专题十八 等腰三角形 练习 2026年中考数学一轮复习

专题十八 等腰三角形 等腰三角形考点1等腰三角形的性质和判定 1、如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D．点E连接．点D恰好落在线段上，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 2、 如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点；再将纸片沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 3、下列命题的逆命题为真命题的是（多选）（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 三角形的中位线平行于第三边 D. 等腰三角形的两个底角相等 4、如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（ ） A. B. C. D. 5、若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是______． 6、定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为___________． 7、如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_____． 8、.一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影_____． 9、如图，在中，，点D在边上，，，，则的值为________；点E在的延长线上，连接，若，则的长为________． 10、综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 等腰三角形考点2等边三角形的性质和判定 1、如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2、如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. B. C. D. 3、如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4、一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为，则这个矩形的面积是（ ） A. 25 B. C. D. 5、如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6、如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______． 7、如图，点在同侧，，则_________． 8、如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为______． 9、在边长为7的等边三角形中，点在上，．点是直线上的一个动点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接，当为直角三角形时，则的长是________． 10、如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 11、 在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限． （1）填空：如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； （2）将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设． ①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 12、 如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，长为半径的半圆，交于点D，与相切于点E，连接 （1）求证：． （2）若，求四边形的面积． 等腰三角形考点3线段的垂直平分线 1、在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ） A. B. C. D. 平分 2、如图，在中，，垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3、如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 4、如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $MMMM2026年中考数学必刷题（全国版） 专题十八等腰三角形 等腰三角形考点1等腰三角形的性质和判定 1、如图，△ABC中，1B=BC=2,∠CBA=120°，将△ABC 绕点A顺时针旋转 °得到△1DE,点B,点C的对应点分别为点D.点E连接CE 12 .点D恰好落在线 段CE上，则CD的长为() D E A.2V5 B.4 C.3V2 D.6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等 腰三角形的性质得∠B1C=30°；再由旋转的性质得 ∠CAD=90°，AD=AB=2,∠ADE=120° 从而得ADC=60,∠1CD=30°，故可 得CD=2AD 从而可求出结论 【详解)解：在△MBC中，AB=BC=2,∠ABC=120° s∠BAC=l80°-∠ABC)=180P-120)=30: 由旋转可知∠BAD=120° ∠CAD=900 由旋转得： AD=AB=2,∠ADE=120° :∠ADC=600 ∠ACD=300 .CD=2AD=2×2=4, 故选：B 2、如图，在三角形纸片4BC中，∠B=57°，∠C=38° 将纸片沿着过点A的直线 折叠，使点B落在1C边上的点E处，折痕4D交BC于点D:再将纸片沿着过点E 的直线折叠，使点C落在BC边上的点G处，折痕EF交BC于点F.下列结论成立 的是() A.DG=EG B.GELAE C.∠DAE=420 D.DE=2GF 【答案】A 【解析) 【分析】本题考查了三角形的翻折问题，垂直的定义，等腰三角形的判定与性质以及 直角三角形中正弦值的求解，在翻折过程中由边长和角度不变，可求解翻折前后的角 度是解决本题的关键.根据△AD 是由AABD 翻折得到可求解∠D1E的度数，由此 判断C选项；根据翻折前后角度的求解，可求解∠EDC与∠DEG 的度数，由“等角对 等边可判断A选项，求解∠1EG 的度数可判断B选项；假设结论成立，根据直角三角 形中的正弦值求解边长即可判断D选项， 【详解】解：C选项，在△MBC中，∠B=57°，∠C=38 :∠B4C=180°-570-38°=850 :△ADE是由△ABD 翻折得到， :∠DAE=∠DAB=8S° =42.5 2 ,故C选项错误： A选项，：△ADE是由△ABD 翻折得到， ∠DAE=∠DAB=42.5° :∠AED=∠B=57° :∠ADE=∠1DB=180°-57°-42.5°=80.50 :∠EDG=180°-∠ADE-∠ADB=180°-80.5°x2=19e .AEFG 是由△EFC 翻折得到， :.∠BGF=∠C=380 :∠EGD=180°-∠EGF=180°-38°=1420 在△EGD中，∠DEG=180°-142°-19°=19 ,∠EDG=∠DEG=19° ∴.DG=EG,故A选项正确； B选项，∠1ED+∠DEG=57+19°=76° 即∠AEG=760 .GE与AE不垂直，故B错误； D选项，过点G作GM1DE交DE于点M如图 M 假设DE=2GF .AEF 是由aEFC 翻折得到， :∠EFC=∠EFG=90 ..DG=EG :△DG 为等腰三角形， GM LDE .DM=EM,即DE=2EM, GF=EM 在RtAEMG中， sin∠DEG=sinI9°=MG EG, 在Rt△EFG中， sin∠EGf=sin38°=E EG .sinl9°≠sin38°， ∴.MG≠EF 又：EM=VEG2-MG≠GF=VBG-EF,与已知不符，故D选项错误， 故选：A。 3、下列命题的逆命题为真命题的是（多选）() A.若a2=b,则a=b B若l4>A,则a>b C.三角形的中位线平行于第三边 D.等腰三角形的两个底角相等 【答案】AD 【解析】 【分析】本题考查判断逆命题的真假，分别写出各命题的逆命题，根据等式的性质， 不等式的性质，三角形的中位线定义，等腰三角形的判定，判断真假即可. 【详解】解：A、逆命题为若a=b,则4=，为真命题，符合题意 B、逆命题为若a>b,则la>以，为假命题，例如a=-2,b=-3, d2=8,6=27,a>3,但是@<b,不符合题意 C、逆命题为“平行于三角形第三边的线段是中位线”，为假命题，不符合题意； D、逆命题为“若三角形有两个角相等，则为等腰三角形”.由等角对等边可知成立，为 真命题，符合题意 故选：AD, 4、如图，A、B,C是OO上的点，BC是圆的直径，在BA延长线上取一点D,使 AD=AC,连接CD,则∠ACD为() 70° A. B 500 040o 【答案】c 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，根据题意可得 ∠BAC=∠CAD=90° 再利用等腰三角形的性质即可解答. 【详解】解：BC 是圆的直径， ∴.∠BAC=90° ∴.∠CAD=90° AD=AC ·∠D=∠4CD=180°-∠CAD-45 2 故选：C 5、若等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数是 【答案】 80 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形两底角 相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可· 50° 【详解】解：等腰三角形的一个底角为 0° .另一个底角的度数也为 180°-50°-50°=80° ∴.它的顶角的度数是 80 故答案为： 6.定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做反直角三角形，如图。在△1BC中， 4B=AC=5,BC=8,点P为边BC上一点，若△1PC为反直角三角形，则BP的 长为 B P 2511 【答案】4或2 【解析】 【分析】题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判 定和性质等知识，理解“反直角三角形的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键· 分情况讨论：①当∠APC-2C=90时.过点A作DLBC于点D,由等腰三角形的 性质得到BD=CD=4证明△HD∽△PHB得到号胎 即可求出BP的长： 2当APC-∠CMP=90°.时过点P作PM 1 BC交MC于点M 由等角对等边得到 4M=PM:再证明，CMCD设CP=x进而得出PM-,CM-,根据 AC=AM+CM=PM+CM 求出的值，即可求出BP的长；③当<CMP=∠C+90 时 利用锐角三角函数，得出∠C>30°，∠B1C<120 ， 即此种情况不存在；④当 ∠CAP=∠APC+90° 时，同③理可证，此种情况不存在；即可得解， 【详解】解： AB=AC=5 .∠B=∠C .∠APC=∠B+∠BAP .∠APC>∠B .∴.∠APC>∠C 者AAPC 为“反直角三角形”， ①当∠1PC-∠C=90°时，过点A作DLBC于点D B D P AB=AC=5 BC=8 BD=CD=-BC=4. :.AD=AB2-BD2=3 ∠B=∠C ∴.∠APC-∠B=∠BAP=90° ·∠B=∠B∠ADB=∠PAB=90° ∴.△ADB△PAB, AB_BD BP AB 5.4 ·BP5, BP=25 4 ②当∠HPC-∠CP=90时，过点P作PM LBC交4C于点M M D .∠APC-∠APM=∠CPM=90°