为复数 (1)判断：___________复数，___________复数，0___________复数 (2)化简： (3)在复数范围内解方程：． 【答案】(1)是；是；是 (2) (3)，， 【分析】本题考查了新定义，特殊角三角函数的运算，多项式乘多项式，理解题中新定义是解题的关键． （1）根据题中复数的定义直接判断即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，然后根据多项式乘多项式的运算法则和去括号，合并同类项即可； （3）设（、为实数），则，根据多项式乘多项式的运算法则和去括号，合并同类项得到，可知，然后由①得到，解得或，最后利用代入法解出、值即可得到答案． 【详解】（1）解：若（、为实数），则称为复数， ，符合定义，是复数；，符合定义，是复数；，符合定义，是复数； 故答案为：是；是；是． （2）解： （3）解：根据题意，设（、为实数）， ， 则， ， ， ； ， 由①得，，解得或， 把代入②，得，解得，此时； 把代入②，得，解得， 此时，解得，此时； 原方程的解为，，． 23．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）阅读下面的例题：分解因式：． 解：令得到一个关于的一元二次方程． ，，， ．解得，； ． 这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： (1)已知代数式对应的方程解为和5，则代数式分解后为_____，的值为_____； (2)将代数式分解因式． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了在实数范围内分解因式，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据求根法可得因式分解的结果为，再把展开即可求出k的值； （2）先仿照题意得到一元二次方程，利用公式法求出方程的解，再结合题意可得答案． 【详解】（1）解：∵代数式对应的方程解为和5， ∴代数式因式分解为， ∴，即； （2）解：令， ，，， ， 解得，； ． 24．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）综合探究：像，这样，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：； 根据以上信息解答下列问题： (1)与 互为有理化因式； (2)比较大小： ；（填“>”“<”或“=”） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化． （1）根据有理化因式的定义求解； （2）先分母有理化得到，，然后比较与的大小即可； （3）先分母有理化，再利用裂项相消法求和，最后利用平方差公式计算． 【详解】（1）解：与互为有理化因式， 故答案为：（答案不唯一） （2）解：∵，， 而， ∴， 故答案为：； （3）解： ． 1 / 92 学科网（北京）股份有限公司 $