第2章　方程（组）与不等式（组） 课件 2026年中考数学一轮复习教材梳理（甘肃）

该初中数学课件聚焦方程（组）与不等式（组）中考核心考点，严格对接中考说明，系统分析二元一次方程组解法、一元二次方程求解、分式方程验根、不等式组解集确定等题型权重，通过真题与模拟题结合归纳常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于中考真题训练与应试技巧指导，如分式方程验根步骤示范、不等式性质应用易错点分析，培养学生运算能力与推理意识。通过不等式组整数解归纳等突破方法，帮助学生掌握答题技巧，助力教师高效组织中考冲刺复习。

第二章　方程（组）与不等式（组） 强化集训（三） 解方程（组）与不等式（组） 一、二元一次方程组 1. （2025平凉模拟）解方程组： ​ 𝑥＋𝑦=4， 3𝑥−2(𝑥−𝑦)=6. 2. 解方程组： ​ 3. （2024陇南模拟）解方程组： ​ 二、一元二次方程 4. （2025武威模拟）解方程： （1）（x－3）2＝4（x－3）； x1＝3，x2＝7 （2）2x2－5x＋1＝0. x1＝ ，x2＝ 三、分式方程 5. （2025连云港）解方程： ＝ . x＝－3 6. （2025威海）解分式方程： －1＝ . x＝0 7. （2025定西三模）解方程： －2＝ . x＝ 四、不等式（组） 8. （2025平凉模拟）解不等式 ＜2x－2，并把解集表示在如图所示 的数轴上. x＞1 2(𝑥+1)＞𝑥−1， >3𝑥. 9. （2025北京）解不等式组： －3＜x＜1 10. （2024武汉）求不等式组 的整数解. 解：由①，得x＞－2. 由②，得x≤1. ∴不等式组的解集为－2＜x≤1. ∴不等式组 的整数解为－1，0，1. 11. 过程探究解不等式组： 下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务： 解：由①，得4－2（2x－1）＞3x－1.…第1步 4－4x＋2＞3x－1.…第2步 －4x－3x＞－1－4－2. －7x＞－7.…第3步 x＞1.…第4步 任务一：该同学的解答过程第 步出现了错误，错误原因是 ⁠ ⁠； 不等式①的正确解集是 ⁠. 任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集. 4　 不等 式的基本性质3应用错误　 x＜1　 解：由②，得－3x＋x≤4－2. －2x≤2.x≥－1. ∴该不等式组的解集为－1≤x＜1. $第二章　方程（组）与不等式（组） 课题5　一次方程（组） 目录 01 基础巩固 02 能力提升 1. （2025平凉模拟）若m＝n，则下列等式中错误的是（　D　） A. －2m＝－2n B. 2＋m＝2＋n C. ＝ D. 2－m＝2＋n D 2. 解方程 － ＝1需下列四步，其中开始发生错误的一步是 （　C　） A. 去分母，得2（x＋1）－（x－1）＝6 B. 去括号，得2x＋2－x＋1＝6 C. 移项，得2x－x＝6－2＋1 D. 合并同类项，得x＝5 C 3. 数学文化（2025泸州）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著 作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题.例如方程x＋ 2y＝3恰有一组正整数解x＝1，y＝1.类似地，方程2x＋3y＝21的正 整数解有（　C　） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 4. （2025凉山州）若（3x＋2y－19）2＋｜2x＋y－11｜＝0，则x＋ y的平方根是（　C　） A. 8 B. ±8 C. ±2 D. 2 C C 5. 数学文化（2025山东）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中 有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个 头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手.问哪吒、夜叉 各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为 （　D　） D A. B. C. D. 6. （2025遂宁）已知x＝2是方程3a－2x＝2的解，则a＝ ⁠. 7. （2025陇南三模）规定一种运算： ＝ad－bc.例如： ＝2×5－3×4＝－2.已知 ＝ ，则x＝ 　 　. 2　 　 8. （2025河北）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b.如 图，将甲纸条的 与乙纸条的 叠合在一起，形成长为81的纸条，则a ＋b＝ ⁠. 99　 9. 解下列方程组： （1）（2024广西） ​ （2）（2024浙江） ​ 10. （2025吉林）吉林省长白山盛产人参.为促进我省特色经济的发 展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种 商品的售价分别为每盒25元和20元.某游客购买了甲、乙两种商品共10 盒，花费230元.求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数. 解：设该游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒. 根据题意，得 解得 答：该游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒. 11. （2025张掖一模）嘉淇在解关于x的一元一次方程 ＋○＝3时， 发现正整数“○”被污染了. 【任务1】 （1）若这道题的答案是x＝－1，求“○”代表的正整数. 【任务2】 解：（1）将x＝－1代入原方程，得 ＋○＝3.解得○＝5. ∴“○”代表的正整数为5. （2）嘉淇问同学小明，小明也记不清“○”的具体值了，只记得 这个方程的解是正整数.嘉淇经过深入思考，将“○”设为m，通过 计算，很快得到了“○”的值.你知道她是怎么计算的吗？请你求 出“○”的值. 解：（2）根据题意，得 ＋m＝3.解得x＝ . 又x，m均为正整数，∴ ∴“○”的值为2. 12. （2025陇南模拟）在研究幻方的综合实践中，小华填入如图的代 数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则a ＝ ⁠. 2　 13. （2025湖北）某商店销售A，B两种水果.A水果标价14元/千克， B水果标价18元/千克. （1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合 计付款46元.这两种水果各买了多少千克？ 解：（1）设A水果买了x千克，B水果买了y千克. 由题意，得 解得 答：A水果买了2千克，B水果买了1千克. （2）妈妈让小明再到这家商店买A，B两种水果，要求B水果比A水 果多买1千克，合计付款不超过50元.设小明买A水果m千克. ①若这两种水果按标价出售，求m的取值范围. 解：（2）①∵小明买A水果m千克，∴小明买B水果（m＋1）千克. 由题意，得14m＋18（m＋1）≤50.解得m≤1. 又m＞0，∴m的取值范围为0＜m≤1. ②小明到这家商店后，发现A，B两种水果正在进行优惠活动：A水果 打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1 千克的部分打七五折（注：“打七五折”指按标价的75％出售）.若小 明合计付款48元，求m的值. 解：（2） ②由题意，得14×0.75m＋18×1＋18×0.75（m＋1－1）＝48.解得m＝1.25. $第二章　方程（组）与不等式（组） 课题8　不等式（组） 目录 01 基础巩固 02 能力提升 1. （2024兰州模拟）若x＜y，则下列结论不一定成立的是（　D　） A. x－2＜y－2 B. －2x＞－2y C. x－y＜0 D. x2＜y2 D 2. （2025兰州模拟）关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则 它的解集是（　B　） A. －1＜x≤2 B. －1≤x＜2 C. x≤－1 D. x＜2 3. （2025宜宾）满足不等式组 的解是（　C　） A. －3 B. －1 C. 1 D. 3 B C 4. （2025福建）不等式 x＋1≤2的解集在数轴上表示正确的是 （　C　） A. B. C. D. C 5. （2025兰州模拟）解不等式 ＞1－ 时，去分母后结果正确的 为（　D　） A. 2（x＋2）＞1－3（x－3） B. 2x＋4＞6－3x－9 C. 2x＋4＞6－3x＋3 D. 2（x＋2）＞6－3（x－3） D 6. （2025山西）不等式组 的解集是（　C　） A. x＜2 B. x≥3 C. 2＜x≤3 D. 无解 C 7. （2025宜宾）某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道 题，对每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分.若小明同学想要在 这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　C　） A. 14道 B. 13道 C. 12道 D. 11道 C 8. （2025天津）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答. （Ⅰ）解不等式①，得 ⁠； （Ⅱ）解不等式②，得 ⁠； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ）原不等式组的解集为 ⁠. x≤1　 x≥－2　 －2≤x≤1　 4𝑥−3≤𝑥， 3(𝑥+1)>2𝑥， 9. （2025扬州）解不等式组 并写出它的所有负整数解. 解： 由①，得x≤1.由②，得x＞－3. ∴不等式组的解集为－3＜x≤1. ∴它的所有负整数解为－2，－1. 10. （2025湖南）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B 两种香料.已知A种香料的单价比B种香料的单价多3元，且购买4件A 种香料与购买6件B种香料的费用相等. （1）求A种香料和B种香料的单价. 解：设A种香料的单价为x元，则B种香料的单价为（x－3）元.由题 意，得4x＝6（x－3）.解得x＝9.∴x－3＝6. 答：A种香料的单价为9元，B种香料的单价为6元. （2）若需购买A种香料和B种香料共50件，且总费用不超过360元， 则最多能购买A种香料多少件？ 解：设能购买A种香料m件，则能购买B种香料（50－m）件. 由题意，得9m＋6（50－m）≤360.解得m≤20.∴m的最大值为20. 答：最多能购买A种香料20件. 11. （2025张掖一模）下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式： 根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（　C　） A. 2x≤10 B. 2x＜10 C. －2x≥－10 D. －2x≤－10 C 𝑎(𝑎≥𝑏)， −𝑎(𝑎＜𝑏). 12. （2025泸州）对于任意实数a，b，定义新运算： a※b＝ 给出下列结论： ①8※2＝8；②若x※3＝6，则x＝6；③a※b＝（－a）※（－b）； ④若（2x－4）※2＜5x，则x的取值范围为x＞ .其中正确结论的个 数是（　B　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B 【解析】①∵8＞2，∴8※2＝8，故①正确.②若x≥3，则x＝6；若x ＜3，则－x＝6，此时x＝－6，∴x＝±6，故②错误.③若a＞b，则 －a＜－b，∴a※b＝a，（－a）※（－b）＝a，则a※b＝（－ a）※（－b）；若a＜b，则－a＞－b，∴a※b＝－a，（－a）※ （－b）＝－a；若a＝b，则a※b＝a，（－a）※（－b）＝－ a，此时a※b≠（－a）※（－b），故③错误.④若2x－4≥2，即 x≥3时，由（2x－4）※2＜5x，得2x－4＜5x，解得x＞－ ，此时 x≥3； 若2x－4＜2，即x＜3时，由（2x－4）※2＜5x，得－2x＋4＜5x， 解得x＞ ，此时 ＜x＜3.综上所述，若（2x－4）※2＜5x，则x的 取值范围为x＞ ，故④正确.故选B. 13. 开放性试题（2025嘉峪关一模）若关于x的一元一次不等式组 无解，则符合条件的整数a的值可以是 .（答案 不唯一） 14. （2025南充）若不等式组 的解集是x＞2，则m的 取值范围是 ⁠. 0　 （答案 不唯一） m≤3　 15. （2025嘉峪关一模）春节期间，甲、乙两个商场针对某品牌冰箱 的促销方案如下： 商场 甲 乙 第一次优惠 八折 降价500元 第二次优惠 打折后消费1500元及以 上，减免200元 降价后消费2000元及以 上，减免400元 （1）设某冰箱的原价为x（x＞2500）元，在享受两次优惠后，甲商 场该冰箱实付价为 元，乙商场该冰箱实付价 为 元. （0.8x－200）　 （x－900）　 （2）小华在甲商场购买了一台冰箱，小东在乙商场购买了一台冰箱， 均享受了两次优惠，以下是他们的对话. 小华：真有意思，我买的冰箱原 价比你的冰箱原价低，但我的实 付价却比你的实付价高. 小东：更有意思的是，我买的冰 箱原价比你的冰箱原价高了105 元，实付价却恰好比你的实付价 低了105元. 　　分别求小华和小东购买的冰箱的原价. 解：（2）设小华购买的冰箱的原价为y元，则小东购买的冰箱的原价 为（y＋105）元. 由题意，得（0.8y－200）－（y＋105－900）＝105. 解得y＝2450. ∴y＋105＝2555. 答：小华购买的冰箱的原价为2450元，小东购买的冰箱的原价为 2555元. （3）若某冰箱的原价高于2500元，请你帮忙计算在哪家商场购买比较 划算. 解：（3）根据（1）中结论，则 令0.8x－200＞x－900，解得2500＜x＜3500； 令0.8x－200＝x－900，解得x＝3500； 令0.8x－200＜x－900，解得x＞3500. 故当2500＜x＜3500时，在乙商场购买比较划算；当x＝3500时，在两 家商场购买价格相同； 当x＞3500时，在甲商场购买比较划算. $第二章　方程（组）与不等式（组） 课题6　分式方程 目录 01 基础巩固 02 能力提升 1. （2025湖南）将分式方程 ＝ 去分母后得到的整式方程为 （　A　） A. x＋1＝2x B. x＋2＝1 C. 1＝2x D. x＝2（x＋1） 2. （2025陇南模拟）已知x＝1是分式方程 ＝ 的解，则a的值为 （　D　） A. －1 B. 1 C. 3 D. －3 A D 3. （2025绥化）用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每 小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用 时间相等.若设B货车每小时运输化工原料x吨，则可列方程为 （　C　） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ C 4. 数学文化（2025兰州模拟）《九章算术》是我国古代重要的数学专 著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900 里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，需要的 时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设 规定时间为x天，则可列方程为（　A　） A. ×2＝ B. ＝ ×2 C. ＝ ×2 D. ×2＝ A 5. （2025定西一模）分式方程 ＝1的解是 ⁠. 6. 若分式 与 的和为4，则x的值为 ⁠. x＝8　 3　 7. 过程探究（2025广东）在解分式方程 ＝ －2时，小李的解法 如下： 第一步： ·（x－2）＝－ ·（x－2）－2. 第二步：1－x＝－1－2. 第三步：－x＝－1－2－1. 第四步：x＝4. 第五步：检验：当x＝4时，x－2≠0. 第六步：∴原分式方程的解为x＝4. 解：小李的解法中第一步是去分母.去分母的依据是等式的基本性质. 小李的解答过程不正确. 正确的解答过程如下： 去分母，得 ·（x－2）＝－ ·（x－2）－2（x－2）. 整理，得1－x＝－1－2x＋4.移项、合并同类项，得x＝2. 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解 答过程是否正确.若不正确，请写出你的解答过程. 检验：当x＝2时，x－2＝0. ∴原分式方程无解. 8. （2025山西）我国自主研发的HGCZ－2000型快速换轨车，采用先 进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号 快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2 倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少 22小时.求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里. 解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里. 根据题意，得 － ＝22.解得x＝2. 经检验，x＝2是原分式方程的解，且符合题意. 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里. 9. （2025扬州）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用 价值的书签，已知甲款书签单价是乙款书签单价的 倍，且用100 元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个.求这 两款书签的单价. 解：设乙款书签的单价是x元，则甲款书签的单价是 x元. 根据题意，得 － ＝3.解得x＝16. 经检验，x＝16是原分式方程的解，且符合题意. ∴ x＝20. 答：甲款书签的单价是20元，乙款书签的单价是16元. 10. （2025陇南模拟）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号 min{a，b}表示a，b中的较小的值，如min{2，4}＝2.按照这个规 定，方程min ＝ －1（其中x≠0）的解为 ⁠. 4　 11. （2025凉山州）若关于x的分式方程 ＋ ＝3无解，则m ＝ ⁠. －1　 【解析】方程两边同时乘以x－2，得x＋m－1＝3x－6.解得x＝ .∵原分式方程无解，∴x＝ 是原分式方程的增根.由x－2＝ 0，得x＝2.∴ ＝2.∴m＝－1. 12. （2025广安）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷.已知用1800 元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐 篷的单价比A种帐篷的单价多400元. （1）求A，B两种帐篷的单价各多少元. 解：（1）设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为（x＋ 400）元. 由题意，得 ＝ .解得x＝600. 经检验，x＝600是原分式方程的解，且符合题意.∴x＋400＝ 1000. 答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元. （2）若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐 篷均需购买），且购买B种帐篷的数量不少于A种帐篷数量的 ，则购 买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多 少元？ 解：（2）设购买A种帐篷m顶，则购买B种帐篷（20－m）顶，总费 用是W元.由题意，得20－m≥ m.解得m≤15. 又两种型号的帐篷均需购买，∴0＜m≤15. W＝600m＋1000（20－m）＝－400m＋20000. ∵－400＜0，∴W随m的增大而减小.∴当m＝15时， W取最小值，W最小＝－400×15＋20000＝14000.此时20－m＝5. 答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用 是14000元. $第二章　方程（组）与不等式（组） 课题7　一元二次方程 目录 01 基础巩固 02 能力提升 1. （2024贵州）一元二次方程x2－2x＝0的解是（　B　） A. x1＝3，x2＝1 B. x1＝2，x2＝0 C. x1＝3，x2＝－2 D. x1＝－2，x2＝－1 2. （2025武威一模）已知一元二次方程x2＋6x＋1＝0配方后可变形为 （x＋3）2＝k，则k的值为（　A　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 B A 3. （2025扬州）关于一元二次方程x2－3x＋1＝0的根的情况，下列结 论正确的是（　A　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 4. （2025安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　D　） A. x2＋1＝0 B. x2－2x＋1＝0 C. x2＋x＋1＝0 D. x2＋x－1＝0 A D 5. （2025内江）若关于x的一元二次方程（a－1）x2＋2x＋1＝0有实 数根，则实数a的取值范围是（　C　） A. a≤2 B. a＜2 C. a≤2且a≠1 D. a＜2且a≠1 C 6. （2025云南）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元.设 该书店每月盈利的平均增长率为x.根据题意，下列方程正确的是 （　A　） A. 6000（1＋x）2＝6200 B. 6000（1－x）2＝6200 C. 6000（1＋2x）＝6200 D. 6000x2＝6200 A 7. （2025张掖一模）淇淇在算一个数的2倍时，误算成了这个数的平 方，淇淇发现两个结果的和为－1，则这个数为（　A　） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 8. （2025河北）若一元二次方程x（x＋2）－3＝0的两根之和与两根 之积分别为m，n，则点（m，n）在平面直角坐标系中位于（　C　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 A C 9. （2025武威一模）若关于x的一元二次方程x2－3x＋2a＝0的一个 解为x＝－1，则a的值为 ⁠. 10. （2024临夏州二模）若关于x的一元二次方程ax2＋bx－4＝0的一 个根是x＝1，则代数式8－a－b的值为 ⁠. 11. （2025齐齐哈尔）解方程：x2－7x＝－12. x1＝4，x2＝3 －2　 4　 12. （2024武威三模）已知关于x的一元二次方程x2－（k＋5）x＋6 ＋2k＝0. （1）求证：此方程总有两个实数根； （1）证明：∵Δ＝（k＋5）2－4（6＋2k） ＝k2＋2k＋1＝（k＋1）2≥0， ∴此方程总有两个实数根. （2）若此方程恰有一个根小于－1，求k的取值范围. （2）解：∵x＝ ， ∴x1＝2，x2＝k＋3. ∵此方程恰有一个根小于－1， ∴k＋3＜－1.解得k＜－4. ∴k的取值范围为k＜－4. 13. （2025威海）如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园.为 了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中 阴影部分）.小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求 出小路的宽度. 解：设小路的宽度为xm. 根据题意，得（20－4x）（14－4x）＝24×9. 整理，得2x2－17x＋8＝0. 解得x1＝ ，x2＝8（不合题意，舍去）. 答：小路的宽度为 m. 14. （2025定西一模）在正数范围内定义一种运算：M（a，b）＝a2 －2ab＋b2.如：M（1，3）＝1－2×1×3＋32＝4.若M（2，m）＝ 9，则m的值为 ⁠. 【解析】∵M（a，b）＝a2－2ab＋b2，∴M（2，m）＝22－4m＋ m2＝9，即m2－4m－5＝0.解得m＝－1（舍去）或m＝5.故m的值 为5. 5　 15. （2025武威模拟）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20 件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决 定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场 平均每天可多售出10件. （1）若商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利多少元？ 解：（1） ×（40－4）＝1008（元）. 答：商场每天可盈利1008元. （2）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 解：（2）设每件衬衫应降价x元. 根据题意，得（40－x） ＝1200. 解得x1＝10，x2＝20. ∵要扩大销售，增加盈利，尽量减少库存， ∴x＝20. 答：每件衬衫应降价20元. $