向量各类型必会题型专练-2026届高三数学一轮复习

题型一《向量的基本概念》 【典型例题】 （1).下列说法正确的是() (A)数量可以比较大小，向量也可以比较大小 (B)方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 (C)向量的大小与方向有关 (D)向量的模可以比较大小 (2).下列结论中错误的是（) A.向量AB与BA的长度相等，方向相反 B.两个相等向量若起点相同，则终点必相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 (3).下列说法正确的是() A.若园=0，则a=0 B若回=月 则a=b c若d=月. 则a与b是平行向量 D.若a∥b,则a=b (4)下列说法 ①两个有公共起点且长度相等的向量，其终点可能不同： ②若非零向量AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四点共线： ③若a∥b,b1c则a∥c: ④当且仅当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形. (5)若a,b共线，则a,b方向相同或相反 其中，正确的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 【巩固练习】 1.下列四个命题：①向量的模是一个正实数；②所有的单位向量都相等；③模相等的平行向量 是相等的向量；④相等向量一定是平行向量.其中真命题的个数为() (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 2.下列说法中，不正确的是() (A)向量AB的长度与向量BA的长度相等 (B)任何一个非零向量都可以平行移动 (C)长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 (D)两个有共同起点且共线的向量其终点必相同 3.已知a∥b,b∥c,则有() (A)a∥c(B)a=c(C)a与c不共线 (D)以上都有可能 题型二《向量线性表示》 【典型例题】 1.在ABC中，点D在边AB上，BD=3DA,记m=CA,n=CD,则CB=() A.4m-3n B.-3m+4n C.4m+3n D.3m+4n 2.己知ABC中，点D,E满足BD=DC,AE=2EC,设BD=a,DE=b,则AB=() A.a-3b B.-a+3b C.5a-3b D.-5a+3b 3.如图，在等腰梯形ABCD中，AB‖CD,AB=2CD,M,N分别为边AB,BC上的点，且 AM=MB,CN=2NB,记AB=a,AD=b,则M=() D M A+ B.1 -6 C.I D.-2a+ 63 【巩固练习】 1.在平行四边形ABCD中，AB=2AE,AC=3AF,则EF=() A.-4B+7AD B.4B-7AD 3 6 36 C.-Z4B+D 6 6 2.设M是ABC所在平面上的一点，且丽+丽+MC=0,D是AC的中点，则 DM BM 题型三《平面向量基本定理》 【典型例题】 1.名，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中， 不能作为一组基底的是() A.e和e1+e2 B.e-2e2和e2-2e1 C.e1-2e2和4e2-2e D.e1+e2和e1-e2 2.在平行四边形ABCD中，E,F分别是边CD和BC的中点，若AC=入AE+HAF其 中2，μ∈R则元+μ= 3.在平行四边形ABCD中，BE=4EC,点F是线段DE的中点，若AF=入AB+uAD,则 4=() 9 A.1 B C. 10 D. 4如图，在BC中，A正-号4，正-号C,且Br与CE交于点M,设 AM=xAE+yAF,则x-2y=() E M A.0 3 B. 1 c. D.1 【巩固练习】 1.设g和e2为两个不共线向量，a=-g+302,万=4e+2e,c=-3e+12e2 ,试以b,c为基底来表示向量a 2.如图，矩形ABCD中，E是线段DC的中点，F是线段AE的中点，连接BF,若 BF=入AB+HAD,则A+4= D B 3.如图，在ABC中，已知CD=CB,AE=3EC,P是线段AD与BE的交点，若 2 AP=mAB+nAC,则m+n的值为 E B D 4.在ABC中，AD=2DB,BE=3EC,AE和CD交于点F,若AF=2FE,则 题型四《平面向量共线定理》 【典型例题】 例1（考察对定理概念的理解）：下列说法正确的序号是() (1) 若向量a与b共线，则存在实数入，使得b=2a (2)若向量a与b共线，则存在实数m,n使得ma=nb (3)若存在实数入，使得b=入a,则向量a与b共线 (4)若存在实数m,n使得ma=nb,则向量a与b共线 (5) 存在相异实数2，μ使得2a+ub=0则向量a与b共线 (6)若2a+μb=0其中实数2，μ满足2+4=0则向量a与b共线 例2（考察共线定理的应用） (1)已知非零向量G和e,不共线.如果AB=+e2,BC=28+8C,CD=3C-3C,, ①求证：A,B,D三点共线； ②欲使ke1+e2和e1+ke2共线，试确定实数k的值. (2)如图在等腰直角三角形ABC中，点O是斜边BC的中点，过点O的直线分别 交直线AB,AC于不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN(m>0,n>O), 则mn的最大值为() B.1 C.2 D.3 【巩固练习】 1.已知a=g+2e,b=2e-e,则向量a+2i与2a-i() A.一定共线 B.一定不共线 C.仅当e与e,共线时共线 D.仅当e=e,时共线 2.已知AB=(2,3),AC=(-1,K),若AB,AC夹角为钝角，则K的范围是 3.在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M, N,若B=m4M,4C=n孤，m>0,n>0,则2+8的最小值为（) m n B A.2 B.9 C.10 D.18 4.如图，O为ABC中BC边的中点，过点O的直线与AB,AC所在直线分别交于点M,N, 满是孤=m孤，N=nC(m>0>0,若m-子，测m+n的值为 B M 5.在△ABC中，N为线段AC上靠近A的三等分点，若AP=(m+,)AB 101 +1BC,则m 10 题型五《向量数量积》 【典型例题】 例1（考察投影向量) 1.已知向量a.6的夹角为子，若a非2，且a-2万在a上的投影狗量为4，则 2.己知向量=（-1,0)，向量b=(1,2),则五在a方向上的投影向量的坐标为 例2（考察数量积基本运算） 1.已知向量a,6的夹角为120°，且d=4,月=2.求：(1)(66-20(4a+);(2) 3a-46 2已奥月-2月=1，日与6的夹角为写求向量0+5与i-26的夹角的余弦能 3.定义a*b是向量a和b的“向量积”，它的长度a*=al.161.sin0,其中0为向量a和b的 夹角，若u=(2,0),u-v=(1,-V3),则|u*(u+v)=_ 例3（考察求数量积的典型方法） (1)转化法 如图，在平行四边形ABCD中，M是OD中点，N是OC中点，且|AD=V3,AB=1,则 AM·BN的值为 0 (2)建系法 在aBc,∠1-受48=2,4C=4,F-丽. CE=CA,BD=BC,则D正DF的值为 2 4 (3)极化恒等式 1.BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且BF=2FA,若DE是圆A中绕 圆心A运动的一条直径，则FD·FE的值是() 4.-3 B.8 c-1 D.不确定 4 9 4 (4).利用投影求数量积 1.在平行四边形ABCD中，AP⊥BD,垂足为P,且AP=3,则AP,AC= 【巩固练习】 (1)投影向量 1已知向量石=(0)，6=化，刻，若向量a+6在向量ā上的投影向量为a,则k- 2.已知向量a=(3,4),b=(1,x),若b在a上的投影向量的模为3，则x=_ (2)数量积基本运算 1.向量a,b满足(a-万)-(2a+b)=-4,且d=2,=4,求a与b的夹角 2.已知d=4,=3且(3a-b)1(a-2,求a与b夹角的余弦值 (3)转换法求数量积 1.在边长为1的正三角形△ABC中，设BC=2BD,CA=3CE, 则AD·BE= 2.已知△ABC为等边三角形，AB=2,设点P,Q满足AP=1AB,AQ=(1-)AC, 元eR,若0，F=弓则元-() B1±V2 C1±0 D-3±2V2 2 2 2 2 3.如图，己知直角梯形ABCD,AB/CD,AB⊥AD,AB=2AD=2CD=2,点F是CD中 点，点E是线段BC靠近B点的三等分点，则AF.AE=