第八单元 数学广角—优化（易错专项讲义）数学人教版四年级上册

本小学数学讲义通过梳理沏茶问题、烙饼问题、田忌赛马问题三大易错知识点构建知识体系，采用框架图呈现合理安排时间步骤、烙饼最优方案公式等内容，清晰展现各知识点内在联系及重难点分布。 讲义以“典例剖析+专项训练”为特色，如烙饼问题通过错解分析与交替烙策略培养推理意识，田忌赛马用列举法选最佳策略发展应用意识，易错专练覆盖生活情境题，助力分层提升，为教师精准教学提供支持。

第八单元 数学广角—优化易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 2 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：沏茶问题中混淆“先后”与“同时”。 2 易错点2：烙饼问题中错误计算时间。 7 易错点3：田忌赛马问题中策略选择错误。 12 模块一 易错知识点梳理 1．沏茶问题。 合理安排时间的过程：（1）明确完成一项工作要做哪些事情；（2）明确每件事情各需要多长时间；（3）合理安排工作的顺序，明确先做什么，后做什么，哪些事情可以同时做。 2．烙饼问题。 烙饼的最优方案是每一次尽可能让锅里按要求放最多的饼，这样既不会浪费资源，又能节省时间。 温馨提示：每次最多烙两张饼，烙饼所需要的最短时间=烙饼张数×烙每面饼所需时间（烙一张饼除外）。 3．对策论问题。 解决这类问题时，经常要用到“列举法”，通过列举所有可以采用的策略，比较选出最佳的策略。 4．合理安排时间一定要考虑到哪几件事可以同时做，这样才能达到事半功倍的效果。 5．解决烙饼问题，保证锅里尽量装满饼，才能使烙饼时间最短。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：沏茶问题中混淆“先后”与“同时”。 【典例1】小明帮妈妈做家务：用洗衣机洗衣服（20分钟）、扫地（5分钟）、擦家具（10分钟）、晾衣服（5分钟）。怎样安排最省时间？最少需要多少分钟？ 【错误答案】 洗衣服20分钟，扫地5分钟，擦家具10分钟，晾衣服5分钟 总时间：20+5+10+5=40分钟 【错解分析】没有考虑哪些事情可以同时进行。洗衣服的时间可以用来做其他事情，这是典型的"等待时间利用"问题。 【正确解答】用洗衣机洗衣服（20分钟）的同时： 扫地（5分钟） 擦家具（10分钟） 晾衣服（5分钟） 总时间：20+5=25分钟 答：安排如下：在洗衣服的20分钟内，可以完成扫地和擦家具（共15分钟），洗完衣服后晾衣服5分钟没最少需要25分钟。 【易错专练1】星期天，阳阳在家帮妈妈做家务。整理房间要15分钟，擦桌子要5分钟，拖地要12分钟，找齐要洗的衣服要5分钟，用全自动洗衣机洗好衣服要56分钟，晾衣服要5分钟。想一想：阳阳怎么做最省时间？最少需要多长时间？ 【答案】做法见详解；66分钟 【分析】要节省时间，需将能同时进行的任务安排在洗衣机工作的56分钟内完成。找衣服和晾衣服必须单独进行，其他任务可并行处理。洗衣服的时间，可以同时整理房间要15分钟，擦桌子要5分钟，拖地要12分钟，这三项总时间为15＋5＋12＝32（分钟），能在56分钟内完成，即最少需要5分钟（找衣服）＋56分钟（洗衣服）＋5分钟（晾衣服）＝66（分钟），据此解答即可。 【解答】15＋5＋12＝32（分钟） 32＜56 5＋56＋5＝66（分钟） 答：阳阳先找齐要洗的衣服，然后用全自动洗衣机洗衣服的同时整理房间、擦桌子、拖地，最后晾衣服；最少需要66分钟。 【易错专练2】周末宁宁要做以下家务：拖地要10分钟，收拾厨房要15分钟，用全自动洗衣机洗衣服需要30分钟，晾衣服要10分钟。按你认为最合理最省时间的安排，宁宁做完这些事至少需要多少分钟？ 【答案】40分钟 【分析】根据题意，用洗衣机洗衣服的同时，宁宁可以拖地、收拾厨房，共用时30分钟。衣服洗好了，再晾晒，用时10分钟。宁宁做完这些事至少需要（30＋10）分钟。以此答题即可。 【解答】根据分析可知： 30＋10＝40（分钟） 答：宁宁做完这些事至少需要40分钟。 【易错专练3】丽丽家来客人了，她要给客人沏茶，沏茶要做的事情包括：洗水壶1分钟，洗茶杯2分钟，烧水6分钟，接水1分钟，找茶叶1分钟，沏茶1分钟，她要想让客人尽快喝到茶水，至少需要多长时间？请在下面的空白处简要说明丽丽怎样做能够让客人在最短的时间内喝上茶。 【答案】洗水壶1分钟，接水1分钟，烧水6分钟，沏茶1分钟，这是必要步骤，其他可以在烧水的同时完成；9分钟。 【分析】此题属于合理安排时间问题，要奔着既节约时间又不使每道工序相矛盾进行解答。洗水壶1分钟，接水1分钟，烧水6分钟，沏茶1分钟，这是必要步骤，其他可以在烧水的同时完成，据此解答。 【解答】洗水壶1分钟，接水1分钟，烧水6分钟，沏茶1分钟，这是必要步骤，其他可以在烧水的同时完成。 1＋1＋6＋1＝9（分钟） 答：她要想让客人尽快喝到茶水，至少需要9分钟的时间。 【易错专练4】乐乐要完成烧饭和炒菜两项家务，需要的时间如下：淘米2分钟，电饭煲煮饭20分钟，洗菜2分钟，切菜3分钟，炒菜15分钟。他完成这两项家务至少要多少时间？（请写或画出过程） 【答案】22分钟 【分析】先淘米，然后再煮饭，在电饭煲煮饭的同时进行洗菜、切菜和炒菜；这样所花的时间最少；接着比较电饭煲煮饭的时间和洗菜、切菜和炒菜这三个时间之和的大小；然后用比较出来的长的时间加上淘米的时间就是至少所需的时间。 【解答】过程为：①淘米；②电饭煲煮饭，在煮饭的同时洗菜、切菜和炒菜； 2＋3＋15 ＝5＋15 ＝20（分钟） 电饭煲煮饭的时间和洗菜、切菜和炒菜的时间之和相等。 2＋20＝22（分钟） 答：他完成这两项家务至少要22分钟。 【易错专练5】果果星期六要到绘画班学习画画，她早晨8：00起床后，要做的事情和所用时间如下图所示，她最早什么时间能到绘画班上课。 穿衣、叠被：5分钟 刷牙、洗脸：3分钟 吃早餐、收拾餐桌：10分钟 整理书包：2分钟 坐车：8分钟 听音乐：15分钟 【答案】8时28分 【分析】在穿衣、叠被、刷牙、洗脸、吃早餐、收拾餐桌、整理书包、坐车的时候，同时听音乐，所以果果做这些事情需要的时间就是穿衣、叠被、刷牙、洗脸、吃早餐、收拾餐桌、整理书包、坐车所用的时间；然后根据结束时刻＝开始时刻＋经过时间，求出果果到绘画班上课的时间。 【解答】5＋3＋10＋2＋8＝28（分）   8时＋28分＝8时28分     答：她最早8时28分能到绘画班。 【易错专练6】张棋同学早上起来要做很多事：穿衣服2分钟，洗漱5分钟，蒸早点15分钟，整理房间5分钟，吃早饭10分钟，帮妈妈打理衣服5分钟。合理安排以上事情（注意要先穿衣服，再做其他事情哦！）让他所用时间最短，用流程图记录下来，并求出所用的最短时间是多少？ 【答案】27分钟；图见详解 【分析】依据题意可知，先穿衣服，然后蒸早点，同时洗漱，整理房间，帮妈妈打理衣服，然后吃早饭。注意要奔着既节约时间又不使每道工序相矛盾进行解答。 【解答】由分析可知： 最短时间为：2＋15＋10＝27（分钟） 答：所用的最短时间是27分钟。 【易错专练7】看图解答。 （1）小男孩应该怎样安排才能使所用的时间最少？ （2）做完这几件事情最少需要多少分钟？ 【答案】（1）见详解； （2）25分钟 【分析】（1）要想所用的时间最少，应先刷牙洗脸，再读书，在读书的同时，可以烧水，最后再吃饭。 （2）结合第一小问的安排，因为烧水的时间小于读书的时间，所以将刷牙洗脸的时间加上读书的时间，再加上吃饭的时间，即为需要的最少时间。 【解答】（1）如图： （2）4＋15＋6＝25（分钟） 答：做完这几件事情最少需要25分钟。 【易错专练8】妈妈处理好鱼后，让小明帮助烧鱼，他洗鱼、切鱼、切姜片葱花、洗锅、煎烧，各道工序共花了17分钟（如下图），请你设计一个顺序，使花费的时间最少。 【答案】顺序见详解；12分钟 【分析】根据优化问题，要使花费的时间最少，可以先洗锅，然后将锅烧热的同时洗鱼，将油烧热的同时切鱼和切姜葱，最后煎烧即可。 【解答】 如图： 2＋2＋3＋5 ＝4＋3＋5 ＝7＋5 ＝12（分钟） 答：最少花费12分钟。 易错点2：烙饼问题中错误计算时间。 【典例2】一只平底锅每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面需要2分钟。烙3张饼最少需要几分钟？ 【错误答案】先烙2张饼的正面（2分钟）→反面（2分钟）→烙第3张饼正面（2分钟）→反面（2分钟） 总时间：2+2+2+2=8分钟 【错解分析】没有采用最优的烙饼方法。最优方法是保证锅里始终有2张饼在烙，不浪费锅的空间。 【正确解答】 第1、2张饼正面（2分钟） 第1张饼反面，第3张饼正面（2分钟） 第2张饼反面，第3张饼反面（2分钟） 总时间：2+2+2=6分钟 规律总结：烙3张饼最少需要3×2=6分钟（每面2分钟，3张饼共6面，每次烙2面，需烙3次） 【易错专练1】小平底锅一次可以煎3只鸡翅，两面都要煎，每面需要5分钟。煎4只鸡翅至少需要（    ）分钟。你是怎么煎的？ 【答案】15 【分析】由题意得，第一次煎可以先放入3只鸡翅，3只鸡翅的一面煎熟后，可以拿出其中的一只鸡翅，把锅内的2只鸡翅翻面，然后再把第4只鸡翅放入一起煎。5分钟后，2只鸡翅完全熟了。接着把第4只鸡翅翻面并将前面拿出来的那只鸡翅放入锅内一起煎。5分钟后，4只鸡翅就全部煎完了。所以一共需要煎3个5分钟。据此解答。 【解答】煎法：第一次煎可以先放入3只鸡翅，3只鸡翅的一面煎熟后，可以拿出其中的一只鸡翅，把锅内的2只鸡翅翻面，然后再把第4只鸡翅放入一起煎。5分钟后，2只鸡翅完全熟了。接着把第4只鸡翅翻面并将前面拿出来的那只鸡翅放入锅内一起煎。5分钟后，4只鸡翅就全部煎完了。 5×3＝15（分钟） 答：煎4只鸡翅至少需要15分钟。 【易错专练2】两名医生分别负责量身高，验视力。下面三位同学要去做这两项检查，每项检查都要2分钟，他们三人做完这些检查至少要用多长时间？请你把自己的方法表示出来。 【答案】6分钟；东东量身高同时兰兰验视力；东东验视力时红红量身高；兰兰量身高时，红红验视力。 【分析】优化问题时，可以同时两个人进行不同的项目，比如东东量身高时，兰兰验视力，需要2分钟，东东眼视力时，红红量身高，需要2分钟，兰兰量身高时，红红眼视力，需要2分钟。据此解题。 【解答】2×3＝6（分钟） 答：东东量身高同时兰兰验视力；东东验视力时红红量身高；兰兰量身高时，红红验视力，他们三人做完这些检查至少要用6分钟。 【易错专练3】明明爸爸用一只小平底锅烙葱花饼，每次最多能烙3张，如果烙一张葱花饼需要6分钟（正、反面各3分钟），那么烙30张葱花饼至少需要多少分钟？ 【答案】60分钟 【分析】烙饼的次数＝饼的张数×2÷一次可以烙的张数，总时间＝烙一面的时间×次数；据此解答。 【解答】30×2÷3 ＝60÷3 ＝20（次） 3×20＝60（分钟） 答：那么烙30张葱花饼至少需要60分钟。 【易错专练4】妈妈用平底锅煎荷包蛋，每次可以同时煎2个荷包蛋，煎1个荷包蛋需要4分钟（正反面各2分钟），煎5个荷包蛋至少需要多少分钟？ 【答案】10分钟 【分析】每次可以同时煎2个荷包蛋，要使时间最少，那么每煎一次，要保证锅里都有2个荷包蛋，这样才能使用的时间最少。把5个鸡蛋分别编号为：①②③④⑤，列举出每次煎蛋的顺序：①正②正、①反②反、③正④正、③反⑤正、④反⑤反，即需要分5次才可以煎完。 【解答】煎蛋顺序：①正②正、①反②反、③正④正、③反⑤正、④反⑤反 2×5＝10（分钟） 答：煎5个荷包蛋至少需要10分钟。 【易错专练5】妈妈烤面包片，第一面需要烤2分钟，烤第二面时，面包片比较干了，只需烤1分钟。妈妈用的锅一次最多能放2片面包片，烤3片面包片，最少要用多长时间？ 【答案】5分钟 【分析】先烤第一、第二片面包片的第一面，2分钟；然后第一片面包片取出，将第二片翻面，放上第三片面包片，经过1分钟，第二片面包片已熟取出；再放上第一片面包片，烤另外一面，1分钟后，第一片面包片又熟了，可把它取出；最后把第三片面包片翻面，再过1分钟，第三片面包片完成；所以一共需要（2＋1＋1＋1）分钟。 【解答】2＋1＋1＋1 ＝3＋1＋1 ＝5（分钟） 答：最少要用5分钟。 【易错专练6】小红妈妈要小红用平底锅烙饼，锅中每次最多放4个饼。烙一个饼一面要2分钟，另一面要1分钟，小红烙6个饼最短需要多少时间？ 【答案】5分钟 【分析】结合所学知识，一次最多放4个饼，一面时间为2分钟，另一面要1分钟，要求所花的时间最少，就要在保证火炉不空着的情况下，尽可能高效地烙饼，则需要交替进行，据此分析解答即可。 【解答】答：先依次放上第一到第四个饼，烙2分钟然后拿下第三、四两个饼，把第一、二两个饼翻过去，加上第五、六两个饼，烙1分钟；然后取下第一、二两个饼，放上第三、四两个饼再烙1分钟；然后再把第五、六两个饼翻过去，接着烙1分钟，烙6个饼最短需要2＋1＋1＋1＝5分钟。 【易错专练7】妈妈每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面需要3分钟。红红、爸爸、妈妈每人吃1张饼，下面是一家人商量的最佳的烙饼方案，妈妈至少需要多少分钟烙熟？ 【答案】9分钟 【分析】要使烙饼的总时间最少，那么每一次锅内就应有两张饼，然后计算出时间总和即可。妈妈烙3张饼时：第一次：第1张饼的正面，第2张饼的正面，用时3分钟；第二次：第1张饼的反面，第3张饼的正面，用时3分钟；第三次：第2张饼的反面，第3张饼的反面，用时3分钟。因此当烙2张及以上的饼，并且锅里只能同时烙两张饼时，烙饼所需要的最短时间＝烙一面需要的时间×张数。 【解答】3×3＝9（分） 答：妈妈至少需要9分钟烙熟。 【点评】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。 【易错专8】师傅说：每次只能烙两张饼，两面都要烙，每面2分钟。 徒弟问：烙熟1张饼需要几分钟？2张、3张、4张…呢？ （1）填写下表。 烙饼张数 烙饼方法 所需时间 1 先烙正面，再烙反面 2 两张一起烙 3 接最佳方法烙 4 两张、两张地烙 5 先两张、两张地烙，最后三张按最佳方法烙 6 7 8 9 （2）照这样计算，烙199张饼需要多长时间？ 【答案】（1）见详解 （2）398分钟 【分析】（1）一张烙，正反面共需2×2＝4分钟； 两张同时烙，正反面共需2×2＝4分钟； 三张，先烙第一个与第二个的正面需2分钟，然后烙第一个的反面与第三个的正面需要2分钟，最后烙第二个的反面与第三个的反面需2分钟，烙完3个共需2×3＝6分钟； 四张，两张、两张地烙，4×2＝8分钟（两张同时烙，正反面共需2×2＝4分钟）； 五张，先同时烙两个正反面共需4分钟；再烙后三个共需6分钟，5个共需4＋6＝10分钟。 通过以上发现双数张饼，就两张、两张同时烙，如果是单数张饼，前面就两张两张同时烙，剩下最后三张按最佳方法烙。 （2）通过表中的数据发现规律：在一个锅一次最多能同时烙2个饼的烙饼问题中，饼的个数与所需时间的关系为：所需时间＝个数×烙一面所用时间，据此解答填表。 【解答】（1） 烙饼张数 烙饼方法 所需时间 1 先烙正面，再烙反面 4分钟 2 两张一起烙 4分钟 3 接最佳方法烙 6分钟 4 两张、两张地烙 8分钟 5 先两张地烙，最后三张按最佳方法烙 10分钟 6 两张、两张地烙 12分钟 7 先两张、两张地烙，最后三张按最佳方法烙 14分钟 8 两张、两张地烙 16分钟 9 先两张、两张地烙，最后三张按最佳方法烙 18分钟 （2）199×2＝398（分钟） 答：烙199张饼需要398分钟。 易错点3：田忌赛马问题中策略选择错误。 【典例3】田忌和齐王赛马，双方马匹分为上、中、下三等。齐王的马都比田忌同等级的马强一点，但田忌的上等马比齐王的中等马强，中等马比齐王的下等马强。田忌怎样安排出场顺序才能获胜？ 【错误答案】田忌：上等马→齐王：上等马（田忌输） 田忌：中等马→齐王：中等马（田忌输） 田忌：下等马→齐王：下等马（田忌输） 结果：0:3全输 【错解分析】采用了硬碰硬的策略，没有发挥自己马匹的相对优势。 【正确解答】第一场：田忌下等马→齐王上等马（故意输掉） 第二场：田忌上等马→齐王中等马（赢） 第三场：田忌中等马→齐王下等马（赢） 结果：2:1获胜 策略核心：用最弱的马消耗对方最强的马，确保用自己较强的马赢对方较弱的马。 【易错专练1】小明和小芳各有三张扑克牌，点数大的赢，三局两胜，下面怎样的牌局可以保证小明会赢？ 【答案】见详解 【分析】根据三局两胜制规则，要想小明赢，那么小明至少有两张牌比小芳的牌大，小芳的三张牌分别是7、5、3，那么那么小明的牌有一张比3大，有一张比5大即可。 【解答】由分析知，小明的三张牌是2、6、4即可保证小明赢。 【易错专练2】下面是参加跳绳比赛的队员最近一次记录，如果要进行团体比赛，三局两胜制，你能找出四（1）班胜出四（2）班的策略吗？ 四（1）班：林达92，林森124，何梦婷148； 四（2）班：陈捷116，陈辉133，林小军158。 【答案】林达与林小军比赛，林森与陈捷比赛，何梦婷与陈辉比赛 【分析】四（1）班要想胜出四（2）班，则需要用四（1）班最低成绩的人与四（2）班最高成绩的人进行比赛，用四（1）班排名中间成绩的人与四（2）班最低成绩的人进行比赛，用四（1）班最高成绩的人与四（2）班中间成绩的人进行比赛，依此解答。 【解答】92＜158；124＞116；148＞133； 因此四（1）班胜出四（2）班的策略是：林达与林小军比赛，林森与陈捷比赛，何梦婷与陈辉比赛。 【易错专练3】小华和丽丽两人玩数字卡片比大小的游戏，从六张数字卡片中任意抽取3张，每人每次出一张，各出3次，赢两次者获胜。如果小华抽到了，剩下的数字卡片是丽丽的，丽丽应该怎样出才能获胜？ 场次 第一次 第二次 第三次 小华 4 7 9 丽丽 获胜方 【答案】6；8；5 丽丽；丽丽；小华 【分析】本题可以根据“田忌赛马”的解题方法解答。丽丽用最小的5对应小华最大的9，用中间的6对应小华最小的4，用最大的8对应小华中间的7，此时丽丽赢两次，取得胜利。 【解答】 场次 第一次 第二次 第三次 小华 4 7 9 丽丽 6 8 5 获胜方 丽丽 丽丽 小华 【易错专练4】四年（一）班和四年（二）班举行百米短跑对抗赛。（一）班的三名队员的最好成绩分别是：1号14秒2，2号14秒7，3号15秒1；（二）班的三名最好成绩分别是：1号14秒5，2号14秒8，3号15秒6.比赛规则是：一对一分别比赛，胜一次，得1分。最后结果是（二）班以2比1获胜。（二）班是如何取胜呢？ 四年（一）班 四年（二）班 本场胜者 第一场 1号14秒2 （    ） （    ） 第二场 2号14秒7 （    ） （    ） 第三场 3号15秒1 （    ） （    ） 【答案】见详解 【分析】根据田忌赛马问题中所用的策略，第一场由四年（二）班3号与四年（一）班1号进行比赛；第二场由四年（二）班1号与四年（一）班2号进行比赛；第三场由四年（二）班2号与四年（一）班3号进行比赛，据此解答即可。 【解答】根据田忌赛马所使用的策略进行安排如下表： 四年（一）班 四年（二）班 本场胜者 第一场 1号14秒2 3号15秒6 四年（一）班 第二场 2号14秒7 1号14秒5 四年（二）班 第三场 3号15秒1 2号14秒8 四年（二）班 这样，四年（二）班赢得两场，四年（一）班赢得一场，最后结果是（二）班以2比1获胜。 【易错专练5】四（1）班和四（2）班进行乒乓球比赛。每班选出打乒乓球最好的前五名同学（按五名同学的水平高低编号）参赛，共打5场球，5场3胜制。假如你是四（1）班的同学，你将怎样安排本班的五名选手比赛的出场顺序，才有可能打赢这次比赛？（两个班前五名对应名次水平相当。） 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场 四（2）班战略 四（1）班战略 【答案】见详解 【分析】要使四（1）班胜出，则可以让四（1）班第一名对四（2）班的第二名；四（1）班的第二名对四（2）班的第三名；四（1）班的第三名对四（2）班的第四名；四（1）班的第四名对四（2）班的第五名；四（1）班的第五名对四（2）班的第一名。这样能保证前四场比赛四（1）班胜出，根据五局三胜的规则即可使得四（1）班胜出。 【解答】 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场 四（2）班战略 第五名 第四名 第三名 第二名 第一名 四（1）班战略 第四名 第三名 第二名 第一名 第五名 【易错专练6】合理安排比赛。 四年级两个班要进行羽毛球比赛，每班有3名选手参加，两班实力相当。四（2）班的三名选手按实力强弱分别编号为A、B、C；四（1）班的三名选手按实力强弱分别编为甲、乙、丙。已知两个班只比赛三场，每名选手只能比赛一次，每班只要能赢两场即可赢得比赛。 （1）如果不考虑包括运动员水平发挥等各种情况，想让四（2）班赢得比赛，应该怎样安排各选手对阵？试填写在下表中。 四（1）班 四（2）班 本场胜者 第一场 甲 第二场 乙 第三场 丙 （2）如果不考虑包括运动员水平发挥等各种情况，想让四（1）班赢得比赛，应该怎样安排各选手对阵？试填写在下表中。 四（1）班 四（2）班 本场胜者 第一场 A 第二场 B 第三场 C 【答案】（1）C；甲 A；A B；B （2）丙；A 甲；中 乙；乙 【分析】（1）想让四（2）班赢得比赛，先用四（2）班实力最差的和四（1）班实力最好的比赛，然后用四（2）班实力最好的和四（1）班实力第二好的比赛，最后用四（2）班实力第二好的和四（1）班实力最差的比赛； （2）想让四（1）班赢得比赛，先用四（1）班实力最差的和四（2）班实力最好的比赛，然后用四（1）班实力最好的和四（2）班实力第二好的比赛，最后用四（1）班实力第二好的和四（2）班实力最差的比赛。 【解答】（1） 四（1）班 四（2）班 本场胜者 第一场 甲 C 甲 第二场 乙 A A 第三场 丙 B B （2） 四（1）班 四（2）班 本场胜者 第一场 A 丙 A 第二场 B 甲 甲 第三场 C 乙 乙 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元 数学广角—优化易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 2 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：沏茶问题中混淆“先后”与“同时”。 2 易错点2：烙饼问题中错误计算时间。 5 易错点3：田忌赛马问题中策略选择错误。 8 模块一 易错知识点梳理 1．沏茶问题。 合理安排时间的过程：（1）明确完成一项工作要做哪些事情；（2）明确每件事情各需要多长时间；（3）合理安排工作的顺序，明确先做什么，后做什么，哪些事情可以同时做。 2．烙饼问题。 烙饼的最优方案是每一次尽可能让锅里按要求放最多的饼，这样既不会浪费资源，又能节省时间。 温馨提示：每次最多烙两张饼，烙饼所需要的最短时间=烙饼张数×烙每面饼所需时间（烙一张饼除外）。 3．对策论问题。 解决这类问题时，经常要用到“列举法”，通过列举所有可以采用的策略，比较选出最佳的策略。 4．合理安排时间一定要考虑到哪几件事可以同时做，这样才能达到事半功倍的效果。 5．解决烙饼问题，保证锅里尽量装满饼，才能使烙饼时间最短。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：沏茶问题中混淆“先后”与“同时”。 【典例1】小明帮妈妈做家务：用洗衣机洗衣服（20分钟）、扫地（5分钟）、擦家具（10分钟）、晾衣服（5分钟）。怎样安排最省时间？最少需要多少分钟？ 【错误答案】 洗衣服20分钟，扫地5分钟，擦家具10分钟，晾衣服5分钟 总时间：20+5+10+5=40分钟 【错解分析】没有考虑哪些事情可以同时进行。洗衣服的时间可以用来做其他事情，这是典型的"等待时间利用"问题。 【正确解答】用洗衣机洗衣服（20分钟）的同时： 扫地（5分钟） 擦家具（10分钟） 晾衣服（5分钟） 总时间：20+5=25分钟 答：安排如下：在洗衣服的20分钟内，可以完成扫地和擦家具（共15分钟），洗完衣服后晾衣服5分钟没最少需要25分钟。 【易错专练1】星期天，阳阳在家帮妈妈做家务。整理房间要15分钟，擦桌子要5分钟，拖地要12分钟，找齐要洗的衣服要5分钟，用全自动洗衣机洗好衣服要56分钟，晾衣服要5分钟。想一想：阳阳怎么做最省时间？最少需要多长时间？ 【易错专练2】周末宁宁要做以下家务：拖地要10分钟，收拾厨房要15分钟，用全自动洗衣机洗衣服需要30分钟，晾衣服要10分钟。按你认为最合理最省时间的安排，宁宁做完这些事至少需要多少分钟？ 【易错专练3】丽丽家来客人了，她要给客人沏茶，沏茶要做的事情包括：洗水壶1分钟，洗茶杯2分钟，烧水6分钟，接水1分钟，找茶叶1分钟，沏茶1分钟，她要想让客人尽快喝到茶水，至少需要多长时间？请在下面的空白处简要说明丽丽怎样做能够让客人在最短的时间内喝上茶。 【易错专练4】乐乐要完成烧饭和炒菜两项家务，需要的时间如下：淘米2分钟，电饭煲煮饭20分钟，洗菜2分钟，切菜3分钟，炒菜15分钟。他完成这两项家务至少要多少时间？（请写或画出过程） 【易错专练5】果果星期六要到绘画班学习画画，她早晨8：00起床后，要做的事情和所用时间如下图所示，她最早什么时间能到绘画班上课。 穿衣、叠被：5分钟 刷牙、洗脸：3分钟 吃早餐、收拾餐桌：10分钟 整理书包：2分钟 坐车：8分钟 听音乐：15分钟 【易错专练6】张棋同学早上起来要做很多事：穿衣服2分钟，洗漱5分钟，蒸早点15分钟，整理房间5分钟，吃早饭10分钟，帮妈妈打理衣服5分钟。合理安排以上事情（注意要先穿衣服，再做其他事情哦！）让他所用时间最短，用流程图记录下来，并求出所用的最短时间是多少？ 【易错专练7】看图解答。 （1）小男孩应该怎样安排才能使所用的时间最少？ （2）做完这几件事情最少需要多少分钟？ 【易错专练8】妈妈处理好鱼后，让小明帮助烧鱼，他洗鱼、切鱼、切姜片葱花、洗锅、煎烧，各道工序共花了17分钟（如下图），请你设计一个顺序，使花费的时间最少。 易错点2：烙饼问题中错误计算时间。 【典例2】一只平底锅每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面需要2分钟。烙3张饼最少需要几分钟？ 【错误答案】先烙2张饼的正面（2分钟）→反面（2分钟）→烙第3张饼正面（2分钟）→反面（2分钟） 总时间：2+2+2+2=8分钟 【错解分析】没有采用最优的烙饼方法。最优方法是保证锅里始终有2张饼在烙，不浪费锅的空间。 【正确解答】 第1、2张饼正面（2分钟） 第1张饼反面，第3张饼正面（2分钟） 第2张饼反面，第3张饼反面（2分钟） 总时间：2+2+2=6分钟 规律总结：烙3张饼最少需要3×2=6分钟（每面2分钟，3张饼共6面，每次烙2面，需烙3次） 【易错专练1】小平底锅一次可以煎3只鸡翅，两面都要煎，每面需要5分钟。煎4只鸡翅至少需要（    ）分钟。你是怎么煎的？ 【易错专练2】两名医生分别负责量身高，验视力。下面三位同学要去做这两项检查，每项检查都要2分钟，他们三人做完这些检查至少要用多长时间？请你把自己的方法表示出来。 【易错专练3】明明爸爸用一只小平底锅烙葱花饼，每次最多能烙3张，如果烙一张葱花饼需要6分钟（正、反面各3分钟），那么烙30张葱花饼至少需要多少分钟？ 【易错专练4】妈妈用平底锅煎荷包蛋，每次可以同时煎2个荷包蛋，煎1个荷包蛋需要4分钟（正反面各2分钟），煎5个荷包蛋至少需要多少分钟？ 【易错专练5】妈妈烤面包片，第一面需要烤2分钟，烤第二面时，面包片比较干了，只需烤1分钟。妈妈用的锅一次最多能放2片面包片，烤3片面包片，最少要用多长时间？ 【易错专练6】小红妈妈要小红用平底锅烙饼，锅中每次最多放4个饼。烙一个饼一面要2分钟，另一面要1分钟，小红烙6个饼最短需要多少时间？ 【易错专练7】妈妈每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面需要3分钟。红红、爸爸、妈妈每人吃1张饼，下面是一家人商量的最佳的烙饼方案，妈妈至少需要多少分钟烙熟？ 【易错专8】师傅说：每次只能烙两张饼，两面都要烙，每面2分钟。 徒弟问：烙熟1张饼需要几分钟？2张、3张、4张…呢？ （1）填写下表。 烙饼张数 烙饼方法 所需时间 1 先烙正面，再烙反面 2 两张一起烙 3 接最佳方法烙 4 两张、两张地烙 5 先两张、两张地烙，最后三张按最佳方法烙 6 7 8 9 （2）照这样计算，烙199张饼需要多长时间？ 易错点3：田忌赛马问题中策略选择错误。 【典例3】田忌和齐王赛马，双方马匹分为上、中、下三等。齐王的马都比田忌同等级的马强一点，但田忌的上等马比齐王的中等马强，中等马比齐王的下等马强。田忌怎样安排出场顺序才能获胜？ 【错误答案】田忌：上等马→齐王：上等马（田忌输） 田忌：中等马→齐王：中等马（田忌输） 田忌：下等马→齐王：下等马（田忌输） 结果：0:3全输 【错解分析】采用了硬碰硬的策略，没有发挥自己马匹的相对优势。 【正确解答】第一场：田忌下等马→齐王上等马（故意输掉） 第二场：田忌上等马→齐王中等马（赢） 第三场：田忌中等马→齐王下等马（赢） 结果：2:1获胜 策略核心：用最弱的马消耗对方最强的马，确保用自己较强的马赢对方较弱的马。 【易错专练1】小明和小芳各有三张扑克牌，点数大的赢，三局两胜，下面怎样的牌局可以保证小明会赢？ 【易错专练2】下面是参加跳绳比赛的队员最近一次记录，如果要进行团体比赛，三局两胜制，你能找出四（1）班胜出四（2）班的策略吗？ 四（1）班：林达92，林森124，何梦婷148； 四（2）班：陈捷116，陈辉133，林小军158。 【易错专练3】小华和丽丽两人玩数字卡片比大小的游戏，从六张数字卡片中任意抽取3张，每人每次出一张，各出3次，赢两次者获胜。如果小华抽到了，剩下的数字卡片是丽丽的，丽丽应该怎样出才能获胜？ 场次 第一次 第二次 第三次 小华 4 7 9 丽丽 获胜方 【易错专练4】四年（一）班和四年（二）班举行百米短跑对抗赛。（一）班的三名队员的最好成绩分别是：1号14秒2，2号14秒7，3号15秒1；（二）班的三名最好成绩分别是：1号14秒5，2号14秒8，3号15秒6.比赛规则是：一对一分别比赛，胜一次，得1分。最后结果是（二）班以2比1获胜。（二）班是如何取胜呢？ 四年（一）班 四年（二）班 本场胜者 第一场 1号14秒2 （    ） （    ） 第二场 2号14秒7 （    ） （    ） 第三场 3号15秒1 （    ） （    ） 【易错专练5】四（1）班和四（2）班进行乒乓球比赛。每班选出打乒乓球最好的前五名同学（按五名同学的水平高低编号）参赛，共打5场球，5场3胜制。假如你是四（1）班的同学，你将怎样安排本班的五名选手比赛的出场顺序，才有可能打赢这次比赛？（两个班前五名对应名次水平相当。） 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场 四（2）班战略 四（1）班战略 【易错专练6】合理安排比赛。 四年级两个班要进行羽毛球比赛，每班有3名选手参加，两班实力相当。四（2）班的三名选手按实力强弱分别编号为A、B、C；四（1）班的三名选手按实力强弱分别编为甲、乙、丙。已知两个班只比赛三场，每名选手只能比赛一次，每班只要能赢两场即可赢得比赛。 （1）如果不考虑包括运动员水平发挥等各种情况，想让四（2）班赢得比赛，应该怎样安排各选手对阵？试填写在下表中。 四（1）班 四（2）班 本场胜者 第一场 甲 第二场 乙 第三场 丙 （2）如果不考虑包括运动员水平发挥等各种情况，想让四（1）班赢得比赛，应该怎样安排各选手对阵？试填写在下表中。 四（1）班 四（2）班 本场胜者 第一场 A 第二场 B 第三场 C 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $