专题06 期末解答压轴题 7大高频考点（期末真题汇编，浙江专用）八年级数学上学期

专题06 期末解答压轴题 7大高频考点概览 考点01 一次函数与特殊三角形 考点02 一次函数的综合应用；新定义题 考点03 特殊三角形—传统解答证明题 考点04 特殊三角形—动点、折叠问题 考点05 特殊三角形—综合应用 考点06 特殊三角形—情景探究Ⅰ 考点07 特殊三角形—情景探究Ⅱ 1．（24-25八年级上·浙江·期末）在等腰直角三角形中，，，点A，B分别在坐标轴上．地 城 考点01 一次函数与特殊三角形 (1)如图①，若 ，，求点C的坐标． (2)如图②，若点C的横坐标为2，求点B的坐标． (3)如图③，若点A的坐标为，点B在y轴的正半轴上，以为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，连接交 y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的长；若变化，求出的取值范围． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点（点不与点重合），以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角三角形． (1)如图1，当点是的中点时，求点的坐标． (2)如图2，当点在上移动时，连结，交轴于点．求证：． (3)点在射线上运动过程中，当是等腰三角形时，求的面积． 地 城 考点02 一次函数的综合应用；新定义题 1．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，直线相交于点O，直线l分别交射线，射线于A，B两点，平分，交于点D，点G是直线l上一动点，过G作的垂线，交于E，交于F，垂足为H，设，，且 (1)直接写出，的值，______，______； (2)若G与A重合（如图2），求证：； (3)若G是直线上任意一点（如图3），试判断之间的数量关系． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． (1)①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ． (2)如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 3．（24-25八年级上·浙江·期末）【了解概念】已知函数是自变量的函数，当，称函数为函数的“倍差函数”． 在平面直角坐标系中，对于函数图象上一点，称点为点关于函数的“倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上． 【理解运用】例如：函数．当时，称函数是函数的“倍差函数”．在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点，点为点关于的“倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上． （1）求函数的“倍差函数”的表达式； （2）点在函数的图象上，点关于函数的“倍差点”为点，若点与点的纵坐标的和为，求点的坐标； 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，的“倍差函数”，直线交轴于点，已知点，，．若直线与有交点，求的取值范围． 地 城 考点03 特殊三角形—传统解答证明题 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在等边中，点在边、上，且，连接、交于点． (1)①求证：≌； ②过点作，请直接写出线段与的数量关系_______． (2)如图，连接，当时，请求出线段与的数量关系． (3)如图，延长到点，当，时，则______． 2．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图1，在中，，，点在边上，点在边的延长线上，且． (1)设，求的度数（用含的代数式表示）． (2)如图2，过点作，交于点，求证：． (3)如图3，在边上取点，使，作交的延长线于点，若，，求的长． 地 城 考点04 特殊三角形—动点、折叠问题 1．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知正三角形的边长为4，为内部（含边上）的一点，过点作，交于点，过点作于点，过点作于点． (1)如图1，点在边上； ①当为中点时，判断点与点G是否重合，并说明理由； ②当时，求出的长； (2)如图2，点在内部，且在线段上，连结，求的取值范围． 2．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，等边，点E是边 (或延长线)上一点，点D是边（或延长线)上的点，连接，以为边向下作等边，连接． (1)如图1，若点D与点C重合，证明：； (2)如图1，移动点E，使点E为中点，则与的数量关系为 ； (3)如图2，移动点D，使点D为中点，求证：； (4)如图3，移动点D，E，使D，E分别在的延长线上，若，，直接写出的长(用m的代数式表示)． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）定义：若是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)若是“方倍三角形”，且斜边AB=，则该三角形的面积为____． (2)如图，是“方倍三角形”，且，求证：为等边三角形． (3)如图，中，，，是边上一点，将沿进行折叠，点落在点处，连接，，若为“方倍三角形”，且，求的长． 地 城 考点05 特殊三角形—综合应用 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知中，，D为边上一点，，E为三角形外一点，交于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． (3)当为直角三角形时，求的值． (4)若，直接写出的面积． 2．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，，在边上取点D，连接，在边延长线上取点E，使得． (1)若，则 ； (2)如图2，当，时，求四边形的面积（用含a的代数式表示）； (3)设， ① （用含α，β的代数式表示）； ②求证：． 3．（23-24八年级上·浙江台州·期末）已知在中，，，分别表示，的对边，记的面积为，分别以为边向形外作等边三角形和等边三角形．记等边三角形的面积为，等边三角形的面积为． (1)如图1，若，，求的值； (2)如图2，以为边向上作等边三角形（点C在内），连接． ①判断和的关系，并说明理由； ②若是等腰三角形，试探索与之间的数量关系，并说明理由． 地 城 考点06 特殊三角形—情景探究Ⅰ 1．（24-25八年级上·浙江台州·期末）综合实践 【活动交流】数学活动课上，周老师让学生用一段绳子(无弹性)沿着三角板的两直角边边缘拉直滑动． 如图1，第一次拉成折线，且，第二次拉成折线，探究绳子两个端点之间距离的变化情况． 周老师和同学们在探究时，有如下交流： 小明：两种不同位置，绳子的两个端点的距离不一样，即． 小聪：我发现问题可抽象为：如图，在中，，在和延长线上分别取点，，若，则． 小颖：小聪，在探究你的问题的过程中，我发现点是中点． 周老师：小聪发现的结论是正确的，当绳子两端到角顶点距离相等时，绳子两端距离最小． 结合上述师生的交流完成下面任务： 【探究论证】 （1）如图2，请你证明小颖发现的结论； （2）如图2，请你证明小聪发现的结论； 【创新应用】 （3）如图3，中，，，，点，，分别在边，，上，若，求的最小值． 2．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图1，在等边三角形中，点D是边上的一点，点E是延长线上的一点，且．    (1)【特例探究】如图2，当D是的中点时，求的度数． (2)【猜想证明】小兵由图2发现，进而猜想：当D是边上的任意一点时，．请你利用图1帮助小兵证明这个结论． (3)【拓展应用】如图3，当D是边上的任意一点时，取的中点F，连结，，求的度数． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）【概念呈现】 有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．    【性质探究】 （1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点． 请证明； 【拓展应用】 （2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接． ①若，求的度数； ②当的值为多少时，与是“和合”三角形． 4．（24-25八年级上·浙江金华·期末）【问题探究】 （1）如图1，已知和均为等腰三角形且， ①连接，求证：． ②如图2，线段交线段于点E，交线段于点F，且．若，，求线段的长． 【学以致用】 （2）如图3，已知点C在的右侧，连接．若，，且，求线段的长． 地 城 考点07 特殊三角形—情景探究Ⅱ 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下研究：已知在中，． 【基础】（1）如图1，分别以为边向外作正方形和正方形，若正方形的面积为9，正方形的面积为16，求的长； 【变式】（2）如图2，分别以为边向外作等腰和等腰，连结．若，求的度数； 【拓展】（3）如图3，以为边向形外作等边三角形，以为边向上作等边三角形，连结．若，求等边三角形的面积． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）【探究发现】 （1）如图1，中，，，点为的中点，、分别是边、上的两点，若满足，，那么． ①的度数为________； ②线段、、之间满足的数量关系为________． 【应用类比】 （2）如图2，中，，，点为的中点，、分别是边、上的两点，若满足，试探究线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，点为的中点，、分别是直线、上的两点，若满足，，请求出的长． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）【问题情境】 （1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，是的中点，，，A，三点共线． 求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结． 请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． 由全等三角形、等腰三角形的性质可得． 【初步运用】 （2）如图2，在中，平分，为的中点，过点作，分别交的延长线和于点、点A．求证：． 【拓展运用】 （3）如图3，在（1）的基础上（即是的中点，，，A，三点共线），连结，若，当，时，求的长． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． 在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； [思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； [拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）综合与实践：小嵊与小州两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”，展开了课后探究． 【情景再现】 已知，如图1，在和中，，，． 下面是用“构造法”证明两个直角三角形全等的部分过程． 证明：如图1，延长至D，使，连接． 因为（已知），， 所以 所以（全等三角形的对应边相等）． … 所以 所以 【实践解决】 (1)请结合“情景再现”的证明过程，把“…”的部分补充完整； (2)小嵊进行了如下的思考：如图2，和都是等腰直角三角形，且．连接，若，，，求的长； (3)小州结合“构造法“进行进一步探究：如图3，是等腰直角三角形，，P是外一点，，，，求线段的长． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 期末解答压轴题 7大高频考点概览 考点01 一次函数与特殊三角形 考点02 一次函数的综合应用；新定义题 考点03 特殊三角形—传统解答证明题 考点04 特殊三角形—动点、折叠问题 考点05 特殊三角形—综合应用 考点06 特殊三角形—情景探究Ⅰ 考点07 特殊三角形—情景探究Ⅱ 1．（24-25八年级上·浙江·期末）在等腰直角三角形中，，，点A，B分别在坐标轴上．地 城 考点01 一次函数与特殊三角形 (1)如图①，若 ，，求点C的坐标． (2)如图②，若点C的横坐标为2，求点B的坐标． (3)如图③，若点A的坐标为，点B在y轴的正半轴上，以为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，连接交 y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的长；若变化，求出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)，即的长度不发生改变，是定值，为3 【分析】（1）作轴于点D，证明，可得，，再进一步求解即可； （2）作，易证，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题； （3）如图，作轴于点E．证明，可得，．进一步证明，可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：作轴于点D， ∵ ，， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，． ∴ ， ∴ 点C的坐标为． （2）解：如图，作于D．    ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴B点坐标． （3）解：的长度不发生改变．如图，作轴于点E． ∵ ，， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵ ， ∴ ． 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵ 点A的坐标为， ∴ ． ∴ ，即的长度不发生改变，是定值，为3． 【点睛】此题是考查了坐标与图形、等腰直角三角形的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点（点不与点重合），以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角三角形． (1)如图1，当点是的中点时，求点的坐标． (2)如图2，当点在上移动时，连结，交轴于点．求证：． (3)点在射线上运动过程中，当是等腰三角形时，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)32或128 【分析】（1）过点作轴，证明，即可得出结果； （2）过点作轴，由（1）可知，，进而得到，证明，即可得证； （3）分点三点共线，，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作轴，则：， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点作轴，则， 由（1）可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）①当三点共线时，如图， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，过点作轴，过点作，则：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ③当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，在轴上， 不存在，不符合题意； 故不存在为等腰三角形，且； 综上：或128． 【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 地 城 考点02 一次函数的综合应用；新定义题 1．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，直线相交于点O，直线l分别交射线，射线于A，B两点，平分，交于点D，点G是直线l上一动点，过G作的垂线，交于E，交于F，垂足为H，设，，且 (1)直接写出，的值，______，______； (2)若G与A重合（如图2），求证：； (3)若G是直线上任意一点（如图3），试判断之间的数量关系． 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【分析】因式分解结合非负性，得到，结合，进行求解即可； 如图2中，连接只要证明，即可解决问题； 结论：如图3中，作交于点，则只要证明即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 解得， 故答案为：； （2）证明：如图2中，连接 平分， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ，， ， ； （3）解：结论： 理由：如图3中，作交OB于点， ， ， ， ， 同理， ， 由（2）知：， 即 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，因式分解，平行线的判定和性质等知识，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题. 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． (1)①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ． (2)如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 【答案】(1)①是；②或 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一线三等角构造全等、面积桥、直角三角形斜边上的高、勾股定理及其逆定理等；解题过程中重点运用数形结合思想以及分类讨论思想，综合考查学生画图和全面思考问题的能力和解决问题的能力． （1）①根据等垂点的定义，进行判断即可；②分两种情况：分点在点上方和下方，分别画出图形求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）特殊点法求一次函数解析式，根据等积法求的高，根据，求出，根据三角形面积公式写出表达式即可． 【详解】（1）解：①∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， 则是2的“等垂点”， 故答案为：是． ②当点C在点B上方时，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点E， ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当点C在点B下方时，过点B作轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作于点E，如图所示： ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， 同理得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． （2）解：设 当时，如图，过作轴于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即或， ∵点在上， ∴或， 解得或(舍)， ∴． 当时，如图，过作轴于点， 同理可得或， ∵点在上， ∴或， 解得(舍)或， ∴． 综上所述：或． （3）解：∵直线上存在无数个5的“等垂点”， ∴直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 如图，过点分别作轴于点Q，轴于点H，交于点N， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴． 3．（24-25八年级上·浙江·期末）【了解概念】已知函数是自变量的函数，当，称函数为函数的“倍差函数”． 在平面直角坐标系中，对于函数图象上一点，称点为点关于函数的“倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上． 【理解运用】例如：函数．当时，称函数是函数的“倍差函数”．在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点，点为点关于的“倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上． （1）求函数的“倍差函数”的表达式； （2）点在函数的图象上，点关于函数的“倍差点”为点，若点与点的纵坐标的和为，求点的坐标； 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，的“倍差函数”，直线交轴于点，已知点，，．若直线与有交点，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）点的坐标为（2，0）；（3） 【分析】本题主要考查了新定义、待定系数法求一次函数解析式、一次函数与坐标轴交点问题等内容，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“倍差函数”的定义解答即可； （2）先确定点、的坐标，再根据互为相反数的定义解答即可； （3）先确定、的坐标，进而画出，结合函数图象求出临界值，即可得出答案． 【详解】解：（1）， ； （2）点在函数的图象上， 点的坐标为， 点的坐标为， 与点的纵坐标的和为， ， 解得：， 点的坐标为； （3）由（2）可得：点的坐标为， 直线的表达式为：， 当时，， 点的坐标为：， ，， 设直线的表达式为， ， 解得：， 直线的表达式为：， 直线与有交点，结合图形可得直线与线段有交点即可， ， 解得， 即的取值范围为． 地 城 考点03 特殊三角形—传统解答证明题 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在等边中，点在边、上，且，连接、交于点． (1)①求证：≌； ②过点作，请直接写出线段与的数量关系_______． (2)如图，连接，当时，请求出线段与的数量关系． (3)如图，延长到点，当，时，则______． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) (3) 【分析】（）①由等边三角形的性质可得，，进而即可求证；②由全等三角形的性质得，进而可得，即可得，再根据直角三角形的性质即可求解； （）证明可得，进而由（）可得，即得点为的中点，据此即可求解； （）过作交的延长线于，过作于，由直角三角形的性质可得，再证明，得到，进而可得，设，，可得，，即可得，最后代入计算即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）①证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴； ②解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∴点为的中点， ∴， ∴； （3）解：过作交的延长线于，过作于， ∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图1，在中，，，点在边上，点在边的延长线上，且． (1)设，求的度数（用含的代数式表示）． (2)如图2，过点作，交于点，求证：． (3)如图3，在边上取点，使，作交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，得到，于是得到； 根据平行线的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理得到； 作交于点，连接，由，得到，，求得，得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴≌， ∴； （3）解：作交于点，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴≌， ∴，， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴． 地 城 考点04 特殊三角形—动点、折叠问题 1．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知正三角形的边长为4，为内部（含边上）的一点，过点作，交于点，过点作于点，过点作于点． (1)如图1，点在边上； ①当为中点时，判断点与点G是否重合，并说明理由； ②当时，求出的长； (2)如图2，点在内部，且在线段上，连结，求的取值范围． 【答案】(1)①点与点G不重合，理由见详解；②，或 (2) 【分析】该题主要考查了等边三角形，含的直角三角形，勾股定理等．解题的关键是掌握等边三角形的性质和判定，所对直角边等于斜边的一半，分类讨论，勾股定理解直角三角形． （1）①根据是等边三角形，得出，，再结合垂直得出，当为中点时，根据所对直角边等于斜边的一半推出，即可判断；②当时，连结，设，则，表示出，分两种情况，列方程解出值，表示出，，运用勾股定理即可求出； （2）结合由（1）证出，设，表示出，，运用勾股定理表示出，结合的范围即可求解． 【详解】（1）①∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 当为中点时， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点与点G不重合； ②当时，连结，设， 则， ∴，， ，， 当时，， 解得：， ∴，， ∴； 当时，， 解得，， ∴，， ∴． 过的长为或； （2）当点在内部，且在线段上， 由（1）知：，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 设， 则，，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，等边，点E是边 (或延长线)上一点，点D是边（或延长线)上的点，连接，以为边向下作等边，连接． (1)如图1，若点D与点C重合，证明：； (2)如图1，移动点E，使点E为中点，则与的数量关系为 ； (3)如图2，移动点D，使点D为中点，求证：； (4)如图3，移动点D，E，使D，E分别在的延长线上，若，，直接写出的长(用m的代数式表示)． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用证明即可； （2）根据三线合一，全等三角形的性质，推出是含30度角的直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质，即可得出结果； （3）过点作，连接，先证明为等边三角形，进而证明，得到，再证明，即可得证； （4）过点作，连接，得到为等边三角形，证明，得到，，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，均为等边三角形， ∴，， ∴， ∴； （2）∵为的中点，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （3）过点作，连接，则：， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）过点作，连接，则：， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理．解题的关键是掌握等边三角形的性质，添加辅助线构造特殊三角形和全等三角形． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）定义：若是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)若是“方倍三角形”，且斜边AB=，则该三角形的面积为____． (2)如图，是“方倍三角形”，且，求证：为等边三角形． (3)如图，中，，，是边上一点，将沿进行折叠，点落在点处，连接，，若为“方倍三角形”，且，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质： （1）设其余两条边为a，b，满足，根据“方倍三角形”定义，还满足：，即可得a和b的值，进而可得直角三角形的面积； （2）利用“方倍三角形”的定义即可解决问题； （3）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点E，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得． 【详解】（1）解：设其余两条边为a，b, 则满足， 根据“方倍三角形”定义，还满足：， 联立方程组得， 解得， 则的面积为：； 故答案为：； （2）证明：∵是“方倍三角形”，且， 则， ∴， ∴， ∴为等边三角形； （3）解：由翻折可知：， ∴， 根据“方倍三角形”定义可知：， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由翻折可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 延长交于点E，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点05 特殊三角形—综合应用 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知中，，D为边上一点，，E为三角形外一点，交于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． (3)当为直角三角形时，求的值． (4)若，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）设，则，则，再由互余得到，即可求解； （2）由得到，再由即可证明； （3）导角证明，则当为直角三角形，只能是，故为等腰直角三角形，则也为等腰直角三角形，过点作于点，不妨设，则由勾股定理得：，均为等腰直角三角形，则，由（1）得，那么，则，再由三角形面积公式求解； （4）过点作于点，导角得，则，设，则，，，由勾股定理得，，利用平方根定义解得，那么，设，则，由勾股定理得解得：，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：由（1）得，， ∵， ∴； （3）解：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴当为直角三角形，只能是， ∴为等腰直角三角形，则也为等腰直角三角形， 过点作于点， 不妨设，则由勾股定理得：， ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴； （4）解：过点作于点，如图： 由（2）得，而， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由（2）得， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴ 整理得：， ∴， 解得：或（舍）， ∴， ∴， 设，则， ∴由勾股定理得，， ∴ 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和、外角定理等知识点，难度较大，对角度推导能力要求很高． 2．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，，在边上取点D，连接，在边延长线上取点E，使得． (1)若，则 ； (2)如图2，当，时，求四边形的面积（用含a的代数式表示）； (3)设， ① （用含α，β的代数式表示）； ②求证：． 【答案】(1)3 (2) (3)①；②见解析 【分析】（1）设，则，，根据，列式计算即可求解； （2）作于点，利用面积相等求得，根据已知求得，再根据利用三角形面积公式即可求解； （3）①利用等边对等角以及三角形内角和定理即可求解； ②作交的延长线于点，求得，证明，推出，求得，据此求解即可证明． 【详解】（1）解：设，则， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：3； （2）解：作于点， ∵，， ∴， ∴， 又，且， ∴， ∵，且， ∴，即， ∵ ； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②作交的延长线于点，连接， ∵， ∴和都是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵和都是等腰三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形面积公式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 3．（23-24八年级上·浙江台州·期末）已知在中，，，分别表示，的对边，记的面积为，分别以为边向形外作等边三角形和等边三角形．记等边三角形的面积为，等边三角形的面积为． (1)如图1，若，，求的值； (2)如图2，以为边向上作等边三角形（点C在内），连接． ①判断和的关系，并说明理由； ②若是等腰三角形，试探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)①；②或 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识： （1）过点D作于点P，过点E作于点Q，得，再结合三角形面积公式求解即可； （2）①证明得，由得,再证明可得；②分或两种情况求解即可 【详解】（1）解：如图，过点D作于点P，过点E作于点Q， ∵均为等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∵，， ∴，， ∴（负值均舍去）， ∴； （2）解：①∵是等边三角形，是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ 而 ∴ ∴； ②若是等边三角形，则有或两种情况： 当时， ， ∴ ∴ ∴即 当时， 由①知， ∴ ∴， 又是等边三角形， ∴ 如图，作 ∴ 由勾股定理得， ∴ 解得，， 又 ∴， ∴ ∴即 所以，则有或． 地 城 考点06 特殊三角形—情景探究Ⅰ 1．（24-25八年级上·浙江台州·期末）综合实践 【活动交流】数学活动课上，周老师让学生用一段绳子(无弹性)沿着三角板的两直角边边缘拉直滑动． 如图1，第一次拉成折线，且，第二次拉成折线，探究绳子两个端点之间距离的变化情况． 周老师和同学们在探究时，有如下交流： 小明：两种不同位置，绳子的两个端点的距离不一样，即． 小聪：我发现问题可抽象为：如图，在中，，在和延长线上分别取点，，若，则． 小颖：小聪，在探究你的问题的过程中，我发现点是中点． 周老师：小聪发现的结论是正确的，当绳子两端到角顶点距离相等时，绳子两端距离最小． 结合上述师生的交流完成下面任务： 【探究论证】 （1）如图2，请你证明小颖发现的结论； （2）如图2，请你证明小聪发现的结论； 【创新应用】 （3）如图3，中，，，，点，，分别在边，，上，若，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）作，交于，可证得，从而， （2）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，得出，得出，在中，，进而得出，当重合时，取得最小值，即可得出结论； （3）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，，过点作，交的延长线于点，作关于的对称点，连接，可得，当取得最小值时，取得最小值，由（2）可得时，取得最小值，是等边三角形，进而求得，，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1， 作，交于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即是的中点； （2）证明：如图2，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴，即 当重合时，取得最小值， 即当绳子两端到角顶点距离相等时，绳子两端距离最小． （3）解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ∵中，，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 作关于的对称点，连接， ∴， ∴ ∴当取得最小值时，取得最小值， 由（2）可得时，取得最小值， 又∵ ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ 设 ∴ 解得： ∴ 的最小值为：． 2．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图1，在等边三角形中，点D是边上的一点，点E是延长线上的一点，且．    (1)【特例探究】如图2，当D是的中点时，求的度数． (2)【猜想证明】小兵由图2发现，进而猜想：当D是边上的任意一点时，．请你利用图1帮助小兵证明这个结论． (3)【拓展应用】如图3，当D是边上的任意一点时，取的中点F，连结，，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）本题根据等边三角形性质得到，推出，再根据中点的性质和推出，最后利用等腰三角形性质，即可解题． （2）本题取，连接，根据题意推出为等边三角形，证明，利用全等三角形性质，即可解题． （3）本题延长至，使，连接，根据倍长中线构造全等，证明，利用全等三角形性质，得到，，推出，再证明，得到，最后根据进行等量代换，即可解题． 【详解】（1）解：等边三角形， ， ， D是的中点， ， ， ， ； （2）证明：取，连接，如图所示：， AI  为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：延长至，使，连接，如图所示：   F为的中点， ， 在与中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形性质与判定，中点的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，解题的关键在于作辅助线构造全等三角形． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）【概念呈现】 有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．    【性质探究】 （1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点． 请证明； 【拓展应用】 （2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接． ①若，求的度数； ②当的值为多少时，与是“和合”三角形． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【分析】（1）根据平行线性质得，由，可得，得,可得，可得 （2）①过点D作，交于点G，可得是等边三角形，证明，得,可得，可得；②连接并延长，交于点H，根据“和合”三角形定义知，得，得，可得垂直平分，可得，得，得，根据，得． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）①∵是等边三角形， ∴， 过点D作，交于点G， 则， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；    ②连接并延长，交于点H， 当与是“和合”三角形时，， ∵， ∴， ∴， 由①知，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即当的值为时，与是“和合”三角形．    【点睛】本题考查了新定义——“和合”三角形．熟练掌握新定义，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质，是解题有关键． 4．（24-25八年级上·浙江金华·期末）【问题探究】 （1）如图1，已知和均为等腰三角形且， ①连接，求证：． ②如图2，线段交线段于点E，交线段于点F，且．若，，求线段的长． 【学以致用】 （2）如图3，已知点C在的右侧，连接．若，，且，求线段的长． 【答案】（1）①证明见解析；②；（2） 【分析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）①由可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，，由可证，可得，即可求解； （2）先证是等边三角形，可得，，由直角三角形的性质可得，可得，，即可求解． 【详解】（1）①证明：， ， ， ， ． 在和中， ②， ． 由①得，， ． ， ． ． ， ； （2）解：延长，交于点，过点作于， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ． 地 城 考点07 特殊三角形—情景探究Ⅱ 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下研究：已知在中，． 【基础】（1）如图1，分别以为边向外作正方形和正方形，若正方形的面积为9，正方形的面积为16，求的长； 【变式】（2）如图2，分别以为边向外作等腰和等腰，连结．若，求的度数； 【拓展】（3）如图3，以为边向形外作等边三角形，以为边向上作等边三角形，连结．若，求等边三角形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由勾股定理即可求解； （2）先确定出是中垂线（三线合一），则，那么由等边对等角以及三角形内角和定可求； （3）先证明 ，则，继而可得，则，设，由勾股定理得：，解得：（舍负），则，那么在中， ，过点E作于点，求出高，即可求解面积． 【详解】解：（1）在中， 正方形的面积为，正方形的面积为．    ； （2）等腰和等腰，    是中垂线（三线合一） ； ； ； （3）解：和是等边三角形   ，         ， ∴， 设， 由勾股定理得：， 解得：（舍负） ∴在中，， ， 在中， ， 过点E作于点， ∵等边， ∴， ∴， 等边三角形的面积：． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）【探究发现】 （1）如图1，中，，，点为的中点，、分别是边、上的两点，若满足，，那么． ①的度数为________； ②线段、、之间满足的数量关系为________． 【应用类比】 （2）如图2，中，，，点为的中点，、分别是边、上的两点，若满足，试探究线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，点为的中点，、分别是直线、上的两点，若满足，，请求出的长． 【答案】（1）；②；（2），理由见解析；（3）或． 【分析】（1）①证明，可得，从而证明, ②根据可得，即可证明； （2）取中点G，连接，利用证明，得到，可得； （3）分两种情况：当点E在线段上时或当点E在延长线上时，取的中点H，连接，同（2）证明，得到，从而求解． 【详解】解：（1）①如图1，∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, 故答案为：． ②∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）．理由是： 取中点G，连接，如图2， ∵点G是斜边中点， ∴， ∵，，点D为的中点， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点E在线段上时，如图3，取的中点H，连接， 当，，时， ，此时F在的延长线上， 同（2）可得：， ∴， ∵，， ∴， 当点E在延长线上时，如图4， 同理可得：； 综上：的长为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）【问题情境】 （1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，是的中点，，，A，三点共线． 求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结． 请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． 由全等三角形、等腰三角形的性质可得． 【初步运用】 （2）如图2，在中，平分，为的中点，过点作，分别交的延长线和于点、点A．求证：． 【拓展运用】 （3）如图3，在（1）的基础上（即是的中点，，，A，三点共线），连结，若，当，时，求的长． 【答案】（1）B；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）由已知和作图能得到，，再加上对顶角相等，即可根据“边角边”证明三角形全等； （2）延长至点，使得，连结，先证明，得到，，再根据角平分线及平行线可逐步推得结论成立； （3）延长至点，使得，连结，过点C作于点H，设，分别求出，，，可得，由勾股定理求得，再求出，由勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】（1）延长至点，使得，连结， 是的中点， ， ， ； 故选B． （2）延长至点，使得，连结， ，， ， ，， ， ，， 平分， ， ， ， ； （3）延长至点，使得，连结，过点C作于点H， 设，则， 由（1）知， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 又，， ， ， ， 在中， ， ， 解得， ． 【点睛】本体考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，等腰三角形两底角相等，等腰三角形三线合一性质及勾股定理，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． 在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； [思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； [拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差． 【答案】[方法储备]，；[思考探究] ；[拓展延伸]①见解析；② 【分析】[方法储备] 由得出，在中，根据三边关系得到，即可求解， [思考探究] 延长至点，使得，由得出，，从而得，应用勾股定理求出，结合垂直平分，即可求解， [拓展延伸] ①延长至点，使得，由，可得，，由，，，即可求证， ②延长至点，使得，由，可得，，导角得，由，可得，，作，， ，通过勾股定理得到边长间的关系，代入，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，勾股定理，解题的关键是：熟练应用“倍长中线法”． 【详解】[方法储备]解： 在和中，， ， ， 在中，，即：， ， ， ， 故答案为： ，， [思考探究]解： 延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在中，， 而，， 垂直平分， ， 故答案为：， [拓展延伸]解： ①延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， 又， ， ，， 又， ， 为等腰直角三角形， ②如图，延长至点，使得，连结，，， 为中点，同上“倍长中线”方法可得， ，， 设， ， ，， ，，， 分别过，作，，，为垂足， ， 设，，，， ，，， 解得， ， ， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）综合与实践：小嵊与小州两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”，展开了课后探究． 【情景再现】 已知，如图1，在和中，，，． 下面是用“构造法”证明两个直角三角形全等的部分过程． 证明：如图1，延长至D，使，连接． 因为（已知），， 所以 所以（全等三角形的对应边相等）． … 所以 所以 【实践解决】 (1)请结合“情景再现”的证明过程，把“…”的部分补充完整； (2)小嵊进行了如下的思考：如图2，和都是等腰直角三角形，且．连接，若，，，求的长； (3)小州结合“构造法“进行进一步探究：如图3，是等腰直角三角形，，P是外一点，，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为3； (3)线段的长为． 【分析】（1）延长至D，使，连接．求得，利用勾股定理求得，利用边边边即可证明，从而得到； （2）先证，得出，再由等腰直角三角形的性质得，，则，然后由勾股定理求出，即可得出答案； （3）以为直角边在的下面作等腰直角三角形，使，，连接交于点，，先求出，，则，再证，得出，然后证，由等腰三角形的性质得出，最后由含角的直角三角形性质和勾股定理计算，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，延长至D，使，连接． ∵（已知），， ∴ ∴（全等三角形的对应边相等）． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 所以； （2）解：和都是等腰直角三角形，， ，，， 即， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ∴的长为3； （3）解：如图，以为直角边在的下面作等腰直角三角形，使，，连接交于点， ，， ，， ，， ， ， ， 即， 同理， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 线段的长为． 【点睛】本题全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $