专题09 期末解答压轴题 7大高频考点（期末真题汇编，浙江专用）九年级数学上学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题09期末解答压轴题 ☆7大高频考点概览 考点01二次函数的综合应用 考点02几何中寻求函数表达式 考点03相似以三角形 考点04解直角三角形的综合应用 考点05切线牲质的应用 考点06动点、旋转、折叠等问题 考点07其他问题 目目 考点01 二次函数的综合应用 1. (22-23九年级上·浙江宁波期末)如图，抛物线y=ax2+(a+3)x+3a≠0)与x轴交于点A4,0),与y 轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交拋物线于点 P,过点P作PM⊥AB于点M. B (1)求a的值及cos∠BA0. (2)求PN的最大值 (3)设aPMN的面积为S,△AEN的面积为S,若=36 ,25’ 求此时m的值. 【答案】（①a=-3, ，©os∠BA)—生 (2)3 (3)m=2 【分析】(1)利用抛物线与x轴、y轴的交点，分别求出a的值，点B的坐标，再利用锐角三角形的概念 求出coS∠BAO (2)利用点A,B的坐标求出直线AB的表达式，用点E的坐标表示出点P,N的坐标，再利用两点间的距 离公式表示出PN的长，最后利用求二次函数的最值的方法求出PN的最大值. 1/66 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (3)利用己知条件判定△PNM∽△ANE,再利用相似三角形的面积比的性质得出这两个相似三角形的相似 比，通过利用锐角三角函数即可求出m的值， 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B, 0A=4,B(0,3,0=a42+a+34+3, 3 0B=3,a= 4 AB=V0A2+0B2=5 .Cos ZBA0=OA4 AB 5' 3 散COS ZBAC0气 (2)解：由点44,0)，B(0,3到可得，直线B的表达式为y=- 4r+3 由(1)知，a=-4 3 则腿物线的表达式为y=子+子+3。 Em,0）, (3 9 9 ..P m,- 2m2+2m+3,Nm,- m+3 4 4 4 PN=-3m2+9m+3- 9 3 m2+3m=-3 3 m+3=- m-22+3 4 4 4 4 4 3 <0,且0<m<4, 4 当m=2时，PN有最大值，为3. (3)解：PM⊥AB,PE⊥OA, :∠PMN=∠AEN. 又：∠PNM=∠ANE,△PNM∽△ANE, S=36 :aPMN的面积为S,△AEN的面积为S,325· PN 366 AE 4 :cos∠BOA= AN5' 4- 2/66 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由(2)可知PN=- 3 二m2+3m, 4 、3 m2+3m6 4 5(4-m 解得m=2,m2=4(不符合题意，舍去)· 故此时m的值为2 【点晴】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、抛物线上点的坐标特征、一次 函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，利用点的坐标表示出相应线 段的长度是解题的关键.注意相似三角形面积的比等于相似比的平方 2.(23-24九年级上浙江湖州期末)已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点. 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，点C是抛物线顶点，若点M是△OBC外接圆的圆心，求点M的坐标； (3)如图2，点P是抛物线对称轴上一动点，连接OP、BP,若点H为△OPB外接圆的圆心，当∠OPB最大 时，①求此时△OPB外接圆的面积；②请直接写出此时点H的坐标. 【答案】(1)抛物线的函数解析式为y=-x2-2x+3 a(别 ②H55)55 【分析】(1)利用待定系数法即可得出答案； (2)先求出点C的坐标，由AM是△08C外接圆的圆心，则点M在线段08的中垂线为直线x上，设 行小利用w0=MC即可求解： (3)①由题可知抛物线的对称轴为直线x=-1,当∠OPB的角度最大时，则△OPB的外接圆的半径为最小， 此时r=弓，即可求△80P外接圈面积：②由O知B多设H}D 1 利用勾股定理即可求解。 3/66 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0=-9-3b+c 【详解】(1)解：把A-3.0),B1,0)代入得0=-1+b+c 解得：b=-2,c=3 抛物线的函数解析式为y=-x2-2x+3; (2)解：：y=-x2-2x+3=-(x+12+4, ·点C的坐标为-1,4)， :线段OB的中垂线为直线x=2 :M是△OBC外接圆的圆心， .MO=MC, +a2= 2 +(a-42, .9 :a=4' ,19 :M24)月 (3)解：①由题可知抛物线的对称轴为直线x=-1, 如图，当∠OPB的角度最大时，则△OPB的外接圆与直线x=-1相切， :线段OB的中垂线为直线x= 2 :△0P3的外接顺的半径为最小，此时7分小-号 .△B0P外接圆面积为S=πr2=元× 3)29 2 =一π， 4 3 ②由①知HB= 4/66 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 --0-- .b2=2, b=±√2， H点的坐标为 【点晴】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，抛物线与三角形面积计算，二次函数的性质求最值 问题，抛物线与圆综合，三角形外接圆等，运用转化思想是解题的关键。 3.(22-23九年级上浙江温州期末)如图，抛物线y=二x2-4x+6与x轴交于A,B两点(A在B的左边)， 2 与y轴交于点C,连接AC,BC,点D在抛物线上一点. E B D 图1 图2 备用图 (I)求证；△OBC是等腰直角三角形， (2)连接DC,如图1，若BC平分∠ACD,求点D的坐标. (3)如图2，若点D在线段BC的下方抛物线上一点，画DE⊥BC于点E. ①求DE的最大值. ②在线段CE上取点F,连OF,DF,若∠EDE=∠ACB,且点C关于直线OF的对称点恰好落在抛物线上， 求点D的坐标（直接写出答案）， 【答案】(1)见解析 @n号号 (3D(2,0） 【分析】(1)先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，即可得OB=OC=6,即问题得解； (2)过点A作AE⊥BC交BC于点E,交CD于F,连接BF,利用等腰直角三角形的性质可得F(6,4),然 5/66 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y= 3+6 后求出直线CF的解析式为：y= 3+6,再联立 即可求解； y= -+6 (3)求得直线BC的解析式为：y=-x+6,①设过点D的坐标为 r-4xr+6 X, ,过点D与直线BC平行的 3 直线解析式为y=-x+6,过D点作y轴的平行线交BC于点P,通过联立方程可得点D的坐标为3，-2)根 据DPIOC可得P点粮坐标为3即可P3,3，引进而可得DP-号再证明。PDE为等腰直角三角形，即 DE-90P-子5，问选料解，②设点C关于0F的发称点为点7（且点T在港物线D,则有0F重直平分 线段CT,即70=0C=6,由图可知抛物线y=)x2-4x+6上除点C、点B外，再无其它点到原点的距离为 2 6,由此可得点T与点B重合，此时对称轴OF即为RtABOC斜边的中线，即点F为BC中点，过A点作 1G上BC于G点，连接FA,再计算出an∠GAF=an∠ACR,可得∠GAF=∠ACB,可知D点与A点重合， 则E点与G点重合，符合要求，问题随之得解 【详解】(1)证明：令x=0,可得y=2-4红+6=6， 令y=0,可得}x2-4x+6=0,解得x=2,x,=6 2 .A2,0,B6,0,C(0,6), ∴0B=6,0A=2,0C=6, ∴0B=OC=6,∠B0C=90°， :△BOC为等腰直角三角形； (2)过点A作AE⊥BC交BC于点E,交CD于F,连接BF,如图， B :△B0C为等腰直角三角形，AO=2, .AB=6-2=4,∠ABE=45°， :AE⊥BC, △AEB是等腰直角三角形， 6/66 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴AE=EB= AB=22, 2 :BC平分∠ACD, ∠ACB=LFCB, 即根据“三线合一”可知：AE=EF=2√2，即AF=4√2， .BF=V√EF2+EB2=4, AF□=ABC+BFC, ∴AAFB是等腰直角三角形，即BF⊥OB, F(6,4), 设直线CF的解析式为y=c+a,代入得： 1 a=6 k=- 6k+a=4 解得 3， a=6 3*6, 1 :直线CF的解析式为：y= 1 联立 y=3x+6 -r-4+6 22 解得 x=0 X2= y=6(舍去)， 3 y=9 D2232 (3’9 (3)B(6,0),C(0,6, 设直线BC的解析式为y=mx+n,代入得： n=6 m=-1 6m+n=0'解得 n=6 :.直线BC的解析式为： y=-x+6,, ①设点D的坐标为 x2-4x+6过点D与直线BC平行的直线解析式为y=-x+b,过D点作y轴的平行 线交BC于点P,如图， 7/66 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B D y=-x+b 联立 1x2-4x+ 可得。x2-3x+6-b=0, y= 则△=9-4×(6-b)=0 2 3 ∴.b= 2 “解得=x2=3 3 即点D的坐标为3， ,根据DPI‖CD可得P点横坐标为3， 2 即可得P(3,3), 当DE有最大值时，点D的坐标为-引P川，) 即：PD=-x+6 2-4+6=-+3x 2 9 当x=3时，DP= 2 :DPI‖OC, ∠DPE=∠0CB=45°， DE⊥BC, :△PDE为等腰直角三角形， 2 :此时DE的最大值为？2， ②设点C关于OF的对称点为点T(且点T在抛物线上)，则有OF垂直平分线段CT, 即T0=OC=6, 由图可知抛物线y=)x-4r+6上除点C、点B外，再无其他点到原点的距离为6， 2 点T与点B重合，此时对称轴OF即为RtABOC斜边的中线， 8/66 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即点F为BC中点， 过A点作AG⊥1BC于G点，连接FA, f(x)=0.5x24x+6 E(G A(D) B :A2,0),B(6,0),C(0,6),△B0C为等腰直角三角形， ∴.OB=6,OA=2,OC=6,且可得△AGB为等腰直角三角形， :BC=6√2，AG=GB=22, .OF-BF-CF-RC-32 ..FG=BF-GB=2,CG=BC-GB=42 tan∠ACB=AG=2V21 CG4√22' .tan∠GAF=tanZACB, ∠GAF=∠ACB, 此时若D点与A点重合，则E点与G点重合，满足∠EDF=∠ACB, 此时D点坐标为(2,0)： 若D点不与A点重合： 点F为定点(BC中点)，且F点在线段AE上，即：CE>CF, 第一种情况：当D点从A点往C点靠近时，E点也会逼近F点，此时形成的角∠EDF会越来越小， :即不存在LEDF=∠ACB的情况： 第二种情况：当D点从A点往B点靠近时，DF与BF的夹角∠DFB将越来越小，则在RtaDFB的另一个锐 角∠EDF会越来越大， .即不存在∠EDF=∠ACB的情况： 综上：D点与A点重合满足要求，即D2,0) 【点晴】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正切，等腰三角形的判定与性质，二次函数与一元二次 方程的关系等知识，问题的难点在第三问的第二小问，确定F点为BC的中点是解答本题的关键 9/66 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4. (22-23九年级上浙江宁波期末)如图1，已知抛物线y=-二x2+4与x轴交于点A,B,与y轴交于点 4 Q,点P为OQ的中点，经过点A,P,B的圆的圆心为点M,点C为圆M优弧AB上的一个动点. y B 0 M A 图1 图2 备用图 (1)直接写出点P,A,B的坐标：P ；A B (2)求tan ZACB的值； (3)将抛物线y=-x'+4沿x轴翻折所得的抛物线交y轴与点D,若BC经过点D时，求线段AC,PC的长， 4 (4)若BC的中点为E,AE交翻折后的抛物线于点F,直接写出AE的最大值和此时点F的坐标. 【答案】(1)0,2)；（-40)；4,0 (2)tan∠AcB=4 (3)AC=5V2,PC=3V10 2F限 【分析】(I)利用待定系数法求出A,B,Q的坐标即可解决问题. (2)如图1中，连接MA,MB,设圆M的半径为I,利用勾股定理求出r,再证明∠ACB=∠OMB即可解决问 题 ③)如图2中，连接AD,过点C作CH⊥y轴于H,证明CHDBOD,推出D=OB-号可得结论 CD CH 3 (4)如图3中，连接CM,BM,EM,取BM的中点J,连接AJ,JE,求出JE,AJ即可解决问题，再求出直线 AJ的解析式，翻折后的抛物线的解析式，构建方程组确定点F的坐标即可 解)(D对于抛物线y三产+4，令x=0,得到y=4,令=0，待x日 Q0,4),A(-4,0),B(4,0), ∴.OP=PQ, ∴.P(02) 10/66 专题09 期末解答压轴题 7大高频考点概览 考点01 二次函数的综合应用 考点02 几何中寻求函数表达式 考点03 相似三角形 考点04 解直角三角形的综合应用 考点05 切线性质的应用 考点06 动点、旋转、折叠等问题 考点07 其他问题 1．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，在x轴上有一动点，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交拋物线于点P，过点P作于点M．地 城 考点01 二次函数的综合应用 (1)求a的值及． (2)求的最大值． (3)设的面积为，的面积为，若，求此时m的值． 2．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）已知抛物线与x轴交于，两点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，点C是抛物线顶点，若点M是外接圆的圆心，求点M的坐标； (3)如图2，点P是抛物线对称轴上一动点，连接，若点H为外接圆的圆心，当最大时，①求此时外接圆的面积；②请直接写出此时点H的坐标． 3．（22-23九年级上·浙江温州·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，连接，，点D在抛物线上一点． (1)求证；是等腰直角三角形． (2)连接，如图1，若平分，求点D的坐标． (3)如图2，若点D在线段的下方抛物线上一点，画于点E． ①求的最大值． ②在线段上取点F，连，，若，且点C关于直线的对称点恰好落在抛物线上，求点D的坐标（直接写出答案）． 4．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图1，已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点Q，点P为的中点，经过点A，P，B的圆的圆心为点M，点C为圆M优弧上的一个动点． (1)直接写出点P，A，B的坐标：P___________；A___________；B___________； (2)求的值； (3)将抛物线沿x轴翻折所得的抛物线交y轴与点D，若经过点D时，求线段的长； (4)若的中点为E，交翻折后的抛物线于点F，直接写出的最大值和此时点F的坐标． 地 城 考点02 几何中寻求函数表达式 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，四边形是圆内接四边形，连结，交于点，过点作交的延长线于点． 【认识图形】 （1）求证：． （2）求证：． 【探索关系】 （3）当点，关于对称时． ①若，，求的长． ②记，，直接写出关于的函数表达式． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，内接于，是的直径，，过点A作，交于点E，点F是上一点，连接交于点G，连接交于点H． (1)求证：． (2)若，，求的长． (3)设，，求y关于x的函数表达式． 3．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图1，C、D是以为直径的上的点，且满足，点P在上，交于点M，交于点G，交于点N，交于点H． (1)求的度数． (2)如图2，当点P是的中点时， ①求证：是等腰三角形． ②求的值． (3)如图1，设，与的面积差为y，求y关于x的函数表达式． 地 城 考点03 相似三角形 1．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，E是矩形边上的一点，作交的延长线于点F，连结交于点G． (1)求证：； (2)已知， ①若G为中点，求的值； ②若为等腰三角形，求的长． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）【基础巩固】（1）如图1，在中，，D为上一点，，．求证：． 【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，交于点F．若， ．求的值． 【拓展延伸】（3）如图3，在（1）的条件下，若，M，N分别是，的中点，请直接写出周长的值． 地 城 考点04 解直角三角形的综合应用 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的直径，C为下方半圆上一动点，交于点D． (1)求证：； (2)已知半径为r，设，求x与y的关系式； (3)点P为上方圆外一点，且，连结，交上半圆于点E，已知当时，，求的值． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，菱形的边长是，．把菱形绕点顺时针旋转得到菱形，设旋转角度，与交于点，连接． (1)求的度数（用含的代数式表示）． (2)若，求的值． (3)求证：． 3．（23-24九年级上·浙江·期末）已知四边形内接于（），对角线于点M，点N为线段上一点，且． (1)如图1，若恰好经过圆心O，证明：． (2)如图2，若不经过圆心O，是否成立，请说明理由． (3)在（2）的条件下，如图3所示，线段与交于点G，延长交于点F，连结，若，，设，，请直接写出的长（用x，y表示）． 地 城 考点05 切线性质的应用 1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，是等腰三角形，，点为边上一动点，以点为圆心，为半径的圆分别交，于点，，为线段的中点． (1)求证：； (2)如图，连接交圆于点，当点为弧的中点时，求此时的长度； (3)如图，当圆与相切时，连接，若，求和的周长之比． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的外接圆，点D是弧的中点，过点D作的平行线交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)当时，求的值； (3)设． ①求的值；（用含n的代数式表示） ②若，，求的长． 地 城 考点06 动点、旋转、折叠等问题 1．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图1，在中，直径，D是上的动点，过点D作交于点E，F，连接，取的中点H，连接交于点M，并延长交于点C，连接． (1)当点D与圆心O重合时，如图2所示，求的值． (2)在点D的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出定值：若不是，请说明理由． (3)连接，，当是等腰三角形时，求的值． 2．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，是的直径，，点D是半圆上的动点，点C是中点，，交于点E，连接． (1)如图1，若， ①则的度数为 ； ②求点E到的距离． (2)如图2，连接，将绕点E顺时针旋转，点O的对应点F恰好落在上，求证：． (3)在（2）的条件下，连接并延长，交的延长线于点G，求出四边形的面积． 3．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在等腰中，，点为的中点，是的外接圆，将沿边翻折得到． (1)如图1，当为等边三角形时，下列结论正确的是 ． ①是直角三角形； ②是等腰直角三角形； ③是的切线； ④ (2)如图2，当点恰好落在上时， ①求证：是等腰三角形； ②求的长． (3)当最大时，直接写出此时的半径． 地 城 考点07 其他问题 1．（23-24九年级上·浙江丽水·期末）小施在复习浙教版教材九上第页第题后，进行变式与探究： 等腰三角形中，点是底边上的动点，以为圆心，为半径作圆，交于点．已知，．    (1)【基础变式】 如图，当点是中点时，交于点，连结．求证：． (2)【拓展探究】 如图，作点关于直线的对称点，射线交于点，连结，，． ①求的值； ②判断与的位置关系，并说明理由； ③当点在什么位置时，点恰好落在的延长线上？ 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图1，四边形内接于，对角线与交于点，点在上，． (1)求的度数． (2)如图2，作于点与交于点为中点，求证：． (3)在（2）的条件下，． ①若的面积是面积的3倍，求的长． ②如图3，当圆心在高上时，求的半径． 3．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图1，四边形是的内接四边形，其中，对角线相交于点E，在上取一点F，使得，过点F作交于点G、H． (1)证明:． (2)如图2，若，且恰好经过圆心O，求的值． (3)若，设的长为x． ①如图3，用含有x的代数式表示的周长． ②如图4，恰好经过圆心O，求内切圆半径与外接圆半径的比值． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $