专题07 期末选填压轴题 9大高频考点（期末真题汇编，浙江专用）八年级数学上学期

专题07 期末选填压轴题 9大高频考点概览 考点01 一元一次不等式难点分析 考点02 一次函数的代数应用 考点03 一次函数的几何应用Ⅰ 考点04 一次函数的几何应用Ⅱ—最值问题 考点05 求满足条件的点的个数；一次函数其他问题 考点06 传统几何求解问题 考点07 动态几何题 考点08 几何中的最值问题 考点09 特殊三角形的综合应用、辨析 1．（23-24七年级下·浙江台州·期末）关于的一元一次不等式，当或时，满足的整数解恰好有3个，则的取值范围为 ．地 城 考点01 一元一次不等式难点分析 2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）若关于x的方程有三个整数解，则的值是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25八年级上·浙江·期末）已知关于x的不等式组的整数解有且仅有4个：，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 4．（21-22七年级上·浙江宁波·期末）已知正整数，，均小于5，存在整数满足，则的值为 ． 地 城 考点02 一次函数的代数应用 1．（23-24八年级下·浙江台州·期末）直线与的图象交于点，下列判断①关于的方程的解是②当时，关于的不等式的解集是③设直线，则直线一定经过定点④当原点到直线的距离最大时，则．正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）已知关于x的一次函数与（a，b为常数，且），下列结论：①点在函数图象上；②若，则；③若，则函数一定不经过第二象限；④若函数经过点，则函数一定经过点．其中正确结论的序号是 ． 3．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数． （1）当时，则 ； （2）当时，自变量的负整数值恰好有2个，则的取值范围为 ． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）定义：若，满足，（为常数），则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则 ； （2）在的范围内，若直线上存在“好点”，则的取值范围为 ． 地 城 考点03 一次函数的几何应用Ⅰ 1．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）已知直线和直线． 若直线与轴所围成的三角形面积记作． （1）当时，的值是 ； （2）当时，的取值范围是 ． 2．（21-22八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点在直线：上，点在直线：上，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过坐标原点O作直线的垂线交于点的角平分线交x轴于点D． （1）线段的长为 ． （2）若一动点P在射线上运动，连接，当为直角三角形时，点P的坐标为 ． 4．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点是线段上一点，交轴于，且， （1）的坐标为： ． （2）若为射线上一点，且，则点的坐标为 ． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，以为斜边向下方作等腰，延长交y轴于点C，连接，过点D作交x轴于点E．点P在线段上，当与的一边平行时，所有符合条件的点P的坐标为 ． 地 城 考点04 一次函数的几何应用Ⅱ—最值问题 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，四个点坐标依次为，，，，点为线段上一动点，点为线段上一动点，点为轴上一动点．当三点运动到最短时，点的坐标是 ． 2．（21-22八年级上·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线yx上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，则OP+AP的最小值为（　　） A．6 B．4 C．8 D．6 3．（20-21八年级上·浙江·期末）如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，所在直线的函数表达式是，若保持的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是 ． 4．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）当前我国的军事国防能力稳步提升，特别是激光武器发展迅速． （1）如图1，一束激光从点出发，射向轴上的点，经过反射后射向点，已知光线的反射满足反射定律（即反射角入射角）．若点，点，则直线与轴的交点的坐标为 （2）如图2，线段是一根激光感应器，其函数表达式为，从点射出的激光射向位于轴上的镜面，经过反射后恰好覆盖线段上的4个整数点（横纵坐标都为整数的点），则的最小值为 ． 地 城 考点05 求满足条件的点的个数；一次函数其他问题 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等腰直角中，点E，F将斜边三等分，且，点P在的边上，则满足的点P的个数是（　　）    A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 2．（20-21八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于B点，与轴交于A点，点在线段 上，且，若点P在坐标轴上，则满足的点P的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）为平面直角坐标系内的两点，定义，并称它为A、B两点之间的中和距离，现已知点，O为坐标原点，动点满足，且，则动点P的轨迹长度为（    ） A．4 B． C． D． 地 城 考点06 传统几何求解问题 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，，点D为边上的中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），过点A作交于点F，过点B作交的延长线于点G．若已知的长，则可求出（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在长方形中，为等腰直角三角形，且，点在线段上，点在线段上，若，则 ． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有的全等三角形纸片（如图①）拼成一个正三角形（如图②），即．连接，，，若长是2，的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在四边形中，对角线，F为上一点，连接交于点E，，已知，且． （1）则的长是 ； （2）若，且，则 ． 5．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，，，平分，平分，点在边上，作射线交于点．    （1）若，则的长为 ； （2）若，则的长为 ． 地 城 考点07 动态几何题 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知和四点在同一条直线上，，且，现将沿直线方向左右平移，则平移过程中的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，，点E是边上一动点，沿把翻折到的位置，使与边交于点F，连结．当是直角三角形时，的长为 ． 3．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，中，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为 ． 地 城 考点08 几何中的最值问题 1．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（    ）    A．4 B．6 C． D．8 2．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）已知中，，，点O是两个底角的角平分线交点，点P在外，，，，的面积分别记为．若，则线段长的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在等腰直角中，，在斜边上取点，使得为边上一动点，以为直角顶点，为直角边构造等腰直角(在右侧)，当最小时， ． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，D是外一点，，，，若，则取最小值时， ．    5．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，P、Q分别为边上两个动点，在运动过程中始终保持，连接和，当值达到最小时，的值为 ． 6．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，为的中点，已知点在直线上运动，连接，以为边向右侧作等腰直角三角形． （1）若，当点落在边上时，则的度数为 ； （2）若，，连接，则的最小值是 ． 地 城 考点09 特殊三角形的综合应用、辨析 1．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，中，于平分于，与相交于点是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．正确的是（  ） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 2．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：①．②．③过点B作于点I，延长IB交AC于点J，则．④若，则．其中正确的结论个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（21-22八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，，点D在上，连结，将沿折叠，点A的对称点为交于点F，下列结论正确的是 ． ①当时，为直角三角形； ②当为直角三角形时，； ③当时，； ④当平行的边时，． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 期末选填压轴题 9大高频考点概览 考点01 一元一次不等式难点分析 考点02 一次函数的代数应用 考点03 一次函数的几何应用Ⅰ 考点04 一次函数的几何应用Ⅱ—最值问题 考点05 求满足条件的点的个数；一次函数其他问题 考点06 传统几何求解问题 考点07 动态几何题 考点08 几何中的最值问题 考点09 特殊三角形的综合应用、辨析 1．（23-24七年级下·浙江台州·期末）关于的一元一次不等式，当或时，满足的整数解恰好有3个，则的取值范围为 ．地 城 考点01 一元一次不等式难点分析 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、一元一次不等式的整数解，解题时要熟练掌握并能灵活运用分类讨论的思想是关键． 依据题意，结合数轴对满足不等式的3个整数解进行分类讨论，再结合所得关于的不等式即可计算得解． 【详解】解：由题意，在数轴画出不等式的解集，如图所示． 或，且满足的整数解恰好有3个， 左右两部分的整数解可分以下四种情形． ①左边无解，右边三个解为7，8，9． ． 此时无解，不合题意； ②左边一个解为，右边两个解为7，8． ． ． ③左边两个解为：，，右边一个解为7． ． 此时无解，不合题意； ④左边三个解为：，，，右边无解． ． 此时无解，不合题意． 综上，． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）若关于x的方程有三个整数解，则的值是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质可得然后讨论及的情况下解的情况，再根据方程有三个整数解可得出的值． 【详解】解：①若 当时，解得：，； 当时，解得：；； ②若 当时，解得：，； 当时，解得：，； 又方程有三个整数解， 可得：或，根据绝对值的非负性可得：． 即只能取． 故选：B． 【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，掌握绝对值的性质及不等式的解集的求法是关键． 3．（24-25八年级上·浙江·期末）已知关于x的不等式组的整数解有且仅有4个：，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，根据已知条件求出a，b的值成为解题的关键． 先解关于x的不等式组的解集，再根据其整数解确定a，b的值，进而确定的个数即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解， ∴ ， ∵不等式组的整数解，有且仅有4个：， ∴必须满足，解得， ∵a、b为整数， ∴或或，或6， ∴整数对有、、、、、，共6个． 故选：D． 4．（21-22七年级上·浙江宁波·期末）已知正整数，，均小于5，存在整数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】首先根据正整数a，b，c均小于5，得出2a+2b+2c≤24+24+24=48，2a+2b+2c≥2+2+2=6，即6≤2022+1000m≤48，解不等式组求出m的范围，根据m为整数，得出m=-2，那么2022+1000m=22．观察得只有2+4+16=22，求出a+b+c=1+2+4=7，进而得到m（a+b+c）=-2×7=-14． 【详解】解：∵正整数a，b，c均小于5， ∴2a+2b+2c≤24+24+24=48， 2a+2b+2c≥2+2+2=6， ∴6≤2022+1000m≤48， ∴-2.016≤m≤-1.974， ∵m为整数， ∴m=-2， ∴2022+1000m=22． ∵2a，2b，2c，的取值只能为2，4，8，16， 观察得只有2+4+16=22， ∴a+b+c=1+2+4=7， ∴m（a+b+c）=-2×7=-14． 故答案为：-14． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，不等式的性质，一元一次不等式组的解法，求出m与a+b+c的值是解题的关键． 地 城 考点02 一次函数的代数应用 1．（23-24八年级下·浙江台州·期末）直线与的图象交于点，下列判断①关于的方程的解是②当时，关于的不等式的解集是③设直线，则直线一定经过定点④当原点到直线的距离最大时，则．正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】A 【分析】根据两条直线交点与对应方程组的关系可判断①；把点代入两个函数关系式，可求出，结合可求出的范围，进而可判断②③；当时，原点到直线的距离最大，结合勾股定理即可判断④． 【详解】解：∵直线与的图象交于点， 当时，， ∴当时，， ∴关于的方程的解是，故①正确； ∵直线与的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴过一、二、三象限，随的增大而增大， 由直线与的图象交于点，作图如下： 由图可知，不等式的解集是，故②正确； ∵与的图象交于点， ∴当时，， ∴直线一定经过定点，故③正确； 如图，当时，原点到直线的距离最大 ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得；故④错误； 综上，正确的结论是①②③； 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理，一次函数与不等式，一次函数的图象和性质，坐标与图形，属于常考题型，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）已知关于x的一次函数与（a，b为常数，且），下列结论：①点在函数图象上；②若，则；③若，则函数一定不经过第二象限；④若函数经过点，则函数一定经过点．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征，两直线交点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的图象位置与系数符号的关系，是解决本题的关键． ①将点代入即可判断； ②根据列不等式，结合解不等式即可； ③若，根据，得到，，可判断一次函数的图象的位置； ④将点代入，可得，将代入，得到，再判断其是否经过即可． 【详解】将代入， 得，， ∴点在函数图象上， 故①正确； ∵， ∴， 若，则， 解得， 故②正确； 若， 又， ∴，， ∴的图象过一、三、四象限， ∴函数一定不经过第二象限， 故③正确； 将代入， 得，， ∴， ∴， 当时，， ∴一定经过点， 故④正确． 故答案为：①②③④． 3．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数． （1）当时，则 ； （2）当时，自变量的负整数值恰好有2个，则的取值范围为 ． 【答案】 1 或 【分析】此题考查了一次函数的性质、一元一次不等式组等知识，分情况讨论是关键． （1）将代入解答即可； （2）分两种情况结合不等式组的解集分别进行解答即可． 【详解】（1）当时，， ∴， 则， ∵， ∴， 解得， 故答案为：1 （2）①当时，随着的增大而增大， ∴当时，可得， 解得， ∵自变量的负整数值恰好有2个， ∴负整数值只能是， 则 解得， ②当时，随着的增大而减小， ∴当时，可得， 解得， ∵自变量的负整数值恰好有2个， ∴负整数值只能是， 则 解得， 综上可知，的取值范围为或 故答案为：或 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）定义：若，满足，（为常数），则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则 ； （2）在的范围内，若直线上存在“好点”，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系等知识，本题综合性强，有一定难度． （1）根据题意得出，消去t即可得到； （2）根据题意得出，消去t得，由-在，得出． 【详解】（1）∵是“好点”， ∴， 消去t得到， 故答案为：； （2）∵在的范围内，若直线上存在“好点”， ∴， 消去t得：， ∵， ∴， 故答案为：． 地 城 考点03 一次函数的几何应用Ⅰ 1．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）已知直线和直线． 若直线与轴所围成的三角形面积记作． （1）当时，的值是 ； （2）当时，的取值范围是 ． 【答案】 / 或 【分析】本题考查了两直线与坐标轴围成的三角形的面积问题； （1）将代入得出，，作出图形，根据三角形的面积即可求解； （2）依题意得出过定点，则点到轴的距离为,根据，结合题意，得出和时的值，结合图象即可求解． 【详解】解：（1）当时，， 如图所示，设交于点，与轴交于点，与轴交于点，则 ∴，解得：，则， 当时，，∴， ∴， ∴ （2）∵， ∴过定点，则点到轴的距离为, 设与轴交于点，则,则 ∴ 当时， 解得：或 当时， 解得：或 ∵ ∴或 故答案为：或． 2．（21-22八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点在直线：上，点在直线：上，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】如图，过点作轴，垂足为，过点作于点，证明，设，根据，列出二元一次方程组，解方程组求解即可． 【详解】如图，过点作轴，垂足为，过点作于点， 是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ,, 依题意，设，则, , ， 解得 如图，当点在第二象限时，过点作轴，垂足为，过点作于点， 同理可得 则, , ， 解得 或 或 故答案为：或 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解二元一次方程组，分类讨论是解题的关键． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过坐标原点O作直线的垂线交于点的角平分线交x轴于点D． （1）线段的长为 ． （2）若一动点P在射线上运动，连接，当为直角三角形时，点P的坐标为 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、一次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据解析式求出点、坐标，由代入数据求出长即可； （2）先求出点坐标，由角平分线可知，所以当为直角三角形时，其为等腰直角三角形，利用一线三垂直全等，构造等线段，从而建立方程求解即可． 【详解】解：（1）直线交轴于点，交轴于点， ，， ， ， 由等面积可知，， ； 故答案为：； （2）在中，， ， 如图，过作于点， 根据等面积可得， 把代入可得， ， ，平分， ①如图，当时，则， 过作轴，过作于点，于点，则， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； ②如图，当时，则， 过作轴，过作于点，过作于点， 同理可得， 设，， 则， 解得， ， ，； 综上，点坐标为或． 故答案为：或． 4．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点是线段上一点，交轴于，且， （1）的坐标为： ． （2）若为射线上一点，且，则点的坐标为 ． 【答案】 或 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求直线解析式，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，构造全等是解题的关键； （1）设，根据，得，从而得； （2）设直线的函数解析式为：，代入、坐标，得出直线的解析式；设直线的函数解析式为：，将、的坐标代入得出直线的解析式，与直线联立即可得出点D的坐标；当点在线段上时，过点作轴，过点、分别作的垂线，垂足分别为点，可证，得，，从而点，当点在的延长线上时，由对称性可知． 【详解】（1）设 解得， ， 故答案为：； （2）设直线的函数解析式为： 代入、坐标得 ∴直线的函数解析式为：， 设直线的函数解析式为：，将、的坐标代入得： ， ， ∴直线的函数解析式为：， 当时， 则 在射线上存在两个点，使， 如图，当点在线段上时，过点作轴，过点、分别作的垂线，垂足分别为、点， 又， 当点在的延长线上时，由对称性可知 综上点的坐标为：或， 故答案为：或． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，以为斜边向下方作等腰，延长交y轴于点C，连接，过点D作交x轴于点E．点P在线段上，当与的一边平行时，所有符合条件的点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】设与x轴交于点H，过点D作轴于K，轴于T，先求出点，点，则，，证明得，则是等腰直角三角形，进而得是等腰直角三角形，设，则，在中，由勾股定理求出，则点，点，当点P在线段上，与的一边平行时，有以下两种情况：①当时，则轴，则点P的横坐标为，由此可得点P的坐标；②当时，则，先求出直线的表达式为：，再求出直线的表达式为：，然后解方程组，即可得出点P的坐标，综上所述即可得出答案． 【详解】解：设与x轴交于点H，过点D作轴于K，轴于T，如图1所示： 对于，当时，，当时，， ∴点，点， 在中，，， 由勾股定理得：， ∵是以为斜边的等腰三角形， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴设， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴点， ∴， ∵是等腰直角三角形，轴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 当点P在线段上，与的一边平行时，有以下两种情况： ①当时，则轴，如图2所示： ∴点P的横坐标为， 对于，当时， ∴点P的坐标为； ②当时，则，如图3所示： 设直线的表达式为：， 将点，点代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设直线的表达式为：， ∵， ∴， 将，点代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 解方程组：，得：， ∴点P的坐标为， 综上所述：所有符合条件的点P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式是解决问题的关键． 地 城 考点04 一次函数的几何应用Ⅱ—最值问题 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，四个点坐标依次为，，，，点为线段上一动点，点为线段上一动点，点为轴上一动点．当三点运动到最短时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】作线段关于轴的对称线段，且点关于的对称点为点，结合轴对称的性质以及垂线段最短的性质可得当点与点重合，点在同一直线上，且时，取最小值，即取最小值，设直线交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，首先求得直线的解析式，进而确定点，易得为等腰直角三角形，再证明为等腰直角三角形，进而解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，作线段关于轴的对称线段，且点关于的对称点为点， 则，，， ∴， 过点作的平行线，由图可知线段在直线上方， 故当点与点重合，点在同一直线上，且时，取最小值，即取最小值， 设直线交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 令，可得，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、垂线段最短、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数的应用等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 2．（21-22八年级上·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线yx上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，则OP+AP的最小值为（　　） A．6 B．4 C．8 D．6 【答案】C 【分析】根据点Q的运动先证明点P在直线PM是运动，再根据轴对称最值问题，作点P关于直线PM的对称点B，连接AB，求出AB的长即可． 【详解】解：如图，作∠OAM＝60°，边AM交直线OQ于点M，作直线PM， 由直线yx可知，∠MOA＝60°， ∴∠MOA＝∠OAM＝60°， ∴△OAM是等边三角形， ∴OA＝OM， ∵△APQ是等边三角形， ∴AQ＝AP，∠PAQ＝60°， ∴∠OAQ＝∠MAP， ∴△OAQ≌△MAP（SAS）， ∴∠QOA＝∠PMA＝60°＝∠MAO， ∴PM∥x轴，即点P在直线PM上运动， 过点O关于直线PM的对称点B，连接AB，AB即为所求最小值， 此时，在Rt△OAB中，OA＝4，∠BAO＝60°， ∴∠OBA＝30°， ∴AB＝2OA＝8． 故选：C． 【点睛】本题属于一次函数与几何综合题，涉及勾股定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，轴对称最值问题，旋转的性质等知识，解题的关键是得出点P在直线PM是运动． 3．（20-21八年级上·浙江·期末）如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，所在直线的函数表达式是，若保持的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是 ． 【答案】 【分析】根据自变量与函数值得对应关系，可得A，C点坐标，根据勾股定理，可得AC的长度；根据全等三角形的判定与性质，可得CD，BD的长，可得B点坐标；首先取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边关系，求得点B到原点的最大距离． 【详解】解：当x=0时，y=2x+2=2， ∴A（0，2）； 当y=2x+2=0时，x=-1， ∴C（-1，0）． ∴OA=2，OC=1， ∴AC==， 如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D． ∵∠ACO+∠ACB+∠BCD=180°，∠ACO+∠CAO=90°，∠ACB=90°， ∴∠CAO=∠BCD． 在△AOC和△CDB中， ， ∴△AOC≌△CDB（AAS）， ∴CD=AO=2，DB=OC=1， OD=OC+CD=3， ∴点B的坐标为（-3，1）． 如图所示．取AC的中点E，连接BE，OE，OB， ∵∠AOC=90°，AC=， ∴OE=CE=AC=， ∵BC⊥AC，BC=， ∴BE==， 若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE=， 若点O，E，B在一条直线上，则OB=OE+BE=， ∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系是求AC长度的关键，又利用了勾股定理；求点B的坐标的关键是利用全等三角形的判定与性质得出CD，BD的长；求点B与原点O的最大距离的关键是直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形三边关系．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 4．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）当前我国的军事国防能力稳步提升，特别是激光武器发展迅速． （1）如图1，一束激光从点出发，射向轴上的点，经过反射后射向点，已知光线的反射满足反射定律（即反射角入射角）．若点，点，则直线与轴的交点的坐标为 （2）如图2，线段是一根激光感应器，其函数表达式为，从点射出的激光射向位于轴上的镜面，经过反射后恰好覆盖线段上的4个整数点（横纵坐标都为整数的点），则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、三角形全等的判定与性质等知识，较难的是题（2），正确找出临界位置是解题关键． （1）先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得； （2）先求出线段上共有5个整数点：，，，，，再找出两个临界位置：①当点的坐标为，点的坐标为时，②当点的坐标为，点的坐标为时，分别求出点的坐标，由此即可得． 【详解】解：（1）如图，由题意得：， 由对顶角相等得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点位于轴的负半轴上， ∴直线与轴的交点的坐标为， 故答案为：． （2）对于函数， 要使得y为整数，则x为偶数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴线段上共有5个整数点：，，，，， ∵， ∴由（1）可知，直线与轴的交点坐标均为， 则有以下两个临界位置： ①当点的坐标为，点的坐标为时， 设直线的解析式为， 将点和代入得：，解得， 则直线的解析式为， 当时，，解得，即， 同理可得：直线的解析式为， 当时，，解得，即， ∴此时的最小值为； ②当点的坐标为，点的坐标为时， 同理可得：直线的解析式为，直线的解析式为， 当时，，解得，即， 当时，，解得，即， ∴此时的最小值为； ∵， ∴当镜面的端点放在点、端点放在点的位置上时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 地 城 考点05 求满足条件的点的个数；一次函数其他问题 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等腰直角中，点E，F将斜边三等分，且，点P在的边上，则满足的点P的个数是（　　）    A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查最短路径，勾股定理，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM交BC于点H，连接CM、BE、BF、FH，可得点H到点E和点F的距离之和最小，求出最小值即可解答，在线段BC找到点H到点E和点F的距离之和最小是解题的关键． 【详解】解：如图，作点F关于的对称点，连接交于点N，连接交于点H，连接、、、，    点E，F将对角线三等分，且 ， 点M与点F关于对称， ， 即 则在线段存在点H到点E和点F的距离之和最小为 在点H右侧，当点P与点C重合时，则 点P在上时，，有一个点P使 在点H左侧，当点P与点B重合时， ，， 点P在上时，有一个点P使， 在线段上的左右两边各有一个点P使 同理在线段、上也都存在两个点使 即共有6个点P满足 故选：D． 2．（20-21八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于B点，与轴交于A点，点在线段 上，且，若点P在坐标轴上，则满足的点P的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】作点关于轴的对称点，根据直线与x轴交于B点，与轴交于A点，求出A，B两点的坐标，然后利用勾股定理求得，即，可判断点P在x轴上，使得的点P的个数是两个；作点关于轴的对称点，同理可判断点P在y轴上，使得的点P的个数是两个，据此求解即可． 【详解】解：如图示，作点关于轴的对称点， 直线与x轴交于B点，与轴交于A点， 则当时，，即A点坐标是：（0，）， 当时，，即B点坐标是：（，0）， ∴， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理可得：，， ∴， ∴C点坐标是：（，），D点坐标是：（， ）， 则点坐标是：（，）， ∴， ∴， 即：， ∴如下图示， 点P在y轴上，使得的点P的个数是两个， 如图示，作点关于轴的对称点， 同理可以求得， 即：， ∴点P在y轴上，使得的点P的个数是两个， 综上所述，点P在坐标轴上，满足的点P的个数是4个， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、轴对称的性质、勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键． 3．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）为平面直角坐标系内的两点，定义，并称它为A、B两点之间的中和距离，现已知点，O为坐标原点，动点满足，且，则动点P的轨迹长度为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，化简绝对值，分情况讨论为解题关键，根据新定义，结合中和距离的定义，即可求出动点P的轨迹方程，可得轨迹为两线段，即可求得长度． 【详解】解： ， ， ， ，， 当，时， ，，，， ，整理得：， 当，时， ，，，， ，整理得：， 当，时， ，或，，， ，或，整理后均不符合条件， 由上述讨论可知，动点P的轨迹由两部分组成： 一部分是直线在，范围内的部分，即从到的线段，其长度为， 另一部分是直线在范围内的部分，即从到的线段，其长度为， 则动点P的轨迹长度为， 故选：C 地 城 考点06 传统几何求解问题 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，，点D为边上的中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），过点A作交于点F，过点B作交的延长线于点G．若已知的长，则可求出（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，延长，交的延长线于，由可证，可得，，由可证，可得，，可证，由勾股定理可得，即可求解．添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：延长，交的延长线于， ，， ， ， 点是的中点， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 已知的长， 可求的长， 故选：A． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在长方形中，为等腰直角三角形，且，点在线段上，点在线段上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，可设，则，从而得到，，再由，可得，即可求解． 【详解】解：在长方形中，， ∴， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有的全等三角形纸片（如图①）拼成一个正三角形（如图②），即．连接，，，若长是2，的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，正确得出与的面积相等是解题关键．过点作于点，过点作，交延长线于点，先求出和，根据含30度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，根据三角形的面积公式可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求出，由此即可得． 【详解】解：如图②，过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵，， ∴，，，，， ∴， ∴在中，， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ， ∴在中，， ∴， ∴， 同理可得：， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可证：， ∴，， ∴， 又∵，， ∴是等边三角形， 如图②，过点作于点， 则， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在四边形中，对角线，F为上一点，连接交于点E，，已知，且． （1）则的长是 ； （2）若，且，则 ． 【答案】 10 6 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）延长交的延长线于点H，易得是等腰直角三角形，可证，所以，即可得解； （2）由条件易证，得到，所以，即可求解． 【详解】解：（1）延长交的延长线于点H， ， ， ， ∴， ，即是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， 在中，， 即， ； 故答案为：10； （2），， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ． 故答案为：6． 5．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，，，平分，平分，点在边上，作射线交于点．    （1）若，则的长为 ； （2）若，则的长为 ． 【答案】 2 /0.5 【分析】（1）作于点，于点，根据角平分线定理可得，由，可求的值，在等腰直角中，，即可求解， （2）作于点，于点，在上截取，由，可得，通过等量代换可得，，设，在中，应用勾股定理，求出的长度，即可求解， 本题考查了角平分线定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理解直角三角形，解题的关键是：添加辅助线构造全等三角形． 【详解】解：当时，作于点，与点，连接，    平分，平分， ， 又，，，， ， 即：，解得：， ，， 是等腰直角三角形， ， 当时，作于点，于点，在上截取，    平分， ， 又，， ， 又， ， ， ，， ， 又平分， ， 又， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 在中， ，即：，解得：， ， ， 故答案为：2；． 地 城 考点07 动态几何题 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知和四点在同一条直线上，，且，现将沿直线方向左右平移，则平移过程中的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点作于点，过点作于点，设交于点，证明，得出，以直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，勾股定理求得的长，进而转化为到和的距离的和，作关于轴的对称点，求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，设交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 以直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图所示， 依题意，，则， ，则， 设， ∵ ∴ ∴ 即到和的距离的和 如图所示，作关于轴的对称点 ∴ 的长为的最小值，最小值为． 故选：D ． 【点睛】本题考查了等腰三角的性质，全等三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质求线段和的最值问题，坐标与图形，转化线段的长为的长是解题的关键． 2．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，，点E是边上一动点，沿把翻折到的位置，使与边交于点F，连结．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】6或5.6 【分析】本题考查翻折变换、勾股定理、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．分当时及当时两种情形分别求解即可． 【详解】解：①如图，当时，过点A作交的延长线于点H，过点E作交的延长线于点N， ， ， ， 。 设则， 由折叠的性质可得：，， ， ， ， 中，， ， 解得：， ； ②如图，当时， ， ,, 由折叠的性质可得：, , , 时， , 设则， 中，， ， 解得：， ， ． 故答案为：6或5.6 3．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，中，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可得出答案． 【详解】解：如图，当时， ， ； 如图，当时， 由折叠的性质可得：，， ， ， ； 如图，当时， 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 地 城 考点08 几何中的最值问题 1．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（    ）    A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】取的中点，连接，得出，进而证明得出，结合已知条件得出，进而可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵点为的中点， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴当时，取得最大值，即的最大值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，等腰三角形性质与判定，垂直平分线的性质与判定，得出是解题的关键． 2．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）已知中，，，点O是两个底角的角平分线交点，点P在外，，，，的面积分别记为．若，则线段长的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】当点P在的左侧时，根据，可得，过点A作于点D，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得，，从而得到，过点P作的平行线，过点O作于点R，交于点T，连接，则，可得点P的运动轨迹是直线，再由，可得，再由点O是两个底角的角平分线交点，平分，可得过点O，继而得到，可证得，可得，然后在中，根据勾股定理可得，从而得到，再由，可得的最小值为；当点P在的右侧时，同理的最小值为；当点P在直线的下方时，同理的最小值为，即可求解． 【详解】解：当点P在的左侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点A作于点D， ∵，， ∴，平分， ∴， ∴， ∴， 过点P作的平行线，过点O作于点R，交于点T，连接，则， ∵的面积是定值， ∴点P的运动轨迹是直线， ∵， ∴， ∵点O是两个底角的角平分线交点，平分， ∴过点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得：， 即， ∴， ∵， ∴的最小值为； 当点P在的右侧时，同理的最小值为； 当点P在直线的下方时，同理的最小值为； ∵． ∴的最小值为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答，根据题意得到点P的运动轨迹是解题的关键． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在等腰直角中，，在斜边上取点，使得为边上一动点，以为直角顶点，为直角边构造等腰直角(在右侧)，当最小时， ． 【答案】 【分析】作于点，将线段绕点逆时针旋转到线段，连结，则，，而，，则，可证明，得，，可知点在经过点，且与垂直的直线上运动，当时，的值最小，此时，延长交于点，连结，可证明，得，由，，求得，，于是得到问题的答案， 【详解】解：作于点，将线段绕点逆时针旋转到线段，连结， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 如图，则点在经过点，且与垂直的直线上运动， 当时，的值最小， 如图，，则，延长交于点，连结， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，三角形形内角和定理、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，D是外一点，，，，若，则取最小值时， ．    【答案】/ 【分析】延长交于点，得到，再通过线段的转换得到，过点作的垂线段，且使，证明，根据两点之间线段最短得到三点共线时，取得最小值，以点为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，过点作轴的垂线段，交轴于点，求得点坐标，即可计算的值，即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， ， 过点作的垂线段，且使， ， ， ， ， 取最小值时，取最小值，即三点共线时，取得最小值， 以点为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，过点作轴的垂线段，交轴于点， ， 设直线的解析式为， 把代入可得，解得， 直线的解析式为， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得，可得， 解得， ， 设的解析式为， 把代入可得， 解得， 的解析式为， 联立方程组， 解得， ， ， 根据勾股定理可得， ， 故答案为：．    【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求一次函数及其交点坐标，坐标与图形，作出正确的辅助线，利用建立直角坐标系的方法求得的长，是解题的关键． 5．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，P、Q分别为边上两个动点，在运动过程中始终保持，连接和，当值达到最小时，的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：过点B作，且，在上截取，连接，由可证，可得，由“”可证，可得，则，即当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，由“”可证，可得，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H是的中点， ∴， ∴点P与点H重合， ∴， ∴， 故答案为：1． 6．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，为的中点，已知点在直线上运动，连接，以为边向右侧作等腰直角三角形． （1）若，当点落在边上时，则的度数为 ； （2）若，，连接，则的最小值是 ． 【答案】 36 / 【分析】（1）根据题意得，即可求出的度数； （2）过点F作，交于点Q，过点D作，交于点H，连接，用勾股定理求出，由为的中点，得到，，由，得当点三点共线时，即点重合时，有最小值，有最小值，证明利，得到，由即可得出结果． 【详解】解：（1）在中，，， ， 点落在边上时，是等腰直角三角形，， ， ， 故答案为：36； （2）如图，过点F作，交于点Q，过点D作，交于点H，连接， 在中，，，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， 当点三点共线时，即点重合时，有最小值，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质、直角三角形的特征，轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形． 地 城 考点09 特殊三角形的综合应用、辨析 1．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，中，于平分于，与相交于点是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．正确的是（  ） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】①根据平分，得，再根据得，由此可对结论①进行判断； ②证明和全等，则，再证明得，由此可对结论②进行判断； ③利用三角形内角和定理可求出，由此可对结论③进行判断； ④过点作于点，则，，由此得，再根据得，进而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①平分，， ， ， 在中，， 故结论①正确； ②，， 是等腰直角三角形，， ， 在中，， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ； 故结论②正确； ③是等腰直角三角形，是边的中点， ，， 在中，， ， ， 是等腰三角形， 故结论③正确； ④过点作于点，如图所示： 平分，， ， 在中，， ， 又，， ， ， ， ， ， 故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 2．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：①．②．③过点B作于点I，延长IB交AC于点J，则．④若，则．其中正确的结论个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． 首先根据题意证明出，进而得到，即可判断①；过点F作交延长线于点O，证明出，得到，然后利用三角形面积公式即可得到，即可判断②；过点A作交的延长线于点P，过点C作，证明出，得到，同理得到，得到，然后证明出，得到，即可判断③；根据全等三角形的性质得到，然后利用勾股定理证明出，同理得到，然后得到，即可判断④． 【详解】∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴，故①正确； 如图所示，过点F作交延长线于点O，    ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∵， ∴，故②正确； 如图所示，过点A作交的延长线于点P，过点C作    ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ 同理可证， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴，故③正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ 同理可证， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论个数是4． 故选：D． 3．（21-22八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，，点D在上，连结，将沿折叠，点A的对称点为交于点F，下列结论正确的是 ． ①当时，为直角三角形； ②当为直角三角形时，； ③当时，； ④当平行的边时，． 【答案】①③ 【分析】由已知可得，，，利用折叠的性质和含角的直角三角形的性质依次计算验证即可得解． 【详解】在中，，，， ∴，，． ①由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， 即为直角三角形，故①正确； ②当为直角三角形，分两种情况讨论： 当时，； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或，故②错误； ③当时，是等边三角形， ∴． 由折叠的性质可知：， ∴． 由折叠的性质可知：， ∴． ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴，故③正确； ④分两种情况： 当时，； 当时， 如图， ， ∴， 又， ∴，故④错误． ∴正确的结论是①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了翻折变换、含角的直角三角形、平行线的性质等，熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出是解决问题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $