第三章 圆（四川成都专用，单元测试·基础卷）数学北师大版九年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷（四川成都专用） 第三章 圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图是一个正八边形，则它（　　）    A．只是轴对称图形 B．只是中心对称图形 C．既是轴对称图形，也是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 2．下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ）． A． B． C． D． 3．半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个内接正多边形的边长为（   ） A．1 B．2 C． D． 4．的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（   ） A．12 B．9 C．6 D．5 5．已知中，弦垂直弦，，，则关于直径的说法正确的是（    ） A．一定等于 B．可能大于 C．不可能大于 D．不可能等于 6．如图，点为的外心，连接，作正方形．下列说法不一定正确的是（   ） A．点在边的垂直平分线上 B．点为的外心 C．平分 D．直线与的外接圆相切 7．如图，点A、B、C三点在上，点为弦的中点，，，则（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，弦，，，M，N分别为垂足，那么，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．如图，在扇形中，，，则扇形的面积为 ． 10．正多边形的作图，正边形的中心角为 ． 11．如图，已知为的直径，为的弦，且．若，，则的长是 ． 12．如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，，若，，则阴影部分的面积为 ． 13．如图，在中，点D在边上，过的内心I作于点E．若，，则的长为 ． 三、解答题（第14题12分；第15，16题，每题8分；第17，18题，每题10分；共5个小题，共48分） 14．如图，是的半径，    (1)如果，那么_____，_____ =_____，∠AOC_____∠BOD； (2)如果，那么_____=_____，_____； (3)如果=，那么_____，_____，_____． 15．如图，在中，． (1)求作的外接圆；（要求，尺规作图，不写作法．保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，的平分线交于点．连接．若，，求的长． 16．如图，是四边形的外接圆，是直径，且，的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 17．如图，在中，，，连接，过点A作，交的延长线于点D，与的延长线相交于点E，与相交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的半径为2，求线段的长． 18．如图，以的边上一点O为圆心，为半径的经过B点与交于D点，连接，已知，． (1)求证：为的切线； (2)若，求； (3)设为的平分线，，求的半径． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为 ．    20．如图，在平面直角坐标系中，正六边形边长是6，点、分别在轴、轴的正半轴上，则它的外接圆的圆心的坐标是 ． 21．如图，与正方形的两边都相切，且与相切于点E，若正方形的边长为4，，则的长为 ． 22．如图，某品牌的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是 ． 23．如图，点到直线的距离为的半径为分别为和上的动点，且始终与相切于点．以为直角边作，且使，则斜边的最小值为 ．    二、解答题（第24题8分；第25题10分；第26题12分；共3个小题，共30分） 24．如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E，过点D作交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为8，，求阴影部分的面积． 25．如图，的直径为，弦为，的平分线交于点． (1)求的长； (2)试探究之间的等量关系，并证明你的结论； (3)连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长． 26．如图，在中，的平分线交于点E，在边上取一点O，以为半径作，恰好经过点E且分别与边交于点D，F，连接．    (1)求证：是的切线； (2)过点E作，垂足为H，求证：； (3)若，求的长． ． ． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷（四川成都专用） 第三章 圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图是一个正八边形，则它（　　）    A．只是轴对称图形 B．只是中心对称图形 C．既是轴对称图形，也是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 2．下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ）． A． B． C． D． 3．半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个内接正多边形的边长为（   ） A．1 B．2 C． D． 4．的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（   ） A．12 B．9 C．6 D．5 5．已知中，弦垂直弦，，，则关于直径的说法正确的是（    ） A．一定等于 B．可能大于 C．不可能大于 D．不可能等于 6．如图，点为的外心，连接，作正方形．下列说法不一定正确的是（   ） A．点在边的垂直平分线上 B．点为的外心 C．平分 D．直线与的外接圆相切 7．如图，点A、B、C三点在上，点为弦的中点，，，则（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，弦，，，M，N分别为垂足，那么，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．如图，在扇形中，，，则扇形的面积为 ． 10．正多边形的作图，正边形的中心角为 ． 11．如图，已知为的直径，为的弦，且．若，，则的长是 ． 12．如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，，若，，则阴影部分的面积为 ． 13．如图，在中，点D在边上，过的内心I作于点E．若，，则的长为 ． 三、解答题（第14题12分；第15，16题，每题8分；第17，18题，每题10分；共5个小题，共48分） 14．如图，是的半径，    (1)如果，那么_____，_____ =_____，∠AOC_____∠BOD； (2)如果，那么_____=_____，_____； (3)如果=，那么_____，_____，_____． 15．如图，在中，． (1)求作的外接圆；（要求，尺规作图，不写作法．保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，的平分线交于点．连接．若，，求的长． 16．如图，是四边形的外接圆，是直径，且，的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 17．如图，在中，，，连接，过点A作，交的延长线于点D，与的延长线相交于点E，与相交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的半径为2，求线段的长． 18．如图，以的边上一点O为圆心，为半径的经过B点与交于D点，连接，已知，． (1)求证：为的切线； (2)若，求； (3)设为的平分线，，求的半径． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为 ．    20．如图，在平面直角坐标系中，正六边形边长是6，点、分别在轴、轴的正半轴上，则它的外接圆的圆心的坐标是 ． 21．如图，与正方形的两边都相切，且与相切于点E，若正方形的边长为4，，则的长为 ． 22．如图，某品牌的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是 ． 23．如图，点到直线的距离为的半径为分别为和上的动点，且始终与相切于点．以为直角边作，且使，则斜边的最小值为 ．    二、解答题（第24题8分；第25题10分；第26题12分；共3个小题，共30分） 24．如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E，过点D作交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为8，，求阴影部分的面积． 25．如图，的直径为，弦为，的平分线交于点． (1)求的长； (2)试探究之间的等量关系，并证明你的结论； (3)连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长． 26．如图，在中，的平分线交于点E，在边上取一点O，以为半径作，恰好经过点E且分别与边交于点D，F，连接．    (1)求证：是的切线； (2)过点E作，垂足为H，求证：； (3)若，求的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷（四川成都专用) 第三章圆·基础通关（参考答案） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C C B 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9.20π/20元 33 10.3600 n 11.2 12.牙 13.7 三、解答题（第14题12分；第15,16题，每题8分；第17,8题，每题10分；共5个小题，共48分） 14. 【详解】(1)解：：LA0B=∠C0D, AB=CD,AB=CD,∠AOC=∠BOD; 故答案为：AB=CD,AB,CD,三4分 (2)解：：AB=CD, .AB=CD,ZAOB=ZCOD 故答案为：AB,CD,LA0B=LCOD;8分 (3)解：：AB=CD, .AB CD ZAOB =ZCOD AC=BD...........1. 故答案为：AB=CD,∠AOB=∠COD,=. 15. 【详解】(1)解：如图，作AB的垂直平分线，交AB于点O,以AB为直径，O为圆心作圆，⊙O为所作； 1/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B4分 D (2)连接BD,如图， ∠C=90°，AC=6,BC=8, AB=V62+82=10, :∠ACB=90°， AB为⊙0的直径， ∠ADB=90°， :CD平分∠ACB, .∠ADC=∠BCD=45°， ∠ABD=∠BAD=45°， “△ABD为等腰直角三角形， 40=28=5×10=55.…8分 2 2 16. 【详解】(1)证明：连接A0并延长，交BC于点F, D:O0是四边形ABCD的外接圆， :.∠ABF+∠ADC=180°， :∠ADE+∠ADC=180°， ∠ADE=∠ABF, :OO的切线AE交CD的延长线于点E, AE⊥FA, 2/11 西学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 BD是⊙0的直径， ∠FAE=∠BAD=90°， .∠DAE=∠BAF=90°-∠FAD, ∴.△DAE∽△BAF, AB=AC, ·AB=AC AF垂直平分BC, ∴.∠E=∠AFB=90°， .AE⊥CE.4分 (2)解：∠AFC=LFAE=∠E=90°， ·四边形AFCE是矩形， .BF =CF AE=5, :∠AFB=90°，AB=5V3, AF=VAB2-BF2=5V3-52=52, :0A=0B, :OF AF-0A=52-0B, BF2+OF2=OB2, 52+(52-0B=0B2, 解得：OB=15V2 4 ·BD=20B=15V2 2 BD的长是15 2 ·8分 17. 【详解】(1)解：如图，连接0C, 3/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B AC=BC, :AC=BC, 又：0A=0B,0C=0C, .a0AC≌aOBC(SSS), :∠A0C=∠B0C=∠A0B=60°， .△AOC、△BOC是等边三角形， ..0A=AC=CB=0B, 四边形0ACB是菱形；4分 (2)解：由(1)得AC=0A=2,∠0AC=60°， 四边形OACB是菱形， .OA∥BC,而AD⊥BD, ∠DA0=90°， ∴.∠DAC=90°-60°=30°， 在Rt△ACD中，∠DAC=30°，AC=2, Dc-4c=1,D=5AC-5, 在Rt△AOD中，由勾股定理得， 0D=√AD2+0A2=3+4=V7, :OA∥BD, △CFDn△AF0, CD DF ·OA0F1 4/11 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 又：CD 1 AC sin30°=2’4C=01=2, DF CD 1 0F=4c2' DF 1 DO3' 即DF=oD= 3 。…10分 P 18. 【详解】(1)0B=0C,0B=0D, ∴LC=LOBC,∠OBD=∠ODB, CD是00的直径， ∴∠CBD=90°，即∠OBD+∠OBC=90°， 又：∠C=∠ABD, .∠ABD+∠OBD=90, 即OB⊥AB, :OB是O0的半径， .AB是⊙O0的切线；4分 (2):∠C=∠ABD,∠BAD=∠CAB, .△ABD-△ACB, AD-AB_BD 1 tanC= AB AC CB 2 :AD=1, .AB=2,AC=4, .CD=AC-AD=4-1=3; (3)如图，过点A作AN⊥BC,交CB的延长线于点N, D M :AM平分∠BAC, 5/11 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .∠CAM=∠BAM, :∠C+∠CDB=90°， .∠C+∠ABD+∠CAB=90°， 又：∠C=∠ABD, :∠CaM+∠C=.x90=45=∠AMN, :AN MN, :AM=42, AN=MN=4x4. tanC=AN=BD I CN CB 2 .CN=2AN=8, :MC=MN=4, :AM平分∠BAC,BM=ABBD1 MC AC CB 2' .BM=2, .BC=3+4=6,BD=3, 在Rt△BCD中，CD=VBD2+BC2=3√5， ·00的半径为35 10分 B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19.62°或118° 20.(3,35) 21.10 22.20πcm 23. 2525 33 二、解答题（第24题8分；第25题10分；第26题12分；共3个小题，共30分） 24. 6/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：连接OD,AD. y B D :AB是OO的直径， ∠ADB=90°， AB=AC,∠ADB=90°， :BD =CD, AO=BO, .OD是ABC的中位线， 0D∥AC, :DF⊥AC, :.OD L DF, .DF是⊙0的切线.…4分 (2)解：连接OE. :DF⊥AC,∠CDF=22.5°， .∠C=67.5°， :AB=AC, .∠C=∠B=67.5°， LBAC=45°， :0A=0E, .∠AOE=90°， S阴影=S篇形4OE-S4OE 90m82-1×8×8=16-32.8分 3602 25. 【详解】(1)AB是OO的直径， ∠ACB=∠ADB=90°， :∠ACB的平分线交OO于D, 7111 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠ACD=∠BCD=45°， :AD=BD :AD=BD :AD2+BD2=AB2, 4D=BD= AB=5x10=5N2;3分 2 2 (2)CA+CB=2CD, 证明如下：延长CA到F,使AF=CB,连接DF, C A B ∠CBD+∠CAD=180°，∠FAD+∠CAD=180°， .∠CBD=∠FAD, 在△ADF和△BDC中， AD=BD ∠CBD=∠FAD, AF=BC :.△ADF≌△BDC(SAS), CD=FD,∠CDB=∠FDA, .∠CDF=LADB=90°，CDF为等腰直角三角形，6分 ∴.CA+CB=CF=V2CD; (3)连接OM,PM, 8/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 B O E D :PE⊥OD, ∠PE0=90°， :点M为△OPE的内心， ∠0MP=135°， 在aOMD和aOMP中， OD=OP ∠DOM=∠POM, OM=OM .△OMD≌OMP(SAS), ∴∠0MD=∠0MP=135°， .点M在以0D为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（分OD左右两种情况）： 设弧OMD所在圆的圆心为O, ∠0MD=135°， .∠00'D=90°， 00= D=52 2 2 ·0D的长为90xxx5 2=5 180 4 点7的路径长为2x=5。.…10分 4πs 26 【详解】(1)如图，连接OE, :以OB为半径作⊙O,恰好经过点E且分别与边BC、AB交于点D,F,连接EF, 9/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .BF为⊙O直径， ∠BEF=90°， .OB=0E ∠OBE=∠OEB, :BE平分∠ABC, ∠CBE=LOBE, .∠OEB=∠CBE, OE∥BC, ∠AE0=∠C=90°， AC是O0的切线： 3分 A (2)如图，连接DE. :BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C,EH⊥AB于H, .EC=EH :∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°， :ZCDE ZHFE :LC=∠EHF=90°， ∴.△CDE≌AHFE(AAS), .CD=HF, E .6分 HFA (3):AE平分∠ABC,AC⊥BC、EH⊥AB .CE=EH,DE=EF, 10/11 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷（四川成都专用） 第三章 圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图是一个正八边形，则它（　　）    A．只是轴对称图形 B．只是中心对称图形 C．既是轴对称图形，也是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 【答案】C 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：正八边形既是轴对称图形，也是中心对称图形． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．熟练掌握定义是解答本题的关键． 2．下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； C．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角． 3．半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个内接正多边形的边长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质是正确解答的前提． 根据正六边形的性质，正三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图， ∵半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为， ∴， ∴， ∴的内接正多边形是六边形， ， ， ∴是正三角形， ， ∴正六边形的边长为2， 故选：B． 4．的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（   ） A．12 B．9 C．6 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式（为圆心角，为半径），根据弧长公式即可求解． 【详解】解：设此弧所在圆的半径为， 则， 解得：， 故选：C． 5．已知中，弦垂直弦，，，则关于直径的说法正确的是（    ） A．一定等于 B．可能大于 C．不可能大于 D．不可能等于 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用点与圆的位置关系求半径，解题的关键是根据垂径定理和勾股定理求出． 分为弦是圆的直径和弦不是圆的直径，两种情况进行分析，若弦是圆的直径，则圆的直径是，若弦不是圆的直径，弦与弦交于点，连接，，，过点作交于点，过点作交于点，根据矩形的性质得出，根据垂径定理得出，，设圆的半径为，根据勾股定理可求得，即可求解． 【详解】解：如果弦是圆的直径，此时的直径是，故A选项、D选项说法错误； 如果弦不是圆的直径，如图： 弦与弦交于点，连接，，，过点作交于点，过点作交于点， 则四边形是矩形， ∴， ∵，，，， ∴，， 设圆的半径为，即， 在中，， 在中，， 在中，， 即， 当点在圆上时，， 即， 解得：， 即圆的直径可能等于； 当点在圆内时，， 即， 解得：， 即圆的直径可能小于； 综上，圆的直径不可能大于． 故选：C． 6．如图，点为的外心，连接，作正方形．下列说法不一定正确的是（   ） A．点在边的垂直平分线上 B．点为的外心 C．平分 D．直线与的外接圆相切 【答案】C 【分析】此题考查了三角形外接圆与外心，正方形的性质、线段垂直平分线的性质、切线的判定等知识，根据相关知识逐项进行分析即可． 【详解】解：∵点为的外心， ∴， ∴点在边的垂直平分线上，故选项A正确，不符合题意， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴点为的外心， 故选项B正确，不符合题意， ∵， ∴点在的外接圆上，即是的外接圆的半径， ∵， ∴直线与的外接圆相切， 故选项D正确，不符合题意， 不一定平分，故选项C错误，符合题意， 故选：C． 7．如图，点A、B、C三点在上，点为弦的中点，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，设，根据的长计算出的长，根据点为弦的中点，为圆心得到，从而求出的长，在中利用勾股定理求出的值，即可求出的长． 【详解】解：连接， 设， 则， 点为弦的中点，为圆心， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理及推论，熟知：垂直于弦的直径平分这条弦，熟练掌握勾股定理的计算． 8．如图，在中，弦，，，M，N分别为垂足，那么，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关定理并应用．连接，，利用垂径定理得到，，再结合勾股定理得到，，，即可解题． 【详解】解：连接，， ，， ，， 弦， ， ，，， ． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．如图，在扇形中，，，则扇形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查扇形的面积公式，根据扇形的面积公式（n为扇形圆心角的度数）直接求解即可． 【详解】解：由题意，该扇形的面积为， 故答案为：． 10．正多边形的作图，正边形的中心角为 ． 【答案】 【分析】利用正多边形的中心角相等，一个周角为360度求解． 【详解】解：正n边形的中心角为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角的求得，记住公式是解题的关键．利用了正多边形的中心角相等，一个周角为360度求解． 11．如图，已知为的直径，为的弦，且．若，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出的长是解此题的关键．根据垂径定理即可求得的长，然后利用勾股定理即可求得的长，即可得出答案． 【详解】解：， ， 在中，， ， 故答案为：2． 12．如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，，若，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，证明阴影部分的面积为，根据中位线定理，等腰三角形的性质，扇形的面积公式解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，中位线定理，扇形面积公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，， ∴，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， ∵，， ∴，， ∴, ∴, 故答案为：． 13．如图，在中，点D在边上，过的内心I作于点E．若，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了三角形的内心，切线长定理，解题的关键是掌握切线长定理． 过点作,画出内切圆，利用切线长定理表示出相等的线段，假设，利用列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作,画出内切圆， 根据切线长定理得，， 又∵， ∴， 即， 假设，则,， ∴， 解得， ， 故答案为：7． 三、解答题（第14题12分；第15，16题，每题8分；第17，8题，每题10分；共5个小题，共48分） 14．如图，是的半径，    (1)如果，那么_____，_____ =_____，∠AOC_____∠BOD； (2)如果，那么_____=_____，_____； (3)如果=，那么_____，_____，_____． 【答案】(1)，，，= (2)，， (3)，，= 【分析】根据在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等进行解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，，； 故答案为：，，，= （2）解：∵， ∴，； 故答案为：，，； （3）解：∵， ∴，，． 故答案为：，，=． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，掌握相关性质的解题的关键． 15．如图，在中，． (1)求作的外接圆；（要求，尺规作图，不写作法．保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，的平分线交于点．连接．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的垂直平分线，交于点，以为直径，为圆心作圆即可求解； （2）连接，勾股定理求得，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据角平分线的定义得出，根据同弧所对的圆周角相等，得出，从而得出是等腰直角三角形，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线，交于点，以为直径，为圆心作圆，为所作； （2）连接，如图， ，，， ， ， 为的直径， ， 平分， ， ， 为等腰直角三角形， ． 【点睛】本题考查了作垂线，画圆，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 16．如图，是四边形的外接圆，是直径，且，的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是 【分析】（1）连接并延长交于点F，可证明，由切线的性质得，而是的直径，则，所以，可证明，由，得，则垂直平分，所以，即可证明； （2）先证明四边形是矩形，则，而，则，由，且，得，求得，则． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点F， 是四边形的外接圆， ∴， ∵， ， ∵的切线交的延长线于点， ∴， 是的直径， ∴， ∴， ， ， ∴ 垂直平分， ∴， ∴． （2）解：∵， 四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 的长是． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、垂径定理、圆内接四边形的对角互补、直角所对的圆周角是直角、切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 17．如图，在中，，，连接，过点A作，交的延长线于点D，与的延长线相交于点E，与相交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的半径为2，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，证明，可得，可得、是等边三角形，可得，从而可得结论； （2）由（1）得，，，可得，，，再求解，证明，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴、是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）得，， ∵四边形是菱形， ∴，而， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数的应用，等边三角形的判定与性质，菱形的判定，熟练的利用基础的几何知识进行边角之间的转化是解本题的关键． 18．如图，以的边上一点O为圆心，为半径的经过B点与交于D点，连接，已知，． (1)求证：为的切线； (2)若，求； (3)设为的平分线，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质以及切线的判定方法进行解答即可； （2）根据相似三角形的判定和性质，以及即可求出，进而求出； （3）根据角平分线的定义，直角三角形的两锐角互余以及三角形内角和定理可得，进而求出，再根据相似三角形的性质求出，由勾股定理求出，进而求出半径即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵是的直径， ∴，即 又∵ ∴ 即 ∵是的半径， ∴是⊙的切线； （2）∵ ∴， ∴ ∵ ， ∴ ∴ （3）如图，过点A作，交的延长线于点N， ∵平分 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ 在中， ∴的半径为． 【点睛】本题考查切线的判定，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为 ．    【答案】或 【分析】根据切线的性质得到，根据四边形内角和为，得出，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，当点在优弧上时，    ∵分别与相切于两点 ∴， ∵． ∴ ∵， ∴， 当点在上时， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和，熟练掌握切线的性质与圆周角定理是解题的关键． 20．如图，在平面直角坐标系中，正六边形边长是6，点、分别在轴、轴的正半轴上，则它的外接圆的圆心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形外接圆的问题，熟练掌握正多边形的性质，灵活运用三角形相关知识解决边角关系是本题的关键． 连接，过点P作于点G，由正六边形推出为等边三角形，进而求出的长度即可求得P点坐标． 【详解】解：如图所示，连接，过点P作于点G，则， ∵多边形为正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 又∵， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴的坐标是， 故答案为： 21．如图，与正方形的两边都相切，且与相切于点E，若正方形的边长为4，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理的应用，切线的性质，切线长定理，掌握以上知识是解题的关键． 设与相切于点．连接，证明四边形是正方形．根据切线长定理，可得，从而求解 再根据勾股定理计算即可； 【详解】解：设与相切于点．连接， 四边形是正方形, 四边形是正方形． ∵是⊙O的切线， ∴， ∵ ∴ 在中，   故答案为：． 22．如图，某品牌的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、弧长公式，根据等边三角形的性质可知，，根据弧长公式可以求出，从而可得“莱洛三角形”的周长是． 【详解】解：如下图所示， 是等边三角形， ，， ， ， “莱洛三角形”的周长是． 故答案为：． 23．如图，点到直线的距离为的半径为分别为和上的动点，且始终与相切于点．以为直角边作，且使，则斜边的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】连接，，根据题意，最小时，斜边有最小值，则当时，最小，即可求出最小值． 【详解】如图，连接，，      ∵是的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点，，三点共线， 在中，， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 要使最小，则需最小， ∴当时，最小值为， ∴此时， ∴斜边的最小值为：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆的性质，圆的切线性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是正确找到点的位置，使得斜边的值最小. 二、解答题（第24题8分；第25题10分；第26题12分；共3个小题，共30分） 24．如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E，过点D作交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为8，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，扇形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分割法求阴影部分的面积，属于中考常考题型． （1）连接，根据圆周角定理得出，再证明是的中位线，得出，再证明，即可证明是的切线． （2）根据计算即可； 【详解】（1）证明：连接． ∵是的直径， ， ， ， ， ∴是的中位线， ， ， ， ∴是的切线． （2）解：连接． ， ， ， ， ， ， ， ∴． 25．如图，的直径为，弦为，的平分线交于点． (1)求的长； (2)试探究之间的等量关系，并证明你的结论； (3)连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）由圆周角定理得出，由勾股定理可求出答案； （）延长到，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，得出，则为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出结论； （）连接，，证明，由全等三角形的性质得出 ，则点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上 (分左右两种情况)，求出的长，由弧长公式可得出答案． 【详解】（1）∵是的直径， ∴， ∵的平分线交于， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）， 证明如下：延长到，使，连接， ∵，， ∴， 在△ADF和△BDC中， ， ∴， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴； （3）连接，， ∵， ∴， ∵点为的内心， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况）： 设弧所在圆的圆心为， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， ∴点的路径长为． 【点睛】此题考查了圆周角定理，三角形内心的定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，弧长公式以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键． 26．如图，在中，的平分线交于点E，在边上取一点O，以为半径作，恰好经过点E且分别与边交于点D，F，连接．    (1)求证：是的切线； (2)过点E作，垂足为H，求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)详见解析； (2)详见解析； (3)，详见解析． 【分析】（1）连接，由于是角平分线，则有；而，就有，等量代换有，那么利用内错角相等，两直线平行，可得；又，所以，即是的切线； （2）连接，先根据证明，再由全等三角形的对应边相等即可得出； （3）连接，根据平分，、，可得，再证明，得，再根据勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）如图，连接， ∵以为半径作，恰好经过点E且分别与边交于点D，F，连接， ∴为直径， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线；    （2）如图，连接． ∵是的平分线，于C，于H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，    （3）∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∵， ∴ 解得：， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质、勾股定理，圆内接四边形的性质等知识点，解决本题的关键是综合运用以上知识． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $