2.4 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度-【正禾一本通】2025-2026学年高二物理选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（鲁科版）

本讲义聚焦“用单摆测量重力加速度”核心实验，系统梳理从单摆周期公式推导（T=2π√(l/g)得g=4π²l/T²），到摆长测量（线长加球半径）、周期测量（多次全振动取平均），再到计算法与T²-l图像法数据分析的完整探究脉络，辅以摆角控制等注意事项作为学习支架。 该资料突出科学探究与科学思维培养，通过“实验操作”“数据处理”等例题，结合误差分析（如误记振动次数对g的影响）和图像法斜率求g，深化单摆模型理解。课中助力教师引导规范操作，课后学生可借误差分析与图像法巩固知识，有效查漏补缺。

第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度 一、实验目的 1.用单摆测量重力加速度。 2.会使用秒表测量时间。 3.能分析实验误差的来源，并能采用适当方法减小测量误差。 二、实验器材 　长约1 m的细线、开有小孔的金属小球、带有铁夹的铁架台、刻度尺、秒表、游标卡尺。 三、实验原理与设计 　单摆做简谐运动时，由周期公式T＝2π，可得g＝。因此，测出单摆摆长和振动周期，便可计算出当地的重力加速度。 用秒表测量30～50次全振动的时间，计算平均做一次全振动的时间，得到的便是振动周期。 四、实验步骤 1.取长约1 m的细线，细线的一端连接小球，另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自由下垂，如图所示。 2.用刻度尺测摆线长度l线，用游标卡尺测小球的直径d。测量多次，取平均值，计算摆长l＝l线＋。 3.将小球从平衡位置拉至一个偏角小于5°的位置并由静止释放，使其在竖直面内振动。待振动稳定后，从小球经过平衡位置时开始用秒表计时，测量N次全振动的时间t，则周期T＝。如此重复多次，取平均值。 4.改变摆长，重复实验多次。 5.将每次实验得到的l、T代入g＝计算重力加速度，取平均值，即为测得的当地重力加速度。 五、数据分析 　方法①：计算法从测量的数据中选择几组，根据前面推导的公式，分别计算重力加速度，然后取平均值作为测量结果。 设计如下所示实验表格 实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s－2) 重力加速度g的平均值/(m·s－2) 1 g＝ 2 3 方法②：图像法根据g＝得T2＝l， 画出T2-l图像，则是一条过原点的直线，直线的斜率k＝，由斜率k的值可求得重力加速度g。 六、注意事项 1.单摆的条件：摆线应选择细且不易伸长的线(长度1 m左右)，小球应选用密度较大、体积较小的金属球(直径最好不超过2 cm)，摆角不能超过5°(可通过估计振幅的办法掌握)。 2.固定旋点：单摆悬线的上端不可随意卷在杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑，摆长改变。 3.摆动方法：要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放。 4.测摆长：摆长应是悬点到球心的距离，等于摆线长加上小球半径。 5.测周期： (1)要从小球经过平衡位置时开始计时。 (2)要测多次全振动的时间来计算周期，如在摆球过平衡位置时开始计时并数为0，以后摆球每过一次平衡位置数一个数，最后总计时为t，总数为n，则周期T＝＝。 学生用书⬇第44页 类型一　实验操作 实验小组的同学们用图甲所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验。 (1)用L表示单摆的摆长，用T表示单摆的周期，则重力加速度g＝　　　　(用L、T表示)。 (2)在这个实验中，应该选用下列哪两组材料构成单摆　　　　(填选项前的字母)。 A.长约1 m的细线 B.长约1 m的橡皮绳 C.直径约1 cm的均匀铁球 D.直径约1 cm的塑料球 (3)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是　　　　(填选项前的字母)。 A.测出摆线长作为单摆的摆长 B.把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之在竖直平面内做简谐运动 C.在摆球经过平衡位置时开始计时 D.用停表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期 (4)甲同学多次改变单摆的摆长并测得相应的周期，他根据测量数据作出了如图乙所示的图像，横坐标为摆长，纵坐标为周期的平方。若图线斜率为k，则当地的重力加速度g＝　　　　(用k表示)。 (5)乙同学用一组数据测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是　　　　(选填选项前的字母)。 A.开始摆动时振幅较小 B.开始计时时，过早按下停表 C.测量周期时，误将摆球(n－1)次全振动的时间记为n次全振动的时间 答案：(1)　(2)AC　(3)BC　(4)　(5)C 解析：(1)根据T＝2π得g＝。 (2)为保证摆长不变，应选择细线，为减小空气阻力影响，摆球应选质量大而体积小的铁球，因此需要的实验器材为A、C。 (3)摆长等于摆线的长度与摆球半径之和，故A错误；把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之在竖直平面内做简谐运动，故B正确；在摆球经过平衡位置时速度最大，可知在摆球经过平衡位置时开始计时误差最小，故C正确；测量1次全振动的时间作为单摆的周期误差太大，应测量多次全振动的时间，求出平均值作为单摆的周期，故D错误。 (4)根据T＝2π得T2＝，可知图线的斜率k＝，解得g＝。 (5)根据T＝2π得g＝，开始摆动时振幅较小，不影响重力加速度的测量，故A错误；开始计时时，过早按下秒表，周期的测量值偏大，则重力加速度的测量值偏小，故B错误；测量周期时，误将摆球(n－1)次全振动的时间记为n次全振动的时间，周期的测量值偏小。则重力加速度的测量值偏大，故C正确。 针对练.根据单摆周期公式T＝2π，可以通过实验测量当地的重力加速度。如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆。 (1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为　　　　mm。 (2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有　　　　。 a.摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些 b.摆球尽量选择质量大些、体积小些的 c.为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度 d.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球运动到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆周期T e.拉开摆球，使摆线偏离平衡不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝ 答案：(1)18.6　(2)abe 解析：(1)(18＋6×0.1) mm＝18.6 mm。 (2)摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些，摆球尽量选择质量大些、体积小些的，都是为了更加符合单摆的构成条件，故a、b是正确的；摆线相距平衡位置的角度，以不大于5°为宜，故c是错误的；拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝，故d错误，e正确。 学生用书⬇第45页 类型二　秒表的读数及数据处理 机械秒表及其读数方法 1.机械秒表的结构：如图所示，机械秒表有大、小两个表盘，秒针沿大表盘转动，分针沿小表盘转动。通常，秒针转一圈所用的时间为30 s，最小分度为0.1 s。秒针每转过一圈，分针相应转过半格。 2.读数方法：分针和秒针所指示的时间之和为所测的时间，图中，小表盘指针处于1～1.5之间，读作1.0分，即60 s；大表盘指针指向7.5 s处，读作7.5 s，故所测时间为67.5 s。 注意：　秒针的转动是通过齿轮传动的，不可能停在两格中间，所以不需要估读。 某同学在“利用单摆测重力加速度”的实验中，先测得摆线长为97.50 cm，摆球直径为2.00 cm，然后用停表记录了单摆振动50次所用的时间，如图甲所示，则： (1)该单摆摆长为　　　　cm，停表的示数为　　　　s。 (2)如果他测得的g值偏小，可能的原因是　　　　　　　。 A.测摆线长时摆线拉得过紧 B.摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，使周期变大了 C.开始计时时，停表过迟按下 D.实验中误将49次全振动次数记为50次 (3)为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长l并测出相应的周期T，从而得出几组对应的l与T的数据，然后建立以l为横坐标、T2为纵坐标的直角坐标系，根据数据描点并连成直线，如图乙所示。求得该直线的斜率为k，则重力加速度g＝　　　　。(用k表示) 答案：(1)98.50　99.8　(2)B　(3) 解析：(1)摆长l＝l'＋＝98.50 cm，由图所示秒表可知，其示数为：1.5 min＋9.8 s＝99.8 s。 (2)由单摆周期公式T＝2π ，得g＝，所以l偏大，则g偏大；t偏大，则g偏小；t偏小，则g偏大；n偏大，则g偏大。故B正确。 (3)由单摆周期公式可得T2＝，那么图中直线斜率k＝，所以g＝。 针对练1.在“用单摆测量重力加速度”的实验中： (1)小球摆动时偏角为α，则α应满足的条件是　　　　，为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应在最　　　　(选填“高”或“低”)点。 (2)图甲中秒表示数为一单摆全振动50次所经过的时间，则单摆振动周期为　　　　s。 (3)用刻度尺测量摆长，测量情况如图乙所示。O为悬挂点，则单摆的摆长为　　　　cm。 (4)若用l表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝　　　　。 答案：(1)α＜5°　低　(2)2.05　(3)99.75　(4) 解析：(1)小球的偏角α很小(α＜5°)时，小球的摆动才可近似看成简谐运动。在摆球经过最低点时开始计时，产生的计时误差较小。 (2)由秒表读出时间t＝90 s＋12.5 s＝102.5 s， 则T＝＝ s＝2.05 s。 (3)刻度尺的最小刻度为1 mm，由图乙读出悬点到球心之间的距离为99.75 cm。 (4)由T＝2π得g＝。 针对练2.某同学用如图甲所示装置测当地的重力加速度。用细线拴一块形状不规则的铁块并悬挂，铁块下面吸一小块磁铁，手机放在悬点O正下方桌面上，打开手机的磁传感器。(地磁场和手机对铁块的运动影响很小，可忽略不计) (1)用毫米刻度尺测量摆线长度l，使铁块在竖直面内 学生用书⬇第46页 做小角度摆动，手机的磁传感器记录接收到的磁感应强度随时间变化的图像如图乙所示，则铁块摆动的周期T＝　　　　。 (2)多次改变摆线的长度，重复实验，得到多组摆线长度l及铁块摆动的周期T，作出的T2-l图像如图丙所示，根据图丙可得重力加速度的测量值为　　　　m/s2。(π取3.14，计算结果保留3位有效数字) (3)图像不过原点对重力加速度的测量　　　　(填“有”或“没有”)影响。 答案：(1)2t0　(2)9.86　(3)没有 解析：(1)由题图乙可知，铁块摆动的周期T＝2t0。 (2)设铁块和磁铁整体重心到细线下端距离为r，根据周期公式T＝2π，可得T2＝l＋ 故题图丙中图像的斜率为k＝＝×102 s2/m＝4 s2/m 解得重力加速度的测量值为g≈9.86 m/s2。 (3)根据(2)中分析可知，图像不过原点对图像的斜率无影响，则对重力加速度的测量没有影响。 1.在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中： (1)图1操作中正确的是　　(选填选项前的字母)。 A.甲图：小球从偏离平衡位置60°开始摆动 B.乙图：细线上端用铁夹固定住 C.丙图：小球到达最高点时作为计时开始与终止位置 D.丁图：小球自由下垂时测量摆长 (2)实验过程中，改变摆长，测量多组不同摆长情况下单摆的周期，以摆长为横坐标，周期的平方T2为纵坐标，作出了T2-l图像，理论上T2-l图线是一条过坐标原点的直线，但小周同学根据实验数据作出的图线如图2所示，则造成图线不过坐标原点的原因可能是　　　　　　　；由图像求出的重力加速度g＝　　　　m/s2。(取π2＝9.86) 答案：(1)BD　(2)计算摆长时漏加小球半径　9.86 解析：(1)摆线与竖直方向的夹角要很小时，才可以认为摆球的运动为简谐运动，故A错误；细线上端应用铁夹子固定，防止松动引起摆长的变化，故B正确；当小球运动到最低点时开始计时误差较小，故C错误；实验时应该让小球自由下垂时测量摆线的长度，故D正确；故选B、D。 (2)图像不通过坐标原点，将图像向右平移就会通过坐标原点，故相同的周期下，摆长偏小，故可能是漏加小球半径。由T＝2π得，T2＝4π2， 则有＝k 解得：g＝＝ m/s2＝9.86 m/s2。 2.在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝　　　　。若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是　　　m。若测定了40次全振动的时间为75.2 s，单摆摆动周期是　　　　。为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标示在以l为横坐标，以T2为纵坐标的坐标系上，即图乙中用“·”表示的点，则： (1)单摆做简谐运动应满足的条件是　　　　。 (2)试根据图乙中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝　　　　m/s2。(结果取2位有效数字) 答案：　0.875 0　1.88 s　(1)见解析 (2)见解析 解析：由T＝2π，可知g＝。 由图可知：摆长l＝(88.50－1.00)cm＝87.50 cm＝0.875 0 m。T＝＝1.88 s； (1)单摆做简谐运动的条件是摆角小于5°。 (2)把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点平均分布在直线的两侧，作出关系图线如图所示， 则直线斜率k＝，由g＝＝，可得g为9.8 m/s2(9.9 m/s2也正确)。 3.某同学利用如图甲所示的一半径较大的固定光滑圆弧面测定当地重力加速度。该同学将小铁球从最低点移开一小段距离由静止释放，则小铁球的运动可等效为一单摆的简谐运动。 具体步骤如下： ①用游标卡尺测量小铁球的直径d； 学生用书⬇第47页 ②用秒表测量小铁球的运动周期T； ③更换不同的小铁球进行实验，正确操作，根据实验记录的数据，绘制如图乙所示的T2-图像，横、纵轴截距分别为a、b。 (1)测量小铁球运动周期时，开始计时的位置为图甲中的　　　　(选填“A”“O”或“A'”)。 (2)由T2-图像可得当地的重力加速度g＝　　　　，圆弧的半径R＝　　　　。 (3)该同学查阅资料得知，单摆做简谐运动的周期T0是初始摆角很小时的近似值，实验过程中初始摆角对周期T有一定的影响，与初始摆角θ的关系如图丙所示。若实验时该同学释放小铁球的位置离O点较远，初始摆角接近15°，若只考虑初始摆角的影响，重力加速度的测量值会　　　　(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。 答案：(1)O　(2)　a　(3)偏小 解析：(1)小铁球在O点运动速度最快，造成的时间误差最小，故从O点开始计时。 (2)由单摆周期公式可得T＝2π 变形可得T2＝－·＋ 由题图乙可知＝，＝b 解得g＝，R＝a。 (3)根据单摆周期公式有T＝2π，T0＝2π 解得g测＝，g真＝ 由题图丙得T＞T0，故g测＜g真，所以重力加速度的测量值会偏小。 学科网（北京）股份有限公司 $