专题十六 直角三角形 练习 2026年中考数学一轮复习

MM》M2026年中考数学必刷题（全国版） 专题十六直角三角形考点 直角三角形核心勾股定理及逆定理 1、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD=4, CE=3,连接DE,点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN,则MN的长度为 () B▣ A.5 82 C.2 D, 13 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，利用 平行线+中点模型构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键 过点C作CG∥AD,连接DM并延长交CG于点G,连接EG,可证 △GMC≌△OMA(ASA),可得CG=AD=4,GM=DM,再根据平行线的性质得 ∠GCE=90°，即得GE=VCG2+CE2=5,最后根据三角形中位线的性质解答即可求 解， 【详解】解：如图，过点C作CG∥AD,连接DM并延长交CG于点G,连接EG, A D .∠GCM=∠A 点M是AC的中点 ∴.CM=AM, 又.'∠GMC=∠DMA, △GMC≌△OMA(ASA), ∴.CG=AD=4,GM=DM, CG∥AD,∠B=90° ∴.∠GCE=180°-∠C=90° CE=3, .GE=VCG2+CE2=V42+32=5, 'GM=DM,点N是DE的中点， ∴.MN是△DEG中位线 MN-IGE-5 2 故选：A。 2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB上一点，以DB为直径的圆与 AC相切于点E·若AD=5,AE=10,则BC的长是（）· A10 B.12 C.13 D.15 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理及解直角三角形，解题的关键是利用勾股 定理建立方程得到圆的半径 根据题意可得OE1AE,设半径为r,利用勾股定理求出半径，再根据 sin∠A= OE BC 求解即可， OA AB 【详解】解：设DB中点圆心为O,半径为r,连接OE, B 因为圆与AC相切于点E,所以OE⊥AE, 则0A2=0E2+AE2,即(5+r)2=r2+100. 解得r=7.5,AB=AD+DB=20, 又sin∠A=OE-7.5=3BCBC OA5+7.55AB20 所以BC=12· 故选：B. 3、在正方形ABCD中，AB+BC:CD的值为() A.② B.1 C.√2 D.2 2 【答案】c 【解析】 【分析】本题考查了向量、向量的加法及向量模，理解这些知识是关键；在正方形中， 向量相加的模长即为正方形对角线的长，它与边长的比值可通过勾股定理直接计算即可， 【详解】解：设正方形边长为a,由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=√2a; 在正方形ABCD中，AB+BC表示从A到B再到C的路径，其结果为向量AC,即 AC =2a; AB+BC _2a=2 CD a 故选：C 4、如图，在直径BC为2√2的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC.随机地往圆内投 一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（〉 B 5 D. 【答案】D 【解析) 【分析】如图所示，过点A作AD⊥BC于点D,证明出ABC是等腰直角三角形，求 出4D=BD=CD=}BC=V2,然后得到AB=VAD+BD=2,然后分别求出 S扇形ABc和S圆， 然后根据概率公式求解即可· 【详解】如图所示，过点A作AD⊥BC于点D BC是直径 ∴.∠BAC=90° AB=AC ∴.ABC是等腰直角三角形 'AD⊥BC 4D-BD-CD-3BC- ∴AB=VAD2+BD2=2 90π×22 .S扇形ABC 360 =元，S=元×V2)=2元 π1 ∴该粒米落在扇形内的概率为 2π2 故选：D 【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径 所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点， 5、如图，在ABC中，∠A=120°，AB=AC,边AC的中点为D,边BC上的点E 满足ED⊥AC.若DE=V3,则AC的长是（) B A.4V5 B.6 C.2V5 D.3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含30°角的直角三角形性质及勾股定理，熟 练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键，先根 据等腰三角形性质求出∠C的度数，再利用中点得到线段关系，最后在Rt△EDC中， 结合含30°角的直角三角形性质及勾股定理求出AC的长 【详解】解：，在△ABC中，AB=AC,∠A=120°， ∠C=180-120° 30° 2 :D是AC中点， ∴.设AC=2x,则CD=x· ,ED⊥AC, ∴.△EDC是直角三角形，且∠C=30°， ∴.EC=2DE, :DE=√5，则EC=2√5.在RtEDC中，根据勾股定理EC'=DE2+CD2, .(25)2=(5)2+x2, 12=3+x2, x2=9, 解得x=3（x>0) .∵AC=2x .AC=6 故选：B 6、如图，在Rt△ABC中，LACB=90°，将ABC沿CB方向向右平移至△EGF处， 使EF恰好过边AB的中点D,连接CD,若CD=1,则GE=（) 0 B G A.3 B.2 C.1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质和平移的性质，熟练掌握直角三角形斜边中 线的性质是解题的关键 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合CD=1,得AB=2CD=2,由ABC 平移得到△EGF,根据平移对应线段相等，可知GE=AB,进而得GE=2· 【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点， :CD=AB CD=1, ∴.AB=2CD=2, :ABC沿CB方向向右平移至△EGF, .GE=AB=2 故选：B 7、如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端 的高度h为 m. -1.8 【答案】2.4 【解析 【分析】本题考查了勾股定理，根据长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的 距离为1.8m,进行列式计算，即可作答 【详解】解：，长为3的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m, .h=V32-1.82=2.4m), 故答案为：2.4 8、已知，a,b,c是ABC的三条边长，记t= 其中k为整数· (1)若三角形为等边三角形，则t= (2)下列结论正确的是 (写出所有正确的结论) ①若k=2,t=1,则ABC为直角三角形 ②若k=1,a=b+2,c=1,则5<1<11 2 ®若k,名0，bc为三个连续整数日<h<c则满条件的4BC的 个数为7 【答案】 ①.2 ②.①②##21① 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式组，三角形三边的关系， 等边三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键 (1)根据等边三角形的性质可得a=b=c,据此求解即可； (2）当k=2,t=1时，可证明a2+b2=c2,由勾股定理的逆定理可判断①；当k=1 b+2-b<1 ,a=b+2,c=1时.可得1=3b+2;当a≥b时，可得 、 当a<b 1 b+2>b 2 6-1b-2<1 可得 则可求出2<b<6,据此求出t的取值范围即可判断②；当k=1 1 b+2<b 时，则t=a+b 则可得到a+b<c;根据题意不妨设c=n+2,则剩下两个数分别 为mn+1(切为正整数)，则可得n+2<n+n+1s(n+2),解不等式组求出整数n 即可判断③ 【详解】解：(1)，a,b,c是ABC的三条边长，且ABC是等边三角形 ..a=b=c, -+ =1+1W =1+1 =2, 故答案为；2； 2,0当=2.=1时.1-(8+8 ej-1 a262 ∴.a2+b2=c2, ,ABC为直角三角形，故①正确 2当k=1.a=2b+2,c=1时. 专题十六 直角三角形考点 直角三角形核心勾股定理及逆定理 1、如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（ ） A. B. C. 2 D. 2、 如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（ ）． A 10 B. 12 C. 13 D. 15 3、 在正方形中，的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4、如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ） A. B. C. D. 5、如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（ ） A. B. 6 C. D. 3 6、如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 7、如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为_______m． 8、已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则______； （2）下列结论正确的是______（写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 9、图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． （1）在图①中，是面积最大的等腰三角形； （2）在图②中，是面积最大的直角三角形； （3）在图③中，是面积最大等腰直角三角形． 10、清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 11、问题提出 已知，都是锐角，，，求的度数． 问题解决 （1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和，请你按照这个思路求的度数．（点A，B，C，D都在格点上） 策略迁移 （2）已知，都是锐角，，，则___________； （3）已知，，都是锐角，，，，求的值． （提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案） 12、. 四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为________． 13、如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为__________． 14、如图，在菱形中，，对角线，点是边中点，点是对角线上的一个动点，连接、．则的最小值是________． 15、2025海南中考真题）如图，点是内一动点，且，，． （1）面积的最大值为_______； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为_______． 16、《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 （1）请补全上表中的勾股数． （2）根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 17、 如图，在中，，，． （1）求的长； （2）求点到线段的距离． 18、综合与实践 （1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数； （2）【深入探究】如图②，在矩形中，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值； （3）【学以致用】如图③，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长． 19、我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”． （1）请同学们判断下列分别用含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有______（填序号）． （2）如图，四边形是邻等内接四边形，且，，，，求四边形的面积． 20、小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $