15.4二次根式的混合运算 教学设计 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次根式混合运算，通过复习有理数、整式混合运算顺序搭建类比支架，承接二次根式乘除加减运算，为后续一元二次方程等学习奠定运算基础。 以“类比迁移”思想为主线，分层例题与练习适配不同学生，结合乘法公式简化运算培养符号意识与运算能力，融入几何图形边长计算等实际问题提升应用意识，助力学生掌握运算顺序，为教师提供清晰教学路径。

第十五章 二次根式 15.4二次根式的混合运算   一、教材分析 二次根式的混合运算是冀教版八年级数学“二次根式”章节的核心内容，承接了二次根式的概念、性质及乘除、加减运算，是对二次根式运算的综合应用与深化.它既是有理数混合运算、整式混合运算的延伸，也为后续学习一元二次方程、勾股定理的计算等内容奠定运算基础，在初中代数运算体系中起到“承上启下”的关键作用. 教材围绕“类比迁移、逐步递进”的思路设计活动，逐步引导学生掌握混合运算： 1.复习导入，搭建桥梁：先回顾有理数混合运算的顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内）和整式混合运算的法则（如分配律的应用），明确“二次根式混合运算可类比有理数、整式混合运算”的思路. 2.例题示范，分层突破： 基础例题：仅含乘法与加法，通过分配律展开，示范“二次根式乘法与加减的结合”，强调结果需化为最简二次根式. 进阶例题：引入乘法公式（平方差公式），体现“整式乘法公式对二次根式混合运算的适用性”，简化运算过程. 复杂例题：融合乘除、加减、化简，完整呈现混合运算的全流程，强化运算顺序的重要性. 3.练习分层，巩固应用：课后习题分为基础题（直接套用法则计算）、提升题（运用公式简化运算）和拓展题（结合实际问题的运算，如几何图形边长计算），满足不同层次学生的练习需求  二、学情分析 学生已掌握二次根式的概念、性质，能进行二次根式的乘除、加减运算；熟悉有理数和整式的混合运算顺序，了解平方差公式、完全平方公式的结构和应用.但是易忽略“先乘方再乘除”的顺序，或在有括号的运算中漏算括号内的步骤；对二次根式形式的公式结构不敏感，难以识别符合完全平方公式，或在展开时出错（如漏写中间项“2ab”）.学生已掌握“最简二次根式的化简”和“整式加减中的合并同类项”，具备类比学习的知识储备；对“类比”的数学思想有初步接触（如分数与分式的类比）.   三、学习目标 1.掌握二次根式混合运算的顺序（与有理数混合运算顺序一致），能正确进行二次根式的加、减、乘、除及乘方的混合运算. 2.会运用乘法公式（平方差公式、完全平方公式）简化二次根式的混合运算，能将运算结果化为最简二次根式. 3.通过类比有理数、整式混合运算，经历二次根式混合运算法则的推导过程，提升类比迁移的数学思维能力. 4.感受数学知识的连贯性（二次根式运算与有理数、整式运算的联系），增强学习代数运算的信心.   四、教学重难点 重点：会运用乘法公式（平方差公式、完全平方公式）简化二次根式的混合运算，能将运算结果化为最简二次根式 难点：掌握二次根式混合运算的顺序（与有理数混合运算顺序一致），能正确进行二次根式的加、减、乘、除及乘方的混合运算.   五、教学过程 · 复习回顾 思考：数、整式和分式的混合运算法则是什么？ 答： 思考：二次根式的混合运算与数、整式和分式的混合运算法则一致吗？ 我们一起来探究吧！ 师生活动：教师提出问题，引发学生思考. 设计意图：通过提问的方式带领学生回顾所学知识，为本节课的学习做好知识铺垫. · 探究新知 活动一：探究二次根式的混合运算 计算下列各式： 谈一谈你在运算时，用到了哪些运算律. (1)；(2). 解：(1)； (2). 用到了乘法分配律. 师生活动：教师利用多媒体展示题目，学生积极思考，举手作答. 师小结：二次根式的混合运算： (1)运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开方)的混合运算． (2)运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的． 师强调： 注意：(1)二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式(或整式)的形式并且分母中不含二次根式； (2)进行二次根式的开方运算时应使开出的因数(式)是非负数(式)． 设计意图：通过一些具体例子，让学生掌握二次根式混合运算的运算顺序. 活动二：探究乘法公式在二次根式中的应用 计算下列各式： 谈一谈你在运算时，用到了哪些乘法公式. (1)；(2)；(3). 解：(1)； (2)； (3). 用到了平方差公式和完全平方公式　　 师生活动：教师利用多媒体展示题目，学生积极思考，举手作答. 师小结：二次根式的混合运算顺序与实数类似，先乘方、开方，再乘除，最后加减．在二次根式混合运算中，每一个二次根式可看成一个“单项式”，多个非相同被开方数的最简二次根式之和可以看成一个“多项式”，因此整式运算法则、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适用． 设计意图：借助具体计算，让学生掌握整式运算法则、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适用. 做一做 计算下列各式： (1)； (2)； (3). 解：(1)； (2). (3). 师生活动：学生积极思考，独立作答. 设计意图：及时巩固所学知识，让学生掌握二次根式运算法则. · 应用新知 例1 计算下列各式： (1)；(2). 解：(1) . 还可以这样计算： (1). 还可以这样计算： (2)=. 师生活动：教师引导学生利用二次根式混合运算法则进行计算，学生认真思考+1，举手作答+2. 师小结：二次根式的混合运算与整式的运算方法完全相同，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号. 设计意图：通过例1让学生熟练掌握二次根式的混合运算的法则，并会利用法则进行计算. 例2. 计算下列各式： (1)； (2) . 解：(1). (2). 师生活动：选派2名学生板演，教师巡回指导，及时纠正学生在解题过程中出现的错误. 师小结： 在二次根式的运算中，多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用． 设计意图：通过例2让学生明确在二次根式的运算中，多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用. 例3. 计算下列各式： (1)； (2) . 解：(1) = . (2). 师生活动：学生思考后，独立作答. 师小结： 在二次根式的混合运算中，按照运算顺序可以计算出结果，但有的运算按照运算顺序计算比较复杂，可以利用运算律或乘法公式进行简便计算. 设计意图：本题是对二次根式混合运算的综合应用，与整式的混合运算类似，让学生感受数学知识的连贯性. · 课堂练习 1.计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4). 解：(1). (2) (3). (4). 2.计算下列各式： (1)； (2). 解：(1)； (2). 3.下列计算正确的( ) A. B. C. D. 解：，故A错误； ，故B错误； ，故D错误. 故选：C. 4.对于任意的正数m，n，定义运算※为： ，计算(6※5)×(20※24)的结果为(　　) A．2−4 B．2 C．2 D．20 解： 5.已知，则= . 解：原式= = = = = =. 故答案为：. 6.有一直角三角形，两条直角边长分别是和，求此直角三角形的面积. 解： 师生活动：学生限时训练、独立完成，教师巡回，及时把握学生对知识的掌握情况. 设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高. · 总结归纳 这节课你学到了哪些知识？说说你的体会. 设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系. 学科网（北京）股份有限公司 $