圆锥曲线章末测试-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆锥曲线章末测试 一、单选题 1．双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 4．已知曲线，从C上任一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6．椭圆的离心率大小决定该椭圆的扁平程度，则下面四个椭圆中，最接近于圆的椭圆是（   ） A． B． C． D． 7．已知某抛物线的焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 8．设抛物线的焦点为，点在抛物线上，，若，则（   ） A．14 B． C． D．28 二、多选题 9．已知焦点在轴上的等轴双曲线的实轴长与圆的半径相等，与圆在第一、二、三、四象限分别交于四点，且，则（ 　） A．的渐近线方程为 B．的焦距为 C． D．四边形的面积为 10．已知椭圆，则（    ） A．M与N的离心率相等 B．M与N的焦距相等 C．M与N的长轴长不相等 D．M的短轴长是N的短轴长的两倍 11．已知抛物线的焦点为，点在上，则（    ） A．的坐标为 B．抛物线的准线方程为 C．若，则 D． 三、填空题 12．已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点M，且，则点M的轨迹方程为 ． 13．双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为 ． 14．若抛物线的焦点到准线的距离为2，则实数 . 四、解答题 15．（1）已知直线经过两直线和的交点，且平行于直线，求直线的一般方程； （2）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆经过点，求椭圆的标准方程. 16．已知双曲线C：（）. (1)若双曲线的离心率，求实数m的值； (2)若双曲线的离心率e的取值范围为，求实数m的取值范围； (3)直线与双曲线C相交于互异两点，设正数k为双曲线一条渐近线的斜率，求实数k的取值范围. 17．已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，过F的直线l与C交于A，B. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线l的倾斜角为，求. 18．已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值． 19．已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，双曲线的焦点为，顶点为为双曲线上一点． (1)求的标准方程； (2)求直线的斜率之积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 圆锥曲线参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C A B B D C ACD BC 题号 11 答案 BC 1．C 【分析】将双曲线化为标准方程，直接求解即可. 【详解】双曲线，化为标准方程得，则，离心率为 . 故选：C. 2．A 【分析】先利用椭圆方程转化的范围，再结合充分必要条件定义判断求解. 【详解】“方程表示椭圆”可以得出或，所以或； 所以“”不可以推出“方程表示椭圆”； “方程表示椭圆”可以推出“”； 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：A. 3．C 【分析】根据椭圆的定义结合勾股定理计算即可. 【详解】设该椭圆的长轴长为，焦距长为，由题意可知， 设，则， 因为，所以， 即， 解之得或，即或， . 故选：C 4．A 【分析】设，依题意得到，从而代曲线的方程求解． 【详解】解：设，依题意可知 即 因为点在曲线上，所以， 即， 故选：A． 5．B 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案. 【详解】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B 6．B 【分析】根据给定条件，求出各选项中椭圆的离心率即可判断得解. 【详解】椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 可得， 得到最接近于圆的椭圆是，故B正确. 故选：B 7．D 【分析】先求得焦点坐标，再根据焦点坐标求解抛物线方程即可. 【详解】直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为； 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为. 故选：D 8．C 【分析】根据抛物线的定义先算出的坐标，然后利用抛物线的定义可求解，从而可求解. 【详解】由题意可得，则可得，则， 又因为抛物线的通径长为，所以轴， 所以，故C正确. 故选：C. 9．ACD 【分析】利用等轴双曲线可判断A，利用方程组结合已知的线段长可求参数，从而可判断B，再通过计算交点坐标和长度可判断CD． 【详解】 由等轴双曲线，可知渐近线方程为，故A正确； 由等轴双曲线方程可化为：， 以实轴长为半径的圆方程：， 两方程消去可得：， 因为，所以，即， 则的焦距为,故B错误； 由等轴双曲线方程可化为：， 以实轴长为半径的圆方程：， 两方程消去可得：， 因为，所以，即，故C正确； 根据双曲线和圆的中心对称性和轴对称性，可知四边形是矩形， 即其面积为，故D正确； 故选:ACD 10．BC 【分析】通过椭圆的标准方程得到的值，求解离心率、焦距、长轴长和短轴长，即可判断各个选项. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆M的离心率，椭圆N的离心率，A错误； 对于B，椭圆M与N的焦距长都为，相等，B正确； 对于C，椭圆M与N的长轴长不相等，C正确； 对于D，椭圆M的短轴长不是N的短轴长的两倍，D错误. 故选：BC. 11．BC 【分析】根据抛物线方程确定抛物线的顶点坐标与准线方程即可判断AB，然后再由抛物线的焦半径公式求解判断CD. 【详解】由抛物线，则，准线方程为，故A错误，B正确； 对于C，由于点在上，则， 而，则，即，所以，故C正确； 对于D，，当且仅当，即在原点时，等号成立，故D错误. 故选：BC 12．， 【分析】设，，由此能求出动点的轨迹方程． 【详解】设，则， 整理，得，． 动点的轨迹方程是，． 故答案为：，． 13．或 【分析】根据双曲线的渐近线，设双曲线方程为，分和，根据虚轴长求的值. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为即， 故可设双曲线的标准方程为：，. 若，则，由虚轴长，所以双曲线方程为：； 若，则，由虚轴长，所以双曲线方程为：， 所以双曲线的标准方程为或. 故答案为：或 14．/0.25 【分析】由抛物线的焦点和准线方程即可求解. 【详解】由题意抛物线即的焦点为，准线方程为， 则. 故答案为： 15． （1） （2） （3）； 【分析】（1）先求出两直线的交点坐标，再根据两直线平行斜率相等求出待求直线的斜率，最后利用点斜式求出直线方程并化为一般式； （2）设出圆心坐标，根据圆心到圆上两点距离相等及圆心在已知直线上列出方程组，求解出圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程； （3）针对焦点位置分类讨论，根据椭圆的性质和已知条件列出方程，求解出、值，进而得出椭圆的标准方程. 【详解】（1）联立两直线方程，解得，即两直线的交点坐标为. 因为直线平行于直线，所以， 所以直线的方程为，即. 故直线的一般方程为； （2）圆心在直线上，可设圆心的坐标为. 因为圆经过两点，所以, 即， 即，解得， 所以圆心的坐标为，半径， 故圆的标准方程为； （3）当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为. 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，所以，即. 又椭圆经过点，所以，解得，所以， 此时椭圆的标准方程为； 当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为. 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，所以，即. 又椭圆经过点，所以，解得，所以， 此时椭圆的标准方程为. 故椭圆的标准方程为；. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线的离心率公式求解即可； （2）根据双曲线的离心率公式的运用，计算求解即可； （3）联立直线与双曲线C，消去y解一元二次方程，再由双曲线C与直线相交于互异两点列出不等式组，求解即可； 【详解】（1）由已知，可得， 解得； （2）由已知，可得； 解得； （3）； 消去y，得 双曲线C与直线相交于互异两点， 等价于不等式组， 解得或； 依题意： 当时，；当时，； 所以k的取值范围是. 17．(1) (2) 【分析】（1）由抛物线性质求解即可； （2）由已知得出直线方程，联立直线与抛物线，由韦达定理结合抛物线焦半径公式求解. 【详解】（1）由抛物线的性质知，，故抛物线； （2）由直线l的倾斜角为，则斜率为，直线方程为， 设， 联立，整理得，         则，，故    18．(1) (2) 【分析】（1）由离心率，再结合实轴长求解； （2）设的方程为，与双曲线的方程联立，再利用弦长公式求解. 【详解】（1）由离心率，又，则， 又实轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； （2）∵直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， ∴的方程为，设， 由，消去，得， ∴， ∴． 19．(1) (2)3 【分析】（1）先由椭圆的方程得焦点及顶点坐标，进而得双曲线的顶点及焦点坐标及方程； （2）根据M点在双曲线上及斜率的定义直接计算可得. 【详解】（1）如图： 由题意得，椭圆，得椭圆的左、右焦点分别为， 左、右顶点分别为， 所以双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为， 则有，故， 从而双曲线的方程为． （2）因为在双曲线上，则， 所以①， 所以直线的斜率之积为， 把①代入整理得，， 所以直线的斜率之积为3． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $